Akar satuan

Terdapat lima akar satuan di bidang kompleks. Akar-akar satuan tersebut ditandai dengan titik berwarna biru.

Dalam matematika, akar satuan (Templat:Lang-en),Templat:Efn berarti bahwa untuk sebarang bilangan kompleks akan menghasilkan 1 apabila dipangkatkan suatu bilangan bulat Templat:Mvar. Akar satuan digunakan pada berbagai cabang ilmu matematika, dan sangat penting untuk teori bilangan dan transformasi Fourier diskrit.

Definisi umum

Akar satuan ke-Templat:Mvar, dengan Templat:Mvar adalah bilangan bulat positif, adalah sebuah bilangan Templat:Mvar yang memenuhi persamaan

$z^n=1.$

Terdapat pengecualian bahwa kalau ditentukan, akar satuan dapat dianggap bilangan kompleks (termasuk bilangan 1, dan bilangan −1 jika Templat:Mvar itu genap, yang merupakan bilangan kompleks dengan bagian imajinernya 0), dan dalam kasus ini, akar satuan ke-Templat:Mvar ialah

$\exp \left(\frac{2k\pi i}{n}\right)=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n},k=0,1,\dots ,n-1.$

Sifat dasar

Setiap perpangkatan bilangan bulat dari akar satuan ke-Templat:Math juga merupakan akar satuan ke-Templat:Math, sebab

$(z^k{)}^n=z^{kn}=(z^n{)}^k=1^k=1.$

Hal ini juga berlaku untuk pangkat negatif. Lebih jelasnya, invers perkalian dari akar satuan ke-Templat:Math adalah konjugat kompleksnya, yang sama-sama merupakan akar satuan ke-Templat:Math:

$\frac{1}{z}=z^{-1}=1\cdot z^{-1}=z^n\cdot z^{-1}=z^{n-1}=\overline{z}.$

Sifat pada grup

Grup semua akar satuan

Hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan juga merupakan akar satuan. Bahkan, jika Templat:Math dan Templat:Math, maka Templat:Math, dan Templat:Math, dengan Templat:Math adalah kelipatan persekutuan terkecil dari Templat:Math dan Templat:Math.

Oleh karena itu, himpunan akar satuan membentuk grup abelian terhadap perkalian. group ini merupakan subgrup torsi dari grup lingkaran.

Grup akar satuan ke-Templat:Math

Untuk bilangan bulat Templat:Math, hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan ke-Templat:Math juga merupakan akar satuan ke-Templat:Math. Oleh karena itu, akar satuan ke-Templat:Math membentuk gruo abelian terhadap perkalian.

Ekspresi trigonometri

Rumus de Moivre, yang valid untuk setiap bilangan riil Templat:Mvar dan bilangan bulat Templat:Mvar, adalah

${(\cos x+i\sin x)}^n=\cos nx+i\sin nx.$

Substitusi Templat:Math menghasilkan akar satuan primitif ke-Templat:Mvar – yaitu

${(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n})}^n=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,$

akan tetapi

${(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n})}^k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}\ne 1$

untuk Templat:Math. Dengan kata lain,

$\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$

merupakan akar satuan primitif ke-Templat:Mvar.

Dalam bidang kompleks, rumus ini menunjukkan kalau akar satuan ke-Templat:Mvar berada pada sudut sebuah [[poligon beraturan|segi-Templat:Mvar beraturan]] di dalam lingkaran satuan, dengan satu sudut di 1 (lihat gambar Templat:Math dan Templat:Math di kanan).

Rumus Euler

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

yang valid untuk setiap bilangan riil Templat:Mvar, bisa digunakan untuk mengubah akar satuan ke-Templat:Mvar dalam bentuk

$e^{2\pi i\frac{k}{n}},0\le k<n.$

Grup siklik

Akar satuan ke-Templat:Mvar membentuk grup siklik dengan orde Templat:Mvar terhadap perkalian, dan bahkan grup ini mencakup semua subgrup berhingga dari grup perkalian dalam bidang kompleks.