−1 (angka)

Templat:Infobox number −1, terutama dalam matematika, merupakan invers aditif dari bilangan 1, yaitu, suatu bilangan yang bila ditambahkan ke bilangan 1 menghasilkan hasil penjumlahan elemen identitas, atau bilangan 0 ("nol"). Merupakan suatu bilangan bulat negatif yang lebih besar daripada minus dua (−2) dan lebih kecil dari 0.

Bilangan minus satu mempunyai relasi terhadap identitas Euler karena $e^{i\pi }=-1.$

Dalam sains komputer, −1 merupakan nilai awal umum untuk "integer" dan juga menunjukkan bahwa suatu variabel tidak memuat informasi yang berguna.

Negatif satu mempunyai sifat-sifat yang mirip tetapi agak berbeda dengan "positif satu".

Sifat aljabar

Perkalian suatu bilangan dengan −1 ekuivalen dengan mengganti tanda bilangan itu. Ini dapat dibuktikan dengan hukum distribusi dan aksioma bahwa 1 merupakan identitas multiplikatif: untuk bilangan real x, didapatkan

$x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0$

di maan setiap bilangan real x dikalikan 0 sama dengan 0, menyiratkan pembatalan (cancellation) persamaan

$0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x$

0, 1, −1, i, dan −i dalam bidang kompleks atau Kartesius

Dengan kata lain,

$x+(-1)\cdot x=0$

sehingga (−1) · x merupakan invers aritmetika dari x, atau −x.

Kuadrat dari −1

Kuadrat dari −1, yaitu −1 kali −1, sama dengan 1. Akibatnya, produk dua bilangan real negatif adalah bilangan positif.

Bukti aljabar dari hasil ini dapat diberikan pertama-tama dengan persamaan

$0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]$

Persamaan pertama mengikuti hasil di atas. Yang kedua mengikuti definisi −1 sebagai invers aditif dari 1: tepatnya bilangan yang jika ditambahkan ke 1 menghasilkan 0. Menggunakan hukum distributif didapatkan

$0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)$

Persamaan kedua mengikuti fakta bahwa 1 merupakan identitas multiplikatif. Penambahan 1 ke kedua sisi persamaan terakhir menyiratkan

$(-1)\cdot (-1)=1$

Argument di atas berlaku pada semua cincin, suatu konsep aljabar abstrak yang mengeneralisasi bilangan bulat dan bilangan real.

Akar kuadrat dari −1

Bilangan kompleks i memenuhi i² = −1, dan sedemikian rupa dapat dianggap sebagai akar kuadrat dari −1. Bilangan kompleks x lain yang memenuhi persamaan x² = −1 hanya −i. Dalam aljabar kuaternion, yang memuat bidang kompleks, persamaan x² = −1 mempunyai pemecahan tak terhinggal.

Pemangkatan ke bilangan bulat negatif

Pemangkatan ke bilangan real bukan nol dapat dikembangkan ke bilangan bulat negatif. Dibuat definisi bahwa x⁻¹ = 1/x, artinya didefinisikan bahwa pemangkatan suatu bilangan dengan pangkat −1 mempunyai efek yang sama dengan menghitung resiprokal. Definisi ini yang kemudian dikembangkan ke bilangan-bilangan bulat negatif melestarikan hukum eksponensial x^ax^b = x^{(a + b)} untuk bilangan-bilangan real a,b.