Lihat sumber Pertidaksamaan

[[Berkas:Linear Programming Feasible Region.svg|jmpl|Daerah "feasible" dalam [[Program linear|pemrograman linear]] merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan.]]

'''Pertidaksamaan''' dalam [[matematika]] adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. Dua [[notasi]] dasar dalam pertidaksamaan adalah:

== Notasi pertidaksamaan ==
{| class="wikitable sortable"
|-
! Notasi !! Arti !! Contoh
|-
| < || lebih kecil<br>kurang dari || 2 < 3 <br> x + 1 < 3
|-
| > || lebih besar<br>lebih dari || 3 > 2 <br> 3x + 1 > 5
|-
| ≤ || lebih kecil atau sama dengan<br>batas dibawah<br>maksimum<br>maksimal<br>sebanyaknya<br>paling banyak<br>tidak lebih dari<br>sekurangnya || 2 ≤ 3 <br> x + 1 ≤ 3
|-
| ≥ || lebih besar atau sama dengan<br>batas diatas<br>minimum<br>minimal<br>sesedikitnya<br>paling sedikit<br>tidak kurang dari<br>selebihnya || 3 ≥ 2 <br> 3x + 1 ≥ 5
|-
| ≠ || tidak sama dengan || 2 ≠ 3 <br> x + 1 ≠ 3
|-
| a < x < b || diantara a dan b || 2 < x < 5
|-
| a ≤ x < b || diantara a dan b bila ada a || 2 ≤ x < 5
|-
| a < x ≤ b || diantara a dan b bila ada b || 2 < x ≤ 5
|-
| a ≤ x ≤ b || diantara a dan b bila ada a dan b || 2 ≤ x ≤ 5
|-
| x < a v x > b || kurang dari a atau lebih dari b || x < 2 v x > 5
|-
| x ≤ a v x > b || maksimal a atau lebih dari b || x ≤ 2 v x < 5
|-
| x < a v x ≥ b || kurang dari a atau minimal b || x < 2 v x ≥ 5
|-
| x ≤ a v x ≥ b || maksimal a atau minimal b || x ≤ 2 v x ≥ 5
|}

== Jenis-jenis pertidaksamaan ==
=== Pertidaksamaan Linear ===
* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>6x - 7 < 5x + 3</math>!
: <math>6x - 7 < 5x + 3</math>
: <math>6x - 5x < 3 + 7</math>
: <math>x < 10</math>

: <math>HP = \{x|x < 10, x \in R \}</math>

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>5 -2x \ge 4x - 1</math>!
: <math>5 -2x \ge 4x - 1</math>
: <math>-2x - 4x \ge - 1 - 5</math>
: <math>-6x \ge -6</math> (karena nilai negatif maka tanda harus terbalik)
: <math>x \le 1</math>

: <math>HP = \{x|x \le 1, x \in R \}</math>

=== Pertidaksamaan Kuadrat ===
* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>x^2 - 7x > 10 - 4x</math>!
: <math>x^2 - 7x > 10 - 4x</math>
: <math>x^2 - 3x - 10 > 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 - 3x - 10 = 0</math>
: <math>(x + 2)(x - 5) = 0</math>
: <math>x = -2 \lor x = 5</math>

dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! !! -2 !! !! 5 !!
|-
| +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++
|}

: <math>HP = \{x|x < -2 \lor x > 5, x \in R \}</math>

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>2 - x^2 \le x - 10</math>!
: <math>2 -x^2 \le x - 10</math>
: <math>x^2 + x - 12 \ge 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 + x - 12 = 0</math>
: <math>(x + 4)(x - 3) = 0</math>
: <math>x = -4 \lor x = 3</math>

dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! !! (-4) !! !! (3) !!
|-
| +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++
|}

: <math>HP = \{x|x \le -4 \lor x \ge 3, x \in R \}</math>

=== Pertidaksamaan Irasional ===
Dalam bentuk pertidaksamaan irasional sebagai berikut:
: <math>\sqrt {f(x)} < \sqrt {g(x)} </math> atau <math>\sqrt {f(x)} > \sqrt {g(x)} </math>

kuadratkan kedua sisinya akan menjadi <math>f(x) < g(x) </math> atau <math>f(x) > g(x) </math> serta haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0.

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>\sqrt {x^2 - 4x} < \sqrt {10 - x}</math>!
: <math>\sqrt {x^2 - 4x} < \sqrt {10 - x}</math>
: <math>(\sqrt {x^2 - 4x})^2 < (\sqrt {10 - x})^2</math>
: <math>x^2 - 4x < 10 - x</math>
: <math>x^2 - 3x - 10 < 0</math>

; Irisan 1
: <math>x^2 - 3x - 10 < 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 - 3x - 10 = 0</math>
: <math>(x + 2)(x - 5) = 0</math>
: <math>x = - 2 \lor x = 5</math>

karena ada syarat akar maka:
; Irisan 2
: <math>x^2 - 4x \ge 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 - 4x = 0</math>
: <math>x(x - 4) = 0</math>
: <math>x = 0 \lor x = 4</math>

; Irisan 3
: <math>10 - x \ge 0</math>
: <math>x \le 10</math>

gabungkan umum dan syarat
{| class="wikitable"
|-
! Irisan !! !! -2 !! !! (0) !! !! (4) !! !! 5 !! !! (10) !! 
|-
| pertama || tidak || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || tidak || {{n/a}} || tidak
|-
| kedua || ya || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || tidak || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || ya
|-
| ketiga  || ya || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || tidak
|-
|}

: <math>HP = \{x|-2 < x \le 0 \lor 4 \le x < 5, x \in R \}</math>

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>\sqrt {x^2 - 4} \ge \sqrt {3x + 50}</math>!
: <math>\sqrt {x^2 - 4} \ge \sqrt {3x + 50}</math>
: <math>(\sqrt {x^2 - 4})^2 \ge (\sqrt {3x + 50})^2</math>
: <math>x^2 - 4 \ge  3x + 50</math>
: <math>x^2 - 3x - 54 \ge 0</math>

; Irisan 1
: <math>x^2 - 3x - 54 \ge 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 - 3x - 54 = 0</math>
: <math>(x + 6)(x - 9) = 0</math>
: <math>x = -6 \lor x = 9</math>

karena ada syarat akar maka:
; Irisan 2
: <math>x^2 - 4 \ge 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 - 4 = 0</math>
: <math>(x + 2)(x - 2) = 0</math>
: <math>x = - 2 \lor x = 2</math>

; Irisan 3
: <math>3x + 50 \ge 0</math>
: <math>x \ge -\frac{50}{3}</math>

gabungkan umum dan syarat
{| class="wikitable"
|-
! Irisan !! !! (-50/3) !! !! (-6) !! !! (-2) !! !! (2) !! !! (9) !!
|-
| pertama  || ya || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || tidak || {{n/a}} || tidak || {{n/a}} || tidak || {{n/a}} || ya
|-
| kedua  || ya || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || tidak || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || ya
|-
| ketiga || tidak || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || ya ||  {{n/a}} || ya || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || ya
|}

: <math>HP = \{x|\frac{-50}{3} \le x \le -6 \lor x \ge 9, x \in R \}</math>

=== Pertidaksamaan Pecahan ===
Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:
:<math>\frac {f(x)}{g(x)} * 0</math> 
di mana <math>f(x), g(x)</math> adalah [[fungsi aljabar]] dengan <math>g(x) \neq 0</math> dan <math>*</math> merepresentasikan notasi pertidaksamaan.

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>\frac{x - 4}{x - 3} < \frac{x + 1}{x - 2}</math>!
: <math>\frac{x - 4}{x - 3} < \frac{x + 1}{x - 2}</math>
: <math>\frac{x - 4}{x - 3} - \frac{x + 1}{x - 2} < 0</math>
: <math>\frac{(x - 4)(x - 2) - (x + 1)(x - 3)}{(x - 3)(x - 2)} < 0</math>
: <math>\frac{(x^2 - 6x + 8) - (x^2 - 2x - 3)}{(x - 3)(x - 2)} < 0</math>
: <math>\frac{- 4x + 11}{(x - 3)(x - 2)} < 0</math>
: <math>- 4x + 11 < 0</math>
: <math>x < \frac{11}{4}</math>

karena ada syarat pecahan maka:
; penyebut 1
: <math>x - 3 \neq 0</math>
: <math>x \neq 3</math>

; penyebut 2
: <math>x - 2 \neq 0</math>
: <math>x \neq 2</math>

dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! !! 2 !! !! 11/4 !! !! 3 !!
|-
| +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++ || {{n/a}} || ----
|}

: <math>HP = \{x|2 < x < \frac{11}{4} \lor x > 3, x \in R \}</math>

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>\frac{x + 6}{x + 17} \ge \frac{1}{x - 3}</math>!
: <math>\frac{x + 6}{x + 17} \ge \frac{1}{x - 3}</math>
: <math>\frac{x + 6}{x + 17} - \frac{1}{x - 3} \ge 0</math>
: <math>\frac{(x + 6)(x - 3) - (x + 17)}{(x + 17)(x - 3)} \ge 0</math>
: <math>\frac{x^2 + 3x - 18 - x - 17}{(x + 17)(x - 3)} \ge 0</math>
: <math>\frac{x^2 + 2x - 35}{(x - 3)(x - 2)} \ge 0</math>
: <math>x^2 + 2x - 35 \ge 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 + 2x - 35 = 0</math>
: <math>(x + 7)(x - 5) = 0</math>
: <math>x = - 7 \lor x = 5</math> (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:
; penyebut 1
: <math>x + 17 \neq 0</math>
: <math>x \neq - 17</math>

; penyebut 2
: <math>x - 3 \neq 0</math>
: <math>x \neq 3</math>

dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! !! -17 !! !! (-7) !! !! 3 !! !! (5) !! 
|-
| +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++
|}

: <math>HP = \{x|x < -17 \lor -7 \le x < 3 \lor x \ge 5, x \in R \}</math>

=== Pertidaksamaan Mutlak ===
Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak sebagai berikut:
; Model I
: <math>| f(x) | < k</math> atau <math>| f(x) | > k</math>
haruslah mempunyai dua nilai yaitu

: <math>| f(x) | = \left\{\begin{matrix} | f(x) | < k, & \mbox {maka penyelesaian} -k < f(x) < k \\  \\ | f(x) | > k, & \mbox {maka penyelesaian} f(x) < -k \lor f(x) > k \end{matrix}\right.</math>

; Model II
Jika <math>| f(x) | < | g(x) |</math> atau <math>| f(x) | > | g(x) |</math> maka kuadratkan kedua sisi tersebut akan menjadi <math>[f(x)]^2 - [g(x)]^2 < 0</math> atau <math>[f(x)]^2 - [g(x)]^2 > 0</math>.

; Model III
Jika <math>a < | f(x) | < b</math> maka menghasilkan <math>a < | f(x) | < b</math> dan <math>-b < | f(x) | < -a</math>.

begitupula <math>g(x) < | f(x) | < h(x)</math>.

; Model IV
Jika <math>| f(x) |</math> terkurung maka f(x) menghasilkan <math>f(x) \ge 0</math> serta -f(x) menghasilkan <math>f(x) < 0</math>.

Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>| x^2 + x | < 12</math>!
: <math>| x^2 + x | < 12</math>

karena f(x) < g(x) maka penyelesaian -g(x) < f(x) < g(x)
: <math>-12 < x^2 + x < 12</math>

; untuk <math>-12 < x^2 + x</math>
: <math>-12 < x^2 + x</math>
: <math>x^2 + x + 12 > 0</math> definit +

; untuk <math>x^2 + x < 12</math>
: <math>x^2 + x < 12</math>
: <math>x^2 + x - 12 < 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 + x - 12 = 0</math>
: <math>(x + 4)(x - 3) < 0</math>
: <math>x = -4 \lor x = 3</math>

dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! !! -4 !! !! 3 !! 
|-
| +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++
|}

: <math>-4 < x < 3</math>

: <math>HP = \{x|-4 < x < 3, x \in R \}</math>

* Tentukan nilai x dari persamaan <math>| x^2 - 4x - 12 | - | 7 - 6x | \ge 5</math>!
: terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada

; untuk | x^2 - 4x - 12 |
: <math>| x^2 - 4x - 12 | = \left\{\begin{matrix} x^2 - 4x - 12, & \mbox {maka penyelesaian} x^2 - 4x - 12 \ge 0 \\  \\ -(x^2 - 4x - 12), & \mbox {maka penyelesaian} x^2 - 4x - 12 < 0 \end{matrix}\right.</math>

; batasan f(x)
: <math>x^2 - 4x - 12 \ge 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 - 4x - 12 = 0</math>
: <math>(x + 2)(x - 6) = 0</math>
: <math>x = -2 \lor x = 6</math>

dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! !! -2 !! !! 6 !! 
|-
| +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++
|}

: <math>x \le -2 \lor x \ge 6</math>

; batasan -f(x)
: <math>x^2 - 4x - 12 < 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 - 4x - 12 = 0</math>
: <math>(x +2)(x - 6) = 0</math>
: <math>x = -2 \lor x = 6</math>

dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! !! -2 !! !! 6 !! 
|-
| +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++
|}

: <math>-2 < x < 6</math>

; untuk | 7 - 6x |
: <math>| 7 - 6x | = \left\{\begin{matrix} 7 - 6x, & \mbox {maka penyelesaian} 7 - 6x \ge 0 \\  \\ -(7 - 6x), & \mbox {maka penyelesaian} 7 - 6x < 0 \end{matrix}\right.</math>

; batasan f(x)
: <math>7 - 6x \ge 0</math>
: <math>x \le \frac{7}{6}</math>

; batasan -f(x)
: <math>7 - 6x < 0</math>
: <math>x > \frac{7}{6}</math>

keempat batas-batas akan dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! irisan !! !! -2 !! !! 7/6 !! !! 6 !! 
|-
| pertama  || x^2 - 4x - 12 || {{n/a}} || || {{n/a}} || || {{n/a}} || x^2 - 4x - 12
|-
| kedua || || {{n/a}} || -(x^2 - 4x - 12) || {{n/a}} || -(x^2 - 4x - 12) || {{n/a}} ||
|-
| ketiga || 7 - 6x || {{n/a}} || 7 - 6x || {{n/a}} || || {{n/a}} ||
|-
| keempat || || {{n/a}} || || {{n/a}} || -(7 - 6x) || {{n/a}} || -(7 - 6x)
|}

: untuk x <= -2
: <math>x^2 - 4x - 12 - (7 - 6x) \ge 5</math>
: <math>x^2 - 4x - 12 - 7 + 6x - 5 \ge 0</math>
: <math>x^2 + 2x - 24 \ge 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 + 2x - 24 = 0</math>
: <math>(x + 6)(x - 4) = 0</math>
: <math>x = -6 \lor x = 4</math>

dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! !! (-6) !! !! (-2) !! !! (4) !! 
|-
|| Ya || {{n/a}} || Ya || {{n/a}} || Tidak || {{n/a}} || Tidak
|-
| +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++
|}

: <math>x \le -6</math>

: untuk -2 < x <= 7/6
: <math>-(x^2 - 4x - 12) - (7 - 6x) \ge 5</math>
: <math>-x^2 + 4x + 12 - 7 + 6x - 5 \ge 0</math>
: <math>x^2 - 10x \le 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 - 10x = 0</math>
: <math>x(x - 10) = 0</math>
: <math>x = 0 \lor x = 10</math>

dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! !! -2 !! !! (0) !! !! (7/6) !! !! (10) !!
|-
| Tidak || {{n/a}} || Ya || {{n/a}} || Ya || {{n/a}} || Tidak || {{n/a}} || Tidak
|-
| +++ || {{n/a}} || +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++
|}

: <math>0 \le x \le \frac{7}{6}</math>

: untuk 7/6 < x < 6
: <math>-(x^2 - 4x - 12) - (-(7 - 6x)) \ge 5</math>
: <math>-x^2 + 4x + 12 + 7 - 6x - 5 \ge 0</math>
: <math>x^2 + 2x \le 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 + 2x = 0</math>
: <math>x(x + 2) = 0</math>
: <math>x = 0 \lor x = -2</math>

dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! !! (-2) !! !! (0) !! !! 7/6 !! !! 6 !!
|-
| Tidak || {{n/a}} || Tidak || {{n/a}} || Tidak || {{n/a}} || Ya || {{n/a}} || Tidak
|-
| +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++ || {{n/a}} || +++ || {{n/a}} || +++
|}

: <math>\varnothing</math>

untuk x >= 6
: <math>x^2 - 4x - 12 - (-(7 - 6x)) \ge 5</math>
: <math>x^2 - 4x - 12 + 7 - 6x - 5 \ge 0</math>
: <math>x^2 - 10x - 10 \ge 0</math> definit +

: <math>\varnothing</math>

gabungkan keempat batas-batas (sesuai dengan himpunan gabungan). jadi:
: <math>HP = \{x|x \le -6 \lor 0 \le x \le \frac{7}{6}, x \in R \}</math>

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>| \frac{x + 4}{10 - x} | < | \frac{1}{x - 2} |</math>!
: <math>| \frac{x + 4}{10 - x} | < | \frac{1}{x - 2} |</math>
: <math>(\frac{x + 4}{10 - x})^2 < (\frac{1}{x - 2})^2</math>
: <math>(\frac{x + 4}{10 - x})^2 - (\frac{1}{x - 2})^2 < 0</math>
: <math>(\frac{x + 4}{10 - x} + \frac{1}{x - 2})(\frac{x + 4}{10 - x} - \frac{1}{x - 2}) < 0</math>
: <math>(\frac{(x + 4)(x - 2) + 10 - x}{(10 - x)(x - 2)})(\frac{(x + 4)(x - 2) - (10 - x)}{(10 - x)(x - 2)}) < 0</math>
: <math>(\frac{x^2 + 2x - 8 + 10 - x}{(10 - x)(x - 2)})(\frac{x^2 + 2x - 8 - 10 + x}{(10 - x)(x - 2)}) < 0</math>
: <math>(\frac{x^2 + x + 2}{(10 - x)(x - 2)})(\frac{x^2 + 3x - 18}{(10 - x)(x - 2)}) < 0</math>

; akar dari <math>\frac{x^2 + x + 2}{(10 - x)(x - 2)}</math>
: <math>\frac{x^2 + x + 2}{(10 - x)(x - 2)} < 0</math>
: <math>x^2 + x + 2 = 0</math> definit +

karena ada syarat pecahan maka:
; penyebut 1
: <math>10 - x \neq 0</math>
: <math>x \neq 10</math>

; penyebut 2
: <math>x - 2 \neq 0</math>
: <math>x \neq 2</math>

; akar dari <math>\frac{x^2 + 3x - 18}{(10 - x)(x - 2)}</math>
: <math>\frac{x^2 + 3x - 18}{(10 - x)(x - 2)} < 0</math>
: <math>x^2 + 3x - 18 < 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 + 3x - 18 = 0</math>
: <math>(x + 6)(x - 3) = 0</math>
: <math>x = -6 \lor x = 3</math> (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:
; penyebut 1
: <math>10 - x \neq 0</math>
: <math>x \neq 10</math>

; penyebut 2
: <math>x - 2 \neq 0</math>
: <math>x \neq 2</math>

dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! !! -6 !! !! 2* !! !! 3 !! !! 10* !!
|-
| +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++ || {{n/a}} || +++
|}

: nb: * = mempunyai 2 akar

: <math>HP = \{x|-6 < x < 3, x \in R \}</math>

* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>| \sqrt {x^2 - 4x} | \ge | \sqrt {3x - 10} |</math>!
: <math>| \sqrt {x^2 - 4x} | \ge | \sqrt {3x - 10} |</math>
: <math>(\sqrt {x^2 - 4x})^2 \ge (\sqrt {3x - 10})^2</math>
: <math>x^2 - 4x \ge 3x - 10</math>
: <math>x^2 -7x + 10 \ge 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 -7x + 10 = 0</math>
: <math>(x - 2)(x - 5) = 0</math>
: <math>x = 2 \lor x = 5</math>

dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! !! 2 !! !! 5 !!
|-
| +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++
|}

: <math>x \le 2 \lor x \ge 5</math>

karena ada syarat akar maka:
; akar 1
: <math>x^2 - 4x \ge 0</math>

dibuat harga nol
: <math>x^2 - 4x = 0</math>
: <math>x(x - 4) = 0</math>
: <math>x = 0 \lor x = 4</math>

dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! !! 0 !! !! 4 !!
|-
| +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++
|}

: <math>x \le 0 \lor x \ge 4</math>

; akar 2
: <math>3x - 10 \ge 0</math>
: <math>x \ge \frac{10}{3}</math>

gabungkan umum dan syarat
{| class="wikitable"
|-
! irisan !! !! (0) !! !! (2) !! !! (10/3) !! !! (4) !! !! (5) !!
|-
| pertama  || ya || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || tidak || {{n/a}} || tidak || {{n/a}} || tidak || {{n/a}} || ya
|-
| kedua  || ya || {{n/a}} || tidak || {{n/a}} || tidak || {{n/a}} || tidak || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || ya
|-
| ketiga || tidak || {{n/a}} || tidak || {{n/a}} || tidak ||  {{n/a}} || ya || {{n/a}} || ya || {{n/a}} || ya
|}

: <math>HP = \{x|x \ge 5, x \in R \}</math>

== Pertidaksamaan aritmatika dan geometri ==
{{see also|Pertidaksamaan rata-rata aritmatika dan geometri}}

Ada banyak pertidaksamaan antara cara. Contohnya, untuk bilangan positif ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub> kita punya {{nowrap|''H'' ≤ ''G'' ≤ ''A'' ≤ ''Q'',}} dimana

:{| style="height:200px"
|-
|<math>H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}</math> || ([[rata-rata harmonis]]),
|-
|<math>G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}</math> || ([[rata-rata geometris]]),
|-
|<math>A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}</math> || ([[rata-rata aritmatika]]),
|-
|<math>Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}</math> || ([[Rata-rata akar kuadrat|rata-rata kuadrat]]).
|}

== Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz ==
{{see also|Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz}}

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk semua vektor '' u '' dan '' v '' dari [[ruang hasil kali dalam]] memang benar bahwa
: <math>|\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle| ^2 \leq \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle \cdot \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle,</math>
where <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> adalah [[produk dalam]]. Contoh produk dalam mencakup [[produk titik]] nyata dan kompleks; Di [[ruang Euklides]] ''R''<sup>''n''</sup> dengan hasil kali dalam standar, pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah
: <math>\left(\sum_{i=1}^n u_i v_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n u_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right).</math>

== Pertidaksamaan pangkat ==
Sebuah "'''pertidaksamaan pangkat'''" adalah pertidaksamaan yang mengandung istilah bentuk ''a''<sup>''b''</sup>, di mana '' a '' dan '' b '' adalah bilangan positif nyata atau ekspresi variabel. Mereka sering muncul dalam latihan [[olimpiade matematika]].

=== Contoh ===

* Dari bilangan riil  ''x'',
:: <math>e^x \ge 1+x.</math>
* Bila ''x'' > 0 dan ''p'' > 0, maka
:: <math>\frac{x^p - 1}{p} \ge \ln(x) \ge \frac{1 - \frac{1}{x^p}}{p}.</math>
: Dalam batas ''p'' → 0, batas atas dan bawah bertemu ln(''x''). 
* Bila ''x'' > 0, maka
:: <math>x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^\frac{1}{e}.</math>
* Bila ''x'' > 0, maka
:: <math>x^{x^x} \ge x.</math>
* Bila ''x'', ''y'', ''z'' > 0, maka
:: <math>\left(x+y\right)^z + \left(x+z\right)^y + \left(y+z\right)^x > 2.</math>
* Untuk bilangan riil '' a '' dan '' b '',
:: <math>\frac{e^b-e^a}{b-a} > e^{(a+b)/2}.</math>
* Bila ''x'', ''y'' > 0 dan 0 < ''p'' < 1, maka
:: <math>x^p+y^p > \left(x+y\right)^p.</math>
* Bila ''x'', ''y'', ''z'' > 0, maka
:: <math>x^x y^y z^z \ge \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.</math>
* Bila ''a'', ''b'' > 0, maka<ref>{{Cite journal |jstor = 2324012|last1 = Laub|first1 = M.|last2 = Ilani|first2 = Ishai|title = E3116|journal = The American Mathematical Monthly|year = 1990|volume = 97|issue = 1|pages = 65–67|doi = 10.2307/2324012}}</ref>
:: <math>a^a + b^b \ge a^b + b^a.</math>
* Bila ''a'', ''b'' > 0, maka<ref>{{cite journal|first=S.|last=Manyama|title=Solution of One Conjecture on Inequalities with Power-Exponential Functions|journal=Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications|url=https://ajmaa.org/searchroot/files/pdf/v7n2/v7i2p1.pdf|volume=7|issue=2|page=1|date=2010}}</ref>
:: <math>a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}.</math>
* Bila ''a'', ''b'', ''c'' > 0, maka
:: <math>a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}.</math>
* Bila ''a'', ''b'' > 0, maka
:: <math>a^b + b^a > 1.</math>

== Pertidaksamaan yang terkenal ==
{{see also|Daftar Pertidaksamaan}}

[[Matematikawan]] sering menggunakan pertidaksamaan untuk jumlah terikat yang rumus eksaknya tidak dapat dihitung dengan mudah. Beberapa ketidaksetaraan begitu sering digunakan sehingga memiliki nama:
{{div col}}
* [[Pertidaksamaan Azuma]]
* [[Pertidaksamaan Bernoulli]]
* [[Pertidaksamaan Bell]]
* [[Pertidaksamaan Boole]]
* [[Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz]]
* [[Pertidaksamaan Chebyshev]]
* [[Pertidaksamaan Chernoff]]
* [[Pertidaksamaan Cramér–Rao]]
* [[Pertidaksamaan Hoeffding]]
* [[Pertidaksamaan Hölder]]
* [[Pertidaksamaan rata-rata aritmatika dan geometri]]
* [[Pertidaksamaan Jensen]]
* [[Pertidaksamaan Kolmogorov]]
* [[Pertidaksamaan Markov]]
* [[Pertidaksamaan Minkowski]]
* [[Pertidaksamaan Nesbitt]]
* [[Pertidaksamaan Pedoe]]
* [[Pertidaksamaan Poincaré]]
* [[Pertidaksamaan Samuelson]]
* [[Pertidaksamaan segitiga]]
{{div col end}}

== Lihat pula ==
*[[Hubungan biner]]
*[[Biner (matematika)]], untuk penggunaan tanda <dan ›yang serupa sebagai [[tanda kurung]]
*[[Inklusi (teori himpunan)]]
*[[Inequation]]
*[[Interval (matematika)]]
*[[Daftar pertidaksamaan]]
*[[Daftar pertidaksamaan segitiga]]
*[[Himpunan yang dipesan sebagian]]
*[[Operator relasional]], digunakan dalam [[bahasa pemrograman]] untuk menunjukkan ketidaksetaraan
<!--
== Catatan ==  
{{Reflist}}-->

== Referensi ==
<references/>

== Sumber ==
* {{cite book | author=Hardy, G., Littlewood J. E., Pólya, G.| title=Inequalities| publisher=Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press | year=1999 | isbn=0-521-05206-8}}
* {{cite book | author=Beckenbach, E. F., Bellman, R.| title=An Introduction to Inequalities| publisher=Random House Inc | year=1975 | isbn=0-394-01559-2}}
* {{cite book| author=Drachman, Byron C., Cloud, Michael J.| title=Inequalities: With Applications to Engineering| publisher=Springer-Verlag| year=1998| isbn=0-387-98404-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/inequalitieswith0000clou}}
* {{Citation | last1=Grinshpan | first1=A. Z. | title=General inequalities, consequences, and applications | doi=10.1016/j.aam.2004.05.001 | year=2005 | 
journal=Advances in Applied Mathematics | volume=34 | issue=1 | pages=71–100 | doi-access=free }}
* {{cite journal |title='Quickie' inequalities |author=Murray S. Klamkin |url=https://www.math.ualberta.ca/pi/issue7/page26-29.pdf |journal=Math Strategies |access-date=2020-09-27 |archive-date=2020-10-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201003062129/https://www.math.ualberta.ca/pi/issue7/page26-29.pdf |dead-url=yes }}
* {{cite web |title=Introduction to Inequalities |url=http://www.mediafire.com/?1mw1tkgozzu |author=Arthur Lohwater |year=1982 |publisher=Online e-book in PDF format}}
* {{cite web |title=Mathematical Problem Solving |url=http://www.math.kth.se/math/TOPS/index.html |author=Harold Shapiro |date=2005 |publisher=Kungliga Tekniska högskolan |work=The Old Problem Seminar}}
* {{cite web |title=3rd USAMO |url=http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usa74.html |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080203070350/http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usa74.html |archivedate=2008-02-03 |url-status=dead }}
* {{cite book
 | last = Pachpatte
 | first = B. G.
 | title = Mathematical Inequalities
 | publisher = [[Elsevier]]
 | series = North-Holland Mathematical Library
 | volume = 67
 | edition = first
 | year = 2005
 | location = Amsterdam, The Netherlands
 | isbn = 0-444-51795-2
 | issn = 0924-6509
 | mr = 2147066
 | zbl = 1091.26008}}
* {{cite book | author=Ehrgott, Matthias| title=Multicriteria Optimization| publisher=Springer-Berlin| year=2005| isbn=3-540-21398-8}}
* {{cite book | last=Steele | first=J. Michael | authorlink=J. Michael Steele | title=The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities | publisher=Cambridge University Press | year=2004 | isbn=978-0-521-54677-5 | url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html}}

== Pranala luar ==
{{commons category|Inequalities (mathematics)}}
* {{springer|title=Inequality|id=p/i050790}}
* [https://demonstrations.wolfram.com/GraphOfInequalities/ Graph of Inequalities] by [[Ed Pegg, Jr.]]
* [https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Inequality AoPS Wiki entry about Inequalities]

{{Authority control}}

[[Kategori:Pertidaksamaan| ]]
[[Kategori:Aljabar elementer]]
[[Kategori:Istilah matematika]]