Kombinasi linear

Misalkan $V$ adalah ruang vektor atas bidang $F$ dan ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2$ adalah dua vektor dalam $V$. Kombinasi linear dari ${\overrightarrow{v}}_1$ dan ${\overrightarrow{v}}_2$ adalah vektor-vektor yang diperoleh melalui operasi perkalian skalar dan penjumlahan terhadap kedua vektor tersebut. Pada ruang vektor $V$ berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Artinya vektor ${\overrightarrow{v}}_1$ dan ${\overrightarrow{v}}_2$ dapat dikalikan dengan skalar $k,m\in F$, sehingga terbentuk $k{\overrightarrow{v}}_1$ dan $m{\overrightarrow{v}}_2$. Dengan menjumlah kedua vektor, diperoleh $k{\overrightarrow{v}}_1+m{\overrightarrow{v}}_2$. Vektor inilah yang disebut sebagai kombinasi linear dari ${\overrightarrow{v}}_1$ dan ${\overrightarrow{v}}_2$.

Definisi

Misalkan $F$ adalah bidang dan $V$ adalah ruang vektor atas lapangan $F$. Anggota-anggota $V$ disebut vektor dan anggota-anggota $F$ disebut skalar. Kombinasi linear dari vektor-vektor ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\dots ,{\overrightarrow{v}}_n$ adalah vektor-vektor yang dapat ditulis sebagai

$k_1{\overrightarrow{v}}_1+k_2{\overrightarrow{v}}_2+\dots +k_n{\overrightarrow{v}}_n$

untuk suatu skalar $k_1,k_2,\dots ,k_n\in F$.

Contoh

Ruang Vektor Euclidean

Himpunan ${ℝ}^2$ adalah ruang vektor atas lapangan $ℝ$. Vektor $(2,7)$ merupakan kombinasi linear dari ${\overrightarrow{e}}_1=(1,0)$ dan ${\overrightarrow{e}}_2=(0,1)$, sebab terdapat skalar $2,7\in ℝ$ sehingga

$(2,7)=2(1,0)+7(0,1)=2{\overrightarrow{e}}_1+7{\overrightarrow{e}}_2$

Lebih lanjut, setiap vektor dalam ${ℝ}^2$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $e_1$ dan $e_2$. Ini terjadi karena sebarang vektor $(x,y)\in {ℝ}^2$ dapat ditulis sebagai

$\begin{array}{cc}(x,y)& =(x,0)+(0,y)\\ & =x(1,0)+y(0,1)\\ & =x{\overrightarrow{e}}_1+y{\overrightarrow{e}}_2\end{array}$

Polinomial

Himpunan $P_2$ merupakan ruang vektor atas lapangan $ℝ$. Himpunan ini berisi polinomial-polinomial berderajat kurang dari atau sama dengan 2, di mana koefisiennya diambil dari $ℝ$. Misalkan $p_1=1+x^2$ dan $p_2=2x^2$. Apakah polinomial $1+x$ merupakan kombinasi linear dari $p_1$ dan $p_2$? Untuk menjawabnya, perlu diperiksa apakah terdapat skalar $k_1,k_2\in ℝ$ yang memenuhi persamaan

$1+x=k_1(1+x^2)+k_2(2x^2)$

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai

$1+1x+0x^2=k_1+0x+(k_1+2k_2)x^2$

Dua polinomial bernilai sama jika dan hanya jika koefisien suku-suku yang bersesuaian bernilai sama. Perhatikan bahwa koefisien suku yang memuat $x$ pada ruas kiri adalah 1, sedangkan koefisien pada ruas kanan adalah 0. Akibatnya, kedua polinomial tidak mungkin bernilai sama. Artinya, tidak ada skalar $k_1,k_2\in ℝ$ yang memenuhi persamaan

$1+x=k_1(1+x^2)+k_2(2x^2)$

Dengan demikian, $1+x$ bukan kombinasi linear dari $p_1$ dan $p_2$.

Pranala luar

• Templat:EnKombinasi Linear di MathWorld