Identitas Sophie Germain

Dalam matematika, identitas Sophie Germain adalah faktorisasi polinomial yang dinamai dari Sophie Germain. Identitas ini mengatakan bahwa $$\begin{array}{cc}{x}^4+4y^4& =((x+y{)}^2+y^2)\cdot ((x-y{)}^2+y^2)\\ & =(x^2+2xy+2y^2)\cdot (x^2-2xy+2y^2).\end{array}$$ Selain penerapannya di dalam aljabar elementer, identitas ini juga dapat digunakan dalam teori bilangan untuk memfaktorkan bilangan bulat dari bentuk khusus $x^4+4y^4$, dan sering kali membentuk basis permasalahan di dalam kompetisi matematika.Templat:R

Sejarah

Walaupun identitas ini dikaitkan dengan Sophie Germain, tetapi identitas ini tidak terdapat di dalam karyanya. Dalam karyanya malahan identitas yang berkaitan dapat ditemukan dengan cara berikutTemplat:R $$\begin{array}{cc}{x}^4+y^4& =(x^2-y^2{)}^2+2(xy{)}^2\\ & =(x^2+y^2{)}^2-2(xy{)}^2.\\ \end{array}$$ Mengubah persamaan ini dengan mengalikan $y$ oleh $\sqrt{2}$ memberikan $$x^4+4y^4=(x^2+2y^2{)}^2-4(xy{)}^2,$$ sebuah ekspresi berupa selisih dari dua bilangan kuadrat, yang menghasilkan identitas Germain.Templat:R Ketidakakuratan mengenai keterkaitan identitas ini dengan Germain dibuat oleh Leonard Eugene Dickson dalam karyanya History of the Theory of Numbers. Di dalamnya lagi, ia mengatakan (lagi-lagi tidak akurat) bahwa identitas ini ditemukan dalam surat dari Leonhard Euler kepada Christian Goldbach.Templat:R

Identitas ini dengan mudah dapat dibuktikan, dengan cara mengalikan kedua suku faktorisasi bersama, serta membenarkan bahwa hasil kalinya sama dengan ruas kanan persamaan.Templat:R Sebuah bukti tanpa kata juga dapat dilakukan yang didasarkan pada banyak penerapan teorema Pythagoras.Templat:R

Penerapannya ke faktorisasi bilangan bulat

Suatu akibat dari identitas Germain adalah bahwa bilangan dengan bentuk $$n^4+4^n$$ tidak dapat berupa bilangan prima untuk $n>1$. (Untuk $n=1$, hasilnya memberikan bilangan prima 5.) Bilangan dengan bentuk tersebut tidak menghasilkan bilangan prima jika $n$ adalah bilangan genap, dan jika $n$ bilangan ganjil maka bilangan tersebut mempunyai faktorisasi yang diberikan oleh identitas dengan $x=n$ dan $y=2^{(n-1)/2}$.Templat:R Bilangan-bilangan tersebut (diawali dari $n=0$) membentuk barisan bilangan bulat Templat:Block indent Banyaknya kemunculan identitas Sophie Germain dalam kompetisi matematika berasal dari korolari.Templat:R

Adapun kasus istimewa dari identitas dengan $x=1$ dan $y=2^k$ dapat digunakan untuk menghasilkan faktorisasi $$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Phi }}_4(2^{2k+1})& =2^{4k+2}+1\\ & =(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1),\\ \end{array}$$ dengan ${\mathrm{\Phi }}_4(x)=x^2+1$ adalah polinomial siklotomik keempat. Sama halnya dengan polinomial siklotomik untuk lebih umum, ${\mathrm{\Phi }}_4$ adalah polinomial tak tereduksi, sehingga faktorisasi dari tak berhingganya nilainya ini tak dapat diperluas ke faktorisasi dari ${\mathrm{\Phi }}_4$ sebagai suatu polinomial. Karena itu, faktorisasi ini merupakan contoh dari faktorisasi aurifeuillean.Templat:R

Perumuman

Identitas Germain telah diperumum ke persamaan fungsional $$f(x{)}^2+4f(y{)}^2=(f(x+y)+f(y))(f(x-y)+f(y)).$$ Menurut identitas Sophie Germain, fungsi kuadrat memenuhi persamaan fungsional di atas.Templat:R