Lihat sumber Norma (matematika)

{{short description|Panjang dalam ruang vektor}}
{{about|norma [[ruang vektor bernorma]]|teori medan|norma bidang|ideal|norma ideal|teori kelompok|norma (grup)|norma dalam teori himpunan deskriptif|prewellordering}}
Dalam [[matematika]], '''norma''' adalah [[fungsi (matematika) | fungsi]] dari bilangan riil atau kompleks [[ruang vektor]] ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari [[Asal (matematika) | asal]]; [[Peta Equivariant | peta]] dengan penskalaan, mematuhi bentuk dari [[segitiga pertidaksamaan]], dan hanya nol pada titik awal. Secara khusus, [[jarak Euclidean]] vektor dari asalnya adalah sebuah norma, yang disebut [[#norma Euklides|norma Euclidean]], atau [[#p-norma|2-norma]], yang juga dapat didefinisikan sebagai akar kuadrat dari [[hasil kali dalam]] vektor dengan dirinya sendiri.

'''Pseudonorma''' atau '''seminorma''' memenuhi dua sifat pertama dari suatu norma, tetapi mungkin nol untuk vektor lain selain asalnya.<ref name="Knapp">{{cite book |title=Basic Real Analysis |publisher=Birkhäuser |author=Knapp, A.W. |year=2005 |page=[https://books.google.fr/books?id=4ZZCAAAAQBAJ&pg=279#v=onepage&q&f=false] |isbn=978-0-817-63250-2}}</ref> Ruang vektor dengan norma tertentu disebut [[ruang vektor bernorma]]. Dengan cara yang sama, ruang vektor dengan seminorm disebut '' ruang vektor seminorma ''.

== Definisi ==
Diberikan [[ruang vektor]] {{mvar | V}} di atas [[bidang (matematika) | bidang]] {{mvar | 𝔽}} dari bilangan real {{math | ℝ}} atau bilangan kompleks {{math | ℂ}}, '''norma''' pada '' V '' adalah [[fungsi (matematika) | fungsi]] bernilai nonnegatif {{math|''p'' : ''V'' → ℝ}} dengan sifat berikut:<ref> {{cite book |title=Real Mathematical Analysis |publisher=Springer |author=Pugh, C.C. |year=2015 | page=[https://books.google.com.tr/books?id=2NVJCgAAQBAJ&pg=PA28 page 28] | isbn=978-3-319-17770-0}} {{cite book |title=Quantum Mechanics in Hilbert Space | author=Prugovečki, E. | year=1981 | page=[https://books.google.com/books?id=GxmQxn2PF3IC&pg=PA20 page 20]}} </ref>

Pada {{math|''a'' ∈ 𝔽}} dan {{math|'''u''', '''v''' ∈ ''V''}},
# {{math|''p''('''u''' + '''v''') ≤ ''p''('''u''') + ''p''('''v''')}}    (menjadi '' [[fungsi subaditif | subaditif]] '' atau memenuhi '' [[segitiga pertidaksamaan]] '').
# {{math|1=''p''(''a'''''v''') = {{abs|''a''}} ''p''('''v''')}}    (menjadi '' [[fungsi homogen | absolut homogen]] '' atau '' diskalakan '').
# Jika {{math|1=''p''('''v''') = 0}} kemudian {{math|1='''v''' = '''0'''}} adalah [[vektor nol]] (menjadi '' pasti positif '' atau menjadi '' pemisah titik '').

[[Seminorma]] dengan '' V '' adalah fungsi {{nowrap|{{math|''p'' : ''V'' → ℝ}}}} dengan sifat 1 dan 2 di atas.<ref>{{cite book |title=Functional Analysis |url=https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi | author=Rudin, W. | year=1991 | page=[https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi/page/25 25]}}</ref>  

=== Norma ekuivalen ===
Misalkan {{mvar | p}} dan {{mvar | q}} adalah dua norma (atau seminorma) pada ruang vektor {{mvar | V}}. Kemudian {{mvar | p}} dan {{mvar | q}} disebut '''ekuivalen''', jika terdapat dua konstanta nyata {{mvar | c}} dan {{mvar | C}} dengan {{nowrap|{{math|''c'' > 0}}}} maka setiap vektor {{math|'''v''' ∈ ''V''}},

:{{nowrap|{{math|''c'' ''q''('''v''') ≤ ''p''('''v''') ≤ ''C'' ''q''('''v''')}}}}. 

Norma {{mvar | p}} dan {{mvar | q}} setara jika dan hanya jika mereka menginduksi topologi yang sama di {{mvar | V}}.<ref name="Conrad Equiv norms">{{cite web |url=https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf |title=Equivalence of norms |last=Conrad |first=Keith |website=kconrad.math.uconn.edu |access-date=September 7, 2020 }}</ref> Dua norma dengan ruang berdimensi hingga adalah ekuivalen, tetapi ini tidak meluas ke ruang berdimensi tak hingga.<ref name="Conrad Equiv norms"/>

== Notasi ==
Jika norma {{math|''p'' : ''X'' → ℝ}} diberikan pada ruang vektor {{mvar | X}}, maka norma vektor {{math|''v'' ∈ ''X''}} biasanya dilambangkan dengan melampirkannya dalam garis vertikal ganda: <math>\|v\|=p(v).</math>  Notasi seperti itu terkadang juga digunakan jika {{mvar | p}} hanya berupa seminorma. Untuk panjang sebuah vektor dalam ruang Euclidean (yang merupakan contoh dari sebuah norma, seperti [[#norma Euklides | dijelaskan di bawah]]), notasi{{math| {{mabs|''v''}}}} dengan garis vertikal tunggal juga tersebar luas.

Dalam [[LaTeX]] dan bahasa markup terkait, bilah ganda notasi norma dimasukkan dengan makro <code>\|</code>, yang dirender sebagai <math>\|.</math> Garis vertikal ganda yang digunakan untuk menunjukkan [[paralel (geometri) | garis sejajar]], [[operator paralel]] dan [[penambahan paralel (operator) | penambahan paralel]] dimasukkan dengan <code>\parallel</code> dan dirender sebagai <math>\parallel.</math> Meskipun terlihat serupa, kedua makro ini tidak boleh disalahartikan sebagai <code>\|</code> menunjukkan [[braket]] dan <code>\parallel</code> menunjukkan operator. Oleh karena itu, ukuran dan ruang di sekitarnya tidak dihitung dengan cara yang sama. Demikian pula, batang vertikal tunggal dikodekan sebagai <code>|</code> saat digunakan sebagai braket, dan sebagai <code>\mid</code> saat digunakan sebagai operator.

Di [[Unicode]], titik kode dari "garis vertikal ganda"<!-- Nama unicode --> karakter ‖ adalah U + 2016. Simbol "garis vertikal ganda" tidak sama dengan simbol "sejajar", Unicode U+2225 (∥), yang dimaksudkan untuk menunjukkan garis paralel dan operator paralel. Garis vertikal ganda juga tidak sama dengan Unicode U+01C1 (ǁ), bertujuan untuk menunjukkan [[ǁ | klik lateral]] dalam linguistik.  

Garis vertikal tunggal | disebut "garis vertikal",<!-- Nama unicode --> dalam Unicode dan titik kodenya adalah U+007C.

== Sifat ==
Untuk norma '' p '' pada ruang vektor '' V '', [[segitiga terbalik ketidaksamaan]] berlaku: untuk '''u''' dan {{nowrap|'''v''' ∈ ''V''}},
:''p''('''u''' ± '''v''') ≥ |''p''('''u''') − ''p''('''v''')|
Jika {{math|''u'' : ''X'' → ''Y''}} adalah peta linier kontinu antara ruang bernorma, maka norma {{mvar | u}} dan norma [[transpos]] dari {{mvar | u}} adalah sama.{{sfn|Trèves|2006|pp=242–243}}

Untuk [[ruang Lp|L<sup>p</sup>]] norma, kami memiliki [[pertidaksamaan Hölder]]<ref name="GOLUB">{{cite book|last1=Golub|first1=Gene|title=Matrix Computations|url=https://archive.org/details/matrixcomputatio00golu_508|last2=Van Loan|first2=Charles F.|publisher=The Johns Hopkins University Press|year=1996|isbn=0-8018-5413-X|edition=Third|location=Baltimore|page=[https://archive.org/details/matrixcomputatio00golu_508/page/n79 53]|author-link1=Gene_H._Golub}}</ref>
:<math> \left| \langle x, y \rangle \right| \le \left\| x \right\| _p \left\| y \right\| _q \qquad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 .</math>
Kasus khusus tentang ini adalah [[pertidaksamaan Cauchy–Schwarz]]:<ref name="GOLUB" />

<math> \left| \langle x, y \rangle \right| \le \left\| x \right\| _2 \left\| y \right\| _2 .</math>
[[Berkas:Vector norms.svg|frame|right|Ilustrasi [[lingkaran unit]] dalam norma yang berbeda.]]

=== Ekuivalen<!--[[Norma ekuivalen]] dialihkan ke sini--> ===
Konsep [[lingkaran satuan]] (himpunan semua vektor norma 1) berbeda dalam norma yang berbeda: untuk 1-norma, lingkaran satuan adalah [[persegi (geometri) | persegi]], untuk 2-norma (norma Euklidean), itu adalah unit terkenal [[lingkaran]], sedangkan untuk norma tak terhingga, itu adalah persegi yang berbeda. Untuk norma '' p '', itu adalah [[superellipse]] dengan sumbu kongruen (lihat ilustrasi yang menyertai). Karena definisi norma, lingkaran satuan harus [[himpunan cembung | cembung]] dan simetris secara terpusat (oleh karena itu, misalnya, bola satuan mungkin persegi panjang tetapi tidak boleh segitiga, dan <math>p\ge 1</math> untuk '' p ''-norma).

Dalam kaitannya dengan ruang vektor, seminorm mendefinisikan [[topologi]] pada ruang, dan ini adalah topologi [[Ruang Hausdorff | Hausdorff]] persis ketika seminorm dapat membedakan antara vektor yang berbeda, yang lagi-lagi setara dengan seminorm yang menjadi norma. Topologi yang didefinisikan (baik oleh norma atau seminorm) dapat dipahami baik dari segi urutan atau set terbuka. [[Urutan]] vektor <math>\{v_n\}</math> dikatakan [[mode konvergensi | konvergen]] secara normal ke <math> v </math>, jika <math> \left\| v_n - v \right\| \rightarrow 0</math> sebagai <math>n \to \infty</math>. Secara ekuivalen, topologi terdiri dari semua himpunan yang dapat direpresentasikan sebagai gabungan dari [[bola (matematika) | bola]] terbuka. Jika {{math|(''X'', {{norm|⋅}})}} adalah ruang bernorma maka {{math|1={{norm|''x'' - ''y''}} = {{norm|''x'' - ''z''}} + {{norm|''z'' - ''y''}}}} maka {{math|''x'', ''y'', ''z'' ∈ ''X''}}.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=107-113}}

Dua norma ‖•‖<sub>''α''</sub> dan ‖•‖<sub>''β''</sub> pada ruang vektor '' V '' disebut '''ekuivalen''' jika mereka menginduksi topologi yang sama,<ref name="Conrad Equiv norms">{{cite web |url=https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf |title=Equivalence of norms |last=Conrad |first=Keith |website=kconrad.math.uconn.edu |access-date=September 7, 2020 }}</ref> yang terjadi jika dan hanya jika ada bilangan real positif '' C '' dan '' D '' sehingga untuk semua '' x '' dalam '' V ''
:<math> C \left\| x \right\|_\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \leq D \left\| x \right\|_\alpha .</math>
Misalnya, jika ''p'' > ''r'' ≥ 1 pada <math>\mathbf{C}^n</math>, maka
:<math> \left\| x \right\|_p \leq \left\| x \right\| _r \leq n ^{(1/r-1/p)} \left\| x \right\|_p </math><ref name="Relation between p-norms">{{cite web |url=https://math.stackexchange.com/questions/218046/relations-between-p-norms|title=Relation between p-norms}}</ref>

Khususnya,
:<math> \left\| x \right\|_2 \le \left\| x \right\|_1 \le \sqrt{n} \left\| x \right\|_2 </math>
:<math> \left\| x \right\|_\infty \le \left\| x \right\|_2 \le \sqrt{n} \left\| x \right\|_\infty </math>
:<math> \left\| x \right\|_\infty \le \left\| x \right\|_1 \le n \left\| x \right \|_\infty ,</math>
That is, 
:<math> \left\| x \right\|_\infty \le \left\| x \right\|_2 \le \left\| x \right\|_1 \le \sqrt{n} \left\| x \right\|_2 \le n \left\| x \right \|_\infty. </math>
Jika ruang vektor adalah ruang nyata atau kompleks berdimensi-hingga, semua norma adalah ekuivalen. Di sisi lain, dalam kasus ruang vektor berdimensi tak hingga, tidak semua norma setara.

Norma yang setara mendefinisikan pengertian yang sama tentang kontinuitas dan konvergensi dan untuk banyak tujuan tidak perlu dibedakan. Lebih tepatnya struktur seragam yang didefinisikan oleh norma ekivalen pada ruang vektor adalah [[isomorfik seragam]].

== Lihat pula ==
* {{annotated link|Norma asimetri}}
* {{annotated link|F-seminorma}}
* {{annotated link|Norma Gowers}}
* {{annotated link|Jarak Mahalanobis}}
* {{annotated link|Besaran (matematika)}}
* {{annotated link|Norma matriks}}
* {{annotated link|Fungsi Minkowski}}
* [[Norma operator]]
* {{annotated link|Paranorma}}
* {{annotated link|Relasi norma dan metrik}}
* {{annotated link|Seminorma}}
* {{annotated link|Fungsi sublinear}}

== Referensi ==
{{reflist}}

== Bibliografi ==
* {{Bourbaki Topological Vector Spaces Part 1 Chapters 1–5}} <!-- {{sfn | Bourbaki | 1987 | p=}} -->
* {{Khaleelulla Counterexamples in Topological Vector Spaces}} <!-- {{sfn | Khaleelulla | {{{year| 1982 }}} | p=}} --> 
* {{Narici Beckenstein Topological Vector Spaces|edition=2}} <!-- {{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | p=}} -->
* {{Schaefer Wolff Topological Vector Spaces|edition=2}} <!-- {{sfn | Schaefer | 1999 | p=}} --> 
* {{Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels}} <!-- {{sfn | Trèves | 2006 | p=}} --> 
* {{Wilansky Modern Methods in Topological Vector Spaces|edition=1}}

{{Analisis Fungsional}}
{{Ruang Vektor Topologi}}

{{DEFAULTSORT:Norm (Mathematics)}}
[[Kategori:Norma (matematika)| ]]
[[Kategori:Aljabar linear]]