Lihat sumber Pi

{{untuk|singkatan pusat perbelanjaan di Jakarta Pusat|Plaza Indonesia}}
[[Berkas:Pi-CM.svg|ka|jmpl|200px|Simbol '''Pi''', π.]]{{Pi (konstanta matematika)}}
Bilangan '''{{pi}}''' ({{IPAc-en|p|aɪ}}; dieja "'''pi'''") adalah [[konstanta matematika]] yang merepresentasikan [[rasio]] antara [[Keliling lingkaran|keliling]] sebuah [[lingkaran]] dengan [[Diameter|diameternya]]. Nilai {{pi}} secara mendekati adalah 3,14159. Sebagai bilangan yang istimewa, {{pi}} banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu seperti [[matematika]] dan [[fisika]]. {{pi}} dikenal sebagai [[bilangan irasional]], artinya bilangan ini tidak dapat dinyatakan secara persis sebagai perbandingan dua [[bilangan bulat]]. Meskipun demikian, bilangan pecahan sederhana seperti <math>\tfrac{22}{7}</math> sering [[Perkiraan π|digunakan untuk mendekati nilai π]]. Keunikan {{pi}} juga terletak pada [[Representasi desimal|desimalnya]] yang tak pernah berakhir dan [[Desimal berulang|tidak memiliki pola berulang]]. Selain itu, {{pi}} merupakan [[bilangan transenden]]. Hal ini berarti bahwa {{pi}} tidak dapat menjadi solusi dari [[persamaan]] polinomial apapun dengan koefisien bilangan bulat. Sifat transendental ini menjelaskan mengapa masalah kuno [[Mempersegikan lingkaran|mengkuadratkan lingkaran]] menggunakan [[Lukisan jangka dan mistar|jangka dan penggaris]] tidak mungkin diselesaikan. Digit desimal bilangan π tampaknya [[Urutan acak|terdistribusi secara acak]].{{efn|In particular, {{pi}} is conjectured to be a [[normal number]], which implies a specific kind of statistical randomness on its digits in all bases.}} Meskipun demikian, hingga saat ini belum ada [[Konjektur|pembuktian matematis]] yang mendukung anggapan tersebut.

Sejak ribuan tahun silam, para matematikawan dari berbagai peradaban telah mempelajari {{pi}}. Bangsa [[Matematika Mesir|Mesir]] dan [[Matematika Babilonia|Babilonia kuno]], {{pi}} digunakan dalam perhitungan praktis. Sekitar tahun 250 SM, [[Archimedes]] dari [[Matematika Yunani|Yunani]] memperkenalkan algoritma untuk menghitung nilai {{pi}} dengan presisi tinggi. Pada abad ke-5 M, [[Matematika Tiongkok|matematikawan Tiongkok]] berhasil mendekati nilai {{pi}} hingga tujuh angka desimal, sementara [[Matematika India|matematikawan India]] mencapai lima angka desimal, keduanya menggunakan metode geometris. Ribuan tahun kemudian, penemuan [[Deret (matematika)|deret tak hingga]] untuk menghitung {{pi}} membuka babak baru dalam pemahaman nilai ini.{{sfn|Andrews|Askey|Roy|1999|p=59}}<ref>{{Cite journal|last=Gupta|first=R. C.|year=1992|title=On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series|journal=Ganita Bharati|volume=14|issue=1–4|pages=68–71}}</ref> Simbol Yunani [[Pi (huruf Yunani)|π]] pertama kali digunakan oleh [[William Jones (matematikawan)|William Jones]] pada tahun 1706.<ref name="jones">{{cite book|last=Jones|first=William|year=1706|url=https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n283/|title=Synopsis Palmariorum Matheseos|place=London|publisher=J. Wale|pages=[https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n261/ 243], [https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n283/ 263]|quote=There are various other ways of finding the ''Lengths'', or ''Areas'' of particular ''Curve Lines'' or ''Planes'', which may very much facilitate the Practice; as for instance, in the ''Circle'', the Diameter is to Circumference as 1 to {{br}}<math>
\overline{\tfrac{16}5 - \tfrac4{239}}
- \tfrac13\overline{\tfrac{16}{5^3} - \tfrac4{239^3}}
+ \tfrac15\overline{\tfrac{16}{5^5} - \tfrac4{239^5}}
-,\, \&c. =</math>{{br}}{{math|1=3.14159, &''c.'' = ''π''}}. This ''Series'' (among others for the same purpose, and drawn from the same Principle) I receiv'd from the Excellent Analyst, and my much Esteem'd Friend Mr. ''[[John Machin]]''; and by means thereof, ''[[Ludolph van Ceulen|Van Ceulen]]''{{'}}s Number, or that in Art. 64.38. may be Examin'd with all desireable Ease and Dispatch.|author-link=William Jones (mathematician)|quote-page=263}}

Reprinted in {{cite book|last=Smith|first=David Eugene|year=1929|title=A Source Book in Mathematics|publisher=McGraw–Hill|pages=346–347|chapter=William Jones: The First Use of {{mvar|π}} for the Circle Ratio|chapter-url=https://archive.org/details/sourcebookinmath1929smit/page/346/}}</ref>

Penemuan [[kalkulus]] pada abad ke-17 memberikan langkah penting dalam penghitungan bilangan {{pi}} hingga ratusan digit, cukup untuk keperluan ilmiah praktis pada masanya. Namun, pada abad ke-20 dan ke-21, ahli matematika dan [[Ilmu komputer|ilmuwan komputer]] mengembangkan metode baru dengan memanfaatkan peningkatan daya komputasi dan berhasil memperluas representasi desimal {{pi}} hingga triliunan digit.<ref>{{cite web|title=π<sup>e</sup> trillion digits of π|url=http://www.pi2e.ch/|website=pi2e.ch|archive-url=https://web.archive.org/web/20161206063441/http://www.pi2e.ch/|archive-date=6 December 2016|url-status=live}} <!-- – the exact number of digits increases periodically – it should not be included in this article by citing only a [[WP:PRIMARY|primary reference source]]. --></ref><ref>{{Cite web|last=Haruka Iwao|first=Emma|author-link=Emma Haruka Iwao|date=14 March 2019|title=Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes' constant on Google Cloud|url=https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud|website=[[Google Cloud Platform]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20191019023120/https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud|archive-date=19 October 2019|access-date=12 April 2019|url-status=live}}</ref> Motivasi di balik pencapaian ini melibatkan pengembangan algoritma yang efisien untuk menghitung deret numerik, sekaligus memenuhi ambisi manusia untuk mencetak rekor baru.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=17}}<ref>{{cite journal|last1=Bailey|first1=David H.|last2=Plouffe|first2=Simon M.|last3=Borwein|first3=Peter B.|last4=Borwein|first4=Jonathan M.|year=1997|title=The quest for PI|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_winter-1997_19_1/page/n51|journal=[[The Mathematical Intelligencer]]|volume=19|issue=1|pages=50–56|doi=10.1007/BF03024340|issn=0343-6993|citeseerx=10.1.1.138.7085|s2cid=14318695}}</ref> Perhitungan masif ini juga digunakan untuk menguji kinerja [[superkomputer]] dan perangkat keras komputer konsumen.

Sebagai konstanta yang mendasari lingkaran, {{pi}} banyak muncul dalam rumus matematika, fisika, dan teknik, terutama dalam [[trigonometri]] and [[geometri]]. Misalnya, rumus untuk luas lingkaran dan volume bola merupakan aplikasi fundamental. Bilangan ini juga berperan dalam bidang ilmu lain, seperti [[kosmologi]], [[fraktal]], [[termodinamika]], [[mekanika]], dan [[elektromagnetisme]]. Lebih jauh lagi, {{pi}} muncul dalam cabang ilmu yang tampaknya tidak berhubungan dengan geometri, seperti [[teori bilangan]] dan [[statistika]]. Dalam [[Mathematical analysis|analisis matematika]] modern, {{pi}} bahkan dapat didefinisikan tanpa referensi langsung terhadap geometri. {{pi}} adalah salah satu konstanta matematika paling terkenal, baik di dalam maupun di luar komunitas ilmu pengetahuan. Buku-buku yang mengupas tentang bilangan ini banyak diterbitkan, dan penghitungan rekornya sering menjadi berita utama.

{{TOC limit|limit=3}}

== Tinjauan dasar ==
=== Nama ===
Simbol yang digunakan oleh para matematikawan untuk mewakilkan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya adalah [[alfabet Yunani|huruf Yunani]] "{{pi}}". Huruf tersebut dapat dituliskan sebagi ''pi'' menggunakan huruf latin.<ref>{{cite journal|last=Holton|first=David|last2=Mackridge|first2=Peter|title=Greek: an Essential Grammar of the Modern Language|publisher=Routledge|year=2004 |isbn=0-415-23210-4|ref=harv}}, p. xi.</ref> Huruf kecil {{pi}} (atau π dalam gaya huruf [[sans-serif]]) berbeda dengan huruf besar <math>\Pi</math>, yang mewakili [[perkalian barisan]].

Pemilihan simbol π didiskusikan pada bagian [[Pi#Penggunaan simbol .CF.80|Penggunaan simbol π]]

=== Definisi ===
[[Berkas:Circle diameter circumference-id.svg|jmpl|212x212px|Keliling lingkaran adalah sedikit lebih panjang dari tiga kali panjang diameternya. Perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya disebut {{pi}}.]]
{{pi}} umumnya didefinisikan sebagai [[rasio]] [[keliling]] [[lingkaran]] {{math|''C''}} dengan [[diameter]]nya {{math|''d''}}:<ref name="Arndt">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=8}}</ref>
:<math> \pi = \frac{C}{d}</math>
Rasio {{math|''C''/''d''}} bernilai konstan tak tergantung pada ukuran lingkaran. Contohnya, jika suatu lingkaran memiliki diameter dua kali lipat daripada lingkaran lainnya, ia juga akan memiliki keliling yang dua kali lipat lebih besar, sehingganya nilai rasio {{math|''C''/''d''}} akan tetap sama. Definisi {{pi}} seperti ini secara implisit menggunakan [[geometri Euklides]]. Walaupun gagasan akan lingkaran juga dapat diperluas ke dalam [[geometri non-Euklides]], namun lingkaran yang baru ini tidak akan lagi memenuhi rumus {{math|{{pi}} {{=}} ''C''/''d''}}.<ref name="Arndt" /> Terdapat pula definisi {{pi}} lainnya yang tidak menyebut-nyebut lingkaran sama sekali, yakni: {{pi}} adalah bilangan yang bernilai dua kali lipat dari bilangan positif terkecil {{math|''x''}} yang mana {{math|[[Kosinus|cos]](''x'')}} sama dengan 0.<ref name="Arndt" /><ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Principles of Mathematical Analysis|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=0-07-054235-X|ref=harv}}, p 183.</ref>

=== Ciri-ciri ===
{{pi}} adalah [[bilangan irasional]], yang berarti bahwa ia tidak dapat ditulis sebagai rasio dua bilangan bulat.<ref name="Arndt_i">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=5}}</ref> Karena {{pi}} irasional, maka ia memiliki digit bilangan desimal yang tak terhingga banyaknya. Terdapat beberapa bukti bahwa {{pi}} irasional. Umumnya pembuktian ini memerlukan kalkulus dan bergantung pada teknik ''[[reductio ad absurdum]]''. Sejauh mana bilangan {{pi}} dapat didekati menggunakan [[bilangan rasional]] tidaklah diketahui.<ref>{{cite journal|last1=Salikhov|first1=V.|year=2008|title=On the Irrationality Measure of pi|journal=Russian Mathematical Survey|volume=53|issue=3|page=570|ref=harv|doi=10.1070/RM2008v063n03ABEH004543|bibcode = 2008RuMaS..63..570S }}</ref>
[[Berkas:Squaring the circle.svg|jmpl|alt=Diagram sebuah persegi dan lingkaran, keduanya dengan area identik; panjang sisi persegi adalah akar dari pi|Karena {{pi}} adalan [[bilangan transendental]], [[Mempersegikan lingkaran|Pemersegian lingkaran]] tidaklah dimungkinkan menggunakan [[jangka dan penggaris]].]]
{{pi}} adalah [[bilangan transendental]], yang berarti bahwa ia bukanlah penyelesaian dari [[polinom]] non-konstan berkoefisien [[rasional]] manapun seperti <math>\scriptstyle \frac{x^5}{120}\,-\,\frac{x^3}{6}\,+\,x\,=\,0.</math><ref name="ttop">{{cite web|first=Steve|last=Mayer|url=http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|title=The Transcendence of {{pi}}|accessdate=4 November 2007|archive-date=2000-09-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20000929033317/http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|dead-url=yes}}</ref> Transendensi {{pi}} mempunyai dua konsekuensi penting. Pertama, {{pi}} tidak dapat diekspresikan menggunakan kombinasi bilangan rasional dan [[akar kuadrat]] ataupun [[Akar ke-n|akar pangkat ke-n]] manapun seperti <math>\scriptstyle \sqrt[3]{31}</math> atau <math>\scriptstyle \sqrt[2]{10}.</math> Kedua, oleh karena tiada bilangan transendental apapun yang dapat dikonstruksikan menggunakan jangka dan penggaris, tidaklah dimungkinkan untuk "[[mempersegikan lingkaran]]". Dengan kata lain, tidaklah mungkin untuk mengkonstruksi persegi yang luasnya sama dengan luas lingkaran tertentu hanya dengan menggunakan jangka dan penggaris.<ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=25}}</ref> Pemersegian lingkaran merupakan salah satu teka-teki geometri yang penting pada zaman [[era klasik]].<ref>{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|p=129}}</ref> Matematikawan amatiran pada zaman modern kadang-kadang masih berusaha mempersegikan lingkaran dan mengklaim berhasil menyelesaikannya, walaupun telah diketahui hal ini tidak mungkin dilakukan.<ref>{{harvnb|Beckmann|1989|p=37}}</ref><ref>{{cite book|last=Schlager|first=Neil|last2=Lauer|first2=Josh|title=Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery|publisher=Gale Group|year=2001|isbn=0-7876-3933-8|ref=harv}}, p 185.</ref>

Digit-digit {{pi}} tidak memiliki pola apapun dan telah melewati uji [[keacakan statistis]] meliputi uji normalitas; sebuah bilangan dengan panjang tak terhingga dikatakan normal apabila keseluruhan barisan digitnya muncul sama banyaknya.<ref name="random" /> Hipotesis bahwa {{pi}} adalah normal belum berhasil dibuktikan maupun dibantah.<ref name="random">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22–23}}<br />{{cite news|url=http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|title=Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key|first=Paul|last=Preuss|authorlink=Paul Preuss|publisher=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]]|date=23 July 2001|accessdate=10 November 2007|archive-date=2007-10-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20071020010208/http://lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|dead-url=yes}}</ref> Sejak ditemukannya komputer, sejumlah besar digit {{pi}} telah berhasil dikomputasi untuk dianalisis secara statistik. [[Yasumasa Kanada]] telah menganalisis secara detail digit-digit desimal {{pi}} dan menemukannya konsisten dengan normalitas. Tiada bukti sepuluh digit 0 sampai dengan 9 yang ditemukan memiliki pola-pola apapun.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22, 28–30}}</ref> Walaupun digit-digit {{pi}} telah melewati uji keacakan statistik, {{pi}} mengandung beberapa barisan digit yang tampaknya tidak acak, misalnya [[titik Feynman]], yang merupakan barisan enam angka 9 secara beruruan yang dimulai dari desimal ke-762 {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=3}}</ref>

=== Pecahan kontinu ===
[[Berkas:Matheon2.jpg|jmpl|alt=Foto huruf Yunani pi, dibuat sebagai mosaik batu besar yang ditempel di pelataran.|Konstanta {{pi}} yang disajikan dalam bentuk [[mosaik]] di luar Gedung Matematika di [[Universitas Teknik Berlin]].]]

Sama seperti semua bilangan irasional lainnya, {{pi}} tidak dapat diwakilkan sebagai pecahan sederhana. Namun setiap bilangan irasional, termasuk {{pi}} dapat diwakilkan menggunakan deret pecahan bersarang tak terhingga yang disebut sebagai [[pecahan kontinu]]:

:<math>
\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}</math>

Penghentian pecahan kontinu pada titik pembagian manapun akan memberikan nilai pendekatan {{pi}}; dua pecahan 22/7 dan 355/113 secara historis digunakan sebagai pendekatan terhadap {{pi}}. Walauapun pecahan kontinu yang sederhana (seperti pada contoh di atas) untuk {{pi}} tidak memiliki pola-pola tertentu,<ref name="ReferenceA">
{{SloanesRef|sequencenumber=A001203|name=Continued fraction for Pi}} Retrieved 12 April 2012.</ref> matematikawan telah menemukan beberapa pecahan kontinu generalisasi yang memiliki pola tertentu, misalnya:<ref>{{cite journal|title=An Elegant Continued Fraction for {{pi}}|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1999-05_106_5/page/456|first=L. J.|last=Lange|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=106|issue=5|month=May|year=1999|pages=456–458|jstor=2589152|doi=10.2307/2589152|ref=harv}}</ref>
:<math>\pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\ddots}}}}}
=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\ddots}}}}}</math>

=== Nilai pendekatan/taksiran ===
Beberapa [[Pendekatan π|pendekatan ''{{pi}}'']] meliputi:
* '''Bilangan bulat''': [[3 (angka)|3]]
* '''Pecahan''': Pendekatan pecahan meliputi: (diurutkan berdasarkan kenaikan akurasi) {{sfrac|22|7}}, {{sfrac|333|106}}, {{sfrac|355|113}}, {{sfrac|52163|16604}}, {{sfrac|103993|33102}}, dan {{sfrac|245850922|78256779}}.{{Sfn|Eymard, Pierre, Lafon, Jean Pierre|1999|p=78}} (Disarikan dari {{OEIS2C|id=A063674}} and {{OEIS2C|id=A063673}}.)
* '''Desimal''': Limapuluh desimal pertama adalah {{gaps|3,14159|26535|89793|23846|26433|83279|50288|41971|69399|37510...}}<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=240}}</ref> {{OEIS2C|id=A000796}}
* '''[[Sistem bilangan biner|Biner]]''': Pendekatan [[Radiks|basis]] 2 hingga 48 digit adalah {{gaps|11,0010|0100|0011|1111|0110|1010|1000|1000|1000|0101|1010|0011...}}
* '''[[Heksadesimal]]''': Pendekatan [[Radix|basis]] 16 hingga 20 digit adalah {{gaps|3,243F|6A88|85A3|08D3|1319...}}<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=242}}</ref>
* '''[[Seksagesimal]]''': Pendekatan basis 60 hingga lima digit seksagesimal adalah 3;8,29,44,0,47<ref>{{citation|title=Abu-r-Raihan al-Biruni, 973-1048|last=Kennedy|first=E. S.|journal=Journal for the History of Astronomy|volume=9|page=65|bibcode=1978JHA.....9...65K|doi=10.1177/002182867800900106}}.</ref><ref group="n">[[Ptolemaeus]] menggunakan pendekatan tiga-digit-seksagesimal, dan [[Jamshīd al-Kāshī]] mengembangkan pendekatan ini hingga sembilan digit; lihat {{Citation |last= Aaboe |first= Asger |authorlink = Asger Aaboe |year= 1964 |title= Episodes from the Early History of Mathematics |series = New Mathematical Library |volume = 13 |publisher= Random House |publication-place= New York |page=125|url=http://books.google.com/books?id=5wGzF0wPFYgC&pg=PA125}}.</ref>

=== Bilangan kompleks dan identitas Euler ===
[[Berkas:Euler's formula.svg|al=A diagram of a unit circle centered at the origin in the complex plane, including a ray from the center of the circle to its edge, with the triangle legs labeled with sine and cosine functions.|jmpl|Asosiasi antara <math>e</math> pangkat [[bilangan imajiner]] dan [[Titik (geometri)|titik-titik]] pada [[lingkaran satuan]] yang berpusat pada titik [[Pusat (matematika)|pusat]] di [[bidang kompleks]] dinyatakan oleh [[rumus Euler]].]]
Suatu [[bilangan kompleks]], katakan <math>z</math>, dapat dinyatakan menggunakan pasangan [[bilangan real]]. Dalam [[Sistem koordinat polar#Bilangan kompleks|sistem koordinat polar]], jari-jari (dilambangkan <math>r</math>) digunakan untuk menyatakan jarak <math>z</math> dari [[Titik nol|titik pusat]] ke pusat [[bidang kompleks]], sedangkan sudut (dilambangkan <math>\varphi</math>) menyatakan [[Rotasi|putaran]] berlawanan arah jarum jam dari [[garis bilangan real]] positif:<ref>{{harvnb|Ayers|1964|p=100}}</ref>

: <math>z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi)</math>,

dengan <math>i</math> adalah [[unit imajiner]] dari <math>i^2 = -1</math>. Kemunculan penggunaan <math>\pi</math> dalam [[analisis kompleks]] dapat dihubungkan dengan perilaku [[fungsi eksponensial]] variabel kompleks, yang dijelaskan oleh [[rumus Euler]]:<ref name="EF2">{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|p=592}}</ref>

: <math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi</math>,

dengan [[E (konstanta matematika)|konstanta {{math|''e''}}]] adalah basis [[logaritma natural]]. Rumus ini menghasilkan hubungan antara <math>e</math> pangkat bilangan imajiner dan titik-titik pada [[lingkaran satuan]] yang berpusat pada [[Titik nol|titik pusat]] di [[bidang kompleks]]. Substitusi <math>\varphi = \pi</math> dalam rumus Euler menghasilkan [[identitas Euler]], disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima konstanta matematika paling penting:<ref name="EF2" /><ref>{{cite|author=Maor, Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=Princeton University Press|year=2009|page=160|ISBN=978-0-691-14134-3}} ("lima tetapan terpenting").</ref>

: <math>e^{i \pi} + 1 = 0</math>.

Sebanyak <math>n</math> [[bilangan kompleks]] <math>z</math> yang berbeda dalam persamaan <math>z^n = 1</math>, disebut "[[akar satuan]] pangkat-<math>n</math>".<ref>{{MathWorld|RootofUnity|Roots of Unity}}</ref> Rumus di atas dinyatakan dalam persamaan:

: <math>e^\frac{2 \pi i k}{n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1)</math>.

== Sejarah ==
{{main|Pendekatan nilai π}}
{{see also|Kronologi komputasi π|l1=Kronologi komputasi {{pi}}}}

=== Zaman kuno ===
[[Piramida Giza]] Mesir yang dibangun pada tahun 2589–2566&nbsp;SM, dibangun dengan kelilingnya sekitar 1760 [[kubit]] dan tinggi sekitar 280 kubit. Perbandingan antara keliling dengan tinggi piramida ini adalah {{frac|1760|280}}&nbsp;≈&nbsp;6,2857. Nilai ini mendekati 2{{pi}}&nbsp;≈&nbsp;6,2832. Berdasarkan rasio ini, beberapa ahli Mesir kuno menyimpulkan bahwa pendiri bangunan piramida ini memiliki pengetahuan akan {{pi}} dan dengan sengaja mendesain piramida dengan rasio seperti ini.<ref group="n">"Kita dapat menyimpulkan bahwa meskipun bangsa Mesir kuno tidak dapat mendefinisikan nilai {{pi}} dengan tepat, dalam praktiknya mereka menggunakannya".</ref><ref>{{cite journal|last=Verner|first=M.|title=The Pyramids: Their Archaeology and History|url=https://archive.org/details/pyramidstheirarc0000vern|year=2003|ref=harv}}, p. 70.</ref><ref>{{cite journal|last=Petrie|first=|title=Wisdom of the Egyptians|url=https://archive.org/details/wisdomofegyptian0000petr|year=1940|ref=harv}}, p. 30.</ref><ref>{{cite journal|last=Legon|first=J. A. R.|title=On Pyramid Dimensions and Proportions|year=1991|journal=Discussions in Egyptology|volume=20|issue=|pages=25–34|url=http://www.legon.demon.co.uk/pyrprop/propde.htm|ref=harv|access-date=2013-08-06|archive-date=2011-07-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20110718144356/http://www.legon.demon.co.uk/pyrprop/propde.htm|dead-url=yes}}.</ref><ref>{{cite journal|last=Petrie|first=W. M. F.|year=1925|title=Surveys of the Great Pyramids|journal=Nature Journal|volume= 116|issue= 2930|pages=942–942|ref=harv|doi=10.1038/116942a0|bibcode = 1925Natur.116..942P }}</ref> Beberapa ahli menyanggah hal tersebut dan menyimpulkan hal ini hanyalah kebetulan belaka karena tiada bukti lain apapun yang mendukungnya.<ref>Egyptologist: Rossi, Corinna, ''Architecture and Mathematics in Ancient Egypt'', Cambridge University Press, 2004, pp 60–70, 200, ISBN 978-0-521-82954-0.</ref><ref>Skeptics: [[Michael Shermer|Shermer, Michael]], ''The Skeptic Encyclopedia of Pseudoscience'', ABC-CLIO, 2002, pp 407–408, ISBN 978-1-57607-653-8.</ref><ref>Fagan, Garrett G., ''Archaeological Fantasies: How Pseudoarchaeology Misrepresents The Past and Misleads the Public'', Routledge, 2006, ISBN 978-0-415-30593-8.</ref><ref group="n">Untuk sederetan penjelasan mengenai bentuk piramida yang tak melibatkan {{pi}}, lihat {{Cite book| pages=67–77,  165–166|title=The Shape of the Great Pyramid|author=Roger Herz-Fischler|publisher=Wilfrid Laurier University Press|year=2000|isbn=9780889203242| url=http://books.google.co.uk/books?id=066T3YLuhA0C&pg=67,| ref=harv| accessdate=2013-06-05}}</ref>

Pendekatan tertulis terhadap nilai {{pi}} paling awal ditemukan di Mesir dan [[Babilonia]], dengan nilai pendekatan berselisih lebih kurang 1 persen dari nilai sebenarnya. Sebuah lempeng liat dari Babilonia tahun 1900-1600 SM memuat penyataan mengenai geometri yang mengasumsikan {{pi}} sebagai 25/8&nbsp;=&nbsp;3,1250.<ref name="Arndt_d">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=167}}</ref> Di Mesir, [[Papirus Rhind]] yang berasal dari tahun 1650 SM (papirus ini sendiri merupakan salinan dari dokumen tahun 1850 SM) memiliki rumus luas lingkaran yang mengasumsikan nilai {{pi}} sebagai ({{frac|16|9}})<sup>2</sup>&nbsp;≈&nbsp;3,1605.<ref name="Arndt_d" />

Di India sekitar tahun 600 SM, catatan [[Sutra Shulba]] dalam bahasa [[Sanskerta]] memuat nilai {{pi}} sebesar ({{frac|9785|5568}})<sup>2</sup>&nbsp;≈&nbsp;3,088.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=168–169}}</ref> Pada tahun 150 SM, sumber-sumber catatan dari India memperlakukan {{pi}} sama dengan <math>\scriptstyle \sqrt{10}</math>&nbsp;≈&nbsp;3,1622.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=169}}</ref>

Dua ayat dalam [[alkitab Ibrani]] (yang ditulis antara abad ke-8 dan ke-3 SM) medeskripsikan sebuah kolam seremonial dalam [[Bait Salomo]] yang berdiameter 10 [[kubit]] dan kelilingnya 30 kubit; ayat ini menyiratkan bahwa {{pi}} adalah sekitar tiga apabila kolam tersebut berbentuk lingkaran.<ref group="n">Ayat tersebut adalah {{bibleverse|1|Kings|7:23|NKJV}} dan {{bibleverse|2|Chronicles|4:2|NKJV}}</ref><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=169}}, {{harvnb|Schepler|1950|p=165}}</ref><ref>{{harvnb|Beckmann|1989|pp=14–16}}.</ref><ref group="n">Gagasan bahwa kolam ini berbentuk heksagonal telah diberikan sebagai penjelasan terhadap disparitas ini. Lihat {{cite book|last=Borwein|first=Jonathan M.|last2=Bailey|first2=David H.|title=Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st century|url=https://archive.org/details/mathematicsbyexp0000borw|edition=revised 2nd|publisher=A. K. Peters|year=2008|isbn=978-1-56881-442-1|ref=harv}}, pp. 103, 136, 137.</ref> [[Rabbi Nehemiah]] menjelaskan bahwa diskrepansi ini diakibatkan oleh ketebalan pinggiran kolam. Hasil kerja paling awal Rabbi Nehemiah ''[[Mishnat ha-Middot]]'' yang ditulis sekitar tahun 150 mengambil nilai {{pi}} sebesar tiga dan sepertujuh.<ref>{{Cite book|pages=9–10|title=The Scientific & the Divine|author=James A. Arieti, Patrick A. Wilson|publisher=Rowman & Littlefield|year=2003|isbn=9780742513976|url=http://books.google.co.uk/books?id=q2MHZTL_s64C&pg=PA9|ref=harv|accessdate=2013-06-05}}</ref>

=== Zaman pendekatan poligon ===
[[Berkas:Archimedes pi.svg|350px|ka|jmpl|alt=diagram of a hexagon and pentagon circumscribed outside a circle|{{pi}} dapat diperkirakan dengan menghitung keliling poligon luar dan dalam lingkaran.]]
[[Algoritma]] paling awal yang tercatat secara cermat menghitung nilai {{pi}} adalah pendekatan geometri menggunakan [[poligon]]. Algoritme ini ditemukan sekitar 250 SM oleh matematikawan Yunani [[Archimedes]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=170}}</ref> Algoritme poligon ini mendominasi selama 1.000 tahun, dan karenanya {{pi}} kadang-kadang dirujuk juga sebagai "konstanta Archimedes".<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=175, 205}}</ref> Archimedes menghitung batas atas dan bawah {{pi}} dengan menggambar poligon di luar dan di dalam sebuah lingkaran, dan secara perlahan melipatgandakan sisi-sisi poligon tersebut hingga mencapai 96-gon. Dengan menghitung keliling poligon-poligon tersebut, Archimedes membuktikan bahwa {{frac|223|71}}&nbsp;<&nbsp;{{pi}}&nbsp;<&nbsp;{{frac|22|7}} (3,1408&nbsp;<&nbsp;{{pi}}&nbsp;<&nbsp;3,1429).<ref>{{cite web|url=http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29504-the-computation-of-pi-by-archimedes/content/html/ComputationOfPiByArchimedes.html#37 |title=The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by Archimedes–File Exchange–MATLAB Central |publisher=Mathworks.com |date= |accessdate=2013-03-12}}</ref> Batas atas Archimedes sekitar {{frac|22|7}} membuat banyak orang percaya bahwa {{pi}} sama dengan {{frac|22|7}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=171}}</ref> Sekitar tahun 150, [[Ptolemaeus]] dalam [[Almagest]]-nya, memberikan nilai {{pi}} sebesar 3,1416. Hasil ini kemungkinan dia dapatkan dari Archimedes ataupun dari [[Apollonius dari Perga]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=176}}</ref><ref>{{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=168}}<!--may be suspect--></ref> Para matematikawan kemudian menggunakan algoritme ini dan mencapai rekor 39 digit {{pi}} pada tahun 1630 sebelum dipecahkan pada tahun 1699 menggunakan deret tak terhingga.<ref name="ArPI">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–16, 175, 184–186, 205}}.</ref><ref group="n">Grienberger mencapai 39 digit pada tahun 1630; Sharp 71 digit pada tahun 1699.</ref>
[[Berkas:Domenico-Fetti Archimedes 1620.jpg|jmpl|lurus|alt=A painting of a man studying|[[Archimedes]] mengembangkan algoritme poligon untuk menghitung nilai pendekatan {{pi}}.]]
Pada zaman Cina kuno, nilai {{pi}} adalah 3,1547 (sekitar tahun 1 Masehi), <math>\scriptstyle \sqrt{10}</math> (tahun 100, sekitar 3,1623), dan 142/45 (abad ke-3, sekitar 3,1556).<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=176–177}}</ref> Sekitar tahun 265, matematikawan dari [[Kerajaan Wei]], [[Liu Hui]], menemukan [[algoritme π Liu Hui|algoritma iteratif berbasis poligon]] yang digunakan dengan 3072-gon untuk menghasilkan nilai {{pi}} sebesar 3,1416.<ref name="autogenerated202">{{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=202}}</ref><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=177}}</ref> Liu kemudian menciptakan metode yang lebih cepat dan mendapatkan nilai 3,14 dengan menggunakan 96-gon.<ref name="autogenerated202" /> Matematikawan Cina [[Zu Chongzhi]] sekitar tahun 480 menghitung bahwa {{pi}}&nbsp;≈&nbsp;{{frac|355|113}} (pecahan ini dinamakan pecahan [[Milü]] dalam bahasa Cina) dengan menggunakan algoritme Liu Hui dan menerapkannya menggunakan 12.288-gon. Nilai yang didapatkannya adalah 3,141592920... dan akurat sebanyak tujuh digit. Nilai pendekatan ini merupakan nilai yang paling akurat selama 800 tahun ke depan.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=178}}</ref>

Astronom India [[Aryabhata]] menggunakan nilai 3,1416 dalam [[Āryabhaṭīya]] (tahun 499).<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=179}}</ref> [[Fibonacci]] pada tahun &nbsp;1220 menghitung nilai {{pi}} dan mendapatkan hasil 3,1418 menggunakan metode poligon.<ref name="Arndt_e">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=180}}</ref>

Astronom Persia [[Jamshīd al-Kāshī]] menghasilkan 16 digit nilai {{pi}} pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3×2<sup>28</sup>,<ref>{{cite journal |first1=Mohammad K. |last1=Azarian |title=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary |journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences |volume=22 |issue=2 |year=2010 |pages=64–85 |doi=10.35834/mjms/1312233136|doi-access=free}}</ref><ref>{{cite web|author=O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. | year=1999 | title=Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi | work=[[MacTutor History of Mathematics archive]] | url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Al-Kashi.html | accessdate=Augustus 11, 2012 | separator=,}}</ref>. Ini kemudian menciptakan rekor untuk 180 tahun.<ref name="Arndt_f">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=182}}</ref> Matematikawan Prancis [[François Viète]] pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3×2<sup>17</sup>.<ref name="Arndt_f" /> Matematikawan [[Flandria]] mencapai 15 digit desimal pada tahun 1593.<ref name="Arndt_f" /> Pada tahun 1596, matematikawan Belanda [[Ludolph van Ceulen]] mencapai 20 digit, dan rekor ini dipecahkan oleh dirinya sendiri mencapai 35 digit.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=182–183}}</ref> Ilmuwan Belanda [[Willebrord Snellius]] mencapai 34 digit pada tahun 1621,<ref name="Arndt_g">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=183}}</ref> dan astronom Austria [[Christoph Grienberger]] mencapai 38 digit pada tahun 1630,<ref>[[Christoph Grienberger|Grienberger, Christoph]] (1960), ''[https://web.archive.org/web/20140201234124/http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf Elementa Trigonometrica]'' (PDF) (dalam bahasa Latin) Diarsipkan dari [http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf aslinya] (PDF) pada tanggal 1 Februari 2014. Pendekatannya adalah 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref><ref group="n">Nilai evaluasinya sebesar 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < {{pi}} < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref> adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitungan [[Transmisi manual|manual]] menggunakan pendekatan poligon.<ref name="Arndt_g" />

=== Deret takhingga ===
Perhitungan {{pi}} direvolusi oleh berkembangnya teknik [[deret takhingga]] pada abad ke-16 dan 17. Deret takhingga merupakan penjumlahan deretan suku-suku yang tak terhingga banyaknya.<ref name="Ais">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–191}}</ref> Hal ini memungkinkan matematikawan menghitung nilai {{pi}} dengan presisi yang melebihi metode [[Archimedes]].<ref name="Ais" /> Walaupun metode deret takhingga utamanya digunakan oleh matematikawan Eropa untuk menghitung nilai {{pi}}, pendekatan ini pertama kali ditemukan di [[India]] antara tahun 1400 dan 1500.<ref name="Roypp"/><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–186}}</ref> Deskripsi tertulis pertama mengenai deret takhingga yang dapat digunakan untuk menghitung {{pi}} terdapat dalam ayat Sanskerta yang ditulis oleh astronom India [[Nilakantha Somayaji]] dalam buku ''[[Tantrasamgraha]]'' sekitar tahun 1500.<ref name="Roypp">{{harvnb|Roy|1990|pp=101–102}}</ref> Deret ini diberikan tanpa pembuktian, walaupun pembuktian ini kemudian diberikan kemudian dalam [[Yuktibhāṣā]] sekitar tahun 1530. Nilakantha memberi kredit penemuan deret ini kepada matematikawan India [[Madhava dari Sangamagrama]] yang hidup antara tahun 1350&nbsp;– c.&nbsp;1425.<ref name="Roypp" /> Beberapa deret tak terhingga dijelaskan, meliputi deret untuk sinus, tangen, dan kosinus, yang dikenal sebagai [[deret Madhava]] atau [[deret Gregory-Leibniz]].<ref name="Roypp" /> Madhava menggunakan deret takhingga untuk memperkirakan nilai {{pi}} sampai dengan 11 digit sekitar tahun 1400. Namun rekor tersebut dikalahkan oleh matematikawan Persia [[Jamshīd al-Kāshī]] pada tahun 1430 menggunakan algoritme poligon.<ref>{{harvnb|Joseph|1991|p=264}}</ref>
[[Berkas:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|jmpl|lurus|alt=A formal portrait of a man, with long hair|[[Isaac Newton]] menggunakan deret takhingga untuk menghitung nilai {{pi}} sampai 15 digit.<ref name="Newton" />]]
Deret takhingga yang ditemukan di Eropa pertama kali adalah [[perkalian takhingga]] (daripada [[penjumlahan takhingga]]), yang ditemukan oleh matematikawan Prancis [[François Viète]] pada tahun 1593:<ref name="Arndt_h">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=187}}</ref>

: <math> \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots</math>

Deret takhingga kedua yang ditemukan di Eropa oleh [[John Wallis]] pada tahun 1655 juga merupakan perkalian takhingga.<ref name="Arndt_h" /> Penemuan [[kalkulus]] oleh [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] pada tahun 1660-an mendorong perkembangan banyak deret takhingga untuk menghitung nilai {{pi}}. Newton sendiri menggunakan deret arka sinus untuk menghitung {{pi}} sampai dengan 15 digit pada tahun 1665 atau 1666.<ref name="Newton">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=188}}. Newton quoted by Arndt.</ref>

Di Eropa, rumus Madhava ditemukan ulang oleh matematikawan Skotlandia [[James Gregory (matematikawan)|James Gregory]] pada tahun 1671, dan oleh Leibniz pada tahun 1674:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=188–189}}</ref><ref name="LS" />

: <math>
\arctan z = z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots
</math>

Rumus ini, yang disebut deret Gregory-Leibniz, sama dengan <math>\scriptstyle \pi/4</math> ketika dievaluasi bersama dengan {{math|''z''}}&nbsp;=&nbsp;1.<ref name="LS">{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|pp=53–54}}</ref> Pada tahun 1699, matematikawan Inggris [[Abraham Sharp]] menggunakan deret ini untuk menghitung {{pi}} sampai dengan 71 digit, dan memecahkan rekor 39 digit sebelumnya.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=189}}</ref> Deret Gregory-Leibniz cukup sederhana, namun [[deret konvergen|konvergen]] sangat lambat, sehingga ia tidak digunakan pada zaman modern untuk menghitung {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=156}}</ref>

Pada tahun 1706, [[John Machin]] menggunakan deret Gregory-Leibniz untuk menghasilkan algoritme yang berkonvergen lebih cepat:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=192–193}}</ref>
:<math> \frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}</math>
Machin mencapai 100 digit {{pi}} dengan rumus ini.<ref name="A72n4">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=72–74}}</ref> Beberapa matematikawan kemudian menciptakan beberapa varian yang digunakan untuk memecahkan rekor digit {{pi}} secara suksesif.<ref name="A72n4" /> Rumus bak-Machin ini merupakan metode perhitungan digit {{pi}} yang terbaik sebelum ditemukannya komputer. Rekor penemuan digit {{pi}} terus dipecahkan menggunakan rumus ini selama 250, sampai dengan 620 digit oleh Daniel Ferguson pada tahun 1946. Nilai pendekatan ini dihasilkan tanpa menggunakan alat hitung apapun.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=192–196, 205}}</ref>

Matematikawan Britania [[William Shanks]] terkenal akan usahanya selama 15 tahun untuk menghitung nilai {{pi}} sampai dengan 707 digit. Namun ia membuat kesalahan pada digit ke-528, membuat digit-digit selanjutnya salah.<ref name="A194">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=194–196}}</ref>

==== Laju konvergensi ====
Beberapa deret takhingga untuk {{pi}} berkonvergen lebih cepat daripada yang lainnya. Matematikawan biasanya akan menggunakan deret yang lebih cepat berkonvergen untuk menghemat waktu sampai dengan tingkat akurasi tertentu.<ref name="Aconverge">{{cite journal|last=Borwein|first=J. M.|last2=Borwein|first2=P. B.|title=Ramanujan and Pi|year=1988|journal=Scientific American|volume=256|issue=2|pages=112–117|ref=harv|bibcode=1988SciAm.258b.112B|doi=10.1038/scientificamerican0288-112}}<br />{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202}}</ref> Deret tak terhingga untuk {{pi}} yang sederhana misalnya [[rumus Leibniz untuk π|deret Gregory-Leibniz]]:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=69–72}}</ref>
:<math> \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots</math>
akan perlahan-lahan mendekati {{pi}}. Nilainya berkonvergen sangat lambat. Sampai dengan suku ke 500.000, deret ini hanya menghasilkan lima digit desimal yang benar untuk {{pi}}.<ref>{{cite journal|last=Borwein|first=J. M.|last2=Borwein|first2=P. B.|last3=Dilcher|first3=K.|year=1989|title=Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1989-10_96_8/page/681|journal=American Mathematical Monthly|volume=96|issue=8|pages=681–687|doi=10.2307/2324715|ref=harv }}</ref>

Deret yang lebih cepat berkonvergen adalah (digunakan oleh Nilakantha pada abad ke-15):<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=223}}</ref><ref group="n">(formula 16.10). Perhatikan bahwa (''n''&nbsp;−&nbsp;1)''n''(''n''&nbsp;+&nbsp;1) = ''n''<sup>3</sup>&nbsp;−&nbsp;''n''.</ref><ref>{{cite book|last=Wells|first=David|page=[https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1/page/35 35]|title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers|url=https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1|edition=revised|publisher=Penguin|year=1997|isbn=978-0-140-26149-3|ref=harv}}</ref>

: <math> \pi = 3 + \frac{4}{2\times3\times4} - \frac{4}{4\times5\times6} + \frac{4}{6\times7\times8} - \frac{4}{8\times9\times10} + \cdots </math>

Perbandingan konvergensi kedua deret di atas adalah sebagai berikut:
<center>
{|class="wikitable" style="text-align: center; "
|-
! Deret takhingga untuk {{pi}} !! Setelah suku ke-1 !! Setelah suku ke-2 !! Setelah suku ke-3 !! Setelah suku ke-4 !! Setelah suku ke-5 !! Berkonvergen ke:
|-
| <math>\scriptstyle \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} \cdots.</math>
||4,0000||2,6666...||3,4666...||2,8952...||3,3396...||rowspan=2| {{pi}} = 3,1415...
|-
| <math>\scriptstyle \pi = {{3}} + \frac{{4}}{2\times3\times4} - \frac{{4}}{4\times5\times6} + \frac{{4}}{6\times7\times8} \cdots.</math>
||3,0000||3,1666...||3,1333...||3,1452...||3,1396...
|}
</center>
Setelah lima suku, jumlah deret Gregory-Leibniz akurat dengan selisih 0,2 dari nilai {{pi}} sebenarnya, manakala pada deret Nilakantha, selisihnya 0,0002. Deret Nilakantha berkonvergen lebih cepat dan lebih berguna dalam perhitungan {{pi}}. Deret lainnya yang berkonvergen lebih cepat meliputi [[Rumus bak-Machin|deret Machin]] dan [[algoritme Chudnovsky|deret Chudnovsky]]. Deret Chudnovsky mampu menghasilkan 14 digit desimal yang benar setiap suku.<ref name="Aconverge" />

=== Irasionalitas dan transendensi ===
Tidak semua penelitian matematika yang berhubungan dengan {{pi}} ditujukan pada peningkatan akurasi nilai pendekatan {{pi}}. Ketika Euler menyelesaikan [[masalah Basel]] pada tahun 1735, ia berhasil menurunkan hubungan antra {{pi}} dengan [[bilangan prima]] yang kemudian berkontribusi pada berkembangnya kajian mengenai [[fungsi zeta Riemann]]:<ref name="Posamentier">{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|pp=284}}</ref>

:<math> \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots</math>

Ilmuwan Swiss [[Johann Heinrich Lambert]] pada tahun 1761 membuktikan bahwa {{pi}} adalah [[bilangan irasional|irasional]], yang berarti ia bukanlah hasil dari pembagian dua bilangan bulat manapun.<ref name="Arndt_i" /> Pembuktian Lambert menggunakan representasi pecahan kontinu dari fungsi tangen.<ref>Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", reprinted in {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=129–140}}</ref> Matematikawan Prancis [[Adrien-Marie Legendre]] pada tahun 1794 membuktikan bahwa {{pi}}<sup>2</sup> jugalah irasional. Pada tahun 1882, matematikawan Jerman [[Ferdinand von Lindemann]] membuktikan bahwa {{pi}} adalah [[bilangan transendental|transendental]], yang kemudian berhasil mengonfirmasi konjektur yang dibuat oleh [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] dan [[Euler]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=196}}</ref>

=== Penggunaan simbol {{pi}} ===
[[Berkas:Leonhard Euler.jpg|jmpl|lurus|[[Leonhard Euler]] mempopulerkan penggunaan huruf Yunani {{pi}} dalam karyanya yang dipublikasikan pada tahun 1736 dan 1748.]]
Huruf Yunani {{pi}} paling awal diketahui digunakan untuk mewakili rasio keliling lingkaran dengan diameternya oleh matematikawan [[William Jones (matematikawa)|William Jones]] dalam karya tahun 1706 ''"Synopsis Palmariorum Matheseos; or, a New Introduction to the Mathematics"''.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=165}}.</ref> Huruf Yunani ini pertama kali muncul dalam frasa "1/2 Periphery {{pi}}" (1/2 keliling {{pi}}) dalam mendiskusikan suatu lingkaran berjari-jari satu. Jones mungkin memilih simbol {{pi}} karena {{pi}} adalah huruf pertama dari kata "keliling" dalam [[bahasa Yunani]].<ref group="n">Dalam {{harvnb|Schepler|1950|p=220}}: [[William Oughtred]] menggunakan huruf {{pi}} untuk mewakili keliling suatu lingkaran.</ref> Namun ia menulis bahwa persamaan untuk {{pi}} tersebut berasal dari John Machin.<ref name="Arndt_a">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=166}}</ref> Simbol ini sebenarnya pernah digunakan lebih awal sebagai konsep geometri.<ref name="Arndt_a" /> [[William Oughtred]] menggunakan {{pi}} dan δ, huruf Yunani yang setara dengan p dan d, untuk mengekspresikan rasio keliling dengan diameter pada tahun 1647.

Setelah Jones memperkenalkan penggunaan huruf Yunani {{pi}} ini pada tahun 1706, simbol ini tidak digunakan secara luas oleh matematikawan lain sampai dengan [[Euler]] yang mulai menggunakannya pada karya tahun 1736-nya, [[Mechanica]]. Sebelumnya, matematikawan kadang-kadang menggunakan simbol ''c'' atau ''p''.<ref name="Arndt_a" /> Karena Euler memiliki banyak koneksi dengan matematikawan-matematikawan lainnya di Eropa, penggunakan huruf {{pi}} meluas dengan cepat.<ref name="Arndt_a" /> Pada tahun 1748, Euler menggunakan simbol {{pi}} dalam karyanya ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' (dia menulis: "untuk mempersingkat penulisan, kita akan menulis bilangan ini sebagai {{pi}}; sehingga {{pi}} sama dengan setengah keliling lingkaran berjari-jari 1"). Hal ini kemudian memicu penggunaan {{pi}} yang universal di Barat.<ref name="Arndt_a" />

== Pencarian digit yang lebih banyak pada zaman modern ==

=== Zaman komputer dan algoritme iteratif ===
[[Berkas:JohnvonNeumann-LosAlamos.gif|jmpl|lurus|alt=Formal photo of a balding man wearing a suit|[[John von Neumann]] merupakan salah satu anggota tim [[ENIAC]] yang menggunakan komputer digital untuk mengkomputasi {{pi}}.]]
{{quote box|fontsize=90%|qalign=left|quote=
[[Algoritme Gauss–Legendre|Algoritme iteratif Gauss–Legendre]]:<br />Inisialisasi
:<math>\scriptstyle a_0 = 1 \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad p_0 = 1</math>
Iterasi
:<math>\scriptstyle a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}</math>
:<math>\scriptstyle t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n</math>
Maka perkiraan untuk nilai {{pi}} dihasilkan oleh
:<math>\scriptstyle \pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}</math>
}}

Perkembangan komputer yang pesat pada pertengahan abad ke-20 merevolusi perhitungan digit desimal {{pi}}. Matematikawan Amerika [[John Wrench]] dan Levi Smith berhasil menghitung nilai pi sampai dengan 1.120 digit menggunakan kalkulator meja.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=205}}</ref> Dengan menggunakan deret tak terhingga [[Fungsi invers trigonometri|invers tangen]] (arctan), sekelompok tim yang dipimpin oleh George Reitwiesner dan [[John von Neumann]] pada tahun yang sama berhasil mencapai 2.037 digit menggunakan komputer [[ENIAC]] dengan lama perhitungan selama 70 jam.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=197}}. See also {{harvnb|Reitwiesner|1950}}.</ref> Rekor ini terus dipecahkan menggunakan deret arctan (7.480 digit pada tahun 1957; 10.000 digit pada tahun 1958; 100.000 digit pada tahun 1961), sampai dengan 1 juta digit pada tahun 1973.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=197}}</ref>

Perkembangan lebih jauh sekitar tahun 1980 kemudian mempercepat kemampuan komputasi {{pi}}. Pertama, penemuan [[algoritme iteratif]] baru yang lebih cepat daripada deret tak terhingga; dan kedua, penemuan [[algoritme perkalian|algoritme perkalian cepat]] yang mampu mengalikan bilangan besar dengan sangat cepat.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17}}</ref> Algoritme ini sangat penting karena waktu yang dihabiskan oleh komputasi komputer kebanyakan berkutat pada perkalian.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=131}}</ref> Algoritme seperti ini contohnya [[algoritme Karatsuba]], [[perkalian Toom–Cook]], dan [[perkalian FFT|metode berbasis transformasi Fourier]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=132, 140}}</ref>

Algoritme iteratif secara independen dipublikasikan pada tahun 1975-1976 oleh fisikawan Amerika [[Eugene Salamin (matematikawan)|Eugene Salamin]] dan ilmuwan Australia [[Richard Brent (ilmuwan)|Richard Brent]].<ref name="Arndt_j">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=87}}</ref> Algoritme ini membuat komputasi digit pi bebas dari deret tak terhingga. Algoritme iteratif mengulangi perhitungan tertentu dengan tiap iterasi menggunakan hasil iterasi sebelumnya sebagai input dan setahap demi setahap menghasilkan nilai perhitungan yang berkonvergen ke nilai yang kita inginkan.

Algoritme iteratif digunakan secara meluas setelah tahun 1980 karena algoritme ini lebih cepat daripada algoritme deret tak terhingga. Manakala algoritme deret tak terhingga meningkatkan jumlah digit yang benar setiap suku, algoritme iteratif pada umumnya melipatgandakan jumlah digit yang benar pada setiap iterasi. Sebagai contohnya, algoritme Brent-Salamin menggandakan jumlah digit yang benar pada tiap iterasi. Pada tahun 1984, [[Jonathan Borwein|John]] dan [[Peter Borwein]] berhasil menemukan algoritme iteratif yang menggandaempatkan jumlah digit pada tiap iterasi; dan pada tahun 1987 berhasil menggandalimakan jumlah digit pada tiap iterasi.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=111 (5 times); pp. 113–114 (4 times)}}.</ref><ref group="n">{{harvnb|Borwein|Borwein|1987}} untuk detail algoritme.</ref> Metode iteratif digunakan oleh matematikawan [[Yasumasa Kanada]] untuk memecahkan beberapa rekor komputasi {{pi}} antara tahun 1995 sampai dengan tahun 2002.<ref name="Background" /> Konvergensi yang sangat cepat ini memiliki kelemahannya sendiri, yakni memerlukan memori komputer yang jauh lebih besar daripada yang diperlukan oleh deret tak terhingga.<ref name="Background">{{cite web|last=Bailey|first=David H.|url=http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/dhb-kanada.pdf|title=Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation|date=16 May 2003|accessdate=12 April 2012}}</ref>

=== Motivasi komputasi {{pi}} ===
[[Berkas:Record pi approximations.svg|jmpl|400px|ka|Seiring dengan ditemukannya algoritme-algoritme baru dan daya perhitungan komputer yang semakin cepat, jumlah digit desimal bilangan {{pi}} yang ditemukan meningkat secara dramatis.]]

Dalam perhitungan numeris yang melibatkan {{pi}}, biasanya kita hanya memerlukan beberapa digit desimal {{pi}} untuk mencapai tingkat presisi yang cukup tinggi. Menurut Jörg Arndt dan Christoph Haenel, 39 digit {{pi}} sudah mencukupi untuk menghitung kebanyakan perhitungan [[kosmologi]], karena ini merupakan jumlah digit yang diperlukan untuk menghitung volume alam semesta sampai dengan satu atom.<ref name="Arndt_b">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=17}}. <!--quote from p. 17:-->"39 digit {{pi}} cukup untuk menghitung volume alam semesta sampai dengan taraf atom."<br /> Dengan mempertimbangkan digit tambahan yang diperlukan untuk mengkompensasikan pembulatan, Arndt menyimpulkan bahwa beberapa ratus digit sudah mencukupi untuk perhitungan-perhitungan ilmiah apapun.</ref> Walau demikian, banyak orang telah bekerja keras untuk mengkomputasi {{pi}} sampai dengan ribuan dan jutaan digit.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=17–19}}</ref> Usaha ini sebagian dikarenakan dorongan manusia untuk memecahkan rekor, dan biasanya pencapaian seperti ini sering masuk ke dalam tajuk berita seluruh dunia.<ref name="msnbc.msn.com">{{cite news|title=John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi|first=Matt|last=Schudel|newspaper=The Washington Post|date=25 March 2009|page=B5}}</ref><ref name="independent.co.uk">{{cite news|title=The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?|url=http://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html|newspaper=The Independent|date=8 January 2010|accessdate=14 April 2012}}</ref> Perhitungan seperti ini juga memiliki kegunaan praktisnya, yaitu untuk menguji [[superkomputer]], menguji algoritme analisis numeris; dan dalam lingkup [[matematika murni]] sendiri, data yang dihasilkan dapat digunakan untuk mengevaluasi keacakan digit-digit {{pi}}.<ref name="Arndt_c">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=18}}</ref>

=== Deret konvergen cepat ===
[[Berkas:Srinivasa Ramanujan - OPC - 1.jpg|jmpl|alt=potret Srinivasa Ramanujan|lurus|[[Srinivasa Ramanujan]] yang meneliti sendirian di India, berhasil menemukan banyak deret-deret yang inovatif untuk menghitung {{pi}}.]]
Kalkulator {{pi}} modern tidak menggunakan algoritme iteratif secara eksklusif. Deret tak terhingga baru yang ditemukan pada tahun 1980-an dan 1990-an mampu berkonvergen secepat algoritme iteratif, namun lebih sederhana dan memerlukan memori yang lebih sedikit.<ref name="Background" /> Penemuan algoritme iteratif cepat terdahului oleh penemuan deret konvergen cepat pada tahun 1914, ketika matematikawan India [[Srinivasa Ramanujan]] mempublikasikan lusinan rumus-rumus baru untuk {{pi}} yang berkonvergen sangat cepat.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=103–104}}</ref> Salah satu rumusnya yang didasarkan pada [[persamaan modular]] adalah sebagai berikut:
:<math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{k!^4(396^{4k})}</math>
Deret ini berkonvergen lebih cepat daripada kebanyakan deret-deret arctan, meliputi rumus Machin.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=104}}</ref> [[Bill Gosper]] adalah orang yang pertama kali menggunakan rumus ini untuk menghitung {{pi}} dan memecahkan rekor 17 juta digit pada tahun 1985.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=104, 206}}</ref> Penemuan rumus-rumus Ramanjuan mendahului penemuan algoritme-algoritme modern yang dikembangkan Borwein bersaudara dan [[Chudnovsky bersaudara]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=110–111}}</ref> [[Algoritme Chudnovsky|Rumus Chudnovsky]] yang dikembangkan pada tahun 1987 adalah sebagai berikut
:<math>\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}</math>
Rumus ini menghasilkan 14 digit {{pi}} setiap sukunya,<ref>{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|p=254}}</ref> dan telah digunakan dalam berbagai perhitungan {{pi}} yang memecahkan rekor, meliputi yang pertama kali memecahkan 10<sup>9</sup> digit pada tahun 1989 oleh Chudnovsky bersaudara, 2,7 triliun (2.7×10<sup>12</sup>) digit oleh [[Fabrice Bellard]] pada tahun 2009, dan 10 triliun (10<sup>13</sup>) digit pada tahun 2011 oleh Alexander Yee dan Shigeru Kondo.<ref name="NW">[http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html "Round 2... 10 Trillion Digits of Pi"], NumberWorld.org, 17 Oct 2011. Retrieved 30 May 2012.</ref><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=110–111, 206}}</ref><ref>Bellard, Fabrice, [http://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf "Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer"], 11 Feb 2010.</ref>

Pada tahun 2006, matematikawan Kanada [[Simon Plouffe]] menggunakan [[algoritme relasi integer]] PSLQ<ref group="n">PSLQ singkatan dari ''Partial Sum of Least Squares''.</ref> untuk menghasilkan beberapa rumus baru untuk {{pi}}, yang memiliki bentuk acuan sebagai berikut:
:<math>\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right)</math>
dengan <math>\mathit{q}</math> adalah [[konstanta Gelfond|{{math|e}}<sup>{{pi}}</sup>]] (konstanta Gelfond), <math> \mathit{k}</math> adalah [[bilangan ganjil]], dan <math>\mathit{a, b, c}</math> adalah bilangan rasional tertentu yang dikomputasi Plouffe.<ref>{{cite web|first=Simon|last=Plouffe|authorlink=Simon Plouffe|title=Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2)|date=April 2006|url=<!-- http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf -->http://plouffe.fr/simon/inspired2.pdf|accessdate=10 April 2009}}</ref>

=== Metode Monte Carlo ===
{{multiple image
|direction=horizontal
|footer=[[Metode Monte Carlo]], berdasarkan percobaan acak, dapat digunakan untuk mengaproksimasi {{pi}}.
|width1=166
|image1=Buffon needle.svg
|caption1=[[Jarum Buffon]]. Jarum ''a'' dan ''b'' dijatuhkan secara acak.
|alt1=Jarum dengan panjang ''ℓ'' terpencar pada garis dengan lebar ''t''
|width2=100
|image2=Pi 30K.gif|
|caption2=Noktah-noktah acak diletakkan pada kuadran persegi dengan satu lingkaran di dalamnya.
|alt2=Ratusan noktah secara acak menutupi suatu persegi dan suatu lingkaran yang disisipkan dalam persegi.
}}

[[Metode Monte Carlo]], yang mengevaluasi hasil dari banyak percobaan acak, dapat digunakan untuk membuat aproksimasi {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=39}}</ref> [[Jarum Buffon]] adalah salah satu tekniknya: Jika sebuah jarum dengan panjang {{math|''ℓ''}} dijatuhkan {{math|''n''}} kali di atas permukaan yang di atasnya digambar garis paralel yang dipisahkan sebesar {{math|''t''}} satuan, dan jika dari {{math|''x''}} kali ia jatuh melintasi garis ({{math|''x''}}&nbsp;>&nbsp;0), maka aproksimasi {{pi}} dapat ditentukan berdasarkan perhitungan:<ref name="bn">{{cite journal|last=Ramaley|first=J. F.|date=October 1969|title=Buffon's Noodle Problem|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1969-10_76_8/page/916|journal=The American Mathematical Monthly|volume=76|issue=8|pages=916–918|doi=10.2307/2317945|jstor=2317945|ref=harv}}</ref>

: <math>\pi \approx \frac{2n\ell}{xt}</math>
Metode Monte Carlo lainnya untuk menghitung {{pi}} adalah dengan menggambar sebuah lingkaran dalam sebuah persegi, dan meletakkan noktah-noktah secara acak di dalam perseegi. Perbandingan noktah di dalam lingkaran terhadap jumlah noktah total akan kira-kira sama dengan {{math|π/4}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=39–40}}</ref><ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=105}}</ref>

Metode Monte Carlo untuk memperkirakan {{pi}} sangat lambat dibandingkan metode lainnya, dan tidak pernah digunakan untuk memperkirakan {{pi}} ketika diperlukan kecepatan atau akurasi.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=43}}</ref><ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|pp=105–108}}</ref>

=== Algoritme keran ===
Dua algoritme baru yang ditemukan pada tahun 1995 membuka jalan baru bagi riset {{pi}}. Algoritme ini dinamakan [[algoritme keran]], karena seperti air yang menetes dari sebuah keran, algoritme ini menghasikan satu digit tunggal {{pi}} yang tidak akan digunakan kembali setelah dihitung.<ref name="Arndtpp" /><ref name="Gibbons">Gibbons, Jeremy, [http://www.cs.ox.ac.uk/jeremy.gibbons/publications/spigot.pdf "Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi"], 2005. Gibbons produced an improved version of Wagon's algorithm.</ref> Algoritme ini berbeda dari algoritme-algoritme deret tak terhingga dan iteratif yang menyisakan dan menggunakan semua digit-digit intermediat sampai penyelesaian akhirnya dihasilkan.<ref name="Arndtpp">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=77–84}}</ref>

Matematikawan Amerika [[Stan Wagon]] dan Stanley Rabinowitz menemukan algoritme keran sederhana pada tahun 1995.<ref name="Gibbons" /><ref name="Arndt_k">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=77}}</ref><ref>{{cite journal|first1=Stanley|last1=Rabinowitz|last2=Wagon|first2=Stan|year=1995|month=March|title=A spigot algorithm for the digits of Pi|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1995-03_102_3/page/195|journal=American Mathematical Monthly|volume=102|issue=3|pages=195–203|doi=10.2307/2975006|ref=harv}}</ref><ref group="n">Sebuah program komputer juga telah diciptakan untuk mengimplementasikan algoritme keran Wagon tersebut hanya dalam perangkat lunak berjumlah karakter 120.</ref> Kecepatan konvergensi algoritme ini sebanding dengan algoritme arctan, namun tidak secepat algoritme iteratif.<ref name="Arndt_k" />

Algoritme keran lainnya, [[algoritme ekstraksi digit]] [[rumus Bailey-Borwein-Plouffe|BBP]] ditemukan pada tahun 1995 oleh Simon Plouffe:<ref name="Arndtpp_a">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=117, 126–128}}</ref><ref name="bbpf">{{cite journal|author=[[David H. Bailey|Bailey, David H.]]; [[Peter Borwein|Borwein, Peter B.]]; and [[Simon Plouffe|Plouffe, Simon]]|year=1997| month=April|title=On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants|journal=Mathematics of Computation|volume=66| issue=218|pages=903–913|url=<!-- http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf -->http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf|format=PDF|doi=10.1090/S0025-5718-97-00856-9|ref=harv}}</ref>
:<math> \pi = \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{16^i} \left( \frac{4}{8i + 1} - \frac{2}{8i + 4} - \frac{1}{8i + 5} - \frac{1}{8i + 6}\right)</math>
Rumus ini, tidak seperti rumus lainnya, dapat menghasilkan digit {{pi}} [[heksadesimal]] individu tanpa menghitung digit-digit sebelumnya.<ref name="Arndtpp_a" /> Digit-digit individu [[oktal]] maupun [[biner]] dapat diektraksi dari digit-digit heksadesimal. Variasi algoritme ini telah ditemukan, namun tiada satupun algoritme ekstraksi digit yang dapat menghasilkan digit desimal dengan cepat.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=128}}.</ref><ref group="n">Plouffe sebenarnya juga menemukan algoritme ektraksi digit desimal, namun algoritme ini lebih lambat daripada komputasi langsung semua digit-digit {{pi}}.</ref> Aplikasi penting dari algoritme ekstraksi digit ini adalah untuk memvalidasi klaim rekor komputasi {{pi}} yang baru; Setelah suatu rekor baru diklaim, hasil bilangan desimal ini kemudian diubah menjadi bilangan heksadesimal, dan kemudian algoritme ekstraksi digit digunakan untuk menghitung beberapa digit heksadesimal tersebut secara acak dekat bagian akhir digit {{pi}} yang terhitung; apabila hasilnya cocok, maka dapat digunakan sebagai tolok ukur keyakinan bahwa perhitungan yang dilakukan telah benar<ref name="NW" />

Antara tahun 1998 dan 2000, proyek [[komputasi terdistribusi]] [[PiHex]] menggunakan [[rumus Bellard]] (modifikasi algoritme BBP) untuk mengkomputasi bit ke-kuadriliun (ke-10<sup>15</sup>) {{pi}}, yang hasilnya adalah 0.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=20}}</ref><ref>Bellards formula in: {{cite web|url=http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html|title=A new formula to compute the n<sup>th</sup> binary digit of pi|first=Fabrice|last=Bellard|authorlink=Fabrice Bellard|accessdate=27 October 2007|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070912084453/http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html|archivedate=2007-09-12|dead-url=yes}}</ref> Pada bulan September 2010, seorang karyawan [[Yahoo!]] menggunakan aplikasi [[Apache Hadoop|Hadoop]] perusahaan dalam seribu komputer selama 23 hari untuk menghitung 256 [[bit]] {{pi}} pada bit ke-dua kuadriliun (ke-2×10<sup>15</sup>), yang hasilnya juga nol.<ref>{{cite news|title= Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit|author=Palmer, Jason|newspaper=BBC News|date=16 September 2010|url=http://www.bbc.co.uk/news/technology-11313194|accessdate=26 March 2011}}</ref>

== Kegunaan ==
{{Main|Daftar rumus yang melibatkan π|l1=Daftar rumus yang melibatkan {{pi}}}}
Karena {{pi}} berhubungan dekat dengan lingkaran, ia banyak ditemukan dalam rumus-rumus geometri dan trigonometri, utamanya yang menyangkut lingkaran, bola, dan elips. {{pi}} juga ditemukan dalam berbagai cabang ilmu lainnya meliputi statistika, fraktal, termodinamika, mekanika, kosmologi, teori bilangan, dan elektromagnetisme.

=== Geometri dan trigonometri ===
[[Berkas:Circle Area.svg|lang=id|jmpl|ka|Luas lingkaran di atas adalah sama dengan {{pi}} kali luas daerah yang diarsir.|pra=Berkas:Circle_Area.svg%3Flang=id]]
{{pi}} muncul dalam rumus-rumus perhitungan luas dan volume yang berkaitan dengan lingkaran, misalnya [[elips]], [[bola]], [[kerucut]], dan [[torus]]. Beberapa rumus-rumus umum yang melibatkan {{pi}} misalnya:<ref>{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=200, 209}}</ref>
* Keliling lingkaran dengan jari-jari {{math|''r''}} adalah <math> 2 \pi r</math>
* Luas lingkaran dengan jari-jari {{math|''r''}} adalah <math> \pi r^2</math>
* Volume bola dengan jari-jari {{math|''r''}} adalah <math> \tfrac43\pi r^3</math>
* [[Luas permukaan]] bola dengan jari-jari {{math|''r''}} adalah <math> 4 \pi r^2</math>

{{pi}} muncul dalam [[integral|integral tertentu]] yang mendeskripsikan keliling, luas, dan volume bentuk yang dihasilkan oleh lingkaran. Sebagai contohnya, integral yang mendeskripsikan luas setengah lingkaran dengan jar-jari satu adalah:<ref name="udi">{{MathWorld|Semicircle|Semicircle}}</ref>
:<math>\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}</math>
Dalam integral tersebut, fungsi <math>\scriptstyle \sqrt{1-x^2}</math> mewakili kurva setengah lingkaran, dan integralnya <math>\scriptstyle \int_{-1}^1 </math> menghitung luas antara setengah lingkaran dengan sumbu ''x''.
[[Berkas:Sine cosine one period.svg|jmpl|340px|alt=Diagram showing graphs of functions|Fungsi [[sinus]] dan [[kosinus]] berulang dengan periode 2{{pi}}.]]
[[Fungsi trigonometri]] bergantung pada sudut, dan para matematikawan umumnya menggunakan radian sebagai satuan pengukuran sudut tersebut. {{pi}} memainkan peran penting dalam sudut yang diukur dalam [[radian]], yang didefinsikan sedemikian rupanya satu lingkaran penuh memiliki sudut 2{{pi}} radian.<ref name="WR">{{harvnb|Ayers|1964|p=60}}</ref> Hal ini berarti 180° sama dengan {{pi}} radian, dan 1° = {{pi}}/180 radian.<ref name="WR" />

Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dari {{pi}}, sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2{{pi}},<ref name="WCS">{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=210–211}}</ref> sehingga untuk suautu sudut ''θ'' dan suatu bilangan bulat {{math|''k''}}, <math>\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)</math> dan <math>\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right).</math><ref name="WCS" />

=== Rumus integral Cauchy ===
[[Rumus integral Cauchy]] mengelola [[fungsi integral kompleks]] dan menghasilkan hubungan penting antara integrasi dan diferensiasi, termasuk kenyataan bahwa nilai fungsi kompleks dalam suatu batas tertutup seluruhnya ditentukan oleh nilai pada batasan:<ref>{{MathWorld|CauchyIntegralFormula|Cauchy Integral Formula}}</ref><ref>{{cite|author=Joglekar, S.D.|title=Mathematical Physics|publisher=Universities Press|year=2005|page=166|ISBN=978-81-7371-422-1}}.</ref>

: <math>f (z_{0}) = \frac{1}{ 2\pi i } \oint_\gamma { f(z) \over z-z_0 }\,dz</math>

=== Himpunan Mandelbrot ===
[[Berkas:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|al=An complex black shape on a blue background.|jmpl|{{pi}} dapat dihitung dari [[himpunan Mandelbrot]], dengan menghitung jumlah iterasi yang diperlukan sebelum titik divergen <math>(-0,75;\varepsilon)</math>.]]
Keberadaan {{pi}} dalam [[fraktal]] [[himpunan Mandelbrot]] ditemukan oleh warga negara Amerika David Boll pada tahun 1991.<ref name="KA2">{{cite journal|last1=Klebanoff|first1=Aaron|year=2001|title=Pi in the Mandelbrot set|url=http://home.comcast.net/~davejanelle/mandel.pdf|dead-url=no|journal=Fractals|volume=9|issue=4|pages=393–402|doi=10.1142/S0218348X01000828|archiveurl=https://www.webcitation.org/66iUmBi3B?url=https://home.comcast.net/~davejanelle/mandel.pdf|archivedate=2012-04-06|accessdate=14 April 2012|ref=harv}}</ref> Dia mempelajari perilaku humpunan Mandelbrot dekat "leher" pada <math>(-0,75;0)</math>. Jika dianggap titik dengan koordinat <math>(-0,75;\varepsilon)</math>, dengan <math>\varepsilon</math> cenderung nol, jumlah iterasi sampai perbedaan untuk jalur dikalikan dengan <math>\varepsilon</math> konvergen menuju {{pi}}. Titik <math>(0,25;\varepsilon)</math> di titik puncak "lembah" besar di sisi kanan himpunan Mandelbrot berperilaku sama: jumlah iterasi sampai divergensi dikalikan dengan akar kuadrat <math>\varepsilon</math> cenderung mendekati {{pi}}.<ref name="KA2" /><ref>Peitgen, Heinz-Otto, ''Chaos and fractals: new frontiers of science'', Springer, 2004, pp. 801–803, ISBN 978-0-387-20229-7.</ref>

=== Fungsi gamma ===
[[Fungsi gamma]] memperluas konsep [[faktorial]] (biasanya didefinisikan hanya untuk bilangan bulat taknegatif) ke semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat real negatif. Ketika fungsi gamma dievaluasi untuk bilangan setengah bulat, hasilnya berisi {{pi}}; sebagai contoh

: <math> \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} </math>
: dan
: <math>\Gamma(5/2) = \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} </math>.<ref>{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=191–192}}</ref>

Fungsi gamma dapat digunakan untuk membuat pendekatan sederhana seperti {{math|''n''!}} untuk {{math|''n''}} besar:

: <math> n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>

yang dikenal sebagai [[aproksimasi Stirling]].<ref>{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|p=190}}</ref>

=== Teori bilangan dan fungsi zeta Riemann ===
[[Fungsi zeta Riemann]] {{math|''ζ''(''s'')}} digunakan dalam banyak bidang matematika. Ketika dievaluasi pada {{math|1=''s'' = 2}}, fungsi ini dapat ditulis sebagai:
:<math> \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots</math>

Menemukan [[Ekspresi bentuk tertutup|penyelesaian sederhana]] untuk deret tak hingga ini merupakan masalah populer dalam matematika yang disebut [[masalah Basel]]. [[Leonhard Euler]] memecahkannya pada tahun 1735 ketika ia menunjukkan bahwa itu sama dengan <math display="inline">\frac{\pi^2}{6}</math>.<ref name="Posamentier" /> Hasil Euler mengarah pada [[teori bilangan]] yaitu probabilitas dua angka acak yang [[relatif prima]] (tidak memiliki faktor bersama) adalah sama dengan <math display="inline">\frac{6}{\pi^2}</math>.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=41–43}}</ref><ref group="n">Teorema ini dibuktikan oleh [[Ernesto Cesàro]] pada tahun 1881. Untuk lebih jelasnya, lihat Hardy, G. H., ''An Introduction to the Theory of Numbers'', Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, teorema 332.</ref> Probabilitas ini berdasarkan pengamatan bahwa probabilitas bilangan sembarang [[Pembagi|dapat dibagi]] dengan suatu bilangan prima <math>p</math> adalah <math display="inline">\frac{1}{p}</math> (sebagai contoh, setiap bilangan bulat ke-7 dapat dibagi dengan 7.) Sehingga probabilitas dua bilangan yang keduanya dapat dibagi dengan bilangan prima ini adalah <math display="inline">\frac{1}{p^2}</math>, dan probabilitas bahwa sekurang-kurangnya satu di antaranya tidak dapat dibagi adalah <math display="inline">1 - \frac{1}{p^2}</math>. Untuk bilangan prima yang berbeda, kasus dapat dibagi ini bersifat independen; sehingga probabilitas bahwa dua bilangan adalah prima relatif diberikan oleh hasil pembagian seluruh bilangan prima:<ref>[[C. Stanley Ogilvy|Ogilvy, C. S.]]; Anderson, J. T., ''Excursions in Number Theory'', Dover Publications Inc., 1988, pp. 29–35, ISBN 0-486-25778-9.</ref>

: <math>\prod_p^{\infty} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = \left( \prod_p^{\infty} \frac{1}{1-p^{-2}} \right)^{-1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots } = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 61\% </math>

Probabilitas ini dapat digunakan bersamaan dengan [[generator bilangan acak]] untuk memperkirakan {{pi}} menggunakan pendekatan Monte Carlo.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=43}}</ref>

=== Probabilitas dan statistik ===
[[Berkas:E^(-x^2).svg|jmpl|ka|Sebuah grafik [[fungsi Gauss]] <br /> ''ƒ''(''x'') =&nbsp;''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup>. Wilayah berwarna di antara fungsi dan sumbu ''x'' memiliki luas <math> \scriptstyle\sqrt{\pi} </math>.]]

Bidang [[probabilitas]] dan [[statistik]] sering kali menggunakan [[distribusi normal]] sebagai model sederhana untuk fenomena kompleks; sebagai contoh, ilmuwan umumnya berasumsi bahwa kesalahan pengamatan dalam kebanyakan percobaan mengikuti sebuah distribusi normal.<ref>Feller, W. ''An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1'', Wiley, 1968, hlm. 174–190.</ref> [[Fungsi Gauss]] (yang merupakan [[fungsi kepekatan probabilitas]] distribusi normal) dengan rata-rata {{math|μ}} dan [[simpangan baku]] {{math|σ}}, pada dasarnya adalah {{pi}}:<ref name="GaussProb">{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=106–107, 744, 748}}</ref>

:: <math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}</math>

Agar ini dapat menjadi kepekatan probabilitas, wilayah di bawah grafik f harus sama dengan satu. Hal ini diperoleh dari perubahan variabel dalam [[integral Gauss]]:<ref name="GaussProb" />

:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx=\sqrt{\pi}</math>,

sehingga luas daerah yang berada di bawah kurva lonceng sederhana sama dengan akar kuadrat π.

== Di luar matematika ==
=== Penggambaran fenomena fisika ===
Meskipun bukan [[konstanta fisika]], {{pi}} hadir secara rutin dalam persamaan-persamaan yang menjelaskan prinsip-prinsip fundamental alam semesta, sering karena hubungan antara {{pi}} dengan lingkaran dan dengan [[sistem koordinat sferis]]. Rumus sederhana dari bidang [[mekanika klasik]] memberikan aproksimasi periode {{math|''T''}} [[pendulum]] sederhana dengan panjang {{math|''L''}}, yang mengayun dengan amplitudo {{math|''g''}} adalah [[Gravitasi bumi|percepatan gravitasi bumi]]):<ref>{{cite|authors=Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl|title=Fundamentals of Physics|edition=5th|publisher=John Wiley & Sons|year=1997|page=381|isbn=0-471-14854-7}}</ref>
:<math>T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g}</math>

Salah satu rumus kunci dalam [[mekanika kuantum]] adalah [[Prinsip ketidakpastian Heisenberg]], yang menunjukkan bahwa ketidakpastian dalan pengukuran posisi suatu partikel (Δ{{math|''x''}}) dan [[momentum]] (Δ{{math|''p''}}) keduanya tidak dapat sama persis pada saat yang bersamaan (dengan {{math|''h''}} adalah [[tetapan Planck]]):<ref>{{cite web|first=James M|last=Imamura|url=http://zebu.uoregon.edu/~imamura/208/jan27/hup.html|title=Heisenberg Uncertainty Principle|publisher=[[University of Oregon]]|date=17 August 2005|accessdate=9 September 2007|archiveurl=https://web.archive.org/web/20071012060715/http://zebu.uoregon.edu/~imamura/208/jan27/hup.html|archivedate=2007-10-12|dead-url=yes}}</ref>
:<math> \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}</math>

Dalam ranah [[kosmologi]], {{pi}} muncul dalam [[persamaan medan Einstein]], suatu rumus fundamental yang menjadi dasar [[Relativitas umum|teori relativitas umum]] dan menjelaskan [[interaksi fundamental]] [[gravitasi]] sebagai hasil [[lengkungan|pelengkungan]] [[ruang waktu]] oleh [[materi]] dan [[energi]]:<ref>{{cite|author=Yeo, Adrian|title=The pleasures of pi, e and other interesting numbers|publisher=World Scientific Pub|year=2006|page=21|ISBN=978-981-270-078-0}}.</ref><ref>{{cite|author=Ehlers, Jürgen|title=Einstein's Field Equations and Their Physical Implications|publisher=Springer|year=2000|page=7|ISBN=978-3-540-67073-5}}.</ref>
:<math> R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}</math>
dengan <math>R_{\mu\nu}</math> adalah [[tensor lengkungan Ricci]], {{math|''R''}} adalah [[lengkungan skalar]], <math>g_{\mu\nu}</math> adalah [[tensor metrik (relativitas umum)|tensor metrik]], {{math|Λ}} adalah [[tetapan kosmologi]], {{math|''G''}} adalah [[tetapan gravitasi|tetapan gravitasi Newton]], {{math|''c''}} adalah [[kecepatan cahaya]] dalam ruang hampa, dan <math>T_{\mu\nu}</math> adalah [[tensor energi tegangan]].

[[Hukum Coulomb]], dari disiplin ilmu [[elektromagnetisme]], menjelaskan [[medan listrik]] antara dua [[muatan listrik]] ({{math|''q''<sub>1</sub>}} dan {{math|''q''<sub>2</sub>}}) yang dipisahkan oleh jarak {{math|''r''}} (dengan {{math|''ε''<sub>0</sub>}} mewakili [[permitivitas ruang hampa]]:<ref>
{{cite web|first=C. Rod|last=Nave|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elefor.html#c3|title=Coulomb's Constant|work=[[HyperPhysics]]|publisher=[[Georgia State University]]|date=28 June 2005|accessdate=9 November 2007}}</ref>
:<math> F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}</math>

Fakta bahwa nilai {{pi}} mendekati 3 memainkan peran dalam [[ortopositronium]] dalam waktu yang relatif panjang. Kebalikannya hingga orde paling rendah dalam [[tetapan struktur halus]] {{math|''α''}} adalah<ref>{{cite|author1=Itzykson, C.|author2=Zuber, J-B.|title=Quantum Field Theory|publisher=McGraw-Hill|year=1980}}.</ref>
:<math>\frac{1}{\tau} = 2\frac{\pi^2 - 9}{9\pi}m\alpha^{6},</math>
dengan {{math|''m''}} adalah massa elektron.

{{pi}} hadir dalam beberapa formula rekayasa struktur, seperti rumus ''[[buckling]]'' yang diturunkan oleh Euler, yang memberikan muatan aksial {{math|''F''}} maksimum <!--that a long, slender column of length-->dengan panjang kolom {{math|''L''}}, [[elastisitas modulus]] {{math|''E''}}, dan [[momen inersia area]] {{math|''I''}} dapat mengangkut tanpa ''buckling'':<ref>{{cite|author=Low, Peter|title=Classical Theory of Structures Based on the Differential Equation|publisher=CUP Archive|year=1971|pages=116–118|ISBN=978-0-521-08089-7}}.</ref>
:<math>F =\frac{\pi^2EI}{L^2}</math>

Bidang [[dinamika fluida]] menyertakan {{pi}} dalam [[hukum Stokes]], yang mengaproksimasi [[gaya gesekan|gaya friksi]] {{math|''F''}} yang muncul pada objek [[sferis]] kecil dengan radius {{math|''R''}}, bergerak dengan kecepatan {{math|''v''}} dalam [[fluida]] yang mempunyai [[viskositas dinamis]] {{math|''η''}}:<ref>{{cite|author=Batchelor, G.K.|title=An Introduction to Fluid Dynamics|publisher=Cambridge University Press|year=1967|page=233|ISBN=0-521-66396-2}}.</ref>
:<math>F =6 \, \pi \, \eta \, R \, v </math>

[[Transformasi Fourier]], dijelaskan di bawah, adalah operasi matematika yang menyatakan waktu sebagai [[fungsi (matematika)|fungsi]] dari [[frekuensi]], dikenal karena [[spektrum frekuensi]]nya. Ini mempunyai banyak aplikasi dalam [[fisika]] dan [[rekayasa]], terutama dalam [[pemrosesan sinyal]].<ref>{{cite|author=Bracewell, R.N.|title=The Fourier Transform and Its Applications|publisher=McGraw-Hill|year=2000|ISBN=0-07-116043-4}}.</ref>
:<math>\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx</math>

<!--
Under ideal conditions (uniform gentle slope on an homogeneously erodible substrate), the [[sinuosity]] of a [[meander]]ing river approaches {{pi}}. The sinuosity is the ratio between the actual length and the straight-line distance from source to mouth. Faster currents along the outside edges of a river's bends cause more erosion than along the inside edges, thus pushing the bends even farther out, and increasing the overall loopiness of the river. However, that loopiness eventually causes the river to double back on itself in places and "short-circuit", creating an [[ox-bow lake]] in the process. The balance between these two opposing factors leads to an average ratio of {{pi}} between the actual length and the direct distance between source and mouth.<ref>{{cite journal|journal=[[Science (journal)|Science]]|volume=271|issue=5256|date=22 March 1996|pages=1710–1713|doi=10.1126/science.271.5256.1710|title=River Meandering as a Self-Organization Process|url=https://archive.org/details/sim_science_1996-03-22_271_5256/page/1710|author=Hans-Henrik Stølum|bibcode=1996Sci...271.1710S|ref=harv}}</ref><ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|pp=140–141}}</ref>

The Wallis formula for pi can be obtained directly from the [[Calculus of variations|variational approach]] to the [[Bohr model|spectrum of the hydrogen atom]] in spaces of arbitrary dimensions greater than one, including the physical three dimensions.<ref>{{cite journal|doi=10.1063/1.4930800|author=T. Friedmann ; C.R. Hagen|title=Quantum mechanical derivation of the Wallis formula for pi|journal=Journal of Mathmatical Physics|volume=56|issue=11|year=2015}}</ref>
-->

=== Mengingat digit ===
{{Main|Pifilologi}}
Banyak orang telah mengingat sejumlah besar digit angka {{pi}}, suatu praktik yang disebut [[pifilologi]].<ref name="A445">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=44–45}}</ref> Satu teknik umum untuk mengingat adalah melalui cerita atau puisi yang mana panjang kata-kata mewakili angka digit {{pi}}: Kata pertama terdiri dari tiga huruf, kata kedua memiliki satu huruf, kata ketiga empat huruf, kata keempat satu huruf, kata kelima lima huruf, dan seterusnya. Contoh awal cara mengingat, diprakarsai oleh ilmuwan Inggris [[James Hopwood Jeans|James Jeans]], adalah ''How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics''.<ref name="A445" /> Ketika sebuah puisi (''poem'') digunakan, itu terkadang dirujuk sebagai ''piem''. Puisi untuk mengingat {{pi}} telah digubah dalam beberapa bahasa selain [[bahasa Inggris]].<ref name="A445" />

Rekor mengingat digit {{pi}}, yang dicatat oleh ''[[Guinness World Records]]'', adalah 70.000 digit, dibacakan di India oleh Rajveer Meena selama 9 jam 27 menit pada tanggal 21 Maret 2015.<ref>[http://www.guinnessworldrecords.com/world-records/most-pi-places-memorised "Most Pi Places Memorized"], Guinness World Records.</ref> Pada tahun 2006, [[Akira Haraguchi]], seorang pensiunan insinyur [[Jepang]], mengklaim telah membacakan 100.000 desimal {{pi}}, tetapi klaim tersebut tidak diverifikasi oleh ''Guinness World Records''.<ref name="japantimes">{{cite news|first=Tomoko|last=Otake|url=<!-- http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf -->http://www.japantimes.co.jp/life/2006/12/17/life/how-can-anyone-remember-100000-numbers/|title=How can anyone remember 100,000 numbers?|work=[[The Japan Times]]|date=17 Desember 2006|accessdate=27 Oktober 2007}}</ref> Peraturan rekor pengingat {{pi}} biasanya tidak berdasarkan puisi, tetapi malahan menggunakan metode semacam mengingat pola angka dan [[metode loci]].<ref>{{cite journal|last1=Raz|first1=A.|last2=Packard|first2=M. G.|year=2009|title=A slice of pi: An exploratory neuroimaging study of digit encoding and retrieval in a superior memorist|journal=Neurocase|volume=15|pages=361–372|ref=harv|doi=10.1080/13554790902776896|pmid=19585350}}</ref>

Beberapa penulis telah menggunakan digit {{pi}} sebagai dasar bentuk baru [[tulisan terbatas]] ({{lang-en|constrained writing}}), di mana diperlukan panjang kata yang mereprentasikan digit {{pi}}. ''[[Cadaeic Cadenza]]'' mengandung 3.835 digit pertama {{pi}},<ref>{{cite web|first=Mike|last=Keith|authorlink=Mike Keith (mathematician)|url=http://www.cadaeic.net/comments.htm|title=Cadaeic Cadenza Notes & Commentary|accessdate=29 July 2009}}</ref> dan satu buku penuh berjudul ''Not a Wake'' mengandung 10.000 kata, yang masing-masing mereprentasikan satu digit {{pi}}.<ref name=KeithNAW>{{cite book|last=Keith|first=Michael|title=Not A Wake: A dream embodying (pi)'s digits fully for 10000 decimals|publisher=Vinculum Press|isbn=978-0963009715|author2=Diana Keith|date=February 17, 2010}}</ref>

== Lihat pula ==
* [[Aproksimasi Stirling]]
*[[Daftar tetapan matematis]]

== Referensi ==
;Referensi
{{Reflist|20em}}

;Catatan kaki
{{Reflist|group=n}}

;Daftar pustaka
{{refbegin|30em}}
* {{cite book|last=Arndt|first=Jörg|last2=Haenel|first2=Christoph|title=Pi Unleashed|publisher=Springer-Verlag|year=2006|isbn=978-3-540-66572-4 <!--isbn only volume 1-->|url=http://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false|ref=harv|accessdate=2013-06-05}} English translation by Catriona and David Lischka.
* {{cite book|last=Ayers|first=Frank|title=Calculus|publisher=McGraw-Hill|year=1964|isbn=978-0-070-02653-7|ref=harv}}
* {{cite book|last=Berggren|first=Lennart|last2=Borwein|first2=Jonathan|author2-link=Jonathan Borwein|last3=Borwein|first3=Peter|author3-link=Peter Borwein|title=Pi: a Source Book|publisher=Springer-Verlag|year=1997|isbn=978-0-387-20571-7|ref=harv}}
* {{cite book|last=Beckmann|first=Peter|title=History of Pi|url=https://archive.org/details/historyofpisymbo00beck|publisher=St. Martin's Press|year=1989|origyear=1974|isbn=978-0-88029-418-8|ref=harv}}
* {{cite book|last=Borwein|first=Jonathan|author1-link=|last2=Borwein|first2=Peter|author2-link=|title=Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity|publisher=Wiley|year=1987|isbn=978-0-471-31515-5|ref=harv}}
* {{cite book|last=Boyer|first=Carl B.|last2=Merzbach|first2=Uta C.|year=1991|title=A History of Mathematics|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|edition=2|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-54397-8|ref=harv}}<!-- Year from ISBN. Original citatation was just to Boyer. Possible that edition is wrong and therefore page is wrong. Editions: Boyer 1968, Boyer/Merzbach 1989, Boyer/Merzbach 1991, Merzbach/Boyer 2010, Merzbach/Boyer 2011. Verify second: Hui and 3072-sided polygon is on cited page 202 of 1991 edition; page 228 of 1968 edition. Google snippet has a hit for 3.1456 on page 168 for 1991, but does not show the number. -->
* {{cite book|last=Bronshteĭn|first=Ilia|last2=Semendiaev|first2=K. A.|title=A Guide Book to Mathematics|publisher=H. Deutsch|year=1971|isbn= 978-3-871-44095-3|ref=harv}}
* {{cite book|last=Eymard, Pierre, Lafon, Jean Pierre|year=1999|title=The Number Pi|url=https://archive.org/details/numberpi0000eyma|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-3246-2|ref=harv}}, English translation by Stephen Wilson.
* {{cite book|last=Joseph|first=George Gheverghese|title=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics|publisher=Princeton University Press|year=1991|isbn=978-0-691-13526-7|url=http://books.google.com/?id=c-xT0KNJp0cC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false%7C|ref=harv|accessdate=2013-06-05}}<!-- This ISBN is for the third edition from 2011! -->
* {{cite book|last=Posamentier|first=Alfred S.|last2=Lehmann|first2=Ingmar|title=Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number|url=https://archive.org/details/pi00alfr_0|publisher=Prometheus Books|year=2004|isbn=978-1-59102-200-8|ref=harv}}
* {{cite journal|last=Reitwiesner|first=George|title=An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places|journal=Mathematical Tables and Other Aids to Computation|year=1950|volume=4|issue= 29|pages=11–15|doi=10.2307/2002695|ref=harv }}
* {{cite journal|last=Roy|first=Ranjan|title=The Discovery of the Series Formula for pi by Leibniz, Gregory, and Nilakantha|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1990-12_63_5/page/291|journal=Mathematics Magazine|volume=63|issue= 5|year=1990|pages=291–306|doi=10.2307/2690896|ref=harv }}
* {{cite journal|last=Schepler|first=H. C.|title=The Chronology of Pi|journal=Mathematics Magazine|publisher=Mathematical Association of America|year=1950|volume=23|issue=3|pages= 165–170 (Jan/Feb), 216–228 (Mar/Apr), and 279–283 (May/Jun)|doi=10.2307/3029284|ref=harv }}. [<!-- http://www.jstor.org/stable/3029284 -->http://www.jstor.org/discover/10.2307/3029284 issue 3 Jan/Feb], [http://www.jstor.org/stable/3029832 issue 4 Mar/Apr], [http://www.jstor.org/stable/3029000 issue 5 May/Jun]
{{refend}}

== Pranala luar ==
* [http://sia.akprind.ac.id/jack/geometri.pas.txt Program dalam Pascal tentang pemakaian π]{{Pranala mati|date=Mei 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* [http://www.exploratorium.edu/pi/history_of_pi/index.html Sejarah singkat tentang π]
* [http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html Pi-memory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080319051557/http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html |date=2008-03-19 }}

{{Authority control}}

[[Kategori:Matematika]]
[[Kategori:Huruf Yunani]]