Bicorn

Kurva bicorn

Dalam geometri, bicorn adalah sebuah kurva kuartik rasional yang didefinisikan dengan persamaan$$y^2(a^2-x^2)=(x^2+2ay-a^2{)}^2.$$

Kurva ini mempunyai dua taring dalam simetrik mengenai sumbu-$y$. Kurva bicorn dikenal sebagai kurva topi berbentuk segitiga lantaran mempunyai kemiripannya dengan topi bicorne.

Sejarah

Pada tahun 1864, James Joseph Sylvester mempelajari kurva bicorn. Kurva dengan persamaan $$y^4-x{y}^3-8x{y}^2+36x^{2}y+16x^2-27x^3=0$$ mempunyai kaitannya dengan klasifikasi persamaan kuintik. James Joseph menamakan kurva itu sebagai bicorn karena memiliki dua taring. Kurva ini dipelajari lebih lanjut oleh Arthur Cayley pada tahun 1867.

Sifat-sifat

Sebuah kurva bicorn yang ditransformasi dengan $a=1$

Bicorn merupakan sebuah kurva aljabar bidang derajat empat dan genus nol. Bicorn mempunyai dua taring yang tunggal di bidang real, dan mempunyai sebuah titik ganda dalam bidang proyektif kompleks di $x=0$, $z=0$. Jika kedua titik tersebut (yakni, $x=0$ dan $z=0$) dipindahkan ke titik asalnya, dengan mensubstitusi dan memutar rotasi imajiner pada $x$, tetapi mensubstitusi $\frac{ix}{z}$ untuk $x$ dan $\frac{1}{z}$ untuk $y$ dalam kurva bicorn, akan diperoleh $$(x^2-2az+a^2{z}^2{)}^2=x^2+a^2{z}^2.$$

Kurva ini, yang merupakan limaçon, mempunyai sebuah titik ganda biasa di titik asalnya, dan dua simpul di bidang kompleks, di $x=\pm i$ dan $z=1$.

Persamaan-persamaan parametrik dari kurva bicorn adalah $$x=a\sin (\theta )$$ dan $$y=a\frac{{\cos }^2(\theta )(2+\cos (\theta ))}{3+{\sin }^2(\theta )}$$ dengan $-\pi \le \theta \le \pi$.

Lihat pula

• Daftar kurva-kurva

Pranala luar

• Templat:MathWorld