Lihat sumber Teorema Stokes rampat

{{short description|Pernyataan tentang integrasi bentuk diferensial pada manifold}}
{{about|teorema umum|teorema klasik|Teorema Kelvin–Stokes|persamaan yang mengatur hambatan kental dalam cairan|Hukum Stokes}}

{{Kalkulus|Vektor}}

Dalam [[kalkulus vektor]], dan lebih umum lagi [[geometri diferensial]], '''teorema Stokes''' rampat (terkadang dieja '''teorema Stokes''', dan juga disebut '''teorema Stokes–Cartan'''<ref>{{Cite book|url=https://www.springer.com/gp/book/9789400745575|title=Fisika Collisional Plasmas - Pengantar {{!}} Michel Moisan {{!}} Springer|language=en}}</ref>) adalah pernyataan tentang [[Integral|integrasi]] dari [[bentuk diferensial]] pada [[manifold]], yang menyederhanakan dan menggeneralisasi beberapa [[teorema]] dari [[kalkulus vektor]]. Teorema Stokes mengatakan bahwa integral dari suatu bentuk diferensial {{mvar|ω}} di atas [[Batas lipatan|batas]] dari beberapa [[Orientasi (ruang vektor)#Orientasi pada lipatan|berorientasi]] lipatan {{math|Ω}} sama dengan integral [[turunan luar]] {{mvar|dω}} di seluruh {{math|Ω}}, yaitu:

: <math>\int_{\partial \Omega}\omega=\int_\Omega d\omega\,.</math>

Teorema Stokes 'dirumuskan dalam bentuk modern oleh [[Élie Cartan]] pada tahun 1945,<ref>{{Cite book|last=Cartan|first=Élie|year=1945|title=Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques|location=Paris|publisher=Hermann|isbn=|pages=}}</ref> mengikuti pekerjaan sebelumnya pada generalisasi teorema kalkulus vektor oleh [[Vito Volterra]], [[Édouard Goursat]], dan [[Henri Poincaré]].<ref>{{Cite journal|last=Katz|first=Victor J.|date=1979-01-01|title=Sejarah Teorema Stokes|journal=Mathematics Magazine|volume=52|issue=3|pages=146–156|doi=10.2307/2690275|jstor=2690275}}</ref><ref>{{Cite book|last=Katz|first=Victor J.|year=1999|title=Sejarah Topologi|url=https://archive.org/details/historyoftopolog0000unse|location=Amsterdam|publisher=Elsevier|isbn=9780444823755|editor-last=James|editor-first=I. M.|pages=[https://archive.org/details/historyoftopolog0000unse/page/111 111]–122|chapter=5. Bentuk Diferensial}}</ref>

Bentuk modern dari teorema Stokes 'ini adalah generalisasi luas dari [[Teorema#Kelvin–Stokes|hasil klasik]] yang ditentukan oleh [[William Thomson, 1 Baron Kelvin|Lord Kelvin]] dikomunikasikan kepada [[Sir George Stokes, Baronet ke-1|George Stokes]] dalam surat tertanggal 2 Juli 1850.<ref>Lihat:

* {{cite journal|last=Katz|first=Victor J.|date=Mei 1979|title=Sejarah teorema Stokes|journal=Mathematics Magazine|volume=52|issue=3|pages=146–156|doi=10.1080/0025570x.1979.11976770}}
* Surat dari Thomson kepada Stokes muncul di: {{cite book|last1=Thomson|first1=William|last2=Stokes|first2=George Gabriel|date=1990|url=https://books.google.com/books?id=YrjkOEdC83gC&pg=PA97#v=onepage&q&f=false|title=Korespondensi antara Sir George Gabriel Stokes dan Sir William Thomson, Baron Kelvin dari Largs, Volume 1: 1846–1869|location=Cambridge, Inggris|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521328319|editor-last=Wilson|editor-first=David B.|pages=96–97|author1-link=William Thomson, 1st Baron Kelvin|author2-link=George Gabriel Stokes}}
* Baik Thomson maupun Stokes tidak mempublikasikan bukti teorema tersebut. Bukti terbitan pertama kali muncul pada tahun 1861 di: {{cite book|last=Hankel|first=Hermann|date=1861|url=http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015035826760#page/34/mode/1up|title=Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten|location=Göttingen, Germany|publisher=Dieterische University Buchdruckerei|pages=34–37|trans-title=On the general theory of the movement of fluids|author-link=Hermann Hankel}} Hankel doesn't mention the author of the theorem.
* Dalam catatan kaki, Larmor menyebutkan peneliti sebelumnya yang telah mengintegrasikan, di atas permukaan, lengkungan bidang vektor. Lihat: {{cite book|last=Stokes|first=George Gabriel|date=1905|url=https://books.google.com/books?id=O28ssiqLT9AC&pg=PA320#v=onepage&q&f=false|title=Makalah Matematika dan Fisika oleh almarhum Sir George Gabriel Stokes|location=Cambridge, Inggris|publisher=University of Cambridge Press|editor1-last=Larmor|editor1-first=Joseph|volume=5|pages=320–321|author-link=George Gabriel Stokes|editor2-last=Strutt|editor2-first=John William, Baron Rayleigh}}</ref><ref>{{cite book|last=Darrigol|first=Olivier|date=2000|title=Elektrodinamika dari Ampère ke Einstein|location=Oxford, England|isbn=0198505930|page=146}}</ref><ref name="spivak65">Spivak (1965), p. vii, Preface.</ref> Stokes set the theorem as a question on the 1854 [[Smith's Prize]] exam, which led to the result bearing his name.  It was first published by [[Hermann Hankel]] in 1861.<ref name="spivak65" /><ref>See:
* Ujian Hadiah 1854 Smith tersedia online di: [http://www.clerkmaxwellfoundation.org/SmithsPrizeExam_Stokes.pdf Clerk Maxwell Foundation]. Maxwell mengambil ujian ini dan terikat untuk tempat pertama dengan [[Edward John Routh]]. Lihat: {{cite book|last1=Clerk Maxwell|first1=James|date=1990|url=https://books.google.com/books?id=zfM8AAAAIAAJ&pg=PA237#v=onepage&q&f=false|title=The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862|location=Cambridge, England|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521256254|editor-last=Harman|editor-first=P.&nbsp;M.|page=237, footnote 2|author-link=James Clerk Maxwell}} See also [[Smith's prize]] or the [http://www.clerkmaxwellfoundation.org/SmithsPrizeSolutions2008_2_14.pdf Clerk Maxwell Foundation].
* {{cite book|last=Clerk Maxwell|first=James|date=1873|url=https://books.google.com/books?id=92QSAAAAIAAJ&pg=PA27#v=onepage&q&f=false|title=A Treatise on Electricity and Magnetism|location=Oxford, England|publisher=Clarendon Press|volume=1|pages=25–27|author-link=James Clerk Maxwell}} Dalam catatan kaki di halaman 27, Maxwell menyebutkan bahwa Stokes menggunakan teorema sebagai pertanyaan 8 dalam Smith's Prize Examination tahun 1854. Catatan kaki ini tampaknya menjadi penyebab teorema itu dikenali.".</ref> [[Kelvin–Stokes teorema]] klasik tersebut menghubungkan [[integral permukaan]] dari [[Curl (matematika)|curl]] dari [[bidang vektor]] {{math|'''F'''}} di atas permukaan (yaitu, [[fluks]] dari {{math|curl '''F'''}}) di Euclidean tiga ruang ke [[integral garis]] dari bidang vektor di atas batasnya (juga dikenal sebagai integral loop).

'''Contoh analisis vektor klasik sederhana'''

Mari {{math|''γ'': [''a'', ''b''] → '''R'''<sup>2</sup>}} menjadi [[sedikit demi sedikit]] mulus [[Kurva Jordan|kurva bidang Jordan]]. [[Teorema kurva Yordania]] menyiratkan hal itu {{mvar|γ}} membagi {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} menjadi dua komponen, satu [[Ruang kompak|kompak]] satu sama lain yang tidak kompak. Membiarkan {{mvar|D}} menunjukkan bagian kompak yang dibatasi oleh {{mvar|γ}} dan misalkan {{math|''ψ'': ''D'' → '''R'''<sup>3</sup>}} halus, dengan {{math|''S'' :{{=}} ''ψ''(''D'')}}. Jika {{math|Γ}} adalah [[kurva spasi]] yang ditentukan oleh {{math|Γ(''t'') {{=}} ''ψ''(''γ''(''t''))}}<ref group="note" name="cgamma">{{mvar|γ}} dan {{math|Γ}} keduanya adalah loop, {{math|Γ}} belum tentu merupakan [[kurva Yordania]]</ref> dan {{math|'''F'''}} adalah bidang vektor mulus pada {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}, kemudian:<ref name="Jame">{{cite book|last=Stewart|first=James|year=2010|url={{Google books |plainurl=yes |id=btIhvKZCkTsC |page=786 }}|title=Kalkulus Esensial: Transendental Awal|publisher=Cole}}</ref><ref name="bath">Bukti ini berdasarkan Catatan Kuliah yang diberikan oleh Prof. Robert Scheichl ([[University of Bath]], Inggris) [http://www.maths.bath.ac.uk/~masrs/ma20010/], please refer the [http://www.maths.bath.ac.uk/~masrs/ma20010/stokesproofs.pdf]</ref><ref name="proofwik">[[proofwiki:Classical Stokes' Theorem|This proof is also same to the proof shown in]]</ref>

: <math>\oint_\Gamma \mathbf{F}\, \cdot\, d{\mathbf{\Gamma}}  = \iint_S \nabla\times\mathbf{F}\, \cdot\, d\mathbf{S} </math>

Pernyataan klasik ini, bersama dengan [[teorema divergensi]] klasik, [[teorema dasar kalkulus]], dan [[Teorema Green]] hanyalah kasus-kasus khusus dari rumusan umum yang dinyatakan sebagai.

== Pengantar ==
[[Teorema dasar kalkulus]] menyatakan bahwa [[integral]] dari suatu fungsi {{mvar|f}} selama [[Interval (matematika)|interval]] {{math|[''a'', ''b'']}} dapat dihitung dengan mencari [[antiturunan]] {{mvar|F}} of&nbsp;{{mvar|f}}:

: <math>\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,.</math>

Teorema Stokes adalah rampatan yang luas dari teorema ini dalam pengertian. 
<!--berikut. 
* By the choice of {{mvar|F}}, {{math|1={{sfrac|''dF''|''dx''}} = ''f''(''x'')}}. In the parlance of [[differential form]]s, this is saying that {{math|''f''(''x'')&thinsp;''dx''}} is the [[exterior derivative]] of the 0-form, i.e. function, {{mvar|F}}: in other words, that {{math|1=''dF'' = ''f''&thinsp;''dx''}}. The general Stokes theorem applies to higher differential forms {{mvar|ω}} instead of just 0-forms such as {{mvar|F}}.
* A closed interval {{math|[''a'', ''b'']}} is a simple example of a one-dimensional [[manifold with boundary]].  Its boundary is the set consisting of the two points {{mvar|a}} and {{mvar|b}}. Integrating {{mvar|f}} over the interval may be generalized to integrating forms on a higher-dimensional manifold. Two technical conditions are needed: the manifold has to be [[orientable]], and the form has to be [[compact support|compactly supported]] in order to give a well-defined integral.
* The two points {{mvar|a}} and {{mvar|b}} form the boundary of the closed interval. More generally, Stokes' theorem applies to oriented manifolds {{mvar|M}} with boundary. The boundary {{math|∂''M''}} of {{mvar|M}} is itself a manifold and inherits a natural orientation from that of {{mvar|M}}. For example, the natural orientation of the interval gives an orientation of the two boundary points. Intuitively, {{mvar|a}} inherits the opposite orientation as {{mvar|b}}, as they are at opposite ends of the interval. So, "integrating" {{mvar|F}} over two boundary points {{mvar|a}}, {{mvar|b}} is taking the difference {{math|''F''(''b'') − ''F''(''a'')}}.
In even simpler terms, one can consider the points as boundaries of curves, that is as 0-dimensional boundaries of 1-dimensional manifolds. -->Jadi, sama seperti seseorang dapat menemukan nilai integral ({{math|1=''f''&thinsp;''dx'' = ''dF''}}) di atas manifold 1 dimensi ({{math|[''a'', ''b'']}}) dengan mempertimbangkan anti turunan ({{mvar|F}}) di batas 0-dimensi ({{math|{''a'', ''b''}|}}), seseorang dapat menggeneralisasi teorema dasar kalkulus, dengan beberapa peringatan tambahan, untuk menangani nilai integral ({{mvar|dω}}) di atas {{mvar|n}}-manifold dimensional ({{math|Ω}}) dengan mempertimbangkan antiturunan ({{mvar|ω}}) pada {{math|(''n'' − 1)}}-batas dimensi ({{math|∂Ω}}) dari manifold tersebut.

Jadi teorema fundamental berbunyi:

: <math>\int_{[a, b]} f(x)\,dx = \int_{[a, b]} dF = \int_{\{a\}^- \cup \{b\}^+} F = F(b) - F(a)\,.</math>

== Formulasi untuk lipatan halus dengan batas ==
Jadi {{math|Ω}} menjadi berorientasi [[lipatan halus]] dengan batas [[dimensi]] {{mvar|n}} dan biarkan {{mvar|α}} jadi [[Fungsi polos|polos]] {{mvar|n}}-[[bentuk diferensial]] yaitu [[Dukungan (matematika)#Dukungan kompak|didukung secara kompak]] aktif {{math|Ω}}. Pertama, anggap saja {{mvar|α}} didukung secara kompak dalam domain tunggal, [[Orientasi (matematika)|berorientasi]] [[diagram koordinat]] {{math|{''U'', ''φ''}|}}. Dalam kasus ini, kami mendefinisikan integral dari {{mvar|α}} atas {{math|Ω}} sebagai

: <math>\int_\Omega \alpha = \int_{\varphi(U)} \left(\varphi^{-1}\right)^* \alpha\,,</math>

yaitu, melalui [[Halangan (geometri diferensial)|pullback]] dari {{mvar|α}} ke {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}.

Secara umum, integral dari {{mvar|α}} di atas {{math|Ω}} didefinisikan sebagai berikut: biar {{math|{''ψ<sub>i</sub>''}|}} menjadi [[partisi kesatuan]] terkait dengan [[Koleksi terbatas lokal|terbatas lokal]] [[Sampul (topologi)|sampul]] {{math|{''U<sub>i</sub>'', ''φ<sub>i</sub>''}|}} dari bagan koordinat (berorientasi konsisten), lalu tentukan integralnya

: <math>\int_\Omega \alpha \equiv \sum_i \int_{U_i} \psi_i \alpha\,,</math>

di mana setiap suku dalam penjumlahan dievaluasi dengan menarik kembali ke {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} seperti dijelaskan di atas. Kuantitas ini didefinisikan dengan baik; artinya, ini tidak bergantung pada pilihan bagan koordinat, atau pembagian kesatuan.

Teorema Stokes tergeneralisasi berbunyi:

{{quotebox|align=center|quote='''Teorema.''' ''(Stokes–Cartan) Jika <math>\omega</math> adalah [[tak terhingga|halus]] <math>(n-1)</math>-[[bentuk diferensial|bentuk]] dengan [[dukungan ringkas]] pada <math>n</math> -dimensi halus [[manifold|berjenis-dengan-batas]] <math>\Omega</math>, <math>\partial\Omega</math> menunjukkan [[batas dari manifold|batas]] dari <math>\Omega</math> given the induced [[orientation (mathematics)#Geometric algebra|orientation]], and <math>i:\partial \Omega\hookrightarrow \Omega</math> is the [[inclusion map]], then

:<math>\int_\Omega d\omega = \int_{\partial \Omega} i^*\omega</math>.''}}

Secara konvensional, <math display="inline">\int_{\partial\Omega} i^*\omega</math> disingkat sebagai <math display="inline">\int_{\partial\Omega} \omega</math>, karena kemunduran bentuk diferensial oleh peta inklusi hanyalah pembatasannya pada domainnya: <math>i^*\omega=\omega|_{\partial\Omega}</math>.  Saat <math>d</math> adalah  [[turunan eksterior]], yang didefinisikan hanya dengan menggunakan struktur manifold. Sisi kanan terkadang ditulis sebagai <math display="inline">\oint_{\partial\Omega} \omega</math> untuk menekankan fakta bahwa <math>(n-1)</math>-manifold <math>\partial\Omega</math> tidak memiliki batasan.<ref group="Catatan penting">Bagi matematikawan fakta ini diketahui, oleh karena itu lingkaran itu berlebihan dan sering dihilangkan. Namun, orang harus ingat di sini bahwa di [[termodinamika]], di mana sering diekspresikan sebagai {{math|∮<sub>''W''</sub> {''d''<sub>total</sub>''U''}|}} muncul (di mana turunan total, lihat di bawah, jangan bingung dengan yang eksterior), jalur integral {{mvar|W}} adalah garis tertutup satu dimensi pada lipatan berdimensi jauh lebih tinggi. Artinya, dalam aplikasi termodinamika, di mana {{mvar|U}} adalah fungsi dari suhu {{math|''α''<sub>1</sub> :{{=}} ''T''}}, volume {{math|''α''<sub>2</sub> :{{=}} ''V''}}, dan polarisasi listrik {{math|''α''<sub>3</sub> :{{=}} ''P''}} dari sampel, seseorang memiliki

:<math>\{d_\text{total}U\}=\sum_{i=1}^3\frac{\partial U}{\partial\alpha_i}\,d\alpha_i\,,</math>
dan lingkaran sangat diperlukan, mis. jika seseorang mempertimbangkan konsekuensi diferensial dari postulat integral

:<math>\oint_W\,\{d_\text{total}U\}\, \stackrel{!}{=}\,0\,.</math></ref> (Fakta ini juga merupakan implikasi dari teorema Stokes, karena untuk kelancaran tertentu <math>n</math>-berjenis dimensi <math>\Omega</math>, penerapan teorema dua kali memberi <math display="inline">\int_{\partial(\partial \Omega)}\omega=\int_\Omega d(d\omega)=0</math> untuk apapun <math>(n-2)</math>-bentuk <math>\omega</math>, yang menyiratkan itu <math>\partial(\partial\Omega)=\emptyset</math>.) Ruas kanan persamaan sering digunakan untuk merumuskan hukum integral; sisi kiri kemudian mengarah ke formulasi diferensial ekivalen (lihat di bawah).

The theorem is often used in situations where <math>\Omega</math> is an embedded oriented submanifold of some bigger manifold, often <math>\mathbf{R}^k</math>, on which the form <math>\omega</math> is defined.

== Pendahuluan topologi; integral melalui rantai ==

Maka {{mvar|M}} menjadi [[lipatan halus]]. [[Simpleks | Simpleks-{{mvar | k}}]] dengan {{mvar | M}} didefinisikan sebagai peta dari simplekd standar pada {{math|'''R'''<sup>''k''</sup>}} ke {{mvar|M}}. Grup {{math|''C''<sub>''k''</sub>(''M'', '''Z''')}} dari singular [[Kaidah (topologi aljabar)|kaidah]]-{{mvar | k}} pada {{mvar | M}} didefinisikan sebagai [[grup abelian bebas]] pada himpunan singular sederhana dalam {{mvar | M}}. Grup ini, dengan peta batas, {{math | ∂}}, mendefinisikan [[kompleks kaidah]]. Grup homologi (resp. Kohomologi) yang sesuai adalah isomorfik dari grup [[homologi tunggal]] biasa {{math|''H''<sub>''k''</sub>(''M'', '''Z''')}} (resp. grup [[kohomologi tunggal]] {{math|''H''<sup>''k''</sup>(''M'', '''Z''')}}), didefinisikan menggunakan kesederhanaan berkelanjutan dari {{mvar | M}}.

Di sisi lain, bentuk diferensial, dengan turunan eksterior, {{mvar | d}}, sebagai peta penghubung, membentuk kompleks cochain, yang mendefinisikan grup [[kohomologi de Rham]] {{math|''H''{{su|p=''k''|b=''dR''}}(''M'', '''R''')}}.

== Prinsip pendasar ==
[[Berkas:Stokes_patch.svg|kiri|200x200px]]
Untuk menyederhanakan argumen topologis ini, ada baiknya untuk memeriksa prinsip yang mendasari dengan mempertimbangkan contoh untuk dimensi {{math|''d'' {{=}} 2}}. Ide esensial dapat dipahami dengan diagram di sebelah kiri, yang menunjukkan bahwa, dalam petak berorientasikan manifold, jalur interior dilintasi dalam arah yang berlawanan; kontribusi mereka ke integral jalan sehingga membatalkan satu sama lain secara berpasangan. Akibatnya, hanya kontribusi dari batas yang tersisa. Dengan demikian, cukup untuk membuktikan teorema Stokes untuk kemiringan yang cukup halus (atau, setara, [[Simpleks|sederhana]]), yang biasanya tidak sulit.

{{Clear}}

== Rampat himpunan kasar ==
[[Berkas:Green's-theorem-simple-region.svg|jmpl|180x180px|Suatu daerah (di sini disebut {{mvar | D}} bukan {{math | Ω}}) dengan batas mulus sebagian. [[lipatan dengan sudut]] jadi batasnya bukanlah lipatan yang mulus.]]

Rumus di atas, di mana {{math | Ω}} adalah lipatan halus dengan batas, tidak mencukupi dalam banyak aplikasi. Misalnya, jika domain integrasi didefinisikan sebagai bidang bidang antara dua koordinat {{mvar | x}} dan grafik dari dua fungsi, akan sering terjadi bahwa domain tersebut memiliki sudut. Dalam kasus, titik sudut berarti bahwa {{math | Ω}} bukan lipatan halus dengan batas, sehingga pernyataan teorema Stokes yang diberikan di atas tidak berlaku.  Namun demikian, kesimpulan dari teorema Stokes. Ini karena {{math | Ω}} dan batasnya berperilaku baik menjauh dari sekumpulan kecil titik (himpunan [[mengukur nol]]).

== Lihat pula ==
*[[Chandrasekhar–lemma Wentzel]]
*[[:Portal:Matematika/Intro/Gambar]]
*[[:Portal:Matematika/Templat halaman]]

== Catatan kaki ==
{{reflist|group=note}}

== Catatan penting ==
{{Reflist|group=Catatan penting}}

==Referensi==
{{reflist}}

==Bacaan lebih lanjut==
* {{cite book |last=Grunsky |first=Helmut |authorlink=Helmut Grunsky |title=The General Stokes' Theorem |location=Boston |publisher=Pitman |year=1983 |isbn=0-273-08510-7 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/generalstokesthe0000grun }}
* {{cite journal| last=Katz | first=Victor J. | title=The History of Stokes' Theorem | journal=Mathematics Magazine |date=May 1979 | volume=52 | number=3 | pages=146–156 | jstor=2690275 | doi=10.2307/2690275}}
* {{cite book|url=https://archive.org/details/LoomisL.H.SternbergS.AdvancedCalculusRevisedEditionJonesAndBartlett|title=Advanced Calculus|last2=Sternberg|first2=Shlomo|publisher=World Scientific|year=2014|isbn=978-981-4583-93-0|location=Hackensack, New Jersey|pages=|author-link2=Shlomo Sternberg|last1=Loomis|first1=Lynn Harold|author1-link=Lynn Harold Loomis}}
* {{cite book|url=https://archive.org/details/MadsenI.H.TornehaveJ.FromCalculusToCohomologyDeRhamCohomologyAndCharacteristicClasses1996|title=From Calculus to Cohomology: De Rham cohomology and characteristic classes|last2=Tornehave|first2=Jørgen|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=0-521-58956-8|location=Cambridge, UK|pages=|last1=Madsen|first1=Ib|author1-link=Ib Madsen}}
* {{cite book|author-link=Jerrold E. Marsden|last=Marsden|first=Jerrold E.|last2=Anthony|first2=Tromba|title=Vector Calculus|edition=5th|publisher=W.&nbsp;H. Freeman|date=2003}}
* {{cite book|url=https://archive.org/details/GraduateTextsInMathematics218LeeJ.M.IntroductionToSmoothManifoldsSpringer2012|title=Introduction to Smooth Manifolds|last=Lee|first=John|date=2003|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-95448-6|location=|pages=}}
* {{cite book|url=https://archive.org/details/1979RudinW|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGraw–Hill|year=1976|isbn = 0-07-054235-X|location=New York, NY|pages=|authorlink=Walter Rudin}}
* {{cite book |title=Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus |last1=Spivak|first1=Michael|title-link=Calculus on Manifolds (book)|publisher=	Benjamin Cummings |year=1965 |isbn=0-8053-9021-9 |location=San Francisco |pages= |author1-link=Michael Spivak }}
* {{cite book |first=James |last=Stewart |title=Calculus: Concepts and Contexts |url=https://books.google.com/books?id=Vou3MZu_7tcC&pg=PA960 |date=2009 |publisher=Cengage Learning |pages=960–967 |isbn=978-0-495-55742-5}}
* {{cite book|last=Stewart|first=James|title=Calculus: Early Transcendental Functions|edition=5th|publisher=Brooks/Cole|date=2003}}
* {{cite book|title=An Introduction to Manifolds|last1=Tu|first1=Loring W.|publisher=Springer|year=2011|isbn=978-1-4419-7399-3|edition=2nd|location=New York|pages=|author1-link=Loring W. Tu}}

==Pranala luar==
* {{springer|title=Stokes formula|id=p/s090310}}
* [http://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/hugheshallett/0471484822/theory/hh_focusontheory_sectionm.pdf Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem]
* [http://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcIII/stokestheorem.aspx Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu] – an expository explanation

[[Kategori:Topologi diferensial]]
[[Kategori:Bentuk diferensial]]
[[Kategori:Teori dualitas]]
[[Kategori:Integral pada manifold]]
[[Kategori:Teorema dalam kalkulus]]
[[Kategori:Teorema dalam geometri diferensial]]