Lihat sumber Subgrup normal

{{Redirect-distinguish|Subgrup invarian|Subgrup invarian penuh}}
{{Group theory sidebar|Basics}}
Dalam [[aljabar abstrak]], '''subgrup normal''' (juga dikenal sebagai '''subgrup invarian''' atau '''subgrup konjugasi sendiri'''){{sfn|Bradley|2010|p=12}} adalah [[subgrup]] yang invarian di bawah [[inner automorphism | konjugasi]] oleh anggota [[grup (matematika) | grup]] yang merupakan bagiannya. Dengan kata lain, subgrup {{math | '' N ''}} dari grup {{math | '' G ''}} adalah normal dalam {{math | '' G ''}} jika dan hanya jika {{math|''gng''{{sup|−1}} ∈ ''N''}}  untuk {{math|''g'' ∈ ''G''}} dan {{math|''n'' ∈ ''N''}}. Notasi umum untuk relasi ini adalah <math>N \triangleleft G</math>.

Subkelompok normal penting karena mereka (dan hanya mereka) dapat digunakan untuk membangun [[kelompok hasil bagi]] dari grup tertentu. Selanjutnya, subgrup normal dari {{math | '' G ''}} tepatnya adalah [[Kernel dari homomorfisme | kernel]] dari [[Homomorfisme grup | homomorfisme grup]] dengan domain {{math | '' G ''}}, yang berarti bahwa mereka dapat digunakan untuk mengklasifikasikan homomorfisme tersebut secara internal.

[[Évariste Galois]] adalah orang pertama yang menyadari pentingnya keberadaan subgrup normal.{{sfn|Cantrell|2000|p=160}}

== Definisi ==
[[Subgrup]] {{math | '' N ''}} dari grup {{math | '' G ''}} disebut '''subgrup normal''' dari {{math | '' G ''}} jika itu invarian di bawah [[automorfisme dalam | konjugasi]]; yaitu, konjugasi elemen {{math | '' N ''}} dengan elemen {{math | '' G ''}} selalu dalam {{math | '' N ''}}.{{sfn|Dummit|Foote|2004}}  Notasi umum untuk relasi ini adalah <math>N \triangleleft G</math>.

=== Kondisi yang setara ===
Untuk setiap subgrup {{math | '' N ''}} dari {{math | '' G ''}}, kondisi berikut adalah [[Ekuivalen logis | ekuivalen]] ke {{math | '' N ''} } menjadi subgrup normal dari {{math | '' G ''}}. Oleh karena itu, salah satu dari mereka dapat dianggap sebagai definisi:

* Gambar konjugasi {{math | '' N ''}} oleh salah satu elemen {{math | '' G ''}} adalah [[himpunan bagian]] dari {{math | '' N ''}}.{{sfn|Hungerford|2003|p=41}}'
* Gambar konjugasi {{math | '' N ''}} oleh elemen apa pun dari {{math | '' G ''}} sama dengan {{math | '' N ''}}.{{sfn|Hungerford|2003|p=41}}
* Untuk {{math | '' g ''}} di {{math | '' G ''}}, koset kiri dan kanan {{math | '' gN ''}} dan {{math | '' Ng ''}} adalah sama.{{sfn|Hungerford|2003|p=41}}
* Himpunan [[kohimpunan]] kiri dan kanan dari {{math | '' N ''}} di {{math | '' G ''}} bertepatan.{{sfn|Hungerford|2003|p=41}}
* Produk dari elemen koset kiri {{math | '' N ''}} sehubungan dengan {{math | '' g ''}} dan elemen kohimpunan kiri {{math | '' N ''}} sehubungan dengan {{math | '' h ''}} adalah elemen kohimpunan kiri dari {{math|''N''}} dengan {{math|''gh''}}: {{math|∀''x'', ''y'', ''g'', ''h'' ∈ ''G''}}, jika {{math|''x'' ∈ ''gN''}} dan {{math|''y'' ∈ ''hN''}} maka {{math|''xy'' ∈ (''gh'')''N''}}.
* {{math|''N''}} adalah [[union (teori himpunan) | union]] dari [[kelas konjugasi]] dari {{math|''G''}}.{{sfn|Cantrell|2000|p=160}}
* {{math|''N''}} diawetkan oleh [[automorfisme batin]] dari {{mvar|G}}.{{sfn|Fraleigh|2003|p=141}}
* Ada beberapa [[homomorfisme grup]] {{math|''G'' &rarr; ''H''}} pada [[kernel (aljabar) | kernel]] adalah {{math|''N''}}.{{sfn|Cantrell|2000|p=160}}
* Untuk <math>n\in N</math> dan <math>g\in G</math>, [[komutator]] <math>[n,g] = n^{-1}g^{-1}ng</math> pada {{mvar|N}}.{{cn|date=Maret 2019}}
* Setiap dua elemen bolak-balik terkait hubungan keanggotaan subkelompok normal: {{math|∀''g'', ''h'' ∈ ''G'', ''gh'' ∈ ''N'' ⇔ ''hg'' ∈ ''N''}}.{{cn|date=Oktober 2020}}

== Contoh ==
* Subgrup sepele {{math|{''e''} }}hanya terdiri dari elemen identitas {{math | '' G ''}} dan {{math | '' G ''}} itu sendiri selalu merupakan subgrup normal dari {{math | '' G ''}}. Jika ini adalah satu-satunya subgrup normal, maka {{math | '' G ''}} dikatakan [[grup sederhana | sederhana]].{{sfn|Robinson|1996|p=16}}
*Setiap subgrup {{math | '' N ''}} dari [[grup abelian]] {{math | '' G ''}} adalah normal, karena <math>gN = \{gn\}_{n\in N} = \{ng\}_{n\in N} = Ng.</math> A grup yang bukan abelian tetapi setiap subgrupnya normal disebut [[grup Hamilton]].{{sfn|Hall|1999|p=190}}
* [[Pusat (teori grup) | pusat grup]] adalah subkelompok normal.{{sfn|Hungerford|2003|p=45}}
* Secara lebih umum, setiap [[subgrup karakteristik]] adalah normal, karena konjugasi selalu merupakan [[automorfisme]].{{sfn|Hall|1999|p=32}}
*[[Subgrup komutator]] <math>[G,G]</math> adalah subgrup normal dari <math>G</math>.{{sfn|Hall|1999|p=138}}
*[[Grup terjemahan]] adalah subgrup normal dari [[grup Euclidean]] dalam dimensi apa pun.{{sfn|Thurston|1997|p=218}} Artinya: menerapkan transformasi kaku, diikuti oleh terjemahan, dan kemudian transformasi kaku terbalik, memiliki efek yang sama sebagai terjemahan tunggal (meskipun biasanya terjemahan yang berbeda dari yang kita gunakan sebelumnya). Sebaliknya, subkelompok dari semua [[Rotasi | rotasi]] tentang asal adalah '' bukan '' subkelompok normal dari grup Euclidean, selama dimensinya minimal 2: mula-mula menerjemahkan, lalu memutar tentang asal, lalu menerjemahkan kembali biasanya tidak akan menetapkan asal dan oleh karena itu tidak akan memiliki efek yang sama seperti rotasi tunggal tentang asal.
* Dalam [[Grup Kubus Rubik]], subgrup yang terdiri dari operasi yang hanya mempengaruhi orientasi potongan sudut atau potongan tepi adalah normal.{{sfn|Bergvall|Hynning|Hedberg|Mickelin|2010|p=96}}

== Sifat ==

* Jika {{math | '' H ''}} adalah subgrup normal dari {{math | '' G ''}}, dan {{math | '' K ''}} adalah subgrup dari {{math | ''G''}} berisi {{math |''H''}}, maka {{math | '' H ''}} adalah subgrup normal dari {{math|''K''}}.{{sfn|Hungerford|2003|p=42}}
* Subgrup normal dari subkelompok normal dari suatu kelompok tidak harus normal dalam kelompok tersebut. Artinya, normalitas bukanlah [[hubungan transitif]]. Grup terkecil yang menunjukkan fenomena ini adalah [[grup dihedral]] berorde 8.{{sfn|Robinson|1996|p=17}} Namun, [[subgrul karakteristik]] dari subkelompok normal adalah normal.{{sfn|Robinson|1996|p=28}} Sebuah kelompok yang normalitasnya transitif disebut [[T-grup (matematika) | T-grup]].{{sfn|Robinson|1996|p=402}}
* Dua grup {{math | '' G ''}} dan {{math | '' H ''}} adalah subgrup normal dari [[produk langsung grup | produk langsung]] {{math|''G'' &times; ''H''}}.
* Jika grup {{math | '' G ''}} adalah [[produk setengah langsung]] <math>G = N \rtimes H,</math>, maka {{math | '' N ''}} adalah normal dalam {{math | '' G ''}}, meskipun {{math | '' H ''}} tidak perlu menjadi normal dalam {{math | '' G ''}}.
* Normalitas dipertahankan di bawah homomorfisme dugaan,{{sfn|Hall|1999|p=29}} yaitu jika {{math|''G'' &rarr; ''H''}} adalah homomorfisme kelompok dugaan dan {{math | '' N ''}} adalah normal di {{math | '' G ''}}, lalu gambar {{math|''f''(''N'')}} normal dalam {{math | '' H ''}}.
* Normalitas dipertahankan dengan mengambil [[Galeri invers | gambar terbalik]],{{sfn|Hall|1999|p=29}} i.e. if {{math|''G'' &rarr; ''H''}} adalah homomorfisme grup dan {{math | '' N ''}} normal dalam {{math | '' H ''}}, maka gambar terbalik {{math|''f''{{sup|&nbsp;-1}}(''N'')}} pada {{math|''G''}}.
* Normalitas dipertahankan pada pengambilan [[produk langsung dari grup | produk langsung]],{{sfn|Hungerford|2003|p=46}} yaitu jika <math>N_1 \triangleleft G_1</math> dan <math>N_2 \triangleleft G_2</math>, maka <math>N_1\times N_2\; \triangleleft \;G_1\times G_2</math>.
* Setiap subgrup [[indeks (teori grup) | indeks]] 2 adalah normal. Secara lebih umum, subgrup, {{math | '' H ''}}, dari indeks hingga, {{math | '' n ''}}, pada {{math | '' G ''}} berisi subgrup, {{math|''K''}}, normal di {{math | '' G ''}} dan pembagi indeks {{math | '' n ''!}} disebut [[normal core]]. Khususnya, jika {{math | '' p ''}} adalah bilangan prima terkecil yang membagi urutan {{math | '' G ''}}, maka setiap subgrup indeks {{math | '' p ''} } normal.{{sfn|Robinson|1996|p=36}}
* Fakta bahwa subgrup normal dari {{math | '' G ''}} adalah kernel homomorfisme grup yang didefinisikan pada '' G '' menjelaskan beberapa pentingnya subgrup normal; mereka adalah cara untuk mengklasifikasikan secara internal semua homomorfisme yang didefinisikan dalam sebuah grup. Misalnya, grup terbatas non-identitas adalah [[grup sederhana | sederhana]] [[jika dan hanya jika]] isomorfik untuk semua gambar homomorfik non-identitasnya,{{sfn|Dõmõsi|Nehaniv|2004|p=7}} sebuah grup berhingga adalah [[grup sempurna | sempurna]] jika dan hanya jika grup tersebut tidak memiliki subgrup normal dari prime [[Indeks dari subgrup | indeks]], dan sebuah grup adalah [[grup tidak sempurna | tidak sempurna]] jika dan hanya jika [[subgrup turunan]] tidak ditambah dengan subgrup normal yang sesuai.

=== Kisi subgrup normal ===
Diberikan dua subgrup normal, {{math | '' N ''}} dan {{math | '' M ''}}, dari {{math | '' G ''}}, persimpangannya <math>N\cap M</math>and their product <math> N M = \{nm \mid n \in N\; \text{ dan }\; m \in M\}</math> juga merupakan subgrup normal dari {{math | '' G ''}}. 

Subgrup normal dari {{math | '' G ''}} membentuk [[kisi (order) | kisi]] di bawah [[subset inclusion]] dengan [[least element]], {{math|{''e''} }}, dan [[elemen terbesar]], {{math | '' G ''}}. [[Pertemuan (teori kisi) | bertemu]] dari dua subgrup normal, {{math | '' N ''}} dan {{math | '' M ''}}, dalam kisi ini adalah perpotongannya dan [[bergabung (teori kisi) | join]] adalah hasil kali mereka.

Kisi tersebut adalah [[kisi lengkap | lengkap]] dan [[kisi modular | modular]].{{sfn|Hungerford|2003|p=46}}

== Subgrup normal, grup hasil bagi dan homomorfisme ==

Jika {{math | '' N ''}} adalah subgrup normal, kita bisa mendefinisikan perkalian koset sebagai berikut:<math display="block">(a_1 N)(a_2 N) := (a_1 a_2)N.</math>Relasi ini mendefinisikan pemetaan <math>G/N\times G/N\to G/N</math>. Untuk menunjukkan bahwa pemetaan ini terdefinisi dengan baik, perlu dibuktikan bahwa pemilihan elemen perwakilan <math>a_1, a_2</math> tidak mempengaruhi hasil. Untuk tujuan ini, pertimbangkan beberapa elemen perwakilan lainnya <math>a_1'\in a_1 N, a_2'\in a_2 N</math>. Maka ada <math>n_1, n_2\in N</math> mendefinisikan <math>a_1'=a_1 n_1, a_2'=a_2 n_2</math>. Oleh karena itu <math display="block">a_1' a_2' N = a_1 n_1 a_2 n_2 N =a_1 a_2 n_1' n_2 N=a_1 a_2 N,</math>di mana kami menggunakan <math>N</math> adalah subgrup '' normal '', dan oleh karena itu ada <math>n_1'\in N</math> karena <math>n_1 a_2 = a_2 n_1'</math>. Ini membuktikan bahwa produk ini adalah pemetaan antar kohimpunan yang terdefinisi dengan baik.

Dengan operasi ini, himpunan coset itu sendiri adalah sebuah grup, yang disebut [[grup hasil bagi]] dan dilambangkan dengan {{math|''G''/''N''}}. Ada [[homomorfisme grup | homomorfisme]] alami, {{math|''f'': ''G'' → ''G/N''}}, given by {{math|''f''(''a'') {{=}} ''aN''}}. Homomorfisme ini memetakan <math> N </math> ke dalam elemen identitas {{math | ''G/N''}}, yang merupakan kohimpunan {{math|''eN'' {{=}} ''N''}},{{sfn|Hungerford|2003|pp=42–43}} that is, <math>\ker(f)=N</math>.

Secara umum, homomorfisme grup, {{math|''f'': ''G'' → ''H''}} mengirim subgrup dari {{math | '' G ''}} ke subgrup dari {{math | '' H ''}}. Juga, preimage dari setiap subgrup dari {{math | '' H ''}} adalah subgrup dari {{math | '' G ''}}. Kami menyebut preimage dari grup trivial {{math | {'' e ''} }} di {{math | '' H ''}} '''[[kernel (algebra) | kernel]]''' dari homomorfisme dan dilambangkan dengan {{math|ker(''f'')}}. Ternyata, kernel selalu normal dan citra {{math|''G''}}, {{math|''f''(''G'')}}, selalu [[isomorfik]] menjadi {{math|''G''/ker(''f'')}} (the [[teorema isomorfisme pertama]]).{{sfn|Hungerford|2003|p=44}} Nyatanya, korespondensi ini adalah bijection antara himpunan semua kelompok hasil bagi dari {{mvar | G}}, {{math|''G''/''N''}}, dan himpunan semua gambar homomorfik dari {{math | '' G ''}} ([[hingga]] [[isomorfisme]]).{{sfn|Robinson|1996|p=20}} Juga mudah untuk melihat bahwa kernel peta hasil bagi, {{math|''f'': ''G'' → ''G/N''}}, adalah {{math | '' N ''}} itu sendiri, jadi subgrup normal tepatnya adalah kernel homomorfisme dengan [[domain fungsi | domain]] {{math|''G''}}.{{sfn|Hall|1999|p=27}}

== Lihat pula ==
{{div col}}

=== Operasi membawa subkelompok ke subkelompok ===
* [[Normalizer]]
* [[Penutupan konjugasi]]
* [[Inti normal]]

=== Properti subkelompok yang saling melengkapi (atau berlawanan) dengan normalitas ===
* [[Subgrup tidak normal]]
* [[Subgrup kontranormal]]
* [[Subgrup abnormal]]
*[[Subgrup yang menormalkan sendiri]]

=== Properti subkelompok lebih kuat dari normalitas ===
* [[Subgrup karakteristik]]
* [[Subgrup dengan karakteristik penuh]]

=== Properti subkelompok lebih lemah dari normalitas ===
* [[Subgrup subnormal]]
* [[Subgrup Ascendant]]
* [[Subgrup keturunan]]
* [[Subgrup Kuasinormal]]
* [[Subgrup seminormal]]
* [[Konjugasi subgrup yang dapat diubah]]
* [[Subgrup modular]]
* [[Subgrup pronormal]]
*[[Subgrup paranormal]]
* [[Subgrup polinormal]]
* [[Subgrup C-normal]]

=== Gagasan terkait dalam aljabar ===
* [[Ideal (teori gelanggang)]]

{{div col end}}

== Catatan ==
{{reflist}}

== Referensi ==
{{refbegin}}
*{{cite journal|last1=Bergvall|first1=Olof|last2=Hynning|first2=Elin|last3=Hedberg|first3=Mikael|last4=Mickelin|first4=Joel|last5=Masawe|first5=Patrick|title=On Rubik's Cube|date=16 May 2010|publisher=[[KTH Royal Institute of Technology|KTH]]|url=https://people.kth.se/~boij/kandexjobbVT11/Material/rubikscube.pdf|ref=harv}}
*{{cite book|last=Cantrell|first=C.D.|title=Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers|url=https://archive.org/details/modernmathematic0000cant|url-access=registration|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=978-0-521-59180-5|ref=harv}}
*{{cite book|last1=Dõmõsi|first1=Pál|last2=Nehaniv|first2=Chrystopher L.|title=Algebraic Theory of Automata Networks|series=SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications|publisher=SIAM|year=2004|ref=harv}}
*{{cite book|last1=Dummit|first1=David S.|last2=Foote|first2=Richard M.|title=Abstract Algebra|publisher=John Wiley & Sons|year=2004|edition=3rd|isbn=0-471-43334-9|ref=harv}}
*{{cite book|last=Fraleigh|first=John B.|title=A First Course in Abstract Algebra|url=https://archive.org/details/firstcourseinabs07edfral|publisher=Addison-Wesley|year=2003|edition=7th|isbn=978-0-321-15608-2|ref=harv}}
*{{cite book|last=Hall|first=Marshall|title=The Theory of Groups|publisher=Chelsea Publishing|location=Providence|year=1999|isbn=978-0-8218-1967-8|ref=harv}}
*{{cite book|last=Hungerford|first=Thomas|title=Algebra|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=Springer|year=2003|ref=harv}}
*{{cite book|last=Robinson|first=Derek J. S.|title=A Course in the Theory of Groups|volume=80|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1996|isbn=978-1-4612-6443-9|zbl=0836.20001|edition=2nd|ref=harv}}
*{{cite book|last=Thurston|first=William|authorlink=William Thurston|title=Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1|url=https://archive.org/details/threedimensional0001thur|editor-last=Levy|editor-first=Silvio|series=Princeton Mathematical Series|publisher=Princeton University Press|year=1997|isbn=978-0-691-08304-9|ref=harv}}
*{{cite book | last=Bradley | first=C. J. | title=The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups | publisher=Clarendon Press | publication-place=Oxford New York | year=2010 | isbn=978-0-19-958258-7 | oclc=859155300 | page=}}
{{refend}}

== Bacaan lebih lanjut ==
* [[I. N. Herstein]], ''Topics in algebra.''  Second edition. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 pp.

== Pranala luar ==
* {{MathWorld|urlname=NormalSubgroup|title= normal subgroup}}
* [http://eom.springer.de/N/n067690.htm Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics]
* [http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra/Chapter1.pdf Robert Ash: Group Fundamentals in ''Abstract Algebra. The Basic Graduate Year'']
* [http://gowers.wordpress.com/2011/11/20/normal-subgroups-and-quotient-groups Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups]
* [http://math.ucr.edu/home/baez/normal.html John Baez, What's a Normal Subgroup?]

[[Kategori:Sifat subgrup]]