Titik akumulasi

Templat:Short description Templat:Redirect Dalam matematika, titik limit, titik akumulasi, atau titik gugus dari suatu himpunan $H$ pada ruang topologis $X$ adalah suatu titik $x$ yang dapat "didekati" dengan titik-titik pada $H$, dalam artian bahwa setiap persekitaran dari $x$ memuat titik dari $H$ selain $x$ itu sendiri. Titik limit dari himpunan $H$ tidak harus termuat pada himpunan $H$.

Terdapat konsep yang berkaitan erat untuk barisan. Titik gugus atau titik akumulasi dari suatu barisan $⟨x_n⟩$ pada ruang topologis $X$ adalah suatu titik $x$ sedemikian sehingga, untuk setiap persekitaran $S$ dari $x$, terdapat takhingga banyaknya bilangan asli $n$ yang memenuhi $x_n\in S$. Definisi titik gugus atau titik akumulasi dari suatu barisan ini dapat diperumum untuk jaring dan filter.

Konsep bernama serupa mengenai titik limit dari suatu barisanTemplat:Sfn (berturut-turut, titik limit dari suatu filter,Templat:Sfn titik limit dari suatu jaring) berdasarkan definisi, mengacu kepada suatu titik sedemikian sehingga barisannya konvergen (berturut-turut, filternya konvergen, jaringnya konvergen) ke titik tersebut. Walaupun "titik limit dari suatu himpunan" bersinonim dengan "titik gugus/akumulasi dari suatu himpunan", hal ini tidaklah berlaku untuk barisan (maupun jaring ataupun filter). Dengan kata lain, "titik limit dari suatu barisan" bukanlah sinonim dari "titik gugus/akumulasi dari suatu barisan".

Titik limit jangan dikelirukan dengan titik adheren (yang dikenal juga sebagai titik penutup), yaitu suatu titik $x$ yang setiap persekitarannya memuat suatu titik dari himpunan $H$. Berbeda dengan titik limit, titik adheren $x$ pada $H$ mungkin saja memiliki suatu persekitaran yang tidak memuat titik selain $x$ itu sendiri. Titik limit dapat dikarakterkan sebagai titik adheren yang bukan merupakan titik terisolasi.

Titik limit juga jangan dikelirukan dengan titik batas. Sebagai contoh, $0$ merupakan titik batas (namun bukan merupakan titik limit) dari singleton $\left\{0\right\}$ pada $ℝ$ dengan topologi baku. Di sisi lain, $\frac{1}{2}$ merupakan titik limit (namun bukan merupakan titik batas) dari selang $[0,1]$ pada $ℝ$ dengan topologi baku. Untuk contoh titik limit yang tidak terlalu trivial, lihat takarir pertama.

Konsep ini memperumum gagasan limit, dan menunjang pengertian konsep-konsep seperti himpunan tertutup dan penutup himpunan. Suatu himpunan dikatakan tertutup jika dan hanya jika himpunan tersebut memuat semua titik limitnya, dan operasi penutup topologis dapat diartikan sebagai operasi yang memperkaya suatu himpunan dengan menggabungkan himpunan tersebut dengan titik-titik limitnya.

Definisi

Titik akumulasi dari himpunan

Terhadap topologi Euklides, barisan bilangan rasional $x_n={(-1)}^n\frac{n}{n+1}$ tidak memiliki limit (dengan kata lain, barisannya tidak konvergen), namun memiliki dua titik akumulasi (yang dianggap sebagai titik limit disini), yaitu $-1$ dan $1$. Akibatnya, dengan memandang suku barisannya sebagai suatu himpunan, kedua titik ini merupakan titik limit dari himpunan $H=\{{(-1)}^n\frac{n}{n+1}|n\in \mathbb{N}\}$.

Misalkan $H$ adalah himpunan bagian dari ruang topologis $X$. Suatu titik $x\in X$ disebut sebagai titik limit atau titik gugus atau Templat:Visible anchor $H$ jika setiap persekitaran dari $x$ memuat setidaknya satu titik pada $H$ selain $x$ itu sendiri.

Perhatikan bahwa tidak ada perbedaan jika persyaratan ini dibatasi hanya untuk persekitaran terbuka. Seringkali lebih mudah untuk menggunakan definisi versi "persekitaran terbuka" untuk menunjukkan bahwa suatu titik merupakan titik limit, dan kemudian menggunakan definisi versi "persekitaran secara umum" untuk mencari fakta/sifat dari titik limit tersebut.

Sebuah barisan yang mencacah semua bilangan rasional positif. Setiap bilangan riil merupakan titik gugus.

Jika $X$ merupakan ruang $T_1$ (seperti ruang metrik), maka $x\in X$ merupakan titik limit dari $H$ jika dan hanya jika setiap persekitaran dari $x$ memuat takhingga banyaknya titik pada $H$.Templat:Sfn Faktanya, ruang $T_1$ dikarakterkan oleh sifat ini.

Jika $X$ merupakan ruang metrik atau ruang pertama-terhitung (atau secara umum, ruang Fréchet–Urysohn), maka $x\in X$ merupakan titik limit dari $H$ jika dan hanya jika terdapat suatu barisan titik-titik pada $H\setminus \left\{x\right\}$ yang limitnya ialah $x$. Faktanya, ruang Fréchet–Urysohn dikarakterkan oleh sifat ini.

Himpunan seluruh titik limit dari $H$ disebut himpunan turunan dari $H$.

Titik akumulasi dapat dibedakan menjadi beberapa jenis, diantaranya:

1. Jika setiap persekitaran dari titik $x$ memuat takhingga banyaknya titik pada $H$, maka $x$ merupakan titik limit berjenis khusus yang disebut Templat:Visible anchor dari $H$.
2. Jika setiap persekitaran dari titik $x$ memuat takterhitung banyaknya titik pada $H$, maka $x$ merupakan titik limit berjenis khusus yang disebut titik kondensasi dari $H$.
3. Jika irisan dari himpunan $H$ dengan setiap persekitaran dari titik $x$ memiliki kardinalitas yang sama dengan kardinalitas $H$, maka $x$ merupakan titik limit berjenis khusus yang disebut Templat:Visible anchor dari $H$.

Titik akumulasi dari barisan dan jaring

Dalam ruang topologis $X$, titik $x\in X$ disebut sebagai Templat:Visible anchor atau Templat:Visible anchor $⟨x_n⟩$ jika untuk setiap persekitaran $S$ dari $x$, terdapat takhingga banyaknya $n\in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $x_n\in S$. Hal ini setara dengan mengatakan bahwa untuk setiap persekitaran $S$ dari $x$ dan untuk setiap $k\in \mathbb{N}$, terdapat suatu $n\ge k$ sedemikian sehingga $x_n\in S$. Jika $X$ merupakan ruang metrik atau ruang pertama-terhitung (atau secara umum, ruang Fréchet–Urysohn), maka $x$ merupakan titik gugus dari $⟨x_n⟩$ jika dan hanya jika $x$ merupakan limit dari suatu subbarisan dari $⟨x_n⟩$. Himpunan semuaa titik-titik gugus dari suatu barisan dikenal sebagai himpunan limit.

Perhatikan bahwa sudah terdapat gagasan mengenai limit barisan, yaitu suatu titik $x$ dimana barisan tersebut konvergen (yaitu, setiap persekitaran dari $x$ memuat seluruh kecuali berhingga banyaknya elemen barisannya). Itulah mengapa istilah titik limit dari suatu barisan bukanlah sinonim dari titik akumulasi dari barisan.

Konsep jaring memperumum konsep barisan. Jaring merupakan suatu fungsi $j:(P,\le )\to (X,T)$ dengan $(P,\le )$ merupakan himpunan berarah dan $(X,T)$ merupakan ruang topologis. Suatu titik $x\in X$ disebut sebagai [[Jaring (matematika)|Templat:Visible anchor]] atau [[Jaring (matematika)|Templat:Visible anchor]] $j$ jika, untuk setiap persekitaran $S$ dari titik $x$ dan untuk setiap $p\in P$, terdapat suatu $q\ge p$ sedemikian sehingga $j\left(q\right)\in S$, atau secara ekuivalen, jika $j$ memiliki subjaringan yang konvergen ke $x$. Titik gugus pada jaring mencakup gagasan mengenai titik kondensasi dan titik akumulasi ω. Penggugusan dan titik limit juga dapat didefinisikan untuk filter.

Sifat-sifat

Setiap limit dari barisan tak konstan merupakan titik akumulasi dari barisan tersebut, dan berdasarkan definisi, setiap titik limit merupakan titik adheren.

Penutup dari himpunan $H$ (yang ditulis sebagai $\bar{H}$) merupakan gabungan lepas dari himpunan titik-titik limitnya beserta himpunan titik-titik terisolasinya. Secara matematis, maka $$\bar{H}=L\left(H\right)\cup I\left(H\right)\text{dan}L\left(H\right)\cap I\left(H\right)=\varnothing$$

Jika $L\left(H\right)$ menyatakan himpunan titik-titik limit dari $H$, maka diperoleh karakterisasi lain dari penutup $H$. Karakterisasi ini terkadang digunakan sebagai definisi dari operator penutup himpunan. Templat:Math theorem Templat:Math proof

Akibat dari hasil di atas ialah karakterisasi lain dari himpunan tertutup, yang dinyatakan sebagai berikut Templat:Math theorem Templat:Math proof

Lihat juga

• Titik adheren
• Titik kondensasi
• Filter (topologi)
• Himpunan turunan (matematika)
• Titik terisolasi
• Limit fungsi
• Limit barisan
• Limit subbarisan

Referensi

• Templat:Springer

Pranala luar

• Templat:Planetmath reference