Ukuran pencacahan

Templat:Short description Dalam matematika, lebih tepatnya teori ukur, ukuran pencacahan adalah cara yang intuitif untuk memberikan ukuran pada sembarang himpunan – "ukuran" dari suatu himpunan bagian ialah banyaknya elemen pada himpunan bagian tersebut, jika himpunan bagiannya merupakan himpunan berhingga, dan takhingga $\mathrm{\infty }$ jika himpunan bagiannya merupakan himpunan takhingga.

ukuran pencacahan dapat didefinisikan pada sembarang ruang terukur (yaitu, sembarang himpunan $X$ beserta suatu aljabar sigma) namun seringkali digunakan untuk himpunan terhitung.

Dengan notasi formal, setiap himpunan $X$ dapat diubah menjadi suatu ruang terukur dengan mengambil himpunan kuasa dari $X$ sebagai aljabar sigma $ℱ$; dengan kata lain, seluruh himpunan bagian dari $X$ merupakan himpunan terukur. Ukuran pencacahan $\mu$ pada ruang terukur $(X,ℱ)$ ini ialah suatu fungsi $\mu :ℱ\to [0,\mathrm{\infty }]$ dengan definisi $$\mu \left(A\right)=\{\begin{array}{cc}\left|A\right|& \text{jika }A\text{ himpunan berhingga}\\ \mathrm{\infty }& \text{jika }A\text{ himpunan takhingga}\end{array}$$ untuk setiap $A\in ℱ$, dengan $\left|A\right|$ menyatakan kardinalitas dari himpunan $A$.

Ukuran pencacahan pada $(X,ℱ)$ bersifat berhingga sigma jika dan hanya jika ruang $X$ merupakan himpunan terhitung.

Pengintegralan pada $\mathbb{N}$ dengan ukuran pencacahan

Diberikan suatu ruang ukuran $(\mathbb{N},𝒫\left(\mathbb{N}\right),\mu )$, dengan $𝒫\left(\mathbb{N}\right)$ menyatakan himpunan seluruh himpunan bagian dari $\mathbb{N}$ dan $\mu$ adalah ukuran pencacahan. Ambil sembarang fungsi terukur $f:\mathbb{N}\to [0,\mathrm{\infty }]$. Oleh karena fungsi $f$ terdefinisi pada $\mathbb{N}$, maka dengan menggunakan fungsi indikator, fungsi $f$ dapat dinyatakan titik-demi-titik sebagai $$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\left(x\right)\\ & =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^{k}f\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\left(x\right)\\ & =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_k\left(x\right)\end{array}$$ dengan $F_k\left(x\right):=\sum _{n=1}^{k}f\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\left(x\right)$. Perhatikan bahwa setiap fungsi $F_k$ merupakan fungsi terukur, dan berlaku pertidaksamaan $$\begin{array}{cc}f(k+1)\cdot 1_{\{k+1\}}\left(x\right)& \ge 0\\ (\sum _{n=1}^{k}f\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\left(x\right))+f(k+1)\cdot 1_{\{k+1\}}\left(x\right)& \ge \sum _{n=1}^{k}f\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\left(x\right)\\ F_{k+1}\left(x\right)& \ge F_k\left(x\right)\end{array}$$ Oleh karena setiap fungsi $F_k$ merupakan fungsi sederhana $$\begin{array}{cc}\underset{\mathbb{N}}{\int }{F}_k\left(x\right)\text{d}\mu & =\underset{\mathbb{N}}{\int }(\sum _{n=1}^{k}f\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\left(x\right))\text{d}\mu \\ & =\sum _{n=1}^{k}f\left(n\right)\mu \left(\left\{n\right\}\right)\\ & =\sum _{n=1}^{k}f\left(n\right)\cdot 1\\ & =\sum _{n=1}^{k}f\left(n\right)\end{array}$$ maka menurut teorema kekonvergenan monoton, $$\begin{array}{cc}\underset{\mathbb{N}}{\int }f\text{d}\mu & =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathbb{N}}{\int }{F}_k\text{d}\mu \\ & =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^{k}f\left(n\right)\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f\left(n\right)\end{array}$$

Konstruksi umum

Ukuran pencacahan merupakan kasus khusus dari suatu konstruksi umum. Dengan menggunakan notasi di atas, setiap fungsi $f:X\to [0,\mathrm{\infty })$ dapat digunakan untuk mendefinisikan ukuran $\mu$ pada ruang terukur $(X,ℱ)$ melalui $$\mu \left(A\right)=\sum _{a\in A}f\left(a\right)\text{ untuk setiap }A\subseteq X$$ Jika $A$ merupakan himpunan takterhitung, maka jumlahan takterhitung dari bilangan-bilangan riil didefinisikan sebagai supremum dari semua himpunan bagian berhingga, yaitu $$\sum _{c\in I\subseteq ℝ}c:=\underset{H\subseteq I,|H|<\mathrm{\infty }}{\sup }\left(\sum _{c\in H}c\right)$$ Jika $f(x)=1$ untuk setiap $x\in X$, maka $\mu$ merupakan ukuran pencacahan.

Lihat juga

• Ukuran pencacahan acak
• Fungsi himpunan