1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

Enam penjumlahan pertama digambar sebagai bagian-bagian persegi.

Deret geometri di garis bilangan real.

Dalam matematika, deret tak hingga Templat:Nowrap adalah contoh dasar dari deret geometri yang mutlak konvergen. Hasil penjumlahan tersebut bernilai 1. Deret ini dapat dinyatakan ke dalam bentuk notasi Sigma, yakni sebagai:$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=1.$$Deret ini mempunyai kaitan dengan pertanyaan filosofis pada zaman kuno, khususnya paradoks Zeno.

Bukti

Seperti semua deret tak hingga, jumlah dari

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$

didefinisikan sebagai limit dari jumlah parsial dari suku Templat:Mvar yang pertama

$s_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}$

ketika Templat:Mvar menuju ke tak hingga. Dengan menggunakan berbagai argumen,Templat:Efn jumlah deret terhingga akan sama dengan

$s_n=1-\frac{1}{2^n}.$

Ketika Templat:Mvar menuju ke tak hingga, bentuk ekspresi $\frac{1}{2^n}$ menuju ke 0, dan demikian Templat:Mvar menuju ke 1.

Sejarah

Deret ini digunakan sebagai salah satu representasi dari paradoks Zeno. Bagian dari Mata Horus pernah dianggap untuk merepresentasikan enam penjumlahan pertama dari deret ini.

Lihat pula

• 0.999...
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯