Lihat sumber Teori bilangan aljabar

{{Periksa terjemahan|en|Algebraic number theory}}

{{Ring theory sidebar}}
[[Gambar:Disqvisitiones-800.jpg|thumb|Halaman judul edisi pertama [[Disquisitiones Arithmeticae]], salah satu karya pendiri teori bilangan aljabar modern.]]

'''Teori bilangan aljabar''' adalah cabang dari [[teori bilangan]] yang menggunakan teknik [[aljabar abstrak]] untuk mempelajari [[bilangan bulat]], [[bilangan rasional]], dan generalisasinya. Soal-soal berteori bilangan dinyatakan dalam properti objek aljabar seperti [[bidang bilangan aljabar]] dan [[gelanggang bilangan bulat]], [[bidang berhingga]], dan [[Fungsi aljabar]]. Properti ini, seperti apakah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] mengakui [[faktorisasi]] unik, perilaku [[ideal (teori gelanggang)|ideal]], dan [[Galois grup]] dari [[bidang (matematika)|bidang]], dapat menyelesaikan pertanyaan yang sangat penting dalam teori bilangan, seperti keberadaan solusi untuk [[persamaan Diofantin]].

== Sejarah teori bilangan aljabar ==

=== Diophantus ===
Awal mulanya teori bilangan aljabar dapat ditelusuri kembali dari persamaan Diophantine.<ref>Stark, pp. 145–146.</ref> Nama dari persamaan tersebut diambil dari seorang ahli matematika [[Aleksandria]] pada abad ke-3, [[Diophantus]], yang mempelajarinya dan mengembangkan metode untuk solusi dari beberapa jenis persamaan Diophantine. Masalah Diophantine yang khas meminta untuk menemukan dua buah bilangan bulat <math> x </math> dan <math> y </math> sehingga jumlahnya beserta jumlah dari kuadratnya, masing-masing sama dengan dua bilangan <math> A </math> dan <math> B </math>.

<math display="block">
 \begin{align}
 A &= x + y \\
 B &= x^2 + y^2.
 \end{align}
</math>

Persamaan Diophantine telah dipelajari selama ribuan tahun. Sebagai contoh, solusi untuk persamaan Diophantine kuadratik <math> x^2 = y^2 = z^2 </math> yang dinyatakan sebagai [[tripel Pythagoras]], sudah terpecahkan oleh bangsa Babilonia (c. 1800 SM).<ref>Aczel, pp. 14–15.</ref> Sementara itu, solusi untuk persamaan Diophantime linear, seperti <math> 26x + 65y = 13 </math>, dapat ditemukan dengan menggunakan [[algoritma Euklides]] (c. abad ke-5 SM).<ref>Stark, pp. 44–47.</ref>

Karya utama Diophantus adalah ''[[Aritmetika]]'', yang hanya sebagian yang bertahan.

=== Fermat ===
[[Teorema Terakhir Fermat]] pertama kali [[diduga]] oleh [[Pierre de Fermat]] pada tahun 1637. Dugaan teorema itu terkenal di margin salinan yang berjudul '' Arithmetica'', dan di dalamnya dikatakan dia memiliki bukti yang terlalu besar untuk disesuaikan. Tidak ada bukti yang berhasil diterbitkan sampai 1995 meskipun upaya matematikawan yang tak terhitung jumlahnya selama 358 tahun terjadi. Masalah yang belum terpecahkan tersebut mendorong perkembangan teori bilangan aljabar di abad ke-19 dan bukti [[teorema modularitas]] di abad ke-20.

=== Gauss ===
Salah satu karya pendiri teori bilangan aljabar, ''Disquisitiones Arithmeticae'' adalah buku teks mengenai teori bilangan yang ditulis dalam [[bahasa Latin]].<ref>{{citation
 | first = Carl Friedrich | last = Gauss
 | first2 = William C. | last2 = Waterhouse
 | title = Disquisitiones Arithmeticae
 | url = https://books.google.com/books?id=DyFLDwAAQBAJ
 | date = 2018
 | origyear = 1966
 | publisher = Springer
 | isbn = 978-1-4939-7560-0}}</ref> Buku itu ditulis oleh [[Carl Friedrich Gauss]] pada tahun 1798 saat Gauss berusia 21 tahun, dan diterbitkan pada tahun 1801 untuk pertama kalinya saat Gauss berusia 24 tahun. Di dalam bukunya, Gauss menyatukan hasil dalam teori bilangan yang didapatkan oleh matematikawan seperti Fermat, [[Leonhard Euler|Euler]], [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] dan [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]]; ia menambahkan hasil baru pentingnya sendiri. Sebelum diterbitkannya ''Disquisitiones'', teori bilangan terdiri dari kumpulan teorema dan dugaan yang terisolasi. Gauss menyatukan karya milik para pendahulunya dengan karya aslinya sendiri ke dalam kerangka yang sistematis, mengisi celah, mengoreksi bukti yang tidak masuk akal, dan memperluas subjek dengan berbagai cara.

''Disquisitiones'' adalah titik awal untuk karya matematikawan Eropa di abad kesembilan belas lainnya. Matematikawan pada kala itu di antaranya adalah [[Ernst Kummer]], [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] dan [[Richard Dedekind]]. Banyak anotasi yang diberikan oleh Gauss pada dasarnya merupakan pengumuman tentang penelitiannya lebih lanjut, beberapa di antaranya tetap tidak diterbitkan. Mereka tampaknya sangat samar bagi orang-orang sezamannya; kita sekarang dapat membacanya sebagai mengandung kuman dari teori [[L-fungsi]] dan [[perkalian kompleks]], khususnya.

=== Dirichlet ===
Dalam beberapa makalah pada tahun 1838 dan 1839, [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] membuktikan [[rumus bilangan kelas]], untuk [[bentuk kuadratik]] (yang kemudian diperbaiki oleh muridnya [[Leopold Kronecker]]). Rumus tersebut, yang disebut Jacobi sebagai hasil "[yang] menyentuh kecerdasan manusia sepenuhnya", membuka jalan bagi hasil yang serupa mengenai [[lapangan bilangan]] yang lebih umum.<ref name=Elstrodt>{{citation | last = Elstrodt | first = Jürgen | journal = Clay Mathematics Proceedings | title = The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) | year = 2007 | url = http://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss-dirichlet/elstrodt-new.pdf | format = [[PDF]] | doi =  | accessdate = 2007-12-25 | archive-date = 2021-05-22 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210522140235/https://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss-dirichlet/elstrodt-new.pdf | dead-url = yes }}</ref> Berdasarkan penelitiannya tentang struktur [[grup satuan]] [[bidang kuadratik]], ia membuktikan [[teorema satuan Dirichlet]], sebuah hasil fundamental dalam teori bilangan aljabar.<ref name=Kanemitsu>{{citation | last = Kanemitsu| first = Shigeru|author2=Chaohua Jia| title=Number theoretic methods: future trends | year=2002| publisher=Springer| location  = | isbn= 978-1-4020-1080-4| pages= 271–4}}</ref>

Dia pertama-tama menggunakan [[prinsip lubang merpati]], argumen penghitungan dasar, dalam bukti teorema di [[perkiraan diophantine]], kemudian dinamai menurut namanya [[teorema pendekatan Dirichlet]]. Dia menerbitkan kontribusi penting untuk teorema terakhir Fermat, yang membuktikan kasus ''n''&nbsp;=&nbsp;5 dan ''n''&nbsp;=&nbsp;14, dan pada [[hukum timbal balik kuartik|hukum timbal balik bikuadratik]].<ref name=Elstrodt/> [[Masalah pembagi dirichlet]], yang dia temukan hasil pertamanya, masih merupakan masalah yang belum terpecahkan dalam teori bilangan meskipun kemudian ada kontribusi dari peneliti lain.

=== Dedekind ===
[[Richard Dedekind]] studi tentang karya Lejeune Dirichlet adalah apa yang membawanya ke studi selanjutnya tentang bidang bilangan aljabar dan cita-cita. Pada tahun 1863, ia menerbitkan kuliah Lejeune Dirichlet tentang teori bilangan sebagai ''[[Vorlesungen über Zahlentheorie]]'' ("Kuliah tentang Teori Bilangan") tentang yang telah dituliskan bahwa:
<blockquote>"Meskipun buku itu pasti didasarkan pada ceramah Dirichlet, dan meskipun Dedekind sendiri merujuk buku itu sepanjang hidupnya sebagai Dirichlet, buku itu sendiri seluruhnya ditulis oleh Dedekind, sebagian besar setelah kematian Dirichlet." (Edwards 1983)</blockquote>

Edisi 1879 dan 1894 dari ''Vorlesungen'' termasuk suplemen yang memperkenalkan gagasan ideal, fundamental untuk [[Gelanggang (aljabar)|teori gelanggang]]. (Kata "Gelanggang", yang kemudian diperkenalkan oleh [[David Hilbert|Hilbert]], tidak muncul dalam karya Dedekind.) Dedekind mendefinisikan ideal sebagai bagian dari himpunan angka, terdiri dari [[bilangan bulat aljabar]] yang memenuhi persamaan polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Konsep ini mengalami pengembangan lebih lanjut di tangan Hilbert dan, terutama, [[Emmy Noether]]. Cita-cita menggeneralisasi [[bilangan ideal]] Ernst Eduard, yang dirancang sebagai bagian dari upaya Kummer tahun 1843 untuk membuktikan Teorema Terakhir Fermat.

=== Hilbert ===
[[David Hilbert]] menyatukan bidang teori bilangan aljabar dengan risalahnya pada tahun 1897 ''[[Zahlbericht]]'' (secara harfiah berarti "laporan angka"). Dia juga menyelesaikan teori bilangan signifikan [[masalah Waring|masalah yang dirumuskan oleh Waring]] pada tahun 1770. Seperti [[#Teorema keterbatasan|teorema keterbatasan]], ia menggunakan bukti keberadaan yang menunjukkan bahwa harus ada solusi untuk masalah tersebut daripada menyediakan mekanisme untuk menghasilkan jawaban.<ref>{{citation |last=Reid |first=Constance |year=1996 |title=Hilbert |publisher=[[Springer Science and Business Media|Springer]] |isbn=0-387-94674-8}}</ref> Dia kemudian memiliki lebih sedikit untuk dipublikasikan tentang subjek; Namun munculnya [[bentuk modular Hilbert]] dalam disertasi seorang mahasiswa berarti namanya lebih melekat pada suatu bidang utama.

Dia membuat serangkaian dugaan tentang [[teori bidang kelas]]. Konsepnya sangat berpengaruh, dan kontribusinya sendiri tetap hidup dalam nama [[bidang kelas Hilbert]] dan [[simbol Hilbert]] [[teori bidang kelas lokal]]. Hasilnya sebagian besar dibuktikan pada tahun 1930, setelah dikerjakan oleh [[Teiji Takagi]].<ref>Karya ini menjadikan Takagi sebagai matematikawan Jepang pertama yang bertaraf internasional.</ref>

=== Artin ===
[[Emil Artin]] menetapkan [[Hukum timbal balik Artin]] dalam serangkaian makalah (1924; 1927; 1930). Hukum ini merupakan teorema umum dalam teori bilangan yang merupakan bagian sentral dari teori medan kelas global.<ref>{{citation |authorlink=Helmut Hasse |first=Helmut |last=Hasse |chapter=History of Class Field Theory |title={{harvnb|Cassels|Frölich|2010}} |pages=266–279}}</ref> Istilah "[[hukum timbal balik (matematika)|hukum timbal balik]]" mengacu pada garis panjang pernyataan teoretis bilangan yang lebih konkret yang digeneralisasikan, dari [[hukum timbal balik kuadrat]] dan hukum timbal balik dari [[Gotthold Eisenstein|Eisenstein]] dan rumus produk Kummer pada Hilbert untuk [[simbol Hilbert|simbol norma]]. Hasil Artin memberikan solusi parsial untuk [[masalah kesembilan Hilbert]].

=== Teori modern ===
Sekitar tahun 1955, matematikawan Jepang [[Goro Shimura]] dan [[Yutaka Taniyama]] mengamati kemungkinan hubungan antara dua yang tampaknya sangat berbeda, cabang matematika, [[kurva elips]] dan [[bentuk modular]]. [[Teorema modularitas]] yang dihasilkan (pada waktu itu dikenal sebagai dugaan Taniyama-Shimura) menyatakan bahwa setiap [[kurva eliptik]] adalah [[kurva elips modular|modular]], artinya dapat dikaitkan dengan [[bentuk modular]] unik.

Awalnya dianggap tidak mungkin atau sangat spekulatif, dan dianggap lebih serius ketika ahli teori nomor [[André Weil]] menemukan bukti yang mendukungnya, tetapi tidak ada bukti; Akibatnya "luar biasa"<ref name="Singh">{{citation |title=[[Fermat's Last Theorem (book)|Fermat's Last Theorem]] |authorlink=Simon Singh |first=Simon |last=Singh |year=1997 |isbn=1-85702-521-0}}</ref> Dugaan ini sering dikenal sebagai dugaan Taniyama – Shimura-Weil. Ini menjadi bagian dari [[Program Langlands]], daftar dugaan penting yang perlu dibuktikan atau dibongkar.

Dari 1993 hingga 1994, [[Andrew Wiles]] memberikan bukti [[teorema modularitas]] untuk [[kurva elips semistabel]], yang, bersama-sama dengan [[teorema Ribet]], memberikan bukti untuk Theo Terakhir Fermat. Hampir setiap ahli matematika pada saat itu sebelumnya menganggap Teorema Terakhir Fermat dan Teorema Modularitas tidak mungkin atau hampir tidak mungkin untuk dibuktikan, bahkan diberi perkembangan paling canggih. Wiles pertama kali mengumumkan buktinya pada Juni 1993<ref name=nyt>{{cite news|last=Kolata|first=Gina|title=At Last, Shout of 'Eureka!' In Age-Old Math Mystery|url=https://www.nytimes.com/1993/06/24/us/at-last-shout-of-eureka-in-age-old-math-mystery.html|accessdate=21 Januari 2013|newspaper=The New York Times|date=24 June 1993}}</ref> dalam versi yang segera dikenali memiliki celah serius pada poin kunci. Buktinya dikoreksi oleh Wiles, sebagian bekerja sama dengan [[Richard Taylor (matematikawan)|Richard Taylor]], dan versi terakhir yang diterima secara luas dirilis pada September 1994, dan secara resmi diterbitkan pada 1995. Pembuktiannya menggunakan banyak teknik dari [[geometri aljabar]] dan teori bilangan, dan memiliki banyak percabangan dalam cabang-cabang matematika ini. Ia juga menggunakan konstruksi standar geometri aljabar modern, seperti [[kategori (matematika)|kategori]] dari [[skema (matematika)|skema]] dan [[teori Iwasawa]], dan teknik abad ke-20 lainnya tidak tersedia untuk Fermat.

== Pengertian dasar ==

=== Kegagalan faktorisasi unik ===
Sifat penting dari gelanggang bilangan bulat adalah memenuhi [[teorema dasar aritmetika]], teorema yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat (positif) memiliki faktorisasi menjadi hasil kali [[bilangan prima]], dan faktorisasi ini unik hingga urutan faktor-faktornya. Ini mungkin tidak lagi benar di gelanggang bilangan bulat {{math|''O''}} dari bidang bilangan aljabar {{math|''K''}}.

Sebuah '' elemen utama '' adalah elemen {{math | '' p ''}} dari {{math | '' O ''}} sedemikian rupa sehingga jika {{math | '' p ''}} membagi hasil kali {{math | '' ab ''}}, lalu membagi salah satu faktor {{math | '' a ''}} atau {{math|''b''}}. Properti ini terkait erat dengan primalitas dalam bilangan bulat, karena [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] apa pun yang memenuhi properti ini adalah {{math | 1}} atau bilangan prima. Namun, itu sangat lemah. Misalnya, {{math | -2}} bukanlah bilangan prima karena negatif, tetapi merupakan elemen prima. Jika faktorisasi menjadi elemen prima diperbolehkan, maka, bahkan dalam bilangan bulat, ada faktorisasi alternatif seperti
:<math>6 = 2 \cdot 3 = (-2) \cdot (-3).</math>
Secara umum, jika {{math | '' u ''}} adalah [[satuan (teori gelanggang)|satuan]], artinya bilangan dengan pembalikan perkalian di {{math|''O''}}, dan jika {{math | '' p ''}} adalah elemen prima, maka {{math | '' up ''}} juga merupakan elemen prima. Angka-angka seperti {{math | '' p ''}} dan {{math | '' up ''}} dikatakan sebagai '' sekutu ''. Dalam bilangan bulat, bilangan prima {{math | '' p ''}} dan {{math | -'' p ''}} adalah asosiasi, tetapi hanya satu yang positif. Mewajibkan bilangan prima positif memilih elemen unik dari antara kumpulan elemen prima terkait. Ketika '' K '' bukan angka rasional, bagaimanapun, tidak ada analog dari kepositifan. Misalnya, di [[Gaussian integers]] {{math|'''Z'''[''i'']}},<ref>Notasi ini menunjukkan cincin yang diperoleh dari '''Z''' oleh [[Wiktionary:adjoin|yg terletak di antara]] pada '''Z''' the element ''i''.</ref> bilangan {{math|1 + 2''i''}} dan {{math|&minus;2 + ''i''}} diasosiasikan karena yang terakhir adalah produk dari yang pertama oleh {{math | '' i ''}}, tetapi tidak ada cara untuk memilih salah satu sebagai lebih kanonis daripada yang lain. Ini mengarah ke persamaan seperti
:<math>5 = (1 + 2i)(1 - 2i) = (2 + i)(2 - i),</math>
yang membuktikan {{math|'''Z'''[''i'']}}, tidak benar bahwa faktorisasi bersifat unik hingga urutan faktor-faktornya. Untuk alasan ini, seseorang mengadopsi definisi faktorisasi unik yang digunakan dalam [[domain faktorisasi unik]] (DFU). Dalam DFU, elemen prima yang terjadi dalam faktorisasi hanya diharapkan unik hingga unit dan urutannya.

Namun, bahkan dengan definisi yang lebih lemah ini, banyak cincin bilangan bulat dalam bidang bilangan aljabar tidak menerima faktorisasi unik. Ada halangan aljabar yang disebut kelompok kelas ideal. Ketika kelompok kelas yang ideal adalah sepele, cincinnya adalah DFU. Jika tidak, ada perbedaan antara elemen utama dan [[elemen tak tersederhanakan]]. Sebuah '' elemen yang tidak dapat direduksi '' {{math | '' x ''}} adalah elemen yang jika {{math|1=''x'' = ''yz''}}, maka {{math | '' y ''}} atau {{math | '' z ''}} adalah satuan. Ini adalah elemen yang tidak dapat difaktorkan lebih jauh. Setiap elemen dalam '' O '' mengakui faktorisasi menjadi elemen yang tidak dapat direduksi, tetapi dapat menerima lebih dari satu. Ini karena, meskipun semua elemen utama tidak dapat direduksi, beberapa elemen yang tidak dapat direduksi mungkin bukan prima. Misalnya, perhatikan cincinnya {{math|'''Z'''[√{{Overline|-5}}]}}.<ref>Notasi ini menunjukkan cincin yang diperoleh dari '''Z''' [[Wiktionary:adjoin|berdampingan]] pada '''Z''' elemen {{math|√{{Overline|-5}}}}.</ref> Di ring ini, angka {{math|3}}, {{math|2 + √{{Overline|-5}}}} dan {{math|2 - √{{Overline|-5}}}} tidak bisa direduksi. Ini berarti bilangan {{math | 9}} memiliki dua faktorisasi menjadi elemen yang tidak dapat direduksi,
:<math>9 = 3^2 = (2 + \sqrt{-5})(2 - \sqrt{-5}).</math>
Persamaan ini menunjukkan bahwa {{math | 3}} membagi hasil kali {{math|1=(2 + √{{Overline|-5}})(2 - √{{Overline|-5}}) = 9}}. Jika {{math | 3}} adalah elemen prima, maka elemen tersebut akan membagi {{math|2 + √{{Overline|-5}}}} atau {{math|2 - √{{Overline|-5}}}}, tetapi tidak, karena semua elemen yang habis dibagi oleh {{math | 3}} berbentuk {{math|3''a'' + 3''b''√{{Overline|-5}}}}.  Demikian pula, {{math|2 + √{{Overline|-5}}}} dan {{math|2 - √{{Overline|-5}}}} bagi produk {{math|3<sup>2</sup>}}, tapi tidak satu pun dari elemen ini yang membagi {{math | 3}} sendiri, jadi tidak satu pun dari mereka adalah bilangan prima. Seperti tidak ada rasa di mana elemen {{math|3}}, {{math|2 + √{{Overline|-5}}}} dan {{math|2 - √{{Overline|-5}}}} dapat dibuat setara, faktorisasi unik gagal masuk {{math|'''Z'''[√{{Overline|-5}}]}}. Berbeda dengan situasi unit, di mana keunikan dapat diperbaiki dengan melemahkan definisi, mengatasi kegagalan ini membutuhkan perspektif baru.
<!--
===Factorization into prime ideals===
If {{math|''I''}} is an ideal in {{math|''O''}}, then there is always a factorization
:<math>I = \mathfrak{p}_1^{e_1} \cdots \mathfrak{p}_t^{e_t},</math>
where each <math>\mathfrak{p}_i</math> is a [[prime ideal]], and where this expression is unique up to the order of the factors. In particular, this is true if {{math|''I''}} is the principal ideal generated by a single element. This is the strongest sense in which the ring of integers of a general number field admits unique factorization. In the language of ring theory, it says that rings of integers are [[Dedekind domain]]s.

When {{math|''O''}} is a UFD, every prime ideal is generated by a prime element. Otherwise, there are prime ideals which are not generated by prime elements. In {{math|'''Z'''[√{{Overline|-5}}]}}, for instance, the ideal {{math|(2, 1 + √{{Overline|-5}})}} is a prime ideal which cannot be generated by a single element.

Historically, the idea of factoring ideals into prime ideals was preceded by Ernst Kummer's introduction of ideal numbers. These are numbers lying in an extension field {{math|''E''}} of {{math|''K''}}. This extension field is now known as the Hilbert class field. By the [[principal ideal theorem]], every prime ideal of {{math|''O''}} generates a principal ideal of the ring of integers of {{math|''E''}}. A generator of this principal ideal is called an ideal number. Kummer used these as a substitute for the failure of unique factorization in [[cyclotomic field]]s. These eventually led Richard Dedekind to introduce a forerunner of ideals and to prove unique factorization of ideals.

An ideal which is prime in the ring of integers in one number field may fail to be prime when extended to a larger number field. Consider, for example, the prime numbers. The corresponding ideals {{math|''p'''''Z'''}} are prime ideals of the ring {{math|'''Z'''}}. However, when this ideal is extended to the Gaussian integers to obtain {{math|''p'''''Z'''[''i'']}}, it may or may not be prime. For example, the factorization {{math|1=2 = (1 + ''i'')(1 &minus; ''i'')}} implies that
:<math>2\mathbf{Z}[i] = (1 + i)\mathbf{Z}[i] \cdot (1 - i)\mathbf{Z}[i] = ((1 + i)\mathbf{Z}[i])^2;</math>
note that because {{math|1=1 + ''i'' = (1 &minus; ''i'') ⋅ ''i''}}, the ideals generated by {{math|1 + ''i''}} and {{math|1 &minus; ''i''}} are the same. A complete answer to the question of which ideals remain prime in the Gaussian integers is provided by [[Fermat's theorem on sums of two squares]].  It implies that for an odd prime number {{math|''p''}}, {{math|''p'''''Z'''[''i'']}} is a prime ideal if {{math|''p'' ≡ 3 (mod 4)}} and is not a prime ideal if {{math|''p'' ≡ 1 (mod 4)}}. This, together with the observation that the ideal {{math|(1 + ''i'')'''Z'''[''i'']}} is prime, provides a complete description of the prime ideals in the Gaussian integers. Generalizing this simple result to more general rings of integers is a basic problem in algebraic number theory. Class field theory accomplishes this goal when ''K'' is an [[abelian extension]] of '''Q''' (that is, a [[Galois extension]] with [[abelian group|abelian]] Galois group).

===Ideal class group===
Unique factorization fails if and only if there are prime ideals that fail to be principal. The object which measures the failure of prime ideals to be principal is called the ideal class group. Defining the ideal class group requires enlarging the set of ideals in a ring of algebraic integers so that they admit a [[group (mathematics)|group]] structure. This is done by generalizing ideals to [[fractional ideal]]s. A fractional ideal is an additive subgroup {{math|''J''}} of {{math|''K''}} which is closed under multiplication by elements of {{math|''O''}}, meaning that {{math|''xJ'' ⊆ ''J''}} if {{math|''x'' ∈ ''O''}}. All ideals of {{math|''O''}} are also fractional ideals. If {{math|''I''}} and {{math|''J''}} are fractional ideals, then the set {{math|''IJ''}} of all products of an element in {{math|''I''}} and an element in {{math|''J''}} is also a fractional ideal. This operation makes the set of non-zero fractional ideals into a group. The group identity is the ideal {{math|1=(1) = ''O''}}, and the inverse of {{math|''J''}} is a (generalized) [[ideal quotient]]:

:<math>J^{-1} = (O:J) = \{x \in K: xJ \subseteq O\}.</math>

The principal fractional ideals, meaning the ones of the form {{math|''Ox''}} where {{math|''x'' ∈ ''K''<sup>×</sup>}}, form a subgroup of the group of all non-zero fractional ideals. The quotient of the group of non-zero fractional ideals by this subgroup is the ideal class group. Two fractional ideals {{math|''I''}} and {{math|''J''}} represent the same element of the ideal class group if and only if there exists an element {{math|''x'' ∈ ''K''}} such that {{math|1=''xI'' = ''J''}}. Therefore, the ideal class group makes two fractional ideals equivalent if one is as close to being principal as the other is. The ideal class group is generally denoted {{math|Cl ''K''}}, {{math|Cl ''O''}}, or {{math|Pic ''O''}} (with the last notation identifying it with the [[Picard group]] in algebraic geometry).

The number of elements in the class group is called the '''class number''' of ''K''. The class number of {{math|'''Q'''(√{{Overline|-5}})}} is 2.  This means that there are only two ideal classes, the class of principal fractional ideals, and the class of a non-principal fractional ideal such as {{math|(2, 1 + √{{Overline|-5}})}}.

The ideal class group has another description in terms of [[divisor (algebraic geometry)|divisor]]s. These are formal objects which represent possible factorizations of numbers. The divisor group {{math|Div ''K''}} is defined to be the [[free abelian group]] generated by the prime ideals of {{math|''O''}}. There is a [[group homomorphism]] from {{math|''K''<sup>×</sup>}}, the non-zero elements of {{math|''K''}} up to multiplication, to {{math|Div ''K''}}. Suppose that {{math|''x'' ∈ ''K''}} satisfies
:<math>(x) = \mathfrak{p}_1^{e_1} \cdots \mathfrak{p}_t^{e_t}.</math>
Then {{math|div ''x''}} is defined to be the divisor
:<math>\operatorname{div} x = \sum_{i=1}^t e_i[\mathfrak{p}_i].</math>
The [[kernel (algebra)|kernel]] of {{math|div}} is the group of units in {{math|''O''}}, while the [[cokernel]] is the ideal class group. In the language of [[homological algebra]], this says that there is an [[exact sequence]] of abelian groups (written multiplicatively),
:<math>1 \to O^\times \to K^\times \xrightarrow{\text{div}} \operatorname{Div} K \to \operatorname{Cl} K \to 1.</math>

===Real and complex embeddings===
Some number fields, such as {{math|'''Q'''(√{{Overline|2}})}}, can be specified as subfields of the real numbers. Others, such as {{math|'''Q'''(√{{Overline|&minus;1}})}}, cannot. Abstractly, such a specification corresponds to a field homomorphism {{math|''K'' → '''R'''}} or {{math|''K'' → '''C'''}}. These are called '''real embeddings''' and '''complex embeddings''', respectively.

A real quadratic field {{math|'''Q'''(√{{Overline|''a''}})}}, with {{math|''a'' ∈ '''R''', ''a'' > 0}}, and {{math|''a''}} not a [[square number|perfect square]], is so-called because it admits two real embeddings but no complex embeddings. These are the field homomorphisms which send {{math|√{{Overline|''a''}}}} to {{math|√{{Overline|''a''}}}} and to {{math|&minus;√{{Overline|''a''}}}}, respectively. Dually, an imaginary quadratic field {{math|'''Q'''(√{{Overline|&minus;''a''}})}} admits no real embeddings but admits a conjugate pair of complex embeddings. One of these embeddings sends {{math|√{{Overline|&minus;''a''}}}} to {{math|√{{Overline|&minus;''a''}}}}, while the other sends it to its [[complex conjugate]], {{math|&minus;√{{Overline|&minus;''a''}}}}.

Conventionally, the number of real embeddings of {{math|''K''}} is denoted {{math|''r''<sub>1</sub>}}, while the number of conjugate pairs of complex embeddings is denoted {{math|''r''<sub>2</sub>}}.  The '''signature''' of ''K'' is the pair {{math|(''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>)}}. It is a theorem that {{math|1=''r''<sub>1</sub> + 2''r''<sub>2</sub> = ''d''}}, where {{math|''d''}} is the degree of {{math|''K''}}.

Considering all embeddings at once determines a function
:<math>M \colon K \to \mathbf{R}^{r_1} \oplus \mathbf{C}^{2r_2}.</math>
This is called the '''Minkowski embedding'''. The subspace of the codomain fixed by complex conjugation is a real vector space of dimension {{math|''d''}} called [[Minkowski space (number field)|Minkowski space]]. Because the Minkowski embedding is defined by field homomorphisms, multiplication of elements of {{math|''K''}} by an element {{math|''x'' ∈ ''K''}} corresponds to multiplication by a [[diagonal matrix]] in the Minkowski embedding. The dot product on Minkowski space corresponds to the trace form <math>\langle x, y \rangle = \operatorname{Tr}(xy)</math>.

The image of {{math|''O''}} under the Minkowski embedding is a {{math|''d''}}-dimensional [[lattice (group)|lattice]]. If {{math|''B''}} is a basis for this lattice, then {{math|det ''B''<sup>T</sup>''B''}} is the '''discriminant''' of {{math|''O''}}. The discriminant is denoted {{math|&Delta;}} or {{math|''D''}}. The covolume of the image of {{math|''O''}} is <math>\sqrt{|\Delta|}</math>.

===Places===
Real and complex embeddings can be put on the same footing as prime ideals by adopting a perspective based on [[valuation (algebra)|valuation]]s. Consider, for example, the integers. In addition to the usual [[absolute value]] function |·| : '''Q''' → '''R''', there are [[p-adic absolute value]] functions |·|<sub>p</sub> : '''Q''' → '''R''', defined for each prime number ''p'', which measure divisibility by ''p''. [[Ostrowski's theorem]] states that these are all possible absolute value functions on '''Q''' (up to equivalence). Therefore, absolute values are a common language to describe both the real embedding of '''Q''' and the prime numbers.

A '''place''' of an algebraic number field is an equivalence class of [[absolute value (algebra)|absolute value]] functions on ''K''. There are two types of places. There is a <math>\mathfrak{p}</math>-adic absolute value for each prime ideal <math>\mathfrak{p}</math> of ''O'', and, like the ''p''-adic absolute values, it measures divisibility. These are called '''finite places'''.  The other type of place is specified using a real or complex embedding of ''K'' and the standard absolute value function on '''R''' or '''C'''. These are '''infinite places'''. Because absolute values are unable to distinguish between a complex embedding and its conjugate, a complex embedding and its conjugate determine the same place. Therefore, there are {{math|''r''<sub>1</sub>}} real places and {{math|''r''<sub>2</sub>}} complex places. Because places encompass the primes, places are sometimes referred to as '''primes'''.  When this is done, finite places are called '''finite primes''' and infinite places are called '''infinite primes'''. If {{math|''v''}} is a valuation corresponding to an absolute value, then one frequently writes <math>v \mid \infty</math> to mean that {{math|''v''}} is an infinite place and <math>v \nmid \infty</math> to mean that it is a finite place.

Considering all the places of the field together produces the [[adele ring]] of the number field. The adele ring allows one to simultaneously track all the data available using absolute values. This produces significant advantages in situations where the behavior at one place can affect the behavior at other places, as in the [[Artin reciprocity law]].

==== Places at infinity geometrically ====
There is a geometric analogy for places at infinity which holds on the function fields of curves. For example, let <math>k = \mathbb{F}_q</math> and <math>X/k</math> be a [[Smooth scheme|smooth]], [[Projective curve|projective]], [[algebraic curve]]. The [[Function field of an algebraic variety|function field]] <math>F = k(X)</math> has many absolute values, or places, and each corresponds to a point on the curve. If <math>X</math> is the projective completion of an affine curve<blockquote><math>\hat{X} \subset \mathbb{A}^n</math></blockquote>then the points in<blockquote><math>X - \hat{X}</math></blockquote>correspond to the places at infinity. Then, the completion of <math>F</math> at one of these points gives an analogue of the <math>p</math>-adics.

For example, if <math>X = \mathbb{P}^1</math> then its function field is isomorphic to <math>k(t)</math> where <math>t</math> is an indeterminant and the field <math>F</math> is the field of fractions of polynomials in <math>t</math>. Then, a place <math>v_p</math> at a point <math>p \in X</math> measures the order of vanishing or the order of a pole of a fraction of polynomials <math>p(x)/q(x)</math> at the point <math>p</math>. For example, if <math>p = [2:1]</math>, so on the affine chart <math>x_1 \neq 0</math> this corresponds to the point <math>2 \in \mathbb{A}^1</math>, the valuation <math>v_2</math> measures the [[order of vanishing]] of <math>p(x)</math> minus the order of vanishing of <math>q(x)</math> at <math>2</math>. The function field of the completion at the place <math>v_2</math> is then <math>k((t-2))</math> which is the field of power series in the variable <math>t-2</math>, so an element is of the form<blockquote><math>\begin{align}
&a_{-k}(t-2)^{-k} + \cdots  + a_{-1}(t-1)^{-1} + a_0 + a_1(t-2) + a_2(t-2)^2 + \cdots \\
&=\sum_{n = -k}^{\infty} a_n(t-2)^n
\end{align}</math></blockquote>for some <math>k \in \mathbb{N}</math>. For the place at infinity, this corresponds to the function field <math>k((1/t))</math> which are power series of the form<blockquote><math>\sum_{n=-k}^\infty a_n(1/t)^n</math></blockquote>

===Units===
The integers have only two units, {{math|1}} and {{math|&minus;1}}. Other rings of integers may admit more units. The Gaussian integers have four units, the previous two as well as {{math|±''i''}}. The [[Eisenstein integers]] {{math|'''Z'''[exp(2&pi;''i'' / 3)]}} have six units. The integers in real quadratic number fields have infinitely many units. For example, in {{math|'''Z'''[√{{Overline|3}}]}}, every power of {{math|2 + √{{Overline|3}}}} is a unit, and all these powers are distinct.

In general, the group of units of {{math|''O''}}, denoted {{math|''O''<sup>×</sup>}}, is a finitely generated abelian group. The [[fundamental theorem of finitely generated abelian groups]] therefore implies that it is a direct sum of a torsion part and a free part. Reinterpreting this in the context of a number field, the torsion part consists of the [[root of unity|roots of unity]] that lie in {{math|''O''}}. This group is cyclic. The free part is described by [[Dirichlet's unit theorem]]. This theorem says that rank of the free part is {{math|''r''<sub>1</sub> + ''r''<sub>2</sub> &minus; 1}}. Thus, for example, the only fields for which the rank of the free part is zero are {{math|'''Q'''}} and the imaginary quadratic fields. A more precise statement giving the structure of ''O''<sup>×</sup> ⊗<sub>'''Z'''</sub> '''Q''' as a [[Galois module]] for the Galois group of ''K''/'''Q''' is also possible.<ref>See proposition VIII.8.6.11 of {{harvnb|Neukirch|Schmidt|Wingberg|2000}}</ref>

The free part of the unit group can be studied using the infinite places of {{math|''K''}}. Consider the function

:<math>\begin{cases} L: K^\times \to \mathbf{R}^{r_1 + r_2} \\ L(x) = (\log |x|_v)_v \end{cases}</math>
 
where {{math|''v''}} varies over the infinite places of {{math|''K''}} and |·|<sub>''v''</sub> is the absolute value associated with {{math|''v''}}. The function {{math|''L''}} is a homomorphism from {{math|''K''<sup>×</sup>}} to a real vector space. It can be shown that the image of {{math|''O''<sup>×</sup>}} is a lattice that spans the hyperplane defined by <math>x_1 + \cdots + x_{r_1 + r_2} = 0.</math> The covolume of this lattice is the '''regulator''' of the number field. One of the simplifications made possible by working with the adele ring is that there is a single object, the [[idele class group]], that describes both the quotient by this lattice and the ideal class group.

===Zeta function===
The [[Dedekind zeta function]] of a number field, analogous to the [[Riemann zeta function]] is an analytic object which describes the behavior of prime ideals in {{math|''K''}}. When {{math|''K''}} is an abelian extension of {{math|'''Q'''}}, Dedekind zeta functions are products of [[Dirichlet L-function]]s, with there being one factor for each [[Dirichlet character]].  The trivial character corresponds to the Riemann zeta function. When {{math|''K''}} is a [[Galois extension]], the Dedekind zeta function is the [[Artin L-function]] of the [[regular representation]] of the Galois group of {{math|''K''}}, and it has a factorization in terms of irreducible [[Artin representation]]s of the Galois group.

The zeta function is related to the other invariants described above by the [[class number formula]].

===Local fields===
{{main|Local field}}
[[Completion (metric space)|Completing]] a number field ''K'' at a place ''w'' gives a [[complete field]]. If the valuation is Archimedean, one obtains '''R''' or '''C''', if it is non-Archimedean and lies over a prime ''p'' of the rationals, one obtains a finite extension <math>K_w/\mathbf{Q}_p:</math> a complete, discrete valued field with finite residue field. This process simplifies the arithmetic of the field and allows the local study of problems. For example, the [[Kronecker–Weber theorem]] can be deduced easily from the analogous local statement. The philosophy behind the study of local fields is largely motivated by geometric methods. In algebraic geometry, it is common to study varieties locally at a point by localizing to a maximal ideal. Global information can then be recovered by gluing together local data. This spirit is adopted in algebraic number theory. Given a prime in the ring of algebraic integers in a number field, it is desirable to study the field locally at that prime. Therefore, one localizes the ring of algebraic integers to that prime and then completes the fraction field much in the spirit of geometry.-->

== Hasil utama ==

=== Keterbatasan kelompok kelas ===
Salah satu hasil klasik dalam teori bilangan aljabar adalah bahwa kelompok kelas ideal bidang bilangan aljabar '' K '' berhingga. Ini adalah konsekuensi dari [[Minkowski terikat|Teorema Minkowski]] karena hanya ada banyak [[Integral ideal]] dengan norma kurang dari bilangan bulat positif tetap<ref>{{Cite web|title=A Computational Introduction to Algebraic Number Theory|url=https://wstein.org/books/ant/ant.pdf|last=Stein|first=|date=|website=|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=}}</ref> <sup>halaman 78</sup>. Urutan kelompok kelas disebut [[Nomor kelas (teori bilangan)|nomor kelas]], dan sering dilambangkan dengan huruf ''h''.

=== Teorema stuan Dirichlet ===
{{Main|Teorema satuan Dirichlet}}
Teorema satuan Dirichlet memberikan gambaran tentang struktur kelompok satuan perkalian ''O''<sup>×</sup> dari cincin bilangan bulat '' O ''. Secara khusus, itu menyatakan itu ''O''<sup>×</sup> isomorfik untuk ''G'' × '''Z'''<sup>''r''</sup>, di mana '' G '' adalah grup siklik berhingga yang terdiri dari semua akar kesatuan di '' O '', dan '' r '' = ''r''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''r''<sub>2</sub>&nbsp;−&nbsp;1 (dimana ''r''<sub>1</sub> berturutan, ''r''<sub>2</sub>) menunjukkan jumlah embeddings nyata (masing-masing, pasangan embeddings non-nyata konjugasi) dari '' K ''). Dengan kata lain, ''O''<sup>×</sup> adalah [[grup abelian yang dihasilkan terbatas]] dari [[Peringkat grup abelian|peringkat]] ''r''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''r''<sub>2</sub>&nbsp;−&nbsp;1 yang torsi terdiri dari akar persatuan di '' O ''.

=== Hukum timbal balik ===
{{Main|Hukum timbal balik}}

Dalam istilah [[simbol Legendre]], hukum timbal balik kuadrat untuk bilangan prima positif ganjil menyatakan
:<math> \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}.</math>

Sebuah '''hukum timbal balik''' adalah generalisasi dari [[hukum timbal balik kuadrat]].

Ada beberapa cara berbeda untuk mengekspresikan hukum timbal balik. Hukum timbal balik awal yang ditemukan pada abad ke-19 biasanya diekspresikan dalam bentuk [[simbol sisa daya]] (''p''/''q'') menggeneralisasi [[simbol Legendre|simbol timbal balik kuadrat]],  yang menjelaskan saat [[bilangan prima]] adalah sisa daya ke '' n'' [[aritmetika modular|modulo]] bilangan prima lain, dan memberikan hubungan antara (''p''/''q'') dan (''q''/''p''). Hilbert merumuskan kembali hukum timbal balik yang mengatakan bahwa produk melebihi '' p '' dari simbol Hilbert (''a'',''b''/''p''), mengambil nilai-nilai dalam akar persatuan, sama dengan 1. [[Emil Artin|Artin]] yang dirumuskan kembali [[hukum timbal balik Artin|hukum timbal balik]] menyatakan bahwa simbol Artin dari cita-cita (atau ideles) ke unsur-unsur Galo. Beberapa generalisasi yang lebih baru mengungkapkan hukum timbal balik menggunakan kohomologi kelompok atau representasi kelompok adelik atau kelompok K aljabar, dan hubungan mereka dengan hukum timbal balik kuadrat yang asli mungkin sulit untuk dilihat.

=== Rumus nomor kelas ===
{{Main|Rumus nomor kelas}}
'''Rumus nomor kelas''' menghubungkan banyak invarian penting dari [[bidang angka]] dengan nilai khusus dari fungsi Dedekind zeta.

== Bidang terkait ==
Teori bilangan aljabar berinteraksi dengan banyak disiplin matematika lainnya. Ini menggunakan alat dari [[aljabar homologis]]. Melalui analogi bidang fungsi vs. bidang angka, ini bergantung pada teknik dan ide dari geometri aljabar. Selain itu, studi tentang skema berdimensi lebih tinggi di atas '''Z''' daripada cincin angka disebut sebagai [[geometri aritmetika]]. Teori bilangan aljabar juga digunakan dalam studi [[aritmetika hiperbolik 3-manifold]].

== Lihat pula ==
* [[Nomor Tamagawa]]
* [[Teori Kummer]]

== Catatan ==
<references/>
* {{Neukirch et al. CNF|edition=1}}

== Bacaan lebih lanjut ==

=== Teks pengantar ===
* {{citation |first=William |last=Stein |title=Algebraic Number Theory, A Computational Approach |publisher= |location= |year=2012 |isbn= |pages= |url=https://wstein.org/books/ant/ant.pdf}}
* {{citation |last=Ireland |first=Kenneth |last2=Rosen |first2=Michael |title=A classical introduction to modern number theory |publisher=Springer |year=2013 |isbn=978-1-4757-2103-4 |doi=10.1007/978-1-4757-2103-4 |volume=84}}
* {{citation |authorlink=Ian Stewart (mathematician)| |author2link=David Tall |first=Ian |last=Stewart |first2=David |last2=Tall |title=Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem |url=https://books.google.com/books?id=xXu9CgAAQBAJ |date=2015 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4987-3840-8}}

=== Teks menengah ===
* {{citation |first=Daniel A. |last=Marcus |title=Number Fields |url=https://books.google.com/books?id=AjRjDwAAQBAJ |date=2018 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-90233-3 |edition=2nd}}

=== Teks tingkat sarjana ===
*{{Citation
| editor-last=Cassels
| editor-first=J. W. S.
| editor-link=J. W. S. Cassels
| editor2-last=Fröhlich
| editor2-first=Albrecht
| editor2-link=Albrecht Fröhlich
| title=Algebraic number theory
| origyear=1967 |year=2010 |edition=2nd
| place=London
| publisher=9780950273426
| mr=0215665 
}}
*{{Citation
| last=Fröhlich
| first=Albrecht
| author-link=Albrecht Fröhlich
| last2=Taylor
| first2=Martin J.
| author2-link=Martin J. Taylor
| title=Algebraic number theory
| publisher=[[Cambridge University Press]]
| year=1993
| series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics
| volume=27
| isbn=0-521-43834-9
| mr=1215934
}}
*{{Citation
| last=Lang
| first=Serge
| author-link=Serge Lang
| title=Algebraic number theory
| edition=2
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| year=1994
| series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
| volume=110
| place=New York
| isbn=978-0-387-94225-4
| mr=1282723
}}
*{{Neukirch ANT}}

== Pranala luar ==
*{{Commonscat-inline}}
*{{springer|title=Algebraic number theory|id=p/a011600}}

{{Footer teori bilangan}}

[[Kategori:Teori bilangan aljabar| ]]
[[Kategori:Bidang matematika]]