Lihat sumber Ruang vektor

{{short description|Struktur aljabar dasar aljabar linier}}
{{Distinguish|Bidang vektor}}
{{about|ruang linear (vektor)|struktur dalam geometri kejadian|Ruang linear (geometri)|perusahaan teknologi ruang|Sistem Ruang Vektor}}
[[Berkas:Vector addition ans scaling.png|200px|jmpl|ka|Penjumlahan vektor dan perkalian skalar: Sebuah vektor '''v''' (biru) ditambahkan ke vektor lain '''w''' (merah, ilustrasi atas). Di bawah, '''w''' diregangkan dengan faktor 2, menghasilkan jumlah {{nowrap|'''v''' + 2·'''w'''}}.]]
'''Ruang vektor''' adalah [[struktur matematika]] yang dibentuk oleh sekumpulan [[vektor]], yaitu objek yang dapat [[penjumlahan vektor|dijumlahkan]] dan [[perkalian skalar|dikalikan]] dengan suatu bilangan, yang dinamakan ''skalar''. Skalar sering adalah [[bilangan riil]], tetapi kita juga dapat merumuskan ruang vektor dengan perkalian skalar dengan [[bilangan kompleks]], [[bilangan rasional]], atau bahkan [[medan (matematika)|medan]]. Operasi penjumlahan dan perkalian vektor mesti memenuhi persyaratan tertentu yang dinamakan ''[[aksioma]]''. Contoh ruang vektor adalah [[vektor Euklides]] yang sering digunakan untuk melambangkan besaran [[fisika]] seperti [[gaya]]. Dua gaya dengan jenis sama dapat dijumlahkan untuk menghasilkan gaya ketiga, dan perkalian vektor gaya dengan bilangan riil adalah vektor gaya lain. Vektor yang melambangkan perpindahan pada bidang atau pada ruang tiga dimensi juga membentuk ruang vektor.

Ruang vektor merupakan subjek dari [[aljabar linear]], dan dipahami dengan baik dari sudut pandang ini, karena ruang vektor dicirikan oleh dimensinya, yang menspesifikasikan banyaknya arah independen dalam ruang. Teori ruang vektor juga ditingkatkan dengan memperkenalkan struktur tambahan, seperti [[norma (matematika)|norma]] atau [[hasilkali dalam]]. Ruang seperti ini muncul dengan alamiah dalam [[analisis matematika]], dalam bentuk [[ruang fungsi]] berdimensi takhingga, dengan vektornya adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]].

Secara historis, gagasan awal yang berbuah pada konsep ruang vektor dapat dilacak dari [[geometri analitik]] abad ke-17, [[matriks (matematika)|matriks]], sistem [[persamaan linear]], dan vektor Euklides. Pembahasan modern yang lebih abstrak pertama kali dirumuskan oleh [[Giuseppe Peano]] pada akhir abad ke-19, yang meliput objek lebih umum daripada [[ruang Euklides]], namun kebanyakan teori tersebut dapat dipandang sebagai perluasan gagasan geometri klasik seperti [[garis]], [[bidang]], dan analognya yang berdimensi lebih tinggi.

Saat ini, ruang vektor diterapkan di seluruh bidang matematika, [[sains]] dan [[rekayasa]]. Ruang vektor adalah konsep aljabar linear yang sesuai untuk menghadapi sistem persamaan linear, menawarkan kerangka kerja untuk [[deret Fourier]] (yang digunakan dalam pemampatan citra), atau menyediakan lingkungan yang dapat digunakan untuk teknik solusi [[persamaan diferensial parsial]]. Lebih jauh lagi, ruang vektor memberikan cara abstrak dan bebas koordinat untuk berurusan dengan objek geometris dan fisis seperti [[tensor]]. Pada gilirannya ini memungkinkan pemeriksaan sifat lokal ''manifold'' menggunakan teknik pelinearan. Ruang vektor dapat dirampatkan ke beberapa arah, dan menghasilkan konsep lebih lanjut dalam [[geometri]] dan [[aljabar abstrak]].

== Pendahuluan dan definisi ==
Konsep ruang vektor pertama-tama akan dijelaskan dengan menjelaskan dua contoh khusus:

=== Contoh pertama: panah suatu bidang ===
Contoh pertama ruang vektor terdiri dari [[panah (simbol)|panah]] dalam [[bidang (geometri)|bidang]] tetap, dimulai dari satu titik tetap. Ini digunakan dalam fisika untuk menjelaskan [[gaya]] s atau [[kecepatan]]. Diberikan dua panah seperti, {{math|'''v'''}} dan {{math|'''w'''}}, [[jajaran genjang]] yang direntang oleh dua panah ini berisi satu panah diagonal yang juga dimulai dari titik awal. Panah baru ini disebut '' jumlah '' dari dua panah, dan dilambangkan {{math|'''v''' + '''w'''}}.<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-23|website=Math Vault|language=en-US}}</ref> Dalam kasus khusus dari dua anak panah pada garis yang sama, jumlahnya adalah panah pada garis ini yang panjangnya adalah jumlah atau perbedaan panjangnya, tergantung pada apakah panah tersebut memiliki arah yang sama. Operasi lain yang dapat dilakukan dengan panah adalah penskalaan: diberikan [[bilangan riil]] {{math|''a''}} positif, panah yang searah dengan {{math|'''v'''}}, tetapi dilatasi atau dikecilkan dengan mengalikan panjangnya dengan {{math|''a''}}, disebut '' perkalian '' dari {{math|'''v'''}} dengan {{math|''a''}}. Itu dilambangkan {{math|''a'''''v'''}}. Jika {{math|''a''}} negatif, {{math|''a'''''v'''}} didefinisikan sebagai panah yang menunjuk ke arah yang berlawanan.

Berikut ini adalah beberapa contoh: jika {{math|1=''a'' = 2}}, vektor yang dihasilkan {{math|''a'''''w'''}} memiliki arah yang sama dengan {{math|'''w'''}}, tetapi direntangkan menjadi dua kali lipat panjang {{math|'''w'''}} (gambar kanan bawah). Sama halnya, {{math|2'''w'''}} adalah jumlah {{math|'''w''' + '''w'''}}. Bahkan, {{math|1=(−1)'''v''' = −'''v'''}} memiliki arah berlawanan dan panjang yang sama {{math|'''v'''}} (vektor biru menunjuk ke bawah pada gambar kanan).

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
|width=50%|[[Berkas:Vector addition3.svg|180px|Penjumlahan vektor: jumlah {{math|'''v''' + '''w'''}} (hitam) dari vektor {{math|'''v'''}} (biru) dan {{math|'''w'''}} (merah) ditampilkan.]]
|width=50%|[[Berkas:Scalar multiplication.svg|230px|Perkalian skalar: kelipatannya {{math|−'''v'''}} dan {{math|2'''w'''}} ditampilkan.]]
|}

=== Contoh kedua: pasangan angka yang diurutkan ===
Contoh kunci kedua dari ruang vektor disediakan oleh pasangan bilangan riil {{math|'' x ''}} dan {{math|'' y ''}}. (Urutan komponen {{math|'' x ''}} dan {{math|'' y ''}} signifikan, sehingga pasangan seperti itu juga disebut [[pasangan terurut]].) Pasangan seperti itu ditulis sebagai {{math|(''x'', ''y'')}}. Penjumlahan dari dua pasangan tersebut dan perkalian pasangan dengan bilangan didefinisikan sebagai berikut:

<math> (x_1 , y_1)  + (x_2 , y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)</math>

dan

<math> a(x, y)=(ax, ay)</math> .

Contoh pertama di atas berkurang menjadi yang satu ini, jika panah diwakili oleh pasangan [[koordinat Kartesius]] dari titik ujungnya.

== Definisi ==
Dalam artikel ini, vektor direpresentasikan dengan huruf tebal untuk membedakannya dari skalar.<ref group=nb>Ini juga umum, terutama dalam fisika, untuk menunjukkan vektor dengan panah di atasnya: {{math|{{vec|''v''}}}}.</ref>

Sebuah ruang vektor di atas [[bidang (matematika)|bidang]] {{mvar | F}} adalah [[himpunan (matematika)|himpunan]] {{mvar | V}} bersama dengan dua operasi yang memenuhi delapan aksioma tercantum di bawah ini. Berikut ini, {{math| ''V'' × ''V''}} menunjukkan [[produk Cartesian]] dari {{math|'' V ''}} dengan dirinya sendiri, dan {{math | →}} menunjukkan [[Fungsi (matematika)#Peta|pemetaan]] dari satu himpunan ke himpunan lainnya.

Elemen {{mvar | V}} biasanya disebut '' vektor ''. Elemen {{mvar | F}} biasanya disebut '' skalar ''. Simbol umum untuk menunjukkan ruang vektor termasuk <math> U </math>, <math> V </math> dan <math> W </math>.<ref name=":0" />

Dalam dua contoh di atas, bidang adalah bidang dari bilangan real, dan himpunan vektor terdiri dari panah planar dengan titik awal tetap dan pasangan bilangan real.

Untuk memenuhi syarat sebagai ruang vektor, himpunan {{mvar | V}} dan operasi penjumlahan dan perkalian harus mematuhi sejumlah persyaratan yang disebut [[aksioma]].<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=ch. 1, p. 27}}</ref> Ini tercantum dalam tabel di bawah ini, di mana {{math|'''u'''}}, {{math|'''v'''}} dan {{math|'''w'''}} menunjukkan vektor arbitrer di {{mvar | V}}, dan {{mvar | a}} dan {{mvar | b}} menunjukkan skalar di {{mvar | F}}.<ref>{{Cite web|date=2016-02-29|title=5: Vector Spaces|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Linear_Algebra/Map%3A_Linear_Algebra_(Waldron_Cherney_and_Denton)/05%3A_Vector_Spaces|access-date=2020-08-23|website=Mathematics LibreTexts|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Vector Space|url=https://mathworld.wolfram.com/VectorSpace.html|access-date=2020-08-23|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>

{| border="0" style="width:100%;" class="wikitable"
|-
! Aksioma || Rumus
|-
| [[Asosiatif]] tambahan || {{math|1='''u''' + ('''v''' + '''w''') = ('''u''' + '''v''') + '''w'''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
| [[Komutatif]] tambahan || {{math|1='''u''' + '''v''' = '''v''' + '''u'''}}
|-
| [[Elemen identitas]] penambahan || Ada elemen {{math|'''0''' ∈ ''V''}}, disebut '' [[vektor nol]] '', sepertiv{{math|1='''v''' + '''0''' = '''v'''}} untuk {{math|'''v''' ∈ ''V''}}.
|- style="background:#F8F4FF;"
| [[Elemen invers]] penambahan || Untuk setiap {{math|'''v''' ∈ ''V''}}, ada elemen {{math|−'''v''' ∈ ''V''}}, disebut '' [[aditif invers]] '' dari {{math|'''v'''}}, seperti yang {{math|1='''v''' + (−'''v''') = '''0'''}}.
|-
| [[Semigrup aksi|Kompatibilitas]] dari perkalian skalar dengan perkalian bidang || {{math|1=''a''(''b'''''v''') = (''ab'')'''v'''}} <ref group="nb">Aksioma ini dan selanjutnya mengacu pada dua operasi yang berbeda: perkalian skalar: {{math|''b'''''v'''}}; dan perkalian lapangan: {{math|''ab''}}. Mereka tidak menegaskan asosiatif dari kedua operasi tersebut. Secara lebih formal, perkalian skalar adalah [[aksi monoid]] dari perkalian monoid bidang {{mvar|F}} pada ruang vektor {{mvar|V}}.</ref>
|- style="background:#F8F4FF;"
| Elemen identitas perkalian skalar ||  {{math|1=1'''v''' = '''v'''}}, dengan {{math | 1}} menunjukkan [[multiplicative identity]] di {{mvar | F}}.
|-
| [[Distributivitas]] perkalian skalar sehubungan dengan penambahan vektor || {{math|1=''a''('''u''' + '''v''') = ''a'''''u''' + ''a'''''v'''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
| Distributivitas perkalian skalar sehubungan dengan penambahan medan || {{math|1=(''a'' + ''b'')'''v''' = ''a'''''v''' + ''b'''''v'''}}
|}

Aksioma ini menggeneralisasi properti vektor yang diperkenalkan pada contoh di atas. Memang, hasil penjumlahan dua pasangan berurutan (seperti contoh kedua di atas) tidak bergantung pada urutan penjumlahan:
:{{math|1=(''x''<sub>'''v'''</sub>, ''y''<sub>'''v'''</sub>) + (''x''<sub>'''w'''</sub>, ''y''<sub>'''w'''</sub>) = (''x''<sub>'''w'''</sub>, ''y''<sub>'''w'''</sub>) + (''x''<sub>'''v'''</sub>, ''y''<sub>'''v'''</sub>)}}.

Demikian juga, dalam contoh geometris vektor sebagai panah, {{math|1='''v''' + '''w''' = '''w''' + '''v'''}} karena jajar genjang yang menentukan jumlah vektor tidak bergantung pada urutan vektor. Semua aksioma lainnya dapat diverifikasi dengan cara yang sama pada kedua contoh. Jadi, dengan mengabaikan sifat konkret dari jenis vektor tertentu, definisi menggabungkan dua dan lebih banyak contoh dalam satu pengertian ruang vektor.

Pengurangan dua vektor dan pembagian dengan skalar (bukan nol) dapat didefinisikan sebagai
: <math>\begin{align}
  \mathbf{v} - \mathbf{w} &= \mathbf{v} + (-\mathbf{w}) \\
    \frac{\mathbf{v}}{a} &= \frac{1}{a}\mathbf{v}
\end{align}</math>.

Ketika bidang skalar {{mvar | F}} adalah [[bilangan real]] {{math|'''R'''}}, ruang vektor disebut '' ruang vektor nyata ''. Jika bidang skalar adalah [[bilangan kompleks]] {{math|'''C'''}}, ruang vektor disebut '' ruang vektor kompleks ''. Kedua kasus ini adalah yang paling sering digunakan dalam bidang teknik. Definisi umum ruang vektor memungkinkan skalar menjadi elemen dari setiap [[bidang (matematika)|bidang]] {{mvar | F}} tetap. Gagasan tersebut kemudian dikenal sebagai {{mvar | F}}-'' ruang vektor '' atau '' ruang vektor di atas {{mvar | F}} ''. Bidang pada dasarnya adalah sekumpulan angka yang memiliki operasi [[penambahan]], [[pengurangan]], [[perkalian]] dan [[pembagian (matematika)|pembagian]].<ref group=nb>Some authors (such as {{Harvard citations|last = Brown|year = 1991|nb=yes}}) batasi perhatian pada bidang {{math|'''R'''}} atau {{math|'''C'''}}, tetapi sebagian besar teori tidak berubah untuk bidang arbitrer.</ref> Misalnya, [[bilangan rasional]] membentuk suatu bidang.

Berbeda dengan intuisi yang berasal dari vektor pada bidang dan kasus berdimensi lebih tinggi, dalam ruang vektor umum, tidak ada gagasan tentang [[lingkungan (topologi)|kedekatan]], [[sudut]] atau [[jarak]]. Untuk menangani hal-hal tersebut, jenis ruang vektor tertentu diperkenalkan; lihat [[#Ruang vektor dengan struktur tambahan|Ruang vektor dengan struktur tambahan]] di bawah untuk informasi selengkapnya.

== Rumus alternatif dan konsekuensi dasar ==
Penjumlahan vektor dan perkalian skalar adalah operasi, memenuhi sifat [[penutupan (matematika)|penutupan]]: {{math|'''u''' + '''v'''}} dan {{math|''a'''''v'''}} berada di {{math|''V''}} untuk {{math|''a''}} pada {{math|''F''}}, dan {{math|'''u'''}}, {{math|'''v'''}} ke {{math|''V''}}. Beberapa sumber yang lebih tua menyebutkan sifat-sifat ini sebagai aksioma yang terpisah.<ref>{{Harvard citations|last = van der Waerden|year = 1993|nb = yes|loc=Ch. 19}}</ref>

Dalam bahasa [[aljabar abstrak]], empat aksioma pertama ekivalen dengan mensyaratkan himpunan vektor menjadi [[grup Abelian]] di bawah tambahan. Aksioma yang tersisa memberi grup ini struktur {{math|'' F ''}}-[[Modul (matematika)|modul]]. Dengan kata lain, ada [[ring homomorphism]] {{math | '' f ''}} dari bidang {{math | '' F ''}} ke dalam [[gelanggang endomorfisme]] dari grup vektor. Kemudian perkalian skalar {{math|''a'''''v'''}} didefinisikan sebagai {{math|(''f''(''a''))('''v''')}}.<ref>{{Harvard citations|last=Bourbaki|year=1998|nb=yes|loc=§II.1.1}}. Bourbaki menyebut grup homomorfisme {{math|''f''(''a'')}} ''homotheties''.</ref>

== Sejarah ==
{{See|Sejarah aljabar}}
Ruang vektor berasal dari [[geometri affine]], melalui pengenalan [[koordinat]] pada bidang atau ruang tiga dimensi. Sekitar 1636, ahli matematika Prancis [[René Descartes]] dan [[Pierre de Fermat]] mendirikan [[geometri analitik]] dengan mengidentifikasi solusi persamaan dua variabel dengan titik-titik pada bidang [[kurva]].<ref>{{Harvard citations|last = Bourbaki|year = 1969|nb = yes|loc = ch. "Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire", pp. 78–91}}.</ref> Untuk mencapai solusi geometris tanpa menggunakan koordinat, [[Bernhard Bolzano|Bolzano]] diperkenalkan, pada tahun 1804, operasi tertentu pada titik, garis dan bidang, yang merupakan pendahulu vektor.<ref>{{Harvard citations|last = Bolzano|year = 1804|nb = yes}}.</ref> This work was made use of in the conception of [[Barycentric coordinates (mathematics)|barycentric coordinates]] by [[August Ferdinand Möbius|Möbius]] in 1827.<ref>{{Harvard citations|last = Möbius|year = 1827|nb = yes}}.</ref> Landasan dari definisi vektor adalah [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]] 'pengertian bipoint, segmen berorientasi salah satu ujungnya adalah asal dan yang lain target. Vektor dipertimbangkan kembali dengan penyajian [[bilangan kompleks]] oleh [[Jean-Robert Argand|Argand]] dan [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] dan dimulainya [[Kuarternion]] oleh yang terakhir.<ref>{{Harvard citations|last = Hamilton|year = 1853|nb = yes}}.</ref> Mereka adalah elemen dalam '''R'''<sup>2</sup> dan '''R'''<sup>4</sup>; memperlakukan mereka menggunakan [[kombinasi linier]] s kembali ke [[Laguerre]] pada tahun 1867, yang juga mendefinisikan [[sistem persamaan linear]].

Pada tahun 1857, [[Arthur Cayley|Cayley]] memperkenalkan [[notasi matriks]] yang memungkinkan harmonisasi dan penyederhanaan [[peta linear]]. Sekitar waktu yang sama, [[Grassmann]] mempelajari kalkulus barycentric yang diprakarsai oleh Mbius. Dia membayangkan kumpulan objek abstrak yang diberkahi dengan operasi.<ref>{{Harvard citations|last = Grassmann|year = 2000|nb = yes}}.</ref> Dalam karyanya, konsep [[kebebasan linear]] dan [[dimensi]], serta [[produk skalar]] hadir. Sebenarnya karya Grassmann tahun 1844 melebihi kerangka vektor ruang, karena perkaliannya yang mempertimbangkan, juga, membawanya ke apa yang sekarang disebut [[aljabar]]. Matematikawan Italia [[Guiseppe Peano|Peano]] adalah orang pertama yang memberikan definisi modern ruang vektor dan peta linier pada tahun 1888.<ref>{{Harvard citations|last = Peano|year = 1888|nb = yes |loc = ch. IX}}.</ref>

Perkembangan penting dari ruang vektor adalah karena pembangunan [[ruang fungsi]] oleh [[Henri Lebesgue]]. Ini kemudian diresmikan oleh [[Stefan Banach|Banach]] dan [[David Hilbert|Hilbert]], sekitar 1920.<ref>{{Harvard citations|last = Banach|year = 1922|nb = yes}}.</ref> Pada saat itu, [[aljabar]] dan bidang baru [[analisis fungsional]] mulai berinteraksi, terutama dengan konsep-konsep kunci seperti [[Ruang Lp|Ruang L<sup>p</sup>]] dan [[ruang Hilbert]].<ref>{{Harvard citations|last = Dorier|year = 1995|nb = yes}}, {{Harvard citations|last = Moore|year = 1995|nb = yes}}.</ref> Juga pada saat ini, studi pertama tentang ruang vektor berdimensi tak hingga telah dilakukan.

== Contoh ==
{{main|Contoh ruang vektor}}

=== Ruang koordinat ===
Contoh paling sederhana dari ruang vektor di atas bidang {{math|'' F ''}} adalah bidang itu sendiri, dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian standarnya. Lebih umum lagi, semua [[tupel|{{math|''n''}}-tupel]] (urutan panjang {{math|''n''}}) 
:{{math|(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}}
dari elemen {{math|'' F ''}} membentuk ruang vektor yang biasanya dilambangkan {{math|''F''<sup>''n''</sup>}} dan disebut '''ruang koordinat'''.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|loc = ch. I.1|nb = yes}}</ref> 
Kasus {{math|1=''n'' = 1}} adalah contoh paling sederhana yang disebutkan di atas, di mana bidang {{math|'' F ''}} juga dianggap sebagai ruang vektor di atasnya. Kasus {{math|1=''F'' = '''R'''}} and {{math|1=''n'' = 2}} telah dibahas dalam pendahuluan di atas.

=== Bilangan kompleks dan ekstensi bidang lainnya ===
Himpunan [[bilangan kompleks]] {{math|'''C'''}}, Artinya, angka yang bisa dituliskan dalam bentuk {{math|1=''x'' + ''iy''}} untuk [[bilangan real]] {{matematika|'' x ''}} dan {{matematika|'' y ''}} di mana {{matematika|'' i ''}} adalah [[satuan imajiner]] , bentuk ruang vektor di atas real dengan penjumlahan dan perkalian seperti biasa: {{math|1=(''x'' + ''iy'') + (''a'' + ''ib'') = (''x'' + ''a'') + ''i''(''y'' + ''b'')}} dan {{math|1=''c'' ⋅ (''x'' + ''iy'') = (''c'' ⋅ ''x'') + ''i''(''c'' ⋅ ''y'')}} untuk bilangan real {{math|''x''}}, {{math|''y''}}, {{math|''a''}}, {{math|''b''}} dan {{math|''c''}}.  Berbagai aksioma ruang vektor mengikuti fakta bahwa aturan yang sama berlaku untuk [[Aritmetika|aritmatika]] bilangan kompleks.

Faktanya, contoh bilangan kompleks pada dasarnya sama (yaitu '' isomorfik '') dengan ruang vektor pasangan terurut bilangan real yang disebutkan di atas: jika kita memikirkan bilangan kompleks {{math|''x'' + ''i'' ''y''}} sebagai mewakili urutan {{math|(''x'', ''y'')}} di [[bidang kompleks]] kemudian kita melihat bahwa aturan penjumlahan dan perkalian skalar sama persis dengan yang ada di contoh sebelumnya.

Secara lebih umum, [[ekstensi bidang]] menyediakan kelas lain dari contoh ruang vektor, terutama dalam aljabar dan [[teori bilangan aljabar]]: bidang {{matematika|'' F ''}} berisi [[Ekstensi bidang|bidang lebih kecil]] {{matematika|'' E ''}} adalah ruang vektor-{{matematika|'' E ''}}, dengan operasi perkalian dan penjumlahan yang diberikan {{math|''F''}}.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year =2002|loc = ch. V.1|nb = yes}}</ref> Misalnya, bilangan kompleks adalah ruang vektor {{math|'''R'''}}, dan ekstensi bidang <math>\mathbf{Q}(i\sqrt{5})</math> adalah vektor ruang atas {{math|'''Q'''}}.  <!--Jenis ekstensi bidang yang sangat menarik di [[teori bilangan]] adalah {{math|'''Q'''(''α'')}}, perpanjangan bilangan rasional {{math|'''Q'''}} dengan bilangan kompleks tetap {{math|''α''}}. {{math|'''Q'''(''α'')}} adalah bidang terkecil yang berisi rasional dan bilangan kompleks tetap '' α ''. Dimensinya sebagai ruang vektor di atas {{math|'''Q'''}} tergantung pada pilihan {{math|''α''}}.-->

=== Ruang fungsi ===
{{Main|Ruang fungsi}}
[[Berkas:Example for addition of functions.svg|thumb|Penambahan fungsi: Jumlah sinus dan fungsi eksponensial adalah <math>\sin+\exp:\R\to\R</math> dengan <math>(\sin+\exp)(x)=\sin(x)+\exp(x)</math>]]

Fungsi dari himpunan tetap {{math | Ω}} ke bidang {{math|'' F ''}} juga membentuk ruang vektor, dengan melakukan penjumlahan dan perkalian skalar searah jarum jam. Artinya, jumlah dari dua fungsi {{math|'' f ''}} dan {{math|'' g ''}} adalah fungsi {{math|(''f'' + ''g'')}} diberikan oleh
:{{math|1=(''f'' + ''g'')(''w'') = ''f''(''w'') + ''g''(''w'')}},
dan juga untuk perkalian. Ruang fungsi seperti itu terjadi dalam banyak situasi geometris, ketika {{math | Ω}} adalah [[garis nyata]] atau [[interval (matematika)|interval]], atau [[himpunan bagian]] lainnya dari {{math|'''R'''}}. Banyak gagasan dalam [[topologi]] dan analisis, seperti [[fungsi kontinu|kontinuitas]], [[integral|integrabilitas]] atau [[diferensiabilitas]] berperilaku baik sehubungan dengan linearitas: penjumlahan dan kelipatan skalar dari fungsi yang memiliki sifat seperti itu masih memiliki sifat itu.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1993|loc = ch. XII.3., p. 335|nb = yes}}</ref>  Oleh karena itu, himpunan fungsi tersebut adalah ruang vektor. Mereka dipelajari secara lebih rinci menggunakan metode [[analisis fungsional]], lihat [[#label Analisis Fungsional|di bawah]].{{clarify|date=February 2019}}<!-- Referensi silang internal harus berfungsi untuk versi cetak artikel ini, bukan hanya versi webnya, jadi ini harus mengidentifikasi referensinya dengan kata-kata yang lebih spesifik. --> Batasan aljabar juga menghasilkan ruang vektor: <span id=labelPolynomialRing>[[gelanggang polinomial|ruang vektor {{math|''F''[x]}}]]</span> diberikan oleh [[fungsi polinomial]]:
:{{math|1=''f''(''x'') = ''r''<sub>0</sub> + ''r''<sub>1</sub>''x'' + ... + ''r''<sub>''n''−1</sub>''x''<sup>''n''−1</sup> + ''r''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup>}}, dimana [[koefisien]] {{math|''r''<sub>0</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}} berada di {{math|''F''}}.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|loc = ch. IX.1|nb = yes}}</ref>

=== Persamaan linear ===
{{Main|Persamaan linear|Persamaan diferensial linier|Sistem persamaan linier}}
Sistem [[persamaan linear homogen]] s terkait erat dengan ruang vektor.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|loc = ch. VI.3.|nb = yes}}</ref> For example, the solutions of 
:{|
|-
| style="text-align:right;"|{{math|''a''}}
|{{math|+}}
|{{math|3''b''}}
|{{math|+}}
| style="text-align:right;"|{{math|''c''}}
|{{math|{{=}} 0}}
|-
|{{math|4''a''}}
|{{math|+}}
|{{math|2''b''}}
|{{math|+}}
|{{math|2''c''}}
|{{math|{{=}} 0}}
|}
diberikan dengan tiga kali lipat dengan sembarang {{math|''a''}}, {{math|1=''b'' = ''a''/2}}, dan {{math|1=''c'' = −5''a''/2}}. Mereka membentuk ruang vektor: penjumlahan dan kelipatan skalar dari tiga kali lipat masih memenuhi rasio yang sama dari ketiga variabel; jadi mereka juga solusi. [[matriks (matematika)|Matriks]] dapat digunakan untuk memadatkan beberapa persamaan linier seperti di atas menjadi satu persamaan vektor, yaitu
:<span id=equation3>{{math|1=''A'''''x''' = '''0'''}}</span>,
dimana {{math|1=''A'' =}} <math>\begin{bmatrix}
1 & 3 & 1 \\
4 & 2 & 2\end{bmatrix}</math> is matriks yang berisi koefisien dari persamaan yang diberikan, {{math|'''x'''}} adalah vektor {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}}, {{math|''A'''''x'''}} menunjukkan [[produk matriks]], dan {{math|1='''0''' = (0, 0)}} adalah vektor nol. Dengan nada yang sama, solusi dari '' persamaan diferensial linier '' homogen membentuk ruang vektor. Sebagai contoh,
:<span id=equation1>{{math|1=''f''′′(''x'') + 2''f''′(''x'') + ''f''(''x'') = 0}}</span>
hasil {{math|1=''f''(''x'') = ''a&thinsp;e''<sup>−''x''</sup> + ''bx&thinsp;e''<sup>−''x''</sup>}}, dimana {{math|''a''}} dan {{math|''b''}} adalah konstanta arbitrer, dan {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} adalah [[fungsi eksponensial alami]].

== Definisi formal ==
Sebuah ''ruang vektor'' (atas [[Medan (matematika)|medan]] ''F'') adalah [[himpunan]] ''V'', bersama-sama dengan dua operasi, yaitu penjumlahan vektor dan perkalian skalar, dan memenuhi [[aksioma|aksioma-aksioma]] berikut (untuk semua <math>\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V </math> dan <math>a,b\in F</math>):

{|border=0 width=100%
| '''Aksioma''' ||'''Pernyataan'''
|-
| Sifat asosiatif penjumlahan || '''u''' + ('''v''' + '''w''') = ('''u''' + '''v''') + '''w'''.
|- style="background:#F8F4FF;"
| Sifat komutatif penjumlahan || '''v''' + '''w''' = '''w''' + '''v'''.
|-
| Elemen identitas penjumlahan || Terdapat elemen '''0''' ∈ ''V'', dinamakan sebagai ''[[vektor nol]]'', sedemikian sehingga '''v''' + '''0''' = '''v''' untuk semua '''v''' ∈ ''V''.
|- style="background:#F8F4FF;"
| Elemen invers penjumlahan || Untuk semua '''v''' ∈ V, terdapat elemen '''w''' ∈ ''V'', dinamakan sebagai ''[[invers penjumlahan]]''  '''v''', sedemikan sehingga '''v''' + '''w''' = '''0'''. Invers penjumlahan ini dilambangkan sebagai '''−v'''.
|-
| Sifat distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan vektor  || ''a''('''v''' + '''w''') = ''a'''''v''' + ''a'''''w'''.
|- style="background:#F8F4FF;"
| Sifat distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan medan ||  (''a'' + ''b'')'''v''' = ''a'''''v''' + ''b'''''v'''.
|-
| Kesesuaian perkalian skalar dengan perkalian medan ||  ''a''(''b'''''v''') = (''ab'')'''v''' <ref name=nb>Aksioma ini tidak menyatakan sifat asosiatif operasi, karena ada dua operasi dalam hal ini, perkalian skalar: ''b'''''v'''; dan perkalian medan: ''ab''.</ref>
|- style="background:#F8F4FF;"
| Elemen identitas pada perkalian skalar ||  1'''v''' = '''v''', dengan 1 melambangkan entitas perkalian dalam  ''F''.
|}

== Dalam peta linear ==
{{Lihat|Peta linear}}
Kasus khusus yang penting adalah ketika {{math|1=''V'' = ''W''}}, di mana peta linearnya disebut '''[[endomorfisme]]''' (linear) dari {{math|''V''}}. Terkadang istilah '''operator linear''' dipakai untuk kasus ini.<ref>Transformasi linear dari {{mvar|V}} ke {{mvar|V}} sering disebut ''operator linear'' di {{mvar|V}} {{harvnb|Rudin|1976|page=207}}</ref> Dalam kebiasaan yang lain, ''operator linear'' membolehkan {{mvar|V}} dan {{mvar|W}} yang berbeda, tetapi mereka harus merupakan urang vektor [[Bilangan real|real]].<ref>Misalkan {{mvar|V}} dan {{mvar|W}} adalah dua ruang vektor real. Sebuat pemetaan dari {{mvar|V}} ke {{mvar|W}} disebut sebuah 'pemetaan linear' atau 'transformasi linear' atau 'operator linear' [...] dari {{mvar|V}} ke {{mvar|W}}, apabila <br> <math display="inline">a(u+v)=au+av</math> untuk setiap <math display="inline">u,v \in V</math>, <br> <math display="inline"> a(\lambda u)= \lambda au </math> untuk setiap <math>u \in V</math> dan semua {{mvar|λ}} real. {{harvnb|Bronshtein, Semendyayev|2004|page=316}}</ref> Terkadang istilah ''[[fungsi linear]]'' memiliki arti yang sama dengan ''peta linear'', sedangkan dalam [[geometri analisis]] artinya berbeda.

Sebuah peta linear selalu memetakan [[subruang linear]] ke subruang linear (mungkin dengan [[Dimensi (ruang vektor)|dimension]] yang lebih rendah);<ref>{{harvnb|Rudin|1991|page=14}}<br> Berikut beberapa sifat dari pemetaan linear <math display="inline">\Lambda: X \to Y</math> yang buktinya sangat mudah jadi kita tidak menuliskannya; diasumsikan bahwa <math display="inline">A \subset X</math> dan <math display="inline">B \subset Y</math>:
{{ordered list
 | list-style-type=lower-alpha
 | <math display="inline">\Lambda 0 = 0.</math>
 | Jika {{mvar|A}} merupakan sebuah subruang (atau sebuah [[himpunan konveks]], atau sebuah [[himpunan seimbang]]) hal yang sama berlaku juga di <math display="inline">\Lambda(A)</math>
 | Jika {{mvar|B}} merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di <math display="inline">\Lambda^{-1}(B)</math>
 | Secara khusus, himpunan:
: <math>\Lambda^{-1}(\{0\}) = \{x \in X: \Lambda x = 0\} = {N}(\Lambda)</math>

merupakan sebuah subruang dari {{mvar|X}}, disebut ''ruang nol'' dari <math display="inline">\Lambda</math>.
}}</ref> contohnya pemetaan sebuah [[Bidang (geometri)|bidang]] yang melalui [[titik nol]] ke sebuah bidang, [[garis lurus]] atau [[Titik (geometri)|titik]]. Peta linear biasanya dilambangkan sebagai [[matriks (matematika)|matriks]], dan contoh sederhananya adalah transformasi linear [[rotasi (matematika)|rotasi]] dan [[pencerminan (matematika)|pencerminan]].

Dalam bahasa [[aljabar abstrak]], sebuah peta linear merupakan sebuah [[homoformisme modul]]. Dalam bahasa [[teori kategori]], sebuah peta linear merupakan sebuah [[morfisme]] dalam [[kategori modul]] pada sebuah [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]].

== Lihat pula ==
*[[Vektor (matematika dan fisika)]], untuk daftar berbagai macam vektor <!-- Item ini sengaja dibiarkan -->

{{Col-begin}}
{{Col-1-of-3}}
*[[Sistem koordinat Kartesius]]
*[[Ruang vektor bertingkat]]
{{Col-2-of-3}}
*[[Ruang metrik]]
*[[Vektor-P]]
*[[Teorema Riesz–Fischer]]
{{Col-3-of-3}}
*[[Ruang (matematika)]]
*[[Ruang vektor urutan]]
{{col-end}}

== Catatan ==
{{reflist|group=nb|3}}

=== Kutipan ===
{{Reflist|20em}}

== Referensi ==
=== Aljabar ===
* {{Citation | last1=Artin | first1=Michael | author1-link=Michael Artin | title=Algebra | publisher=[[Prentice Hall]] | isbn=978-0-89871-510-1 | year=1991}}
* {{Citation | last1=Blass | first1=Andreas | title=Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983) | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Contemporary Mathematics | mr=763890 | year=1984 | volume=31 | chapter=Existence of bases implies the axiom of choice | pages=31–33}}
* {{Citation | last1=Brown | first1=William A. | title=Matrices and vector spaces | publisher=M. Dekker | location=New York | isbn=978-0-8247-8419-5 | year=1991 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/matricesvectorsp0000brow }}
* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Linear algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-96412-6 | year=1987}}
* {{Lang Algebra}}
* {{Citation | last1=Mac Lane | first1=Saunders | author1-link=Saunders Mac Lane | title=Algebra | edition=3rd | pages=193–222 | isbn=978-0-8218-1646-2 | year=1999}}
* {{Citation | last1=Meyer | first1=Carl D. | title=Matrix Analysis and Applied Linear Algebra | url=http://www.matrixanalysis.com/ | publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] | isbn=978-0-89871-454-8 | year=2000}}
* {{Citation | last1=Roman | first1=Steven | title=Advanced Linear Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-24766-3 | year=2005 | volume=135}}
* {{Citation | last1=Spindler | first1=Karlheinz | title=Abstract Algebra with Applications: Volume 1: Vector spaces and groups
 | publisher=CRC | isbn=978-0-8247-9144-5 | year=1993}}
* {{Citation | last1=van der Waerden | first1=Bartel Leendert | author1-link=Bartel Leendert van der Waerden | title=Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=9th | isbn=978-3-540-56799-8 | year=1993|language=de}}

=== Analisis ===
* {{Citation | last1=Bourbaki | first1=Nicolas | author1-link=Nicolas Bourbaki | title=Topological vector spaces | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Elements of mathematics | isbn=978-3-540-13627-9 | year=1987}}
* {{Citation | last1=Bourbaki | first1=Nicolas | author1-link=Nicolas Bourbaki | title=Integration I | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-41129-1 | year=2004}}
* {{Citation | last1=Braun | first1=Martin | title=Differential equations and their applications: an introduction to applied mathematics | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-97894-9 | year=1993}}
* {{springer|last=BSE-3|title=Tangent plane|id=T/t092180}}
* {{Citation | last1=Choquet | first1=Gustave | author1-link=Gustave Choquet | title=Topology | publisher=[[Academic Press]] | location=Boston, MA | year=1966}}
* {{Citation | last1=Dennery | first1=Philippe | last2=Krzywicki | first2=Andre | title=Mathematics for Physicists | publisher=Courier Dover Publications | isbn=978-0-486-69193-0 | year=1996}}
* {{Citation | last1=Dudley | first1=Richard M. | title=Real analysis and probability | publisher=Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software | location=Pacific Grove, CA | series=The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series | isbn=978-0-534-10050-6 | year=1989}}
* {{Citation | last1=Dunham | first1=William | title=The Calculus Gallery | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-09565-3 | year=2005}}
* {{Citation | last1=Evans | first1=Lawrence C. | title=Partial differential equations | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-0772-9 | year=1998}}
* {{Citation | last1=Folland | first1=Gerald B. | title=Fourier Analysis and Its Applications | publisher=Brooks-Cole | isbn=978-0-534-17094-3 | year=1992}}
* {{Citation | last1 = Gasquet | first1 = Claude | last2 = Witomski | first2 = Patrick | publication-date = 1999 | title = Fourier Analysis and Applications: Filtering, Numerical Computation, Wavelets | series = Texts in Applied Mathematics | location = New York | publisher = Springer-Verlag | isbn = 978-0-387-98485-8 | year = 1999}}
* {{Citation | last1 = Ifeachor | first1 = Emmanuel C. | last2 = Jervis | first2 = Barrie W. | publication-date = 2002 | title = Digital Signal Processing: A Practical Approach | edition = 2nd | location = Harlow, Essex, England | publisher = Prentice-Hall | isbn = 978-0-201-59619-9 | year = 2001}}
* {{Citation | last = Krantz | first = Steven G. | publication-date = 1999 | title = A Panorama of Harmonic Analysis | series = Carus Mathematical Monographs | location = Washington, DC | publisher = Mathematical Association of America | isbn = 978-0-88385-031-2 | year = 1999}}
* {{Citation | last = Kreyszig | first = Erwin | author-link = Erwin Kreyszig | publication-date = 1988 | title = Advanced Engineering Mathematics | edition = 6th | location = New York | publisher = John Wiley & Sons | isbn = 978-0-471-85824-9 | year = 1988}}
*{{Citation | last1=Kreyszig | first1=Erwin | author1-link=Erwin Kreyszig | title=Introductory functional analysis with applications | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-50459-7 | mr=992618 | year=1989}}
* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Real analysis | publisher=[[Addison-Wesley]] | isbn=978-0-201-14179-5 | year=1983}}
* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Real and functional analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94001-4 | year=1993}}
* {{Citation | last1=Loomis | first1=Lynn H. | title=An introduction to abstract harmonic analysis | publisher=D. Van Nostrand Company, Inc. | location=Toronto-New York–London | year=1953 | pages=x+190| hdl=2027/uc1.b4250788 | hdl-access=free }}
* {{Narici Beckenstein Topological Vector Spaces|edition=2}} <!-- {{sfn | Narici | 2011 | p=}} -->
* {{Schaefer Wolff Topological Vector Spaces|edition=2}} <!-- {{sfn | Schaefer | 1999 | p=}} -->
* {{Citation | last1=Treves | first1=François | title=Topological vector spaces, distributions and kernels | publisher=[[Academic Press]] | location=Boston, MA | year=1967}}

=== Referensi sejarah ===
* {{Citation | last1=Banach | first1=Stefan | author1-link=Stefan Banach | title=Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations) | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf | year=1922 | journal=[[Fundamenta Mathematicae]] | issn=0016-2736 | volume=3| pages=133–181 |language=fr| doi=10.4064/fm-3-1-133-181 }}
* {{Citation | last1=Bolzano | first1=Bernard | author1-link=Bernard Bolzano | title=Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) | url=http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400338 | year=1804|language=de}}
* {{Citation | last1=Bourbaki | first1=Nicolas | author1-link=Nicolas Bourbaki | title=Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics) | publisher=Hermann | location=Paris | year=1969|language=fr}}
* {{Citation | last1=Dorier | first1=Jean-Luc | title=A general outline of the genesis of vector space theory | mr=1347828 | year=1995 | journal=[[Historia Mathematica]] | volume=22 | issue=3 | pages=227–261 | doi=10.1006/hmat.1995.1024| url=http://archive-ouverte.unige.ch/unige:16642 | doi-access=free }}
* {{Citation | last1=Fourier | first1=Jean Baptiste Joseph | author1-link=Joseph Fourier | title=Théorie analytique de la chaleur | url=https://books.google.com/books?id=TDQJAAAAIAAJ | publisher=Chez Firmin Didot, père et fils | year=1822|language=fr}}
* {{Citation | last1=Grassmann | first1=Hermann | author1-link=Hermann Grassmann | title=Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik | url=https://books.google.com/books?id=bKgAAAAAMAAJ&pg=PA1 | year=1844 | publisher=O. Wigand|language=de}}, reprint: {{Citation | title=Extension Theory | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-2031-5 | year=2000 | first=Hermann |last=Grassmann |translator-first= Lloyd C. |translator-last=Kannenberg | editor1-last=Kannenberg | editor1-first=L.C.}}
* {{Citation | last1=Hamilton | first1=William Rowan | author1-link=William Rowan Hamilton | title=Lectures on Quaternions | url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=05230001&seq=9 | publisher=Royal Irish Academy | year=1853}}
* {{Citation | last1=Möbius | first1=August Ferdinand | author1-link=August Ferdinand Möbius | title=Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) | url=http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0 | archive-url=https://web.archive.org/web/20061123192612/http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0 | url-status=dead | archive-date=2006-11-23 | year=1827|language=de}}
* {{Citation | last1=Moore | first1=Gregory H. | title=The axiomatization of linear algebra: 1875–1940 | year=1995 | journal=[[Historia Mathematica]] | volume=22 | issue=3 | pages=262–303 | doi=10.1006/hmat.1995.1025| doi-access=free }}
* {{Citation | last1=Peano | first1=Giuseppe | author1-link=Giuseppe Peano | title=Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva | year=1888 | location=Turin|language=it}}
* Peano, G. (1901) [[Formulario mathematico]]: [https://archive.org/details/formulairedesmat00pean/page/194 vct axioms] via [[Internet Archive]]

=== Referensi lebih lanjut ===
* {{Citation | last1=Ashcroft | first1=Neil | last2=Mermin | first2=N. David | author1-link=Neil Ashcroft | author2-link=N. David Mermin | title=Solid State Physics | publisher=Thomson Learning | location=Toronto | isbn=978-0-03-083993-1 | year=1976 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/solidstatephysic00ashc }}
* {{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=Michael Atiyah | title=K-theory | publisher=[[Addison-Wesley]] | edition=2nd | series=Advanced Book Classics | isbn=978-0-201-09394-0 | mr=1043170 | year=1989}}
* {{Citation | last1=Bourbaki | first1=Nicolas | author1-link=Nicolas Bourbaki | title=Elements of Mathematics : Algebra I Chapters 1-3 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-64243-5 | year=1998}}
* {{Citation | last1=Bourbaki | first1=Nicolas | author1-link=Nicolas Bourbaki | title=General Topology. Chapters 1-4 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-64241-1 | year=1989}}
* {{Citation | last1=Coxeter | first1=Harold Scott MacDonald | author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | title=Projective Geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | isbn=978-0-387-96532-1 | year=1987}}
* {{Citation | last1=Eisenberg | first1=Murray | last2=Guy | first2=Robert | title=A proof of the hairy ball theorem | year=1979 | journal=[[American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly]] | volume=86 | issue=7 | pages=572–574 | doi=10.2307/2320587 | jstor=2320587 }}
* {{Citation | last1=Eisenbud | first1=David | author1-link=David Eisenbud | title=Commutative algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94269-8 | mr=1322960 | year=1995 | volume=150}}
* {{Citation | last1=Goldrei | first1=Derek | title=Classic Set Theory: A guided independent study | publisher=[[Chapman and Hall]] | location=London | edition=1st | isbn=978-0-412-60610-6 | year=1996}}
* {{Citation | last=Griffiths | first=David J. | author-link=David J. Griffiths |title=Introduction to Quantum Mechanics | year=1995 |publisher=[[Prentice Hall]] |location=Upper Saddle River, NJ |isbn=978-0-13-124405-4}}
* {{Citation | last1=Halmos | first1=Paul R. | author1-link=Paul R. Halmos | title=Finite-dimensional vector spaces | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90093-3 | year=1974}}
* {{Citation | last1=Halpern | first1=James D. | title=Bases in Vector Spaces and the Axiom of Choice |date=Jun 1966 |journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] | volume=17 | issue=3 | pages=670–673 | doi=10.2307/2035388 | jstor=2035388 | doi-access=free }}
* {{Citation | last1=Hughes-Hallett | first1=Deborah | last2=McCallum | first2=William G. | last3=Gleason | first3=Andrew M. | title=Calculus : Single and Multivariable | date=2013 | publisher=[[John Wiley & Sons]] | isbn=978-0470-88861-2 | edition=6}}
* {{Citation | last1=Husemoller | first1=Dale | title=Fibre Bundles | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-0-387-94087-8 | year=1994}}
* {{Citation | last1=Jost | first1=Jürgen | title=Riemannian Geometry and Geometric Analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=4th | isbn=978-3-540-25907-7 | year=2005}}
* {{Citation | last1=Kreyszig | first1=Erwin | author1-link=Erwin Kreyszig | title=Differential geometry | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-66721-8 | year=1991 | pages=xiv+352}}
* {{Citation |last=Kreyszig |first=Erwin |title=Advanced Engineering Mathematics |edition=8th |year=1999 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=New York |isbn=978-0-471-15496-9 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/advancedengineer0008krey }}
* {{Citation | last1=Luenberger | first1=David | title=Optimization by vector space methods | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-18117-0 | year=1997}}
* {{Citation | last1=Mac Lane | first1=Saunders | author1-link=Saunders Mac Lane | title=Categories for the Working Mathematician | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | isbn=978-0-387-98403-2 | year=1998| title-link=Categories for the Working Mathematician }}
* {{Citation | last1=Misner | first1=Charles W. | author1-link=Charles W. Misner | last2=Thorne | first2=Kip | author2-link=Kip Thorne | last3=Wheeler | first3=John Archibald | author3-link=John Archibald Wheeler | title=Gravitation | publisher=W. H. Freeman | isbn=978-0-7167-0344-0 | year=1973| title-link=Gravitation (book) }}
* {{Citation | last1=Naber | first1=Gregory L. | title=The geometry of Minkowski spacetime | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-43235-9 | mr=2044239 | year=2003}}
* {{Citation | last1=Schönhage | first1=A. | author1-link=Arnold Schönhage | last2=Strassen | first2=Volker | author2-link=Volker Strassen | title=Schnelle Multiplikation großer Zahlen (Fast multiplication of big numbers) | year=1971 | journal=Computing | issn=0010-485X | volume=7 | issue=3–4 | pages=281–292 | doi=10.1007/bf02242355| s2cid=9738629 |language=de}}
* {{Citation | last1=Spivak | first1=Michael | author1-link=Michael Spivak | title=A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two) | publisher=Publish or Perish | location=Houston, TX | year=1999}}
* {{Citation | last1=Stewart | first1=Ian | author-link=Ian Stewart (mathematician) | title=Galois Theory | year=1975 | publisher=[[Chapman and Hall]] | isbn=978-0-412-10800-6 | location=London | series=[[Chapman and Hall]] Mathematics Series | url-access=registration | url=https://archive.org/details/galoistheory0000stew }}
* {{Citation | last1=Varadarajan | first1=V. S. | title=Lie groups, Lie algebras, and their representations | publisher=[[Prentice Hall]] | isbn=978-0-13-535732-3 | year=1974}}
* {{Citation | last1=Wallace | first1=G.K. | title=The JPEG still picture compression standard | date=Feb 1992 | journal=IEEE Transactions on Consumer Electronics | issn=0098-3063 | volume=38 | issue=1 | pages=xviii–xxxiv | doi=10.1109/30.125072 | url=http://www.csc.ncsu.edu/faculty/rhee/export/papers/TheJPEGStillPictureCompressionStandard.pdf | citeseerx=10.1.1.318.4292 | access-date=2017-10-25 | archive-url=https://web.archive.org/web/20070113155847/http://www.csc.ncsu.edu/faculty/rhee/export/papers/TheJPEGStillPictureCompressionStandard.pdf | archive-date=2007-01-13 | url-status=dead }}
* {{Weibel IHA}}

== Pranala luar ==
{{Wikibooks|Aljabar linear|Definisi dan Contoh Ruang Vektor|Ruang vektor rill}}
{{Wikibooks|Aljabar linear|Ruang vektor}}
* {{springer|title=Vector space|id=p/v096520}}

{{aljabar linear}}

{{DEFAULTSORT:Vector Space}}
[[Kategori:Konsep dalam fisika]]
[[Kategori:Teori grup]]
[[Kategori:Struktur matematika]]
[[Kategori:Vektor (matematika dan fisika)]]
[[Kategori:Ruang vektor]]