Lihat sumber Transpos

[[Berkas:Matrix_transpose.gif|ka|jmpl|257x257px|Matriks '''A'''<sup>T</sup> sebagai hasil transpos dari '''A''' dapat dicari dengan merefleksikan setiap elemennya sepanjang diagonal utamanya. Mengulangi langkah ini pada matriks hasil transpos akan menghasilkan matriks dengan setiap elemen kembali ke posisi awalnya.]]
Dalam [[aljabar linear]], '''transpos''' dari sebuah [[Matriks (matematika)|matriks]] adalah [[operator]] yang membalikkan posisi matriks sepanjang diagonal utamanya; dengan kata lain, operator ini menukar setiap baris dan kolom pada matriks {{math|'''A'''}}, menjadi kolom dan baris matriks baru, yang umum dikenal sebagai {{math|'''A'''<sup>T</sup>}}.<ref name=":02">{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2020-09-08}}</ref><ref>{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=The transpose of a matrix|url=https://mathinsight.org/matrix_transpose|website=Math Insight|access-date=September 8, 2020}}</ref> transpos dari sebuah matriks diperkenalkan pada tahun 1858 oleh matematikawan Inggris [[Arthur Cayley]].<ref>Arthur Cayley (1858) [https://books.google.com/books?id=flFFAAAAcAAJ&pg=PA31#v=onepage&q&f=false "A memoir on the theory of matrices"], ''Philosophical Transactions of the Royal Society of London'', '''148''' : 17–37.  The transpose (or "transposition") is defined on page 31.</ref>

== Transpos dari sebuah matriks ==
{{hatnote|Artikel ini mengasumsikan matriks berasal dari sebuah gelanggang komutatif. Hasil pada artikel ini mungkin tidak berlaku untuk kasus yang tidak komutatif.}}
=== Definisi ===
Transpos dari sebuah matriks {{math|'''A'''}}, yang dinyatakan sebagai {{math|'''A'''<sup>T</sup>}},<ref name=":02" /><ref name="Whitelaw19912">{{cite book|author=T.A. Whitelaw|date=1 April 1991|url=https://books.google.com/books?id=6M_kDzA7-qIC&q=transpose|title=Introduction to Linear Algebra, 2nd edition|publisher=CRC Press|isbn=978-0-7514-0159-2}}</ref> {{math|{{sup|⊤}}'''A'''}}, {{math|'''A'''{{sup|⊤}}}}, <math>A^{\intercal}</math>,<ref>{{Cite web|last=|first=|date=|title=Transpose of a Matrix Product (ProofWiki)|url=https://proofwiki.org/wiki/Transpose_of_Matrix_Product|website=ProofWiki|archive-url=|archive-date=|access-date=4 Feb 2021|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite web|date=|title=What is the best symbol for vector/matrix transpose?|url=https://tex.stackexchange.com/questions/30619/what-is-the-best-symbol-for-vector-matrix-transpose|website=[[Stack Exchange]]|archive-url=|archive-date=|access-date=4 Feb 2021|url-status=live}}</ref> {{math|'''A′'''}},<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Transpose|url=https://mathworld.wolfram.com/Transpose.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-09-08}}</ref> {{math|'''A'''<sup>tr</sup>}}, {{math|<sup>t</sup>'''A'''}}, atau {{math|'''A'''<sup>t</sup>}}, dapat dibentuk dengan tiga cara berikut:

# Merefleksikan {{math|'''A'''}} sepanjang [[diagonal utama]]nya untuk mendapatkan {{math|'''A'''<sup>T</sup>}};
# Menulis setiap baris dari {{math|'''A'''}} sebagai kolom dari {{math|'''A'''<sup>T</sup>}};
# Menulis setiap kolom dari {{math|'''A'''}} sebagai baris dari {{math|'''A'''<sup>T</sup>}}.

Secara lebih formal, elemen baris ke-{{mvar|i}} dan kolom ke-{{mvar|j}} dari {{math|'''A'''<sup>T</sup>}} adalah elemen baris ke-{{mvar|j}} dan kolom ke-{{mvar|i}} dari {{math|'''A'''}}:

: <math>\left[\mathbf{A}^\operatorname{T}\right]_{ij} = \left[\mathbf{A}\right]_{ji}.</math>

Jika {{math|'''A'''}} adalah matriks berukuran {{math|{{nowrap|''m'' × ''n''}}}}, maka matriks {{math|'''A'''<sup>T</sup>}} berukuran {{math|{{nowrap|''n'' × ''m''}}}}.

Untuk kasus matriks persegi, notasi {{math|'''A'''<sup>T</sup>}} juga dapat menyatakan pangkat {{math|T}} dari matriks {{math|'''A'''}}. Untuk menghindari kerancuan ini, banyak penulis menggunakan tika atas kiri, yakni, mereka menulis transpos sebagai {{math|<sup>T</sup>'''A'''}}. Notasi ini menguntungkan karena tanda kurung tidak diperlukan untuk operasi yang melibatkan perpangkatan, karena {{math|1=({{sup|T}}'''A'''){{sup|''n''}} = {{sup|T}}('''A'''{{sup|''n''}})}}: menulis {{math|{{sup|T}}'''A'''{{sup|''n''}}}} tidak menimbulkan kerancuan.

Artikel ini menghindari kerancuan tersebut dengan tidak pernah menggunakan simbol {{math|T}} sebagai nama [[Variabel (matematika)|variabel]].

Terdapat beberapa definisi matriks yang melibatkan transpos:
{| class="wikitable"
|+
!Nama matriks
!Kondisi
!Definisi
|-
|[[Matriks simetrik|Simetrik]]
|<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \mathbf{A}</math>
|Matriks persegi dengan hasil transposnya berupa dirinya sendiri
|-
|''Skew-symmetric''
|<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = -\mathbf{A}</math>
|Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan negatif dari dirinya sendiri
|-
|[[Matriks Hermite|Hermite]]
|<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \overline{\mathbf{A}}</math>
|Matriks persegi dengan setiap elemen hasil transposnya adalah [[konjugat kompleks]] dari elemen pada posisi yang sama.
Hal ini sama dengan mengatakan matriks persegi tersebut sama dengan transpos konjugatnya.
|-
|[[Matriks ortogonal|Ortogonal]]
|<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \mathbf{A}^{-1}</math>
|Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan [[Matriks yang dapat dibalik|invers]] dirinya sendiri
|-
|[[Matriks uniter|Uniter]]
|<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \overline{\mathbf{A}^{-1}}</math>
|Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan invers konjugat dari dirinya sendiri.
|}

=== Contoh ===

* <math>\begin{bmatrix}
    1 & 2
  \end{bmatrix}^{\operatorname{T}}
  = \,
  \begin{bmatrix}
    1   \\
    2
  \end{bmatrix}
</math>

* <math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 2  \\
    3 & 4
  \end{bmatrix}^{\operatorname{T}}
  =
  \begin{bmatrix}
    1 & 3  \\
    2 & 4
  \end{bmatrix}
</math>

* <math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 2 \\
    3 & 4 \\
    5 & 6
  \end{bmatrix}^{\operatorname{T}}
  =
  \begin{bmatrix}
     1 & 3 & 5\\
     2 & 4 & 6
  \end{bmatrix}
</math>

=== Sifat ===
Misal {{math|'''A'''}} dan {{math|'''B'''}} adalah matriks dan {{mvar|c}} adalah sebuah [[skalar]]. Berikut adalah beberapa sifat dari operator transpos:{{ordered list|<math>\left(\mathbf{A}^\operatorname{T} \right)^\operatorname{T} = \mathbf{A}.</math>
:Operasi transpos adalah sebuah [[Involusi (matematika)|involusi]].|<math>\left(\mathbf{A} + \mathbf{B}\right)^\operatorname{T} = \mathbf{A}^\operatorname{T} + \mathbf{B}^\operatorname{T}.</math>
:Transpos memenuhi sifat [[Penjumlahan matriks|penjumlahan]].|<math>\left(\mathbf{A B}\right)^\operatorname{T} = \mathbf{B}^\operatorname{T} \mathbf{A}^\operatorname{T}.</math>
:Perhatikan bahwa urutan perkalian dibalik. Dari hasil ini dapat disimpulkan [[matriks persegi]] {{math|'''A'''}}  [[matriks yang dapat dibalik|dapat dibalik]] jika dan hanya jika {{math|'''A'''<sup>T</sup>}} dapat dibalik, dan dalam kasus ini didapatkan {{math|('''A'''<sup>−1</sup>)<sup>T</sup> {{=}} ('''A'''<sup>T</sup>)<sup>−1</sup>}}.  Dengan induksi, hasil ini dapat diperumum untuk kasus beberapa matriks, yakni {{math|('''A'''<sub>1</sub>'''A'''<sub>2</sub>...'''A'''<sub>''k''−1</sub>'''A'''<sub>''k''</sub>)<sup>T</sup>&nbsp;{{=}}&nbsp;'''A'''<sub>''k''</sub><sup>T</sup>'''A'''<sub>''k''−1</sub><sup>T</sup>…'''A'''<sub>2</sub><sup>T</sup>'''A'''<sub>1</sub><sup>T</sup>}}.|<math>\left(c \mathbf{A}\right)^\operatorname{T} = c \mathbf{A}^\operatorname{T}.</math>
:Transpos dari sebuah skalar menghasilkan skalar yang sama. Bersama dengan (2), sifat ini menyatakan transpos adalah [[peta linear]] dari [[Ruang vektor|ruang]] matriks ukuran {{math|{{nowrap|''m'' × ''n''}}}} ke ruang matriks ukuran {{math|{{nowrap|''n'' × ''m''}}}}.|<math>\det\left(\mathbf{A}^\operatorname{T}\right) = \det(\mathbf{A}).</math>
:Nilai [[determinan]] dari matriks persegi sama dengan nilai determinan dari transposnya.|[[Perkalian titik]] dari dua vektor kolom {{math|'''a'''}} dan {{math|'''b'''}} dapat dihitung sebagai perkalian matriks:
:<math>\left[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \right] = \mathbf{a}^{\operatorname{T}} \mathbf{b},</math>
atau juga dapat ditulis sebagai {{math|'''a'''<sub>''i''</sub> '''b'''<sup>''i''</sup>}} dalam [[notasi Einstein]].|Jika semua elemen {{math|'''A'''}} adalah bilangan real, maka {{math|'''A'''<sup>T</sup>'''A'''}} adalah [[matriks semidefinit-positif]].|<math>\left(\mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^{-1} = \left(\mathbf{A}^{-1}\right)^\operatorname{T}.</math>
: Transpos dari matriks yang dapat dibalik juga berupa matriks yang dapat dibalik, dan inversnya adalah transpos dari invers matriks awalnya. Notasi  {{math|'''A'''<sup>−T</sup>}} terkadang digunakan untuk mewakili kedua ekpresi yang setara tersebut.|Jika {{math|'''A'''}} adalah matriks persegi, maka [[Nilai dan vektor Eigen|nilai-nilai eigennya]] sama dengan nilai-nilai eigen dari transposnya, karena mereka berdua memiliki [[polinomial karakteristik]] yang sama.}}

=== Hasil kali ===
Jika matriks {{math|'''A'''}} berukuran {{math|{{nowrap|''m'' × ''n''}}}} dan {{math|'''A'''<sup>T</sup>}} adalah transposnya, maka hasil [[perkalian matriks]] antara keduanya menghasilkan dua matriks persegi: {{math|'''A A'''<sup>T</sup>}} yang berukuran {{math|{{nowrap|''m'' × ''m''}}}} dan {{math|'''A'''<sup>T</sup> '''A'''}} yang berukuran {{math|{{nowrap|''n'' × ''n''}}}}. Lebih lanjut, kedua matriks ini [[Matriks simetrik|simetrik]]. Elemen-elemen pada hasil perkalian matriks {{math|'''A A'''<sup>T</sup>}} adalah [[Ruang hasil kali dalam|hasil kali dalam]] baris dari {{math|'''A'''}} dengan kolom dari {{math|'''A'''<sup>T</sup>}}. Namun karena kolom pada {{math|'''A'''<sup>T</sup>}} adalah baris pada {{math|'''A'''}}, setiap elemen di {{math|'''A A'''<sup>T</sup>}} adalah hasil kali dalam dua baris matriks {{math|'''A'''}}. Jika {{mvar|p<sub>i j</sub>}} adalah elemen di matriks hasil perkalian, nilainya berasal dari baris ke-{{mvar|i}} dan ke-{{mvar|j}} di {{math|'''A'''}}. Nilai elemen {{mvar|p<sub>j i</sub>}} juga didapatkan dari kedua baris yang sama, sehingga {{math|''p''<sub>i j</sub> {{=}} ''p''<sub>j i</sub>}}, dan menyebabkan {{math|'''A A'''<sup>T</sup>}} simetris. Dengan alasan yang serupa, hasil perkalian {{math|'''A'''<sup>T</sup> '''A'''}} juga matriks simetris.

Bukti yang lebih cepat mengenai kesimetrisan matriks {{math|'''A A'''<sup>T</sup>}} didapatkan dari fakta transpos matriks tersebut adalah dirinya sendiri:

: <math>\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^\operatorname{T} = \left(\mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^\operatorname{T} \mathbf{A}^\operatorname{T}= \mathbf{A} \mathbf{A}^\operatorname{T} .</math><ref>[[Gilbert Strang]] (2006) ''Linear Algebra and its Applications'' 4th edition, page 51, Thomson [[Brooks/Cole]] {{ISBN|0-03-010567-6}}</ref>

=== Implementasi transpos matriks di komputer ===
[[Berkas:Row_and_column_major_order.svg|jmpl|Ilustrasi dua cara mengakses matriks di memori komputer.]]
Di [[komputer]], kita dapat menghindari melakukan transpos matriks secara eksplisit di [[Memori (komputer)|memori]] cukup dengan mengakses data dalam urutan yang berbeda. Sebagai contoh, [[Pustaka (perangkat lunak)|pustaka]] untuk [[aljabar linear]], seperti [[BLAS]], umumnya menyediakan pilihan untuk menyatakan sebuah matriks perlu dibaca dalam urutan operasi transpos, untuk menghindari perpindahan data yang tidak diperlukan.

Namun, ada beberapa keadaan yang mengharuskan atau menguntungkan untuk melakukan transpos matriks secara eksplisit di memori. Sebagai contoh, matriks yang disimpan dalam ''row-major order'', memiliki baris matriks yang ''contiguous'' di memori, namun kolom matriksnya tidak. Jika matriks banyak melakukan operasi yang melibat kolom-kolom, sebagai contoh algoritme [[transformasi Fourier cepat]], melakukan transpos matriks agar kolom-kolomnya ''contiguous'' mungkin dapat meningkatkan peformanya karena ''memory locality'' yang tinggi.

Idealnya, kita mengharapkan operasi transpos dilakukan dengan menggunakan penyimpanan sementara yang sedikit. Hal ini berujung pada permasalahan melakukan transpos matriks berukuran ''n''&nbsp;×&nbsp;''m'' ''in-place'', dengan [[Notasi O besar|O(1)]] penyimpanan sementara yang jauh lebih kecil daripada ''mn''. Pada kasus ''n''&nbsp;≠&nbsp;''m'', hal ini melibatkan [[permutasi]] elemen-elemen matriks yang rumit dan tidak mudah diterapkan secara ''in-place''. Karena hal itu, metode transpos matriks ''in-place'' yang efisien banyak diteliti pada bidang [[ilmu komputer]] mulai pada akhir tahun 1950-an. Beberapa [[Algoritma|algoritme]] telah dikembangkan dalam hal tersebut.

== Referensi ==
{{reflist}}

== Daftar pustaka ==

* {{Bourbaki Algebra I Chapters 1-3 Springer}}
* {{citation|first=Paul|last=Halmos|author-link=Paul Halmos|title=Finite dimensional vector spaces|publisher=Springer|year=1974|isbn=978-0-387-90093-3}}.
* {{cite book|last=Maruskin|first=Jared M.|year=2012|url={{Google books |plainurl=yes |id=aOF3-hx3u1kC |page=122 }}|title=Essential Linear Algebra|location=San José|publisher=Solar Crest|isbn=978-0-9850627-3-6|pages=122–132}}
* {{Schaefer Wolff Topological Vector Spaces|edition=2}}<!--{{sfn | Schaefer | Wolff | 1999 | p=}}-->
* {{Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels}}<!--{{sfn | Trèves | 2006 | p=}}-->
* {{cite book|last=Schwartz|first=Jacob T.|year=2001|url={{Google books |plainurl=yes |id=fMG3y1z9Jw0C |page=126}}|title=Introduction to Matrices and Vectors|location=Mineola|publisher=Dover|isbn=0-486-42000-0|pages=126–132}}

== Pranala luar ==

* Gilbert Strang (Spring 2010) [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/ Linear Algebra] dari MIT Open Courseware

{{aljabar linear}}{{Tensor}}

[[Kategori:Matriks]]
[[Kategori:Aljabar abstrak]]
[[Kategori:Aljabar linear]]