Lihat sumber Sinus dan kosinus

{{redirect2|Sinus|Kosinus|penggunaan lain|Sinus (disambiguasi)}}
{{Infobox mathematical function|name=Sinus dan kosinus|root=sinus: ''k''{{pi}}; kosinus: ''k''{{pi}} + {{sfrac|{{pi}}|2}}|taylor_series=<math>
\begin{align}
      \sin(x) &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[8pt]
  &={} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\[8pt]
      \cos(x) &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\[8pt]
  &={} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \\[8pt]
\end{align}
</math>|generalized_continued_fraction=|antiderivative=<math>\begin{align}\int \sin(x)\,dx &= -\cos(x) + C \\[8pt]
\int \cos(x)\,dx &= \sin(x) + C \\[8pt]\end{align} </math>|derivative=<math>\begin{align}\frac{d}{dx} \sin(x) &= \cos(x) \\[8pt]
\frac{d}{dx} \cos(x) &= -\sin(x)\\[8pt]\end{align}</math>|inverse=sinus: [[arcsinus]]; cosine: [[arccosinus]]|reciprocal=sinus: [[kosekan]]; cosine: [[sekan]]|motivation_of_creation=[[Astronomi India]]|date=[[Kemaharajaan Gupta]]|fields_of_application=[[Trigonometri]], [[Transformasi integral]], dll.|notes={{ublist
 |  {{sup|a}} Untuk [[bilangan real]].
 | {{sup|b}} Variabel ''k'' adalah suatu [[bilangan bulat]].
 }}|fixed=sinus: 0; kosinus: [[Bilangan Dottie]]|inflection=sinus: ''k''{{pi}}; kosinus: ''k''{{pi}} + {{sfrac|{{pi}}|2}}|critical=sinus: ''k''{{pi}} + {{sfrac|{{pi}}|2}}; kosinus: ''k''{{pi}}|asymptote=|image=Sine_cosine_one_period.svg|f5=|vr5=|f1=<!--......-->|vr1=|min=sinus: (2''k''{{pi}} − {{sfrac|{{pi}}|2}}, −1); kosinus: (2''k''{{pi}} + {{pi}}, -1)|max=sinus: (2''k''{{pi}} + {{sfrac|{{pi}}|2}}, 1){{smallsup|b}}; kosinus: (2''k''{{pi}}, 1)|minusinf=|plusinf=|zero=sinus: 0; kosinus: 1|period=2{{pi}}|codomain=[−1, 1]&thinsp;{{smallsup|a}}|domain=(−{{lower|0.2em|{{resize|130%|∞}}}}, +{{lower|0.2em|{{resize|130%|∞}}}})&thinsp;{{smallsup|a}}|parity=sinus: ganjil; kosinus: genap|general_definition=<math>
\begin{align}
&\sin(\alpha) = \frac {\text{sisi tegak}} {\text{hipotenusa}} \\[8pt]
&\cos(\alpha) = \frac {\text{sisi alas}} {\text{hipotenusa}} \\[8pt]
\end{align}</math>|other_related=tan, csc, sec, cot}}

Dalam [[matematika]], '''sinus''' dan '''kosinus''' adalah [[fungsi trigonometri]] untuk [[Sudut (geometri)|sudut]]. Sinus dan kosinus dari suatu sudut lancip didefinisikan dalam konteks [[segitiga siku-siku]]: nilai sinus adalah rasio dari panjang sisi segitiga yang menghadap sudut tersebut (sisi tegak) terhadap panjang sisi terpanjang segitiga (hipotenusa), sedangkan nilai kosinus adalah rasio panjang sisi segitiga yang lain (sisi alas) terhadap hipotenusa. Untuk suatu sudut <math>x</math>, fungsi sinus dan kosinus dituliskan sebagai <math>\sin x</math> and <math>\cos x</math>.<ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Sine|url=https://mathworld.wolfram.com/Sine.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-08-29}}</ref>

Lebih umum lagi, definisi sinus dan kosinus dapat diperluas ke sembarang nilai [[Bilangan real|real]], dalam konteks panjang suatu segmen garis pada suatu [[lingkaran satuan]]. Definisi yang lebih modern menyatakan sinus dan kosinus dalam bentuk [[Deret (matematika)|deret tak hingga]], atau solusi dari suatu [[persamaan diferensial]], yang memungkinkan memperluasnya ke bilangan negatif dan bahkan ke [[bilangan kompleks]].

Fungsi sinus dan kosinus umum digunakan untuk memodelkan fenomena [[Fungsi periodik|periodik]] seperti [[bunyi]] dan gelombang suara, posisi dan kecepatan dari osilator harmonik, intensitas cahay matahari dan panjang hari, maupun variasi temperatur sepanjang tahun.

Fungsi sinus dan kosinus dapat dilacak kembali ke fungsi [[Jyā, koti-jyā dan utkrama-jyā|''jyā'' dan ''koṭi-jyā '']]<nowiki/>yang digunakan pada [[astronomi India]] pada [[Kemaharajaan Gupta|periode Gupta]] (''[[Aryabhatiya]]'', ''[[Surya Siddhanta]]''), yang mengalami penerjemahan dari bahasa Sanskerta ke bahasa Arab, kemudian dari bahasa Arab ke bahasa Latin.<ref name="Boyer, Carl B. 1991 p. 210">[[Uta Merzbach|Uta C. Merzbach]], [[Carl B. Boyer]] (2011), A History of Mathematics, Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, 3rd ed., p. 189.</ref> Kata "sinus" berasal dari penerjemahan [[bahasa Latin]] yang salah oleh [[Robert of Chester]] untuk kata Arab ''jiba'', yang selanjutnya merupakan [[Alih aksara|transliterasi]] dari kata Sanskerta untuk setengah busur, ''jya-ardha''.<ref>Victor J. Katz (2008), ''A History of Mathematics'', Boston: Addison-Wesley, 3rd. ed., p. 253, sidebar 8.1. {{cite web|title=Archived copy|url=http://deti-bilingual.com/wp-content/uploads/2014/06/3rd-Edition-Victor-J.-Katz-A-History-of-Mathematics-Pearson-2008.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20150414065531/http://deti-bilingual.com/wp-content/uploads/2014/06/3rd-Edition-Victor-J.-Katz-A-History-of-Mathematics-Pearson-2008.pdf|archive-date=2015-04-14|access-date=2015-04-09|url-status=live}}</ref> Kata "cosinus" (Indonesia: "kosinus") berasal dari singkatan Latin "complementi sinus" pada abad pertengahan.<ref name="cosine">{{cite web|title=cosine|url=https://www.etymonline.com/word/cosine}}</ref>

== Definisi dengan segitiga siku-siku ==
[[Berkas:Trigono_a10.svg|ka|jmpl| Untuk suatu sudut ''α'', fungsi sinus memberikan rasio panjang sisi tegak dengan panjang hipotenusa]]
Untuk mendefinisikan sinus dan kosinus dari suatu sudut lancip ''α'', mulai dengan membentuk [[segitiga siku-siku]] yang mengandung sudut ''α''; pada gambar berikut, sudut ''α'' pada segitiga ''ABC'' adalah sudut yang ingin dihitung. Ketiga sisi pada segitiga diberi nama sebagai berikut:

* ''Sisi tegak'' atau ''sisi berlawanan'' adalah sisi yang menghadap sudut ''α''; dalam kasus ini adalah sisi&nbsp;''a''.
* ''Hipotenusa'' adalah sisi yang menghadap sudut siku-siku, dalam kasus ini adalah sisi&nbsp;''h''. Hipotenusa selalu merupakan sisi terpanjang dari sembarang segitiga siku-siku.
* ''Sisi samping'' adalah sisi segitiga yang tersisa, dalam kasus ini adalah sisi&nbsp;''b''. Sisi ini diapit oleh sudut ''α'' dan sudut siku-siku.

Setelah segitiga tersebut dibentuk, sinus dari sudut adalah panjang dari sisi tegak dibagi dengan panjang hipotenusa:<ref name=":2">{{Cite web|title=Sine, Cosine, Tangent|url=https://www.mathsisfun.com/sine-cosine-tangent.html|website=www.mathsisfun.com|access-date=2020-08-29}}</ref>

: <math>\sin(\alpha) = \frac {\text{sisi tegak}} {\textrm{hipotenusa}}\qquad\cos(\alpha) = \frac {\text{sisi alas}}{\textrm{hipotenusa}}</math>

Fungsi-fungsi trigometri yang lain dapat didefinisikan dengan cara yang mirip; sebagai contoh, [[tangen]] dari suatu sudut adalah rasio antara sisi tegak dengan sisi alas.<ref name=":2" />

Dari definisi, nilai dari <math>\sin(\alpha)</math> dan <math>\cos(\alpha)</math> terlihat bergantung pada pemilihan segitiga siku-siku yang mengandung sudut ''α''. Namun, hal ini tidak benar, karena semua segitiga siku-siku yang mengandung sudut ''α'' akan [[Serupa (geometri)|serupa]], sehingga rasio yang didapatkan dari semua segitiga tersebut akan sama.

== Definisi dengan lingkaran satuan ==
[[Berkas:Circle_cos_sin.gif|jmpl|Animasi yang menunjukkan fungsi sinus (warna merah) digambarkan dari koordinat-''y'' suatu titik pada [[lingkaran satuan]] (warna hijau), pada suatu sudut ''θ''. Sedangkan, koordinat-''x'' dari titik tersebut menghasilkan grafik kosinus (warna biru).]]
Dalam [[trigonometri]], [[lingkaran satuan]] adalah lingkaran dengan jari-jari sebesar 1 dan berpusat di titik asal (0, 0) pada [[sistem koordinat Kartesius]]. Misalkan suatu segmen garis melalui titik asal, membentuk sudut

''θ'' terhadap sisi positif dari sumbu-''x'', dan memotong lingkaran satuan pada suatu titik. Nilai koordinat''-x'' dan ''-y'' dari titik tersebut sama dengan {{math|cos(''θ'')}} dan {{math|sin(''θ'')}}, secara berurutan.

Definisi ini konsisten dengan definisi dengan menggunakan segitiga siku-siku ketika 0 < ''θ'' < π/2. Karena panjang hipotenusa segitiga siku-siku di lingkaran satuan selalu bernilai 1, <math display="inline">\sin(\theta) = \frac {\textrm{sisi}\,\,\textrm{tegak}} {\textrm{hipotenusa}} = \frac {\textrm{sisi}\,\,\textrm{tegak}}{1} = \textrm{sisi}\,\,\textrm{tegak}</math>. Lebih lanjut, panjang sisi tegak dari segitiga ini adalah koordinat-''y'' dari titik. Argumen yang sama dapat dibuat untuk menunjukkan <math display="inline">\cos (\theta) = \frac {\text{sisi alas}}{\text{hipotenusa}}</math> ketika 0 < ''θ'' < π/2, bahkan ketika menggunakan definisi dengan lingkaran satuan. nilai tangen {{math|tan(''θ'')}} didefinisikan sebagai <math display="inline">\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}</math>, atau secara ekuivalen, sebagai kemiringan dari segmen garis.

Definisi menggunakan lingkaran satuan memiliki keuntungan bahwa nilai sudut dapat diperluas menjadi sembarang [[bilangan real]]. Hal ini juga dapat dicapai dengan menggunakan beberapa simetri, dan mengganggap sinus (dan kosinus) sebagai [[fungsi periodik]].

== Identitas ==
{{Main|Daftar identitas trigonometri}}

Fungsi sinus dan kosinus terhubung secara tepat (''exact'') oleh identitas berikut, yang berlaku untuk sembarang nilai <math>\theta</math> (dalam [[radian]]):

: <math>\sin(\theta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right)</math>
: <math>\cos(\theta) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)</math>

=== Lawan perkalian ===
[[Invers perkalian]] dari sinus adalah kosekan, yang ditulis sebagai {{math|csc}}, atau {{math|cosec}}. Kosekan memberikan rasio panjang hipotenusa terhadap panjang sisi tegak. Serupa dengan itu, invers perkalian dari kosinus adalah sekan, yang memberikan rasio panjang hipotenusa terhadap panjang sisi samping.

: <math>\csc(A) = \frac{1}{\sin(A)} = \frac {\text{hipotenusa}} {\text{sisi tegak}} </math>
: <math>\sec(A) = \frac{1}{\cos(A)} = \frac {\text{hipotenusa}} {\text{sisi alas}} </math>

=== Fungsi invers ===
[[Berkas:Arcsine_Arccosine.svg|jmpl|The usual principal values of the {{math|arcsin(''x'')}} and {{math|arccos(''x'')}} functions graphed on the Cartesian plane]]
[[Fungsi invers]] dari sinus adalah arcsinus (ditulis sebagai arcsin atau asin), atau invers sinus ({{math|sin{{sup|−1}}}}).  Fungsi invers dari kosinus adalah arccosinus, yang ditulis sebagai arccos, acos, atau {{math|cos{{sup|−1}}}}. (simbol -1 pada bentuk {{math|sin{{sup|−1}}}} dan {{math|cos{{sup|−1}}}} melambangkan invers dari suatu fungsi, bukan [[Eksponensiasi|perpangkatan]].) Karena sinus dan kosinus bukan [[fungsi injektif]], invers mereka hanya fungsi invers secara parsial. Sebagai contoh, {{math|1=sin(0) = 0}}, tapi begitu pula dengan {{math|1=sin(''π'') = 0}}, {{math|1=sin(2''π'') = 0}} dst. Hal ini menyebabkan arcsinus bernilai banyak: {{math|1=arcsin(0) = 0}}, tapi juga {{math|1=arcsin(0) = ''π''}}, {{math|1=arcsin(0) = 2''π''}}, dst. Ketika hanya satu nilai yang diperlukan, nilai fungsi dapat dibatasi hanya ke [[cabang utama]]-nya saja. Dengan pembatasan ini, untuk setiap nilai ''x'' di [[Ranah fungsi|domain]], ekspresi {{math|arcsin(''x'')}} akan menghasilkan satu nilai tunggal, yang disebut [[nilai utama]]. [[Selang (matematika)|Selang]] nilai (standar) untuk nilai utama berkisar dari {{math|-''π''/2}} sampai {{math|''π''/2}}, dan selang nilai (standar) untuk arccos berkisar dari 0 sampai {{math|''π''}}.

: <math>\theta = \arcsin \left( \frac{\text{sisi tegak}}{\text{hipotenusa}} \right) = \arccos \left( \frac{\text{sisi alas}}{\text{hipotenusa}} \right).</math>

dengan (untuk suatu bilangan bulat ''k''):

: <math>\begin{align}
\sin(y) = x \iff & y = \arcsin(x) + 2\pi k , \text{ atau }\\
 & y = \pi - \arcsin(x) + 2\pi k\\
\cos(y) = x \iff & y = \arccos(x) + 2\pi k , \text{ atau }\\
 & y = - \arccos(x) + 2\pi k
\end{align}</math>

Berdasarkan definisi, arcsin dan arccos memenuhi persamaan-persamaan berikut:

: <math>\sin(\arcsin(x)) = x \qquad \cos(\arccos(x)) = x</math>

dan

: <math>\begin{align}\arcsin(\sin(\theta)) = \theta\quad & \text{untuk}\quad -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\\
\arccos(\cos(\theta)) = \theta\quad & \text{untuk}\quad 0 \leq \theta \leq \pi\end{align}</math>

=== Kalkulus ===
{{See also|Daftar integral dari fungsi trigonometri|Diferensiasi fungsi trigonometri}}

[[Turunan]] dari sinus dan kosinus adalah:

: <math>\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \qquad  \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)</math>

Sedangkan [[Integral tak tentu|antiturunan]] mereka adalah:

: <math>\int \sin(x)\,dx = -\cos(x) + C </math>
: <math>\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C </math>

dengan ''C'' menyatakan [[konstanta integrasi]].<ref name=":1" />

Sinus dan kosinus muncul sebagai solusi untuk [[persamaan diferensial]] <math display="block">f''(x) = -kf(x)</math>

Persamaan tersebut muncul pada banyak sistem fisik, seperti pada [[Bandul|pendulum]] maupun pada beban yang terikat pada suatu pegas. Solusi persamaan ini adalah: <math display="block">f(x) = C_1 \sin(x\sqrt{k}) + C_2\cos(x\sqrt{k})</math>

Ketika ''k'' = 1, solusi unik dengan f(0) = 0 dan f'(0) = 1 adalah fungsi sinus, dan solusi unik dengan f(0) = 1 dan f'(0) = 0 adalah fungsi kosinus.

=== Identitas trigonometri Pythagoras ===
Hubungan dasar antara fungsi sinus dan kosinus termuat dalam [[identitas trigonometri Pythagoras]]:<ref name=":1" />

: <math>\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1</math>

dengan sin<sup>2</sup>(''x'') menyatakan (sin(''x''))<sup>2</sup>.

=== Rumus sudut ganda ===
[[Berkas:SinSquared.png|jmpl|Fungsi sinus diwarnai biru dan fungsi kuadrat sinus (sin<sup>2</sup>(x)) diwarnai merah. Sumbu-''x'' dinyatakan dalam satuan radian.]]
Sinus dan kosinus memenuhi persamaan-persamaan sudut ganda berikut:

: <math>\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)</math>
: <math>\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 = 1 - 2\sin^2(\theta)</math>

Rumus sudut ganda kosinus menyimpulkan bahwa fungsi sin<sup>2</sup> dan cos<sup>2</sup> adalah gelombang sinus yang mengalami penggeseran dan skalarisasi. Secara spesifik,<ref>{{cite web|title=Sine-squared function|url=https://calculus.subwiki.org/wiki/Sine-squared_function#Identities|access-date=August 9, 2019}}</ref>

: <math>\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\qquad\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}</math>

Gambar berikut menyajikan fungsi sinus dan fungsi kuadrat sinus, masing-masing diwarnai dengan warna biru dan warna merah. Kedua grafik fungsi memiliki bentuk yang sama, namun memiliki jangkauan fungsi dan periode yang berbeda. Fungsi kuadrat sinus bernilai non-negatif, namun memiliki periode dua kali lebih cepat.

== Sifat yang berhubungan dengan kuadran ==
[[Berkas:Quadrants_01_Pengo.svg|jmpl|175x175px|Keempat kuadran pada sistem koordinat Kartesius.]]
Tabel berikut menyajikan banyak sifat penting dari fungsi sinus (tanda fungsi, kemonotonan, dan kecekungan), disusun berdasarkan kuadran dari nilai argumen (sudut).  Untuk argumen di luar tabel, informasi yang bersesuaian dapat diperoleh dengan menggunakan sifat periodik <math>\sin(\alpha + 360^\circ) = \sin(\alpha)</math> dari fungsi sinus.
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! rowspan="2" |[[Sistem koordinat Kartesius#Kuadran dan oktan|Kuadran]]
! colspan="2" |Sudut
! colspan="3" |Sinus
! colspan="3" |Kosinus
|-
![[Derajat (satuan sudut)|Derajat]]
![[Radian]]
![[Tanda (matematika)|Tanda]]
![[Fungsi monotonik|Kemonotonan]]
![[Fungsi konveks|Kecekungan]]
![[Tanda (matematika)|Tanda]]
![[Monotonic function|Kemonotonan]]
![[Convex function|Kecekungan]]
|-
|-
| style="text-align:left;" |Kuadran I
|<math>0^\circ < x< 90^\circ</math>
|<math>0 < x < \frac{\pi}{2}</math>
|<math>+</math>
|naik
|konkaf
|<math>+</math>
|turun
|konkaf
|-
| style="text-align:left;" |Kuadran II
|<math>90^\circ < x < 180^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{2} < x < \pi</math>
|<math>+</math>
|turun
|konkaf
|<math>-</math>
|turun
|konveks
|-
| style="text-align:left;" |Kuadran III
|<math>180^\circ < x < 270^\circ</math>
|<math>\pi < x < \frac{3\pi}{2}</math>
|<math>-</math>
|turun
|konveks
|<math>-</math>
|naik
|konveks
|-
| style="text-align:left;" |Kuadran IV
|<math>270^\circ < x < 360^\circ</math>
|<math>\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi</math>
|<math>-</math>
|naik
|konveks
|<math>+</math>
|naik
|konkaf
|}

[[Berkas:Sine_quads_01_Pengo.svg|jmpl|250x250px|Kuadran-kuadran pada lingkaran satuan dan fungsi sin(''x''), menggunakan [[sistem koordinat Kartesius]]. ]]

Tabel berikut menyajikan informasi dasar terkait nilai sinus dan kosinus pada batas selang kuadran.

{| class="wikitable" style="text-align: center"
! rowspan="2" |[[Derajat (satuan sudut)|Derajat]]
! rowspan="2" |[[Radian]]
! colspan="2" |<math>\sin(x)</math>
! colspan="2" |<math>\cos(x)</math>
|-
!Nilai
!Jenis titik
!Nilai
!Jenis titik
|-
|<math>0^\circ</math>
|<math>0</math>
|<math>0</math>
| align="left" |[[Akar fungsi|Akar]], [[Titik belok|belok]]
|<math>1</math>
| align="left" |[[Maksimum dan minimum|Maksimum]]
|-
|<math>90^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{2}</math>
|<math>1</math>
| align="left" |[[Maksimum dan minimum|Maksimum]]
|<math>0</math>
| align="left" |[[Akar fungsi|Akar]], [[Titik belok|belok]]
|-
|<math>180^\circ</math>
|<math>\pi</math>
|<math>0</math>
| align="left" |[[Akar fungsi|Akar]], [[Titik belok|belok]]
|<math>-1</math>
| align="left" |[[Maksimum dan minimum|Minimum]]
|-
|<math>270^\circ</math>
|<math>\frac{3\pi}{2}</math>
|<math>-1</math>
| align="left" |[[Maksimum dan minimum|Minimum]]
|<math>0</math>
| align="left" |[[Akar fungsi|Akar]], [[Titik belok|belok]]
|}

== Definisi dengan deret ==
[[Berkas:Taylorsine.svg|ka|jmpl|Fungsi sinus (biru) dapat dihampiri dengan baik dengan [[polinomial Taylor]]-nya yang berderajat 7 (merah muda) untuk nilai sudut di antara -{{Pi}} sampai {{Pi}}.]]

[[Berkas:Sine.gif|ka|jmpl|Animasi berikut menunjukkan efek menambahkan lebih banyak suku pada deret Taylor menyebabkannya menjadi lebih mirip dengan fungsi sinus.]]

Turunan secara terus-menerus dari fungsi sinus di 0 dapat digunakan untuk menentukan bentuk [[deret Taylor]]-nya. Dengan hanya menggunakan geometri dan sifat dari [[limit]], dapat ditunjukkan bahwa [[turunan]] dari sinus adalah kosinus, dan turunan kosinus adalah negatif dari sinus. Hal ini mengartikan secara turunan dari sin(x) secara berurutan adalah cos(x), -sin(x), -cos(x), sin(x), dan berulang lagi dari awal. Turunan ke-(4''n''+''k''), dievaluasi di titik 0 adalah:

: <math>\sin^{(4n+k)}(0)=\begin{cases}
0 & \text{ketika } k=0 \\
1 & \text{ketika } k=1 \\
0 & \text{ketika } k=2 \\
-1 & \text{ketika } k=3
\end{cases}</math>

Dengan simbol pada tika atas (''superscript'') menyatakan turunan secara berulang. Hal ini dapat digunakan untuk menghitung ekspansi deret Taylor di titik x = 0 (dalam radian):<ref>See Ahlfors, pages 43–44.</ref>

: <math>
\begin{align}
\sin(x) &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[8pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\[8pt]
\end{align}
</math>

Menghitung turunan untuk setiap suku menghasilkan deret Taylor untuk kosinus:

: <math>
\begin{align}
\cos(x) &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\[8pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \\[8pt]
\end{align}
</math>

=== Bentuk pecahan berulang ===
Fungsi sinus dan kosinus dapat direpresentasikan dalam bentuk [[Pecahan berulang|pecahan berulang yang diperumum]], yang dapat dihasilkan dengan menggunakan [[rumus pecahan berulang Euler]]:

: <math> \sin(x) =
\cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2\cdot3-x^2 +
\cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5-x^2 +
\cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7-x^2 + \ddots}}}}.
</math>
: <math> \cos (x) = \cfrac{1}{1 + \cfrac{x^2}{1 \cdot 2 - x^2 + \cfrac{1 \cdot 2x^2}{3 \cdot 4 - x^2 + \cfrac{3 \cdot 4x^2}{5 \cdot 6 - x^2 + \ddots}}}}.</math>
== Hukum sinus ==
{{Main|Hukum sinus}}
[[Hukum sinus]] menyatakan bahwa untuk sembarang segitiga dengan sisi-sisi ''a'', ''b'', dan ''c'', dan sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi tersebut secara berurutan adalah ''A'', ''B'', dan ''C'', berlaku:<math display="block">\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}.</math>Pernyataan di atas ekuivalen dengan persamaan berikut:

: <math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,</math>

dengan ''R'' menyatakan radius dari [[lingkaran luar]] segitiga. Hal tersebut dapat ditunjukkan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku dan menggunakan definisi sinus.

Hukum sinus berguna untuk menghitung panjang sisi segitiga yang tidak diketahui, jika nilai dua sudut dan satu sisi diketahui. Hal ini umum terjadi ketika melakukan [[triangulasi]], suatu teknik untuk menentukan panjang yang tidak diketahui dengan mengukur dua nilai sudut yang terpisah dalam jarak yang ditentukan sebelumnya.

== Hukum kosinus ==
{{Main|hukum kosinus}}
[[Hukum kosinus]] menyatakan bahwa untuk sembarang segitiga dengan sisi-sisi ''a'', ''b'', dan ''c'', dan sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi tersebut secara berurutan adalah ''A'', ''B'', dan ''C'', berlaku:<math display="block">a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) = c^2</math>Untuk kasus dengan <math>C = \pi/2</math>, nilai <math>\cos(C) = 0</math> dan hukum ini berubah menjadi [[teorema Pythagoras]]: Untuk segitiga siku-siku, berlaku hubungan <math>a^2 + b^2 = c^2,</math> dengan ''c'' menyatakan panjang hipotenusa.

== Nilai-nilai spesial ==
{{See also|2=Fungsi trigonometrik#Nilai aljabar sederhana}}
[[Berkas:Unit_circle_angles.svg|ka|jmpl|350x350px|Beberapa sudut yang umum (''θ'') tergambarkan pada [[lingkaran satuan]]. Sudut-sudut dinyatakan dalam satuan derajat dan radian, beserta titik-titik perpotongan di lingkaran satuan dengan koordinat (cos(''θ''), sin(''θ'')).]]
Untuk beberapa sudut ''x'' dalam satuan derajat, nilai dari fungsi sin(''x'') dan cos(''x'') dapat dinyatakan dengan sederhana. Berikut adalah tabel beberapa nilai sudut dan fungsi tersebut:
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Sudut, ''x''
! colspan="2" |sin(''x'')
! colspan="2" |cos(''x'')
|-
![[Derajat (satuan sudut)|Derajat]]
![[Radian]]s
![[Putaran (sudut)|Putaran]]
!Eksak
!Desimal
!Eksak
!Desimal
|-
|0°
|0
|0
|0
|0
|1
|1
|-
|15°
|{{sfrac|1|12}}π
|{{sfrac|1|24}}
|<math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>
|0.2588
|<math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
|0.9659
|-
|30°
|{{sfrac|1|6}}π
|{{sfrac|1|12}}
|{{sfrac|1|2}}
|0.5
|<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|0.8660
|-
|45°
|{{sfrac|1|4}}π
|{{sfrac|1|8}}
|<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|0.7071
|<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|0.7071
|-
|60°
|{{sfrac|1|3}}π
|{{sfrac|1|6}}
|<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|0.8660
|{{sfrac|1|2}}
|0.5
|-
|75°
|{{sfrac|5|12}}π
|{{sfrac|5|24}}
|<math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
|0.9659
|<math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>
|0.2588
|-
|90°
|{{sfrac|1|2}}π
|{{sfrac|1|4}}
|1
|1
|0
|0
|}

== Titik tetap ==
{{main|Bilangan Dottie}}
[[Berkas:Cosine_fixed_point.svg|jmpl|Iterasi titik tetap ''x<sub>n</sub>''<sub>+1</sub>&nbsp;=&nbsp;cos(''x<sub>n</sub>'') dengan nilai awal ''x''<sub>0</sub> = -1 akan konvergen ke bilangan Dottie.]]
Nol adalah satu-satunya [[titik tetap]] real yang dimiliki fungsi sinus; dengan kata lain, perpotongan antara fungsi sinus dan fungsi identitas <math>f(x)=x</math> hanya terjadi di titik <math>x=0</math>. Satu-satunya titik tetap (real) dari fungsi kosinus adalah [[bilangan Dottie]]. Dengan kata lain, bilangan Dottie adalah akar real unik dari persamaan <math> \cos (x) = x.</math> Ekspansi desimal dari bilangan Dottie adalah <math>0.739085...</math>.<ref>{{Cite web|title=OEIS A003957|url=https://oeis.org/A003957|website=oeis.org|access-date=2019-05-26}}</ref>

== Panjang busur ==
Panjang busur dari kurva sinus diantara <math>a</math> dan <math>b</math> adalah <math display="inline"> \int_a^b\!\sqrt{1+\cos^2(x)}\, dx =\sqrt{2}(\operatorname{E}(b,1/\sqrt{2})-\operatorname{E}(a,1/\sqrt{2}))</math>, dengan  <math>\operatorname{E}(\varphi,k)</math> menyatakan [[Integral eliptik|integral eliptik tak lengkap jenis kedua]] (''incomplete elliptic integral of the second kind'') dengan modulus <math>k</math>.

Panjang busur untuk satu periode penuh adalah <math display="inline">L = 4\sqrt{2\pi ^3}/\Gamma(1/4)^2 + \Gamma(1/4)^2/\sqrt{2\pi} = 7.640395578\ldots</math> dengan <math>\Gamma</math> menyatakan [[fungsi gamma]]. Solusi persamaan ini dapat dihitung dengan cepat menggunakan [[rataan arimetik-geometrik]]: <math display="inline">L=2\operatorname{M}(1,\sqrt{2})+2\pi /\operatorname{M}(1,\sqrt{2})</math>.<ref name="ams">{{Cite web|last=Adlaj|first=Semjon|date=2012|title=An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse|url=https://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf|website=American Mathematical Society|page=1097}}</ref> Lebih lanjut, <math>L</math> sebenarnya adalah keliling dari elips dengan panjang sumbu semi-major sebesar <math>\sqrt{2}</math> dan panjang sumbu semi-minor sebesar <math>1</math>.<ref name="ams" />

Panjang busur dari kurva sinus dari <math> 0</math> sampai <math>x</math> adalah <math>Lx/(2\pi)</math>, ditambah suatu faktor koreksi yang bernilai periodik dalam <math>x</math> dan memiliki periode <math>\pi</math>. [[Deret Fourier]] dari faktor koreksi ini dapat dituliskan dalam bentuk tertutup dengan menggunakan sutu fungsi spesial. Panjang busur kurva sinus dari <math> 0</math> sampai <math>x</math> adalah<ref>{{Cite web|title=Incomplete elliptic integral of the second kind: Series representations (Formula 08.04.06.0003)|url=https://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/EllipticE2/06/01/10/0009/}}</ref><math display="block">\left(\frac{\operatorname{M}(1,\sqrt{2})}{\pi}+\frac{1}{\operatorname{M}(1,\sqrt{2})}\right)x+\sqrt{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\tbinom{n-3/2}{n}}{2^{3n}n} {}_2F_1\left(n-\frac{1}{2},n+\frac{1}{2};2n+1;\frac{1}{2}\right)\sin (2nx),</math>dengan <math>{}_2F_1</math> menyatakan [[Fungsi hipergeometris|fungsi hipergeometrik]]. Suku-suku pada ekspresi di atas dapat diaproksimasi dengan<math display="block">
1.21600672x + 0.10317093 \sin(2x) - 0.00220445\sin(4x) + 0.00012584\sin(6x) - 0.00001011\sin(8 x) + \cdots
</math>

== Hubungan dengan bilangan kompleks ==
{{Main|Fungsi trigonometrik#Hubungan dengan fungsi eksponensial (Rumus Euler)}}
[[Berkas:Sinus_und_Kosinus_am_Einheitskreis_3.svg|jmpl|<math>\cos(\theta)</math> dan <math>\sin(\theta)</math> secara berurutan adalah nilai dari bagian real dan bagian imajiner dari <math>e^{i\theta}</math>.]]
Sinus dan kosinus digunakan untuk menggabungkan bagian real dan bagian imajiner dari suatu [[bilangan kompleks]] dengan bentuk [[koordinat polar]] (''r'', ''φ''):<math display="block"> z = r(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi))</math>Bagian real dan bagian imajiner dari bilangan kompleks tersebut adalah:<math display="block">\operatorname{Re}(z) = r \cos(\varphi)</math>dengan ''r'' dan ''φ'' menyatakan magnitudo dan sudut dari bilangan kompleks ''z''.

Untuk sembarang [[bilangan real]] ''θ'', [[rumus Euler]] menyatakan bahwa:<math display="block">e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)</math>Dengan demikian, jika koordinat polar dari ''z'' adalah (''r'', ''φ''), maka <math>z = re^{i\varphi}.</math>

=== Argumen kompleks ===
[[Berkas:Complex_sin.jpg|jmpl|[[Pewarnaan domain]] dari fungsi sin(''z'') pada bidang kompleks. Tingkat kecerahan menyatakan magnitudo, sedangkan hue menyatakan argumen kompleks.]]
[[Berkas:Sin_z_vector_field_02_Pengo.svg|jmpl|sin(''z'') sebagai suatu medan vektor.]]
Dengan menerapkan definisi deret dari fungsi sinus dan kosinus ke suatu argumen kompleks ''z'', didapatkan hubungan:

: <math>\begin{align}
\sin(z)& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \\
& = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i} \\
& = \frac{\sinh \left( i z\right) }{i} \\
& = -i \sinh \left(i z\right)\\
\cos(z)& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \\
& = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2} \\
& = \cosh( i z) \\
\end{align}</math>

dengan sinh dand cosh adalah [[sinus dan cosinus hiperbolik]]. Kedua fungsi ini merupakan [[fungsi entire]].

Terkadang fungsi sinus dan kosinus kompleks lebih cocok dinyatakan dalam bentuk bagian real dan bagian imajiner. Pada kasus ini, persamaan-persamaan berikut dapat digunakan:

: <math>\begin{align}
\sin (x + iy) &= \sin(x) \cos(iy) + \cos(x) \sin(iy) \\
&= \sin(x) \cosh(y) + i \cos(x) \sinh(y)\\
\cos (x + iy) &= \cos(x) \cos(iy) - \sin(x) \sin(iy) \\
&= \cos(x) \cosh(y) - i \sin(x) \sinh(y)\\
\end{align}</math>

=== Grafik kompleks ===
{|
|+'''Fungsi sinus pada bidang kompleks'''
|[[Berkas:Complex_sin_real_01_Pengo.svg|nir|173x173px]]
|[[Berkas:Complex_sin_imag_01_Pengo.svg|nir|173x173px]]
|[[Berkas:Complex_sin_abs_01_Pengo.svg|nir|173x173px]]
|-
|komponen real
|komponen imajiner
|magnitudo
|}
{|
|+'''Fungsi arcsinus pada bidang kompleks'''
|[[Berkas:Complex_arcsin_real_01_Pengo.svg|nir|173x173px]]
|[[Berkas:Complex_arcsin_imag_01_Pengo.svg|nir|173x173px]]
|[[Berkas:Complex_arcsin_abs_01_Pengo.svg|nir|173x173px]]
|-
|komponen real
|komponen imajiner
|magnitudo
|}

== Sejarah ==
{{Main|Trigonometric functions#History|History of trigonometry}}
[[Berkas:Khalili_Collection_Islamic_Art_sci_0040.1_CROP.jpg|ka|jmpl|Quadrant from 1840s [[Ottoman Empire|Ottoman Turkey]] with axes for looking up the sine and [[versine]] of angles]]
Walaupun ilmu trigonometri dapat dilacak jauh ke masa lalu, penggunaan [[fungsi trigonometri]] seperti yang digunakan saat ini dikembangkan pada zaman pertengahan. Fungsi [[Busur (geometri)|busur]] ditemukan oleh [[Hipparchus]] dari [[İznik|Nicaea]] (180–125 SM) dan [[Ptolemy]] dari [[Mesir Romawi]] (90–165 M). Secara spesifik, lihat [[tabel busur Ptolemy]].

Fungsi sinus dan versine (1 − kosinus) dapat dilacak ke fungsi [[Jyā, koti-jyā dan utkrama-jyā|''jyā'' dan ''koṭi-jyā'']] yang digunakan pada bidang [[astronomi India]] (''[[Aryabhatiya]]'', ''[[Surya Siddhanta]]'') di masa [[kemaharajaan Gupta]] (320-550 M). Fungsi ini selanjutnya mengalami penerjemahan dari bahasa Sanskerta ke bahasa Arab, dilanjutkan dari bahasa Arab ke bahasa Latin.<ref name="Boyer, Carl B. 1991 p. 210" />

Keenam fungsi trigonometrik yang digunakan saat ini sudah dikenal di masa [[matematika Islam]] pada abas ke-9, termasuk [[hukum sinus]] yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan segitiga.<ref name="Gingerich_1986">{{cite magazine|title=Islamic Astronomy|author-first=Owen|author-last=Gingerich|magazine=[[Scientific American]]|date=1986|volume=254|page=74|url=http://faculty.kfupm.edu.sa/PHYS/alshukri/PHYS215/Islamic_astronomy.htm|access-date=2010-07-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20131019140821/http://faculty.kfupm.edu.sa/PHYS/alshukri/PHYS215/Islamic_astronomy.htm|archive-date=2013-10-19}}</ref> Dengan pengecualian sinus, kelima fungsi trigonometrik lain ditemukan oleh matematikawan Arab; yakni fungsi kosinus, tangen, kotangen, sekan, dan kosekan.<ref name="Gingerich_1986" /> [[Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī|Al-Khwārizmī]] (sekitar 780–850) membentuk tabel nilai sinus, kosinus, dan tangen.<ref name="Sesiano">Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 157, in {{Cite book|year=2000|title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|isbn=978-1-4020-0260-1|editor1-last=Selin|editor1-first=Helaine|editor1-link=Helaine Selin|editor2-last=D'Ambrosio|editor2-first=Ubiratan|editor2-link=Ubiratan D'Ambrosio}}</ref><ref name="Britannica">{{cite web|title=trigonometry|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/605281/trigonometry|publisher=Encyclopedia Britannica}}</ref> [[Al-Battani|Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī]] (853–929) menemukan fungsi invers dari sekan dan kosekan, dan membentuk tabel kosekan pertama kalinya untuk setiap sudut dari 1° sampai 90°.<ref name="Britannica" />

Publikasi pertama yang menggunakan singkatan 'sin', 'cos', dan 'tan' adalah oleh matematikawan Prancis [[Albert Girard]]; singkatan ini selanjutnya disebarluaskan oleh Euler (lihat bagian dibawah). Tulisan ''Opus palatinum de triangulis'' oleh [[Georg Joachim Rheticus]], seorang siswa [[Copernicus]], mungkin adalah yang pertama di Eropa, yang mendefinisikan fungsi-fungsi trigonometri langsung dari segitiga siku-siku ketimbang menggunakan lingkaran. Tulisan ini juga mengikutkan tabel nilai untuk keenam fungsi trigonometrik; tulisan ini diselesaikan oleh seorang siswanya, Valentin Otho, pada tahun 1596.

Dalam suatu makalah yang diterbitkan pada tahun 1682, [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] membuktikan bahwa sin ''x'' bukanlah suatu [[fungsi aljabar]] dari ''x''.<ref>{{cite book|author=Nicolás Bourbaki|year=1994|url=https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour|title=Elements of the History of Mathematics|publisher=Springer|isbn=9783540647676|url-access=registration}}</ref> [[Roger Cotes]] menghitung turunan dari sinus dalam karyanya ''Harmonia Mensurarum'' (1722).<ref>"[http://www.math.usma.edu/people/rickey/hm/CalcNotes/Sine-Deriv.pdf Why the sine has a simple derivative] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110720102700/http://www.math.usma.edu/people/rickey/hm/CalcNotes/Sine-Deriv.pdf|date=2011-07-20}}", in ''[http://www.math.usma.edu/people/rickey/hm/CalcNotes/default.htm Historical Notes for Calculus Teachers] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110720102613/http://www.math.usma.edu/people/rickey/hm/CalcNotes/default.htm|date=2011-07-20}}'' by [http://www.math.usma.edu/people/rickey/ V. Frederick Rickey] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110720102654/http://www.math.usma.edu/people/rickey/|date=2011-07-20}}</ref> Karya ''Introductio in analysin infinitorum'' (1748) oleh [[Leonhard Euler]] adalah yang paling signifikan di Eropa, dalam memberikan dasar analitik mengenai fungsi-fungsi trigonometrik. Dalam karya ini, fungsi-fungsi dinyatakan sebagai deret tak hingga, menyajikan "[[rumus Euler]]", dan penggunaan singkatan ''sin., cos., tang., cot., sec.,'' dan ''cosec'' yang mirip dengan penggunaan saat ini''.''<ref name="boyer">See Merzbach, Boyer (2011).</ref>

=== Etimologi ===
Secara [[etimologi]], kata ''sinus'' berasal dari kata [[Sanskerta]] untuk busur, ''jiva''* (''jya'' adalah sinonim yang lebih populer). Kata ini mengalami [[Alih aksara|transliterasi]] ke [[bahasa Arab]] sebagai ''jiba'' جيب, yang sebenarnya tidak memiliki arti dari bahasa Arab, dan disingkat sebagai ''jb'' جب . Karena bahasa Arab ditulis tanpa menggunakan vokal pendek, "jb" secara keliru diintepretasikan sebagai kata ''jaib'' جيب, yang berarti "dada". Ketika teks Arab diterjemahkan ke bahasa Latin oleh [[Gerard of Cremona]] pada abad ke-12, ia menggunakan kata yang setara untuk "dada", ''[[wikt:sinus|sinus]]'' (yang berarti "dada" atau "teluk" atau "lipatan").<ref>Eli Maor (1998), ''Trigonometric Delights'', Princeton: Princeton University Press, p. 35-36.</ref><ref>Victor J. Katz (2008), ''A History of Mathematics'', Boston: Addison-Wesley, 3rd. ed., p. 253, sidebar 8.1. {{cite web|title=Archived copy|url=http://deti-bilingual.com/wp-content/uploads/2014/06/3rd-Edition-Victor-J.-Katz-A-History-of-Mathematics-Pearson-2008.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20150414065531/http://deti-bilingual.com/wp-content/uploads/2014/06/3rd-Edition-Victor-J.-Katz-A-History-of-Mathematics-Pearson-2008.pdf|archive-date=2015-04-14|access-date=2015-04-09|url-status=live}}</ref> Gerard mungkin bukan yang pertama kali menggunakan terjemahan ini; Robert dari Chester sepertinya terlebih dahulu melakukannya dan terdapat bukti penggunaan pada masa yang lebih lawas.<ref>{{citation|first=D.E.|last=Smith|title=History of Mathematics|volume=I|year=1958|orig-year=1925|publisher=Dover|page=202|isbn=0-486-20429-4}}</ref> Bentuk bahasa Inggris ''sine'' diperkenalkan pada tahun 1590-an. Kata "cosine" berasal dari singkatan bahasa Latin masa pertengahan untuk frasa "complementi sinus".<ref name="cosine" />

== Implementasi perangkat lunak ==
Tidak ada standardisasi algoritma untuk menghitung fungsi sinus dan kosinus. [[IEEE 754-2008]], standar paling umum digunakan untuk komputasi [[Titik kambang|titik-kambang]] (''floating-point''), tidak membahas cara menghitung fungsi trigonometri seperti sinus.<ref>Grand Challenges of Informatics, Paul Zimmermann. September 20, 2006 – p. 14/31 {{cite web|title=Archived copy|url=http://www.jaist.ac.jp/~bjorner/ae-is-budapest/talks/Sept20pm2_Zimmermann.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20110716205108/http://www.jaist.ac.jp/~bjorner/ae-is-budapest/talks/Sept20pm2_Zimmermann.pdf|archive-date=2011-07-16|access-date=2010-09-11|url-status=live}}</ref> Algoritma yang dikembangkan untuk menghitung sinus dapat disesuaikan dengan menimbang aspek kecepatan, akurasi, portabilitas, maupun jangkauan input yang dapat diproses. Hal ini menyebabkan munculnya banyak algoritma berbeda, khususnya untuk menyelesaikan kasus khusus seperti menghitung input yang sangat besar, seperti <code>sin(10{{sup|22}})</code>.

Optimisasi pemrograman yang umum, digunakan khususnya dalam grafik 3D, adalah dengan menghitung tabel nilai sinus terlebih dahulu, misalnya satu nilai untuk setiap derajat, lalu melakukan [[Interpolasi (matematika)|interpolasi linear]] dengan menggunakan dua nilai derajat yang paling dekat dengan nilai input. Hal ini memungkinkan hasil ditentukan dari pencarian tabel ketimbang melakukan perhitungan secara ''real-time''. Namun pada arsitektur [[Unit Pemroses Sentral|CPU]] modern, metode ini mungkin tidak memberikan keuntungan yang berarti.{{citation needed|date=October 2012}}<!--Looking up in a table essentially involves copying a number from one memory location to another. How can calculating a sine be as quick as that? A: depends on many things, but mainly if the value in memory is not in cache, then the cache-miss can be relatively expensive, whereas a trig function never needs to touch main memory (or alternative, it can be expensive for the rest of the code to have the CPU cache filled with trig tables, causing cache-misses elsewhere). Probably needs a more definitive answer. Have changed 'typically' to 'may' for now.--> Beberapa arsitektur CPU memiliki instruksi dasar untuk menghitung sinus, contohnya Intel x87 FPUs since the 80387.

Fungsi sinus dan kosinus, beserta fungsi-fungsi trigonometrik lainnya, umum tersedia pada berbagai bahasa pemrograman dan platform. Dalam komputasi, mereka umumnya dikenal sebagai <code>sin</code> dan <code>cos</code>. Pada bahasa pemrograman, <code>sin</code> dan <code>cos</code> umumnya merupakan fungsi dasar (''built-in'') atau dapat dijumpai di [[Pustaka (perangkat lunak)|pustaka]] matematika standar. Sebagai contoh, [[pustaka standar C]] mendefinisikan fungsi sinus di dalam pustaka <code>math.h</code> sebagai <code>sin([[Double-precision floating-point format|double]])</code>, <code>sinf([[Single-precision floating-point format|float]])</code>, dan <code>sinl([[long double]])</code>. Parameter untuk setiap fungsi ini adalah nilai [[Titik kambang|titik-kambang]], dalam satuan radian. Setiap fungsi akan menghasilkan [[tipe data]] yang sama dengan inputnya. Banyak fungsi trigonometrik lainnya juga didefinisikan di <code>math.h</code>, seperti kosinus, arcsinus, dan sinus hiperbolik (sinh). Mirip dengan itu, [[Python (programming language)|Python]] mendefinisikan <code>math.sin(x)</code> dan <code>math.cos(x)</code> yang termuat dalam modul <code>math</code>. Fungsi sinus dan kosinus kompleks tersedia dalam modul <code>cmath</code>, contohnya <code>cmath.sin(z)</code> .

=== Implementasi berdasarkan satuan putaran ===
Beberapa pustaka perangkat lunak memiliki implementasi sinus dan kosinus menggunakan sudut yang dinyatakan dalam setengah-[[Putaran (sudut)|putaran]]; nilai dari setengah-putaran adalah sudut sebesar 180 derajat atau <math>\pi</math> radian. Menyatakan sudut dalam satuan putaran atau setengah-putaran memiliki keuntungan akurasi dan efisiensi pada beberapa kasus.<ref name="matlab">"[https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/double.sinpi.html MATLAB Documentation sinpi]</ref><ref name="r">"[https://www.rdocumentation.org/packages/base/versions/3.5.3/topics/Trig R Documentation sinpi]</ref> Pada [[MATLAB]], [[OpenCL]], [[R (bahasa pemrograman)|R]], [[Julia (bahasa pemrograman)|Julia]], [[CUDA]], dan [[ARM]], fungsi-fungsi ini disebut dengan <code>sinpi</code> dan <code>cospi</code>.<ref name="matlab" /><ref name="r" /><ref>"[https://www.khronos.org/registry/OpenCL/sdk/1.0/docs/man/xhtml/sin.html OpenCL Documentation sinpi]</ref><ref>"[http://www.jlhub.com/julia/manual/en/function/sinpi Julia Documentation sinpi]</ref><ref>"[https://docs.nvidia.com/cuda/cuda-math-api/group__CUDA__MATH__DOUBLE.html CUDA Documentation sinpi]</ref><ref>"[https://developer.arm.com/docs/100614/latest/b-opencl-built-in-functions/b2-math-functions ARM Documentation sinpi]</ref> Sebagai contoh, <code>sinpi(x)</code> akan mengevaluasi nilai to <math>\sin(\pi x),</math> dengan ''x'' dinyatakan dalam satuan radian.

Keuntungan akurasi timbul dari kemampuan merepresentasikan sudut-sudut penting, seperti satu putaran penuh, setengah putaran, dan seperempat putaran, dengan sempurna (''losslessly'') dalam bentuk titik-kambang (''floating-point'') biner atau titik-tetap (''fixed-point''). Sebagai kontras, menyatakan <math>2\pi</math>, <math>\pi</math>, dan <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> dalam bentuk titik-kambang biner akan selalu menyebabkan hilangnya akurasi akibat galat pemotongan. Satuan putaran juga memiliki keuntungan akurasi dan efisiensi ketika menghitung modulo satu periode. Komputasi modulo 1 putaran atau modulo 2 setengah-putaran dapat dinyatakan dengan sempurna dan dihitung dengan efisien, baik dalam bentuk titik-kambang maupun titik-tetap. Sebagai contoh, komputasi modulo 1 atau modulo 2 untuk nilai biner dalam bentuk titik-tetap hanya memerlukan operasi penggeseran bit (''bit shift'') dan operator bit-demi-bit (''bitwise'') AND.  Sebagai kontras, komputasi modulo <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> menghasilkan galat karena ketidakakuratan dalam merepresentasikan <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math>.

Untuk aplikasi yang melibatkan sensor sudut, sensor umumnya menyajikan hasil pengukuran yang kompatibel dengan satuan putaran atau setengah-putaran. Sebagai contoh, suatu sensor sudut mungkin memberikan nilai 0 sampai 4096 ketika melakukan satu putaran penuh.<ref>"[https://www.allegromicro.com/en/Products/Magnetic-Linear-And-Angular-Position-Sensor-ICs/Angular-Position-Sensor-ICs/AAS33051.aspx ALLEGRO Angle Sensor Datasheet] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190417143715/https://www.allegromicro.com/en/Products/Magnetic-Linear-And-Angular-Position-Sensor-ICs/Angular-Position-Sensor-ICs/AAS33051.aspx |date=2019-04-17 }}</ref> Jika setengah-putaran digunakan sebagai satuan pengukuran sudut, maka nilai yang diberikan sensor dapat dipetakan dengan sempurna (''lossless'') ke tipe data titik-tetap dengan 11 bit dibelakang koma. Sebagai kontras, jika radian yang digunakan untuk menghitung sudut, ketidakakuratan sebesar <math display="inline">\frac{\pi}{2048}</math> terjadi ketika nilai dari sensor diubah menjadi satuan radian.

== Bacaan lebih lanjut ==

* {{cite book|last=Kurnianingsih|first=Sri|year=2007|title=Matematika SMA dan MA 2A Untuk Kelas XI Semester 1 Program IPA|location=Jakarta|publisher=Esis/Erlangga|id=ISBN 979-734-502-5|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono}}
* {{citation|first1=John C.|last1=Traupman, Ph.D.|year=1966|title=The New College Latin & English Dictionary|publisher=Bantam|location=Toronto|isbn=0-553-27619-0|url-access=registration|url=https://archive.org/details/boysgirlsbookabo00gard_0}}
* {{citation|title=Webster's Seventh New Collegiate Dictionary|location=Springfield|publisher=G. & C. Merriam Company|date=1969|ref={{harvid|Webster|1969}}}}

== Referensi ==
<references responsive="" />{{Daftar fungsi matematika}}

[[Kategori:Sudut]]
[[Kategori:Fungsi trigonometri]]