Lihat sumber Limas persegi

{{Infobox polyhedron
 | image = Square pyramid.png
 | type = [[Bangun ruang Johnson|Johnson]]<br>{{math|[[Hebesfenorotunda segitiga|''J''{{sub|92}}]] – '''''J''{{sub|1}}''' – [[Limas segilima|''J''{{sub|2}}]]}}
 | faces = 4 buah kongruen [[segitiga]]<br>1 buah [[persegi]]
 | edges = 8
 | vertices = 5
 | schläfli = {{math|( ) ∨ {4} }}|symmetry={{math|''C''{{sub|4v}}, [4], (*44)}}
 | rotation_group = {{math|''C''{{sub|4}}, [4]{{sup|+}}, (44)}}
 | vertex_config = {{math|4 (3{{sup|2}}.4)<br>(3{{sup|4}})}}
 | volume = <math>V = \frac{l^2 h}{3}</math>
 | dual = dual-diri{{r|wohlleben}}
 | properties = [[Himpunan cembung|cembung]]
 | net = Square pyramid net.svg}}
Dalam geometri, '''limas persegi'''{{efn|1=Sebutan lainnya adalah ''limas segiempat''.{{r|ts}} Akan tetapi, [[segiempat]] mengacu pada bangun datar umum yang memiliki empat sisi dan empat sudut. [[Persegi]] adalah kasus spesial dari segiempat: sebuah segiempat dikatakan ''persegi'' jika semua sisi dan sudut yang dimilikinya sama besarnya.{{r|devilliers-role|ug}} }} ({{Lang-en|square pyramid}}) adalah [[limas]] yang terdiri atas empat buah [[segitiga]] yang [[kongruen]] dan memiliki satu buah persegi sebagai alasnya. Limas dengan [[Titik puncak (geometri)|titik puncak]]nya tepat berada di atas pusat persegi dan dengan empat muka [[segitiga sama kaki]], maka itu adalah ''limas persegi siku'' (''right square pyramid''); jika tidak, maka itu ''limas persegi miring'' (''oblique square pyramid''). Apabila semua rusuk pada limas persegi [[siku]] sama panjangnya, maka limas itu merupakan [[bangun ruang Johnson]] pertama, yang dilambangkan <math>J_1</math>.

Limas persegi sudah ditemukan melalui riwayat arsitektur. Contoh bangunan itu adalah [[Piramida Mesir|piramida yang dibangun oleh Mesir pada zaman kuno]], dan beberapa jenis bangunan lain yang menyerupainya. Selain itu, limas persegi juga digunakan dalam [[struktur molekul piramidal persegi]], serta digunakan untuk mengonstruksikan sebuah polihedron dengan menggunakan polihedron yang lain. Banyak matematikawan terdahulu telah menemukan rumus menghitung volumenya dengan cara yang berbeda.

== Kasus spesial ==
=== Limas persegi siku ===
Lmas persegi pada umumnya mempunyai lima buah [[titik sudut]], delapan buah rusuk, dan lima bidang muka. Salah satu muka tersebut adalah ''alas'' limas yang berbentuk [[persegi]], sisanya berbentuk [[segitiga]].{{r|clissold}} Alas persegi itu dibentuk oleh empat rusuk yang dihubungkan oleh empat buah titik sudut, dan keempat rusuk itu adalah rusuk alas. Keempat rusuk lainnya yang disebut "rusuk tegak" (''lateral edges'') bertemu di titik sudut kelima. Titik sudut tersebut adalah [[Titik puncak (geometri)|titik puncak]].{{r|o-bruce|smith}} Limas yang titik puncaknya berada pada garis yang tepat di pusat alas persegi sehingga muka segitiga menjadi [[Segitiga sama kaki|sama kaki]], disebut ''limas persegi siku'' (''right square pyramid''). Limas dengan dua atau lebih muka segitiga yang tidak sama kaki disebut ''limas persegi miring'' (''oblique square pyramid'').{{r|amin}}{{sfnb|Freitag|2014|p=598}}

Sisi miring (''slant height'') <math>s</math> dari sebuah limas persegi didefinisikan sebagai tinggi dari salah satu segitiga sama kaki. Sisi ini didapatkan menggunakan [[teorema Pythagoras]]:
<math display="block">s = \sqrt{b^2 - \frac{l^2}{4}},</math>
dengan <math>l</math> adalah panjang dari alas segitiga, sekaligus salah satu dari rusuk pada alas persegi, dan <math>b</math> adalah panjang dari kaki segitiga, sekaligus merupakan sisi tegak dari limas.{{sfnb|Larcombe|1929|p=177}}{{r|perry}} Tinggi <math>h</math> dari sebuah limas persegi didapatkan dengan cara yang serupa, yang kemudian jika mensubstitusikan rumus dari sisi miring, menghasilkan:{{sfnb|Larcombe|1929|p=177}}
<math display="block">h = \sqrt{s^2 - \frac{l^2}{4}} = \sqrt{b^2 - \frac{l^2}{2}}.</math>
[[Luas permukaan]] dari sebuah [[polihedron]] (bidang banyak) dihitung dengan menjumlahkan luas dari semua mukanya. Oleh karena itu, luas permukaan dari sebuah limas persegi siku <math>A</math> dapat dinyatakan sebagai <math>A = 4T + S</math>, dengan <math>T</math> dan <math>S</math> masing-masing merepresentasikan luas dari salah satu muka segitiga dan alas perseginya. Luas segitiga adalah setengah dari hasil kali alas dan kaki, sedangkan luas dari persegi adalah sisinya yang dikuadratkan. Jadi, luasnya dirumuskan sebagai:{{sfnp|Freitag|2014|p=[https://books.google.com/books?id=GYsWAAAAQBAJ&pg=PA798 798]}}
<math display="block"> A = 4\left(\frac{1}{2}ls\right) + l^2 = 2ls + l^2.</math>

Secara umum, volume dari sebuah limas <math>V</math> sama dengan sepertiganya hasil kali luas dari alas dengan tinggi.{{r|ak}} Untuk limas persegi, rumusnya adalah:{{sfnp|Larcombe|1929|p=[https://books.google.com/books?id=SAE9AAAAIAAJ&pg=PA178 178]}}
<math display="block"> V = \frac{1}{3}l^2h.</math>
Rumus menghitung volume dari limas persegi sebelumnya sudah ditemukan oleh beberapa matematikawan kuno. Dalam [[Papirus Matematika Moskwa]], bangsa Mesir menemukan rumus untuk menghitung volume dari [[Frustum|frustum dengan alasnya yang berupa persegi]]. Hal ini dapat disimpulkan bahwa mereka sudah mengetahui volume dari sebuah limas persegi, tetapi permasalahannya adalah masih belum diketahui bagaimana cara mereka membuktikannya. Selain penemuan volume dari sebuah limas persegi, permasalahan untuk mencari kemiringan dan tinggi dari limas persegi dapat dijejak pada [[Papirus Matematika Rhind]].{{r|cromwell}} Bangsa Babilonia juga menemukan volume dari frustum tersebut, tetapi rumus yang didapatkan itu tidak benar.{{r|eves}} Salah satu matematikawan asal Tiongkok, [[Liu Hui]], menemukan volume tersebut dengan memotong sebuah bangun ruang berbentuk kotak menjadi beberapa bagian.{{r|wagner}}

=== Sebagai bangun ruang Johnson ===
[[File:Johnson J1 3D.stl|thumb|Model 3D limas persegi dengan rusuk yang sama panjang]]
Andaikan semua rusuk pada limas persegi siku memiliki panjang yang sama, semua muka segitiga yang dimiliki menjadi [[Segitiga sama sisi|sama sisi]], dan muka-muka tersebut merupakan [[poligon beraturan]]''.''{{r|hocevar}} [[Sudut dihedral]] di antara dua buah segitiga yang berdampingan bernilai <math>\arccos \left(-1/3\right) \approx 109.47^\circ </math>, dan sudut di antara alas persegi dan masing-masing segitiga bernilai, <math>\arctan \sqrt{2} \approx 54.735^\circ</math>.{{r|johnson}} Sebuah polihedron [[Himpunan cembung|cembung]] yang hanya memiliki [[poligon]] beraturan sebagai mukanya disebut [[bangun ruang Johnson]], dan jenis limas itu dikategorikan sebagai bangun ruang Johnson pertama, dilambangkan <math>J_1</math>.{{r|uehara}}

Karena rusuknya sama panjang (yaitu <math> b = l </math>) rumus untuk sisi miring, tinggi, luas permukaan, dan volume didapatkan dari rumus dari limas persegi siku di atas:{{r|berman}}{{sfnp|Simonson|2011|p=[https://books.google.com/books?id=Ws6-DwAAQBAJ&pg=PA123 123]}}
<math display="block">
\begin{align}
 s = \frac{\sqrt{3}}{2}l \approx 0.866l, &\qquad h = \frac{1}{\sqrt{2}}l \approx 0.707l,\\
 A = (1 + \sqrt{3})l^2 \approx 2.732l^2, &\qquad V = \frac{\sqrt{2}}{6}l^3 \approx 0.236l^3.
\end{align}
</math>

Sama seperti limas yang lain dengan poligon beraturan sebagai alasnya, limas persegi ini memiliki [[simetri piramidal]]. Limas persegi ini memiliki simetri dari [[grup siklik]] <math>C_{4v}</math>, yang berarti limas dapat diputar sekali, dua kali, dan tiga kali putaran penuh di sekitar [[sumbu simetri]], garis yang menghubungkan titik puncak hingga ke pusat alas; limas persegi ini memiliki simetri cermin yang relatif dengan setiap bidang yang tegak lurus, yang melalui garis pembagi alas.{{r|johnson}} Limas ini dapat direpresentasikan [[graf roda]] (''wheel graph'') <math> W_4 </math>; lebih umumnya, graf roda <math> W_n </math> merepresentasikan kerangka dari sebuah limas dengan <math>n</math> sisi alas.{{r|pisanski}}

Limas persegi dengan sifat ini dikatakan {{ill|polihedron elementer|en|elementary polyhedron}}. Artinya, limas ini tidak dapat dipisahkan oleh suatu bidang sehingga menciptakan dua polihedron cembung dengan muka beraturan yang lebih kecil.{{r|hartshorne|johnson}}

== Penerapan ==
{{multiple image
 | total_width = 400
 | align = right
 | image1 = All Gizah Pyramids.jpg
 | caption1 = [[Piramida Mesir]] adalah contoh bangunan yang berbentuk limas persegi
 | image2 = Piramide Chichen-Itza - panoramio (2).jpg
 | caption2 = Salah satu bangunan [[piramida Mesoamerika]] yang mirip seperti bangunan piramida Mesir mempunyai ujung atas yang datar dan tangga pada mukanya.
}}
Dalam arsitektur, [[Piramida Mesir|piramida yang dibangun di Mesir pada zaman kuno]] adalah contoh-contoh bangun yang bentuknya mirip seperti limas persegi.{{r|kmp}} Beberapa [[Piramodologi|ahli piramodologi]] mengemukakan berbagai pendapat untuk desain bangunan [[piramida Giza]], di antaranya teori yang melibatkan [[segitiga Kepler]] dan [[rasio emas]]. Akan tetapi, banyak ahli modern lebih mendeskripsikannya dengan menggunakan perbandingan [[bilangan bulat]] supaya lebih konsisten dengan pengetahuan matematika dan proporsi Mesir pada masa itu.{{r|herz-fischler|rossi|rt|markowsky}}. [[Piramida Mesoamerika]] juga merupakan bangun kuno yang mirip seperti dengan milik Mesir, tetapi yang membedakannya adalah bahwa piramida Mesoamerika memiliki ujung atasnya yang datar serta terdapat tangga pada mukanya.{{r|feder|tc}} Selain itu, terdapat bangun modern yang menyerupai piramida Mesir, yakni [[Louvre Pyramid]] dan hotel [[Luxor Las Vegas]].{{r|jn|simonson}}

Dalam [[stereokimia]], [[kluster atom]] dapat memiliki [[struktur molekul piramidal persegi|bentuk molekul geometri berupa limas persegi]]. Molekul dengan bentuk ini memiliki [[unsur golongan utama]] yang terdiri atas satu [[pasangan elektron sunyi]] aktif, yang digambarkan oleh sebuah model yang memprediksi [[geometri molekul]], [[teori VSEPR]].{{r|phh}} Contoh-contoh molekul dengan struktur itu adalah [[Pentaflorida klorin|pentafluorida klorin]], [[pentafluorida bromin]], and dan [[pentafluorida iodin]].{{r|emeleus}}

[[File:Tetrakishexahedron.jpg|thumb|150px|Konstruksi dari polihedron ini melibatkan penempelan limas persegi]]

Alas limas persegi dapat ditempelkan ke muka persegi dari sebuah polihedron, sehingga membangun polihedron yang baru. Contoh proses konstruksi ini disebut ''augmentation''. Contohnya seperti polihedron (pada gambar) yang dapat dikonstruksi dengan menempelkan alas limas persegi ke masing-masing muka dari sebuah [[kubus]].{{r|ds}} Menempelkan [[Prisma (geometri)|prisma]] dan {{ill|antiprisma|en|Antiprism (geometry)}} ke alas limas persegi masing-masing dikenal dengan sebutan ''elongation'' atau ''gyroelongation''.{{r|smg}} Beberapa bangun ruang Johnson dapat dikonstruksikan dengan menempelkan alas limas persegi, atau menempelkan bangun ruang lain dengan limas persegi, di antaranya adalah: {{ill|limas persegi elongasi|en|elongated square pyramid}} <math> J_8 </math>, {{ill|limas persegi giroelongasi|en|gyroelongated square pyramid}} <math> J_{10} </math>, {{ill|bipiramida persegi elongasi|en|elongated square bipyramid}} <math> J_{15} </math>, {{ill|bipiramida persegi giroelongasi|en|gyroelongated square bipyramid}} <math> J_{17} </math>, {{ill|prisma segitiga augmentasi|en|augmentated triangular prism}} <math> J_{49} </math>, {{ill|prisma segitiga biaugmentasi|en|biaugmented triangular prism}} <math> J_{50}</math>, {{ill|prisma segitiga triaugmentasi|en|triaugmented triangular prism}} <math> J_{51} </math>, {{ill|prisma pentagonal augmentasi|en|augmented pentaognal prism}} <math> J_{52} </math>, {{ill|prisma pentagonal biaugmentasi|en|biaugmented pentagonal prism}} <math> J_{53} </math>, {{ill|prisma heksagonal augmentasi|en|augmented hexagonal prism}} <math> J_{54} </math>, {{ill|prisma heksagonal parabiaugmentasi|en|parabiaugmented hexagonal prism}} <math> J_{55} </math>, {{ill|prisma heksagonal metabiaugmentasi|en|metabiaugmented hexagonal prism}} <math> J_{56} </math>, {{ill|prisma heksagonal triaugmentasi|en|triaugmented hexagonal prism}} <math> J_{57} </math>, dan {{ill|sfenokorona augmentasi|en|augmented sphenocorona}} <math> J_{87} </math>.{{r|rajwade}}
{{Clear}}

== Catatan ==
{{notelist|group="lower-alph"}}

== Referensi ==
{{reflist|refs=
<ref name="ak">{{cite book
 | last1 = Alexander
 | first1 = Daniel C.
 | last2 = Koeberlin
 | first2 = Geralyn M.
 | year = 2014
 | title = Elementary Geometry for College Students
 | url = https://books.google.com/books?id=EN_KAgAAQBAJ&pg=PA403
 | edition = 6th
 | publisher = Cengage Learning
 | page = 403
 | isbn = 978-1-285-19569-8
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 17 Mei 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20230517104859/https://books.google.com/books?id=EN_KAgAAQBAJ&pg=PA403
 | dead-url = no
 }}</ref>
<ref name="amin">{{cite book
 | last = Amin | first = M. Mustaghfirin
 | year = 2014
 | title = Aircraft Drawing & CAD
 | publisher = Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia
 | url = https://repositori.kemdikbud.go.id/10354/1/Aircraft%20Drawing%20%26%20CAD%20Semester%204.pdf
}} Lihat di Aircraft Drawing & CAD &ndash; Sm. 428.</ref>
<ref name="clissold">{{cite book
 | last = Clissold | first = Caroline 
 | year = 2020
 | title = Maths 5–11: A Guide for Teachers
 | publisher = Taylor & Francis
 | url = https://books.google.com/books?id=XgW5DwAAQBAJ
 | isbn = 978-0-429-26907-3
 | page = 141
 | url = https://books.google.com/books?id=_MjPDwAAQBAJ&pg=PA141
}}</ref>
<ref name="berman">{{cite journal
 | last = Berman | first = Martin
 | year = 1971
 | title = Regular-faced convex polyhedra
 | journal = Journal of the Franklin Institute
 | volume = 291
 | issue = 5
 | pages = 329–352
 | doi = 10.1016/0016-0032(71)90071-8
 | mr = 290245
}}</ref>
<ref name="cromwell">{{cite book
 | last = Cromwell | first = Peter R.
 | title = Polyhedra
 | year = 1997
 | url = https://archive.org/details/polyhedra0000crom/page/20/mode/2up?view=theater
 | publisher = [[Cambridge University Press]]
 | pages = 20&ndash;22
}}</ref>
<ref name="devilliers-role">{{cite journal
 | last = De Villiers | first = Michael
 | date = February 1994
 | issue = 1
 | journal = [[For the Learning of Mathematics]]
 | jstor = 40248098
 | pages = 11–18
 | title = The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals
 | volume = 14
}}</ref>
<ref name="ds">{{cite journal
 | last1 = Demey | first1 = Lorenz
 | last2 = Smessaert | first2 = Hans
 | title = Logical and Geometrical Distance in Polyhedral Aristotelian Diagrams in Knowledge Representation
 | journal = Symmetry
 | date = 2017
 | volume = 9
 | issue = 10
 | page = 204
 | doi = 10.3390/sym9100204
 | doi-access = free
 }}</ref>
<ref name="emeleus">{{cite book
 | last = Emeléus
 | first = H. J.
 | authorlink = Harry Julius Emeléus
 | title = The Chemistry of Fluorine and Its Compounds
 | year = 1969
 | url = https://books.google.com/books?id=9SkSBQAAQBAJ&pg=PA13
 | publisher = Academic Press
 | page = 13
 | isbn = 9781483273044
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 7 Oktober 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033616/https://books.google.com/books?id=9SkSBQAAQBAJ&pg=PA13
 | dead-url = no
 }}</ref>
<ref name="eves">{{cite book
 | last = Eves
 | first = Howard
 | authorlink = Howard Eves
 | year = 1997
 | title = Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics
 | edition = 3rd
 | url = https://books.google.com/books?id=J9QcmFHj8EwC&pg=PA2
 | publisher = Dover Publications
 | page = 2
 | isbn = 978-0-486-69609-6
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 17 November 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231117152341/https://books.google.com/books?id=J9QcmFHj8EwC&pg=PA2
 | dead-url = no
 }}</ref>
<ref name="feder">{{cite book
 | last = Feder
 | first = Kenneth L.
 | year = 2010
 | title = Encyclopedia of Dubious Archaeology: From Atlantis to the Walam Olum: From Atlantis to the Walam Olum
 | publisher = ABC-CLIO
 | page = 34
 | url = https://books.google.com/books?id=RlRz2symkAsC&pg=PA34
 | isbn = 9780313379192
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 17 November 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231117155822/https://books.google.com/books?id=RlRz2symkAsC&pg=PA34
 | dead-url = no
 }}</ref>
<ref name="hartshorne">{{cite book
 | last = Hartshorne | first = Robin | author-link = Robin Hartshorne
 | year = 2000
 | title = Geometry: Euclid and Beyond
 | series = Undergraduate Texts in Mathematics
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn = 9780387986500
 | url = https://books.google.com/books?id=EJCSL9S6la0C&pg=PA464
 | page = 464
}}</ref>
<ref name="herz-fischler">{{cite book
| last = Herz-Fischler
| first = Roger
| year = 2000
| isbn = 0-88920-324-5
| publisher = Wilfrid Laurier University Press
| title = The Shape of the Great Pyramid
}} Buku ini secara keseluruhan menjelaskan banyak teori-teori alternatif mengenai bentuk piramid ini. Lihat Bab 11, "Kepler triangle theory", hlm. 80–91 untuk penjelasan lebih lanjut mengenai segitiga Kepler, dan hlm. 166 untuk kesimpulan bahwa teori segitiga Kepler dapat dieliminasi melalui prinsip yang berbunyi "A theory must correspond to a level of mathematics consistent with what was known to the ancient Egyptians." [Sebuah teori harus disesuaikan dengan pengetahuan matematika yang semestinya diketahui oleh bangsa Mesir kuno.] Lihat catatan 3, hlm. 229 untuk riwayat mengenai karya Kepler dengan segitiga tersebut.
</ref>
<ref name="hocevar">{{cite book
 | last = Hocevar | first = Franx
 | year = 1903
 | url = https://books.google.com/books?id=0OAXAAAAYAAJ&pg=PA44
 | title = Solid Geometry
 | pages = 44
 | publisher = [[A. & C. Black]]
 }}</ref>
<ref name="jn">{{cite book
 | last1 = Jarvis
 | first1 = Daniel
 | last2 = Naested
 | first2 = Irene
 | title = Exploring the Math and Art Connection: Teaching and Learning Between the Lines
 | year = 2012
 | page = 172
 | publisher = Brush Education
 | url = https://books.google.com/books?id=NWzsz8vioZwC&pg=PA172
 | isbn = 978-1-55059-398-3
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 7 Oktober 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033633/https://books.google.com/books?id=NWzsz8vioZwC&pg=PA172
 | dead-url = no
 }}</ref>
<ref name="johnson">{{cite journal
 | last = Johnson | first = Norman W. | authorlink = Norman W. Johnson
 | year = 1966
 | title = Convex polyhedra with regular faces
 | journal = [[Canadian Journal of Mathematics]]
 | volume = 18
 | pages = 169–200
 | doi = 10.4153/cjm-1966-021-8
 | mr = 0185507
 | s2cid = 122006114
 | zbl = 0132.14603| doi-access = free
 }} Lihat tabel III, baris 1.</ref>
<ref name="kmp">{{cite book
 | last1 = Kinsey
 | first1 = L. Christine
 | authorlink1 = L. Christine Kinsey
 | last2 = Moore
 | first2 = Teresa E.
 | last3 = Prassidis
 | first3 = Efstratios
 | title = Geometry and Symmetry
 | year = 2011
 | url = https://books.google.com/books?id=fFpuDwAAQBAJ&pg=RA1-PA371
 | publisher = [[John Wiley & Son]]s
 | page = 371
 | isbn = 978-0-470-49949-8
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 7 Oktober 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033648/https://books.google.com/books?id=fFpuDwAAQBAJ&pg=RA1-PA371
 | dead-url = no
 }}</ref>
<ref name="markowsky">{{cite journal
| last = Markowsky
| first = George
| year = 1992
| title = Misconceptions about the Golden Ratio
| journal = [[The College Mathematics Journal]]
| volume = 23
| issue = 1
| doi = 10.2307/2686193
| url = http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf
| publisher = Mathematical Association of America
| pages = 2–19
| jstor = 2686193
| quote = It does not appear that the Egyptians even knew of the existence of <math>\varphi</math> much less incorporated it in their buildings [Tidak dijelaskan bahwa bangsa Mesir mengetahui keberadaan <math> \varphi </math>, yang tidak ada keterkaitannya dengan bangunan itu.]
| access-date = 29 Juni 2012
| archive-date = 11 Desember 2020
| archive-url = https://web.archive.org/web/20201211062911/http://aturing.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="o-bruce">{{cite book
 | last1 = O'Keeffe
 | first1 = Michael
 | last2 = Hyde
 | first2 = Bruce G.
 | title = Crystal Structures: Patterns and Symmetry
 | year = 2020
 | url = https://books.google.com/books?id=_MjPDwAAQBAJ&pg=PA141
 | publisher = [[Dover Publications]]
 | page = 141
 | isbn = 9780486836546
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 7 Oktober 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033617/https://books.google.com/books?id=_MjPDwAAQBAJ&pg=PA141
 | dead-url = no
 }}</ref>
<ref name="perry">{{cite book
 | last1 = Perry
 | first1 = O. W.
 | last2 = Perry
 | first2 = J.
 | title = Mathematics
 | year = 1981
 | url = https://books.google.com/books?id=Di2uCwAAQBAJ&pg=PA145
 | pages = 145&ndash;146
 | publisher = Springer
 | isbn = 978-1-349-05230-1
 | doi = 10.1007/978-1-349-05230-1
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 7 Oktober 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033616/https://books.google.com/books?id=Di2uCwAAQBAJ&pg=PA145
 | dead-url = no
 }}</ref>
<ref name="phh">{{cite book
 | last1 = Petrucci
 | first1 = Ralph H.
 | last2 = Harwood
 | first2 = William S.
 | last3 = Herring
 | first3 = F. Geoffrey
 | title = General Chemistry: Principles and Modern Applications
 | volume = 1
 | year = 2002
 | url = https://books.google.com/books?id=EZEoAAAAYAAJ&pg=PA414
 | page = 414
 | publisher = [[Prentice Hall]]
 | isbn = 9780130143297
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 7 Oktober 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033627/https://books.google.com/books?id=EZEoAAAAYAAJ&pg=PA414
 | dead-url = no
 }}</ref>
<ref name="pisanski">{{cite book
 | last1 = Pisanski
 | first1 = Tomaž
 | last2 = Servatius
 | first2 = Brigitte
 | title = Configuration from a Graphical Viewpoint
 | year = 2013
 | url = https://books.google.com/books?id=3vnEcMCx0HkC&pg=PA21
 | page = 20&ndash;21
 | publisher = Springer
 | isbn = 978-0-8176-8363-4
 | doi = 10.1007/978-0-8176-8364-1
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 17 November 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231117151235/https://books.google.com/books?id=3vnEcMCx0HkC&pg=PA21
 | dead-url = no
 }}</ref>
<ref name="rajwade">{{cite book
 | last = Rajwade
 | first = A. R.
 | title = Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem
 | series = Texts and Readings in Mathematics
 | year = 2001
 | url = https://books.google.com/books?id=afJdDwAAQBAJ&pg=PA84
 | publisher = Hindustan Book Agency
 | pages = 84&ndash;89
 | isbn = 978-93-86279-06-4
 | doi = 10.1007/978-93-86279-06-4
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 7 Oktober 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033630/https://books.google.com/books?id=afJdDwAAQBAJ&pg=PA84
 | dead-url = no
 }} Lihat Tabel 12.3. Lambang <math> P_n </math> merepresentasikan prisma {{nowrap|segi-<math>n</math>}} dan <math> A_n </math> merepresentasikan antiprisma {{nowrap|segi-<math>n</math>}}.</ref>
<ref name="rossi">{{cite book
| last = Rossi | first = Corinna | author-link = Corinna Rossi
| title = Architecture and Mathematics in Ancient Egypt
| year = 2004
| publisher = Cambridge University Press
| pages = 67–68
| url = https://archive.org/details/architechture-and-mathematics-in-ancient-egypt-corianna-rossi-2003/page/67/
| quote = there is no direct evidence in any ancient Egyptian written mathematical source of any arithmetic calculation or geometrical construction which could be classified as the Golden Section ...convergence to <math>\varphi</math>, and <math>\varphi</math> itself as a number, do not fit with the extant Middle Kingdom mathematical sources [tidak ada bukti langsung dalam sumber matematika bangsa Mesir mengenai perhitungan aritmetika atau konstruksi geometris yang dapat digolongkan sebagai ''Golden Section'' ... yang konvergensi menuju <math>\varphi</math>, dan <math>\varphi</math> itu sendiri sebagai bilangan, tidak ada kaitannya dengan sumber matematika Kerajaan pada Abad Pertengahan yang masih ada]  
}}; lihat pula pembahasan lebih lanjut mengenai banyaknya teori-teori alternatif tentang bentuk bangunan dan arsitektur bangsa Mesir, hlm. 7–56
</ref>
<ref name="rt">{{cite journal
| last1 = Rossi | first1 = Corinna
| last2 = Tout | first2 = Christopher A.
| year = 2002
| title = Were the Fibonacci series and the Golden Section known in ancient Egypt?
| journal = [[Historia Mathematica]]
| volume = 29
| issue = 2
| doi = 10.1006/hmat.2001.2334
| pages = 101–113
| hdl = 11311/997099
| hdl-access = free
}}</ref>
<ref name="simonson">{{cite book
 | last = Simonson
 | first = Shai
 | title = Rediscovering Mathematics: You Do the Math
 | year = 2011
 | url = https://books.google.com/books?id=56Mlw0ick2YC&pg=PA154
 | page = 154
 | publisher = [[Mathematical Association of America]]
 | isbn = 978-0-88385-912-4
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 7 Oktober 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033617/https://books.google.com/books?id=56Mlw0ick2YC&pg=PA154
 | dead-url = no
 | ref = {{harvid|Simonson|2011}}
 }}</ref>
<ref name="smith">{{cite book
 | last = Smith
 | first = James T.
 | title = Methods of Geometry
 | year = 2000
 | url = https://books.google.com/books?id=B0khWEZmOlwC&pg=PA98
 | publisher = John Wiley & Sons
 | page = 98
 | isbn = 0-471-25183-6
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 5 Oktober 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231005155233/https://books.google.com/books?id=B0khWEZmOlwC&pg=PA98
 | dead-url = no
 }}</ref>
<ref name="smg">{{cite journal
 | last1 = Slobodan
 | first1 = Mišić
 | last2 = Obradović
 | first2 = Marija
 | last3 = Ðukanović
 | first3 = Gordana
 | title = Composite Concave Cupolae as Geometric and Architectural Forms
 | year = 2015
 | journal = Journal for Geometry and Graphics
 | volume = 19
 | issue = 1
 | pages = 79&ndash;91
 | url = https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg19/j19h1misi.pdf
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 21 Oktober 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231021161030/https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg19/j19h1misi.pdf
 | dead-url = no
 }}</ref>
<ref name="tc">{{cite book
 | last1 = Takacs
 | first1 = Sarolta Anna
 | last2 = Cline
 | first2 = Eric H.
 | year = 2015
 | title = The Ancient World
 | publisher = Routledge
 | isbn = 9781317458395
 | page = 16
 | url = https://books.google.com/books?id=SPcvCgAAQBAJ&pg=PA16
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 17 November 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231117151743/https://books.google.com/books?id=SPcvCgAAQBAJ&pg=PA16
 | dead-url = no
 }}</ref>
<ref name="ts">{{cite book
 | last1 = Toybah | first1 =
 | last2 = Hawa | first2 = Siti
 | last3 = Suganda M. | first3 = Vina Amilia 
 | year = 2020
 | title = Buku Ajar Geometri dan Pengukuran Berbasis Pendekatan Saintifik
 | url = https://books.google.com/books?id=w2sYEAAAQBAJ&pg=PA127
 | publisher = Bening Media
}}</ref>
<ref name="uehara">{{cite book
 | last = Uehara
 | first = Ryuhei
 | year = 2020
 | title = Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry
 | url = https://books.google.com/books?id=51juDwAAQBAJ&pg=PA62
 | page = 62
 | publisher = Springer
 | isbn = 978-981-15-4470-5
 | doi = 10.1007/978-981-15-4470-5
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 7 Oktober 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231007111721/https://books.google.com/books?id=51juDwAAQBAJ&pg=PA62
 | dead-url = no
 }}</ref>
<ref name="ug">{{cite book
 | last1 = Usiskin | first1 = Zalman
 | last2 = Griffin | first2 = Jeniffer
 | year = 2008
 | title = The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition
 | url = https://books.google.com/books?id=ff0nDwAAQBAJ&pg=PA59
 | publisher = Information Age Publishing
 | page = 59
}}</ref>
<ref name="wagner">{{cite journal
 | last = Wagner | first = Donald Blackmore
 | year = 1979
 | title = An early Chinese derivation of the volume of a pyramid: Liu Hui, third century A.D.
 | journal = Historia Mathematics
 | volume = 6
 | issue = 2
 | pages = 164&ndash;188 
 | doi = 10.1016/0315-0860(79)90076-4
}}</ref>
<ref name="wohlleben">{{cite conference
 | last = Wohlleben
 | first = Eva
 | editor-last = Cocchiarella
 | editor-first = Luigi
 | year = 2019
 | contribution = Duality in Non-Polyhedral Bodies Part I: Polyliner
 | conference = International Conference on Geometry and Graphics
 | title = ICGG 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics: 40th Anniversary - Milan, Italy, August 3-7, 2018
 | url = https://books.google.com/books?id=rEpjDwAAQBAJ&pg=PA485
 | publisher = Springer
 | isbn = 978-3-319-95588-9
 | doi = 10.1007/978-3-319-95588-9
 | access-date = 20 November 2023
 | archive-date = 3 November 2023
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231103095103/https://books.google.com/books?id=rEpjDwAAQBAJ&pg=PA485
 | dead-url = no
 }}</ref>

<!--<ref name="trigg">{{cite journal
 | last = Trigg | first = Charles W.
 | year = 1978
 | title = An infinite class of deltahedra
 | journal = [[Mathematics Magazine]]
 | volume = 51
 | issue = 1
 | pages = 55–57
 | doi = 10.1080/0025570X.1978.11976675
 | jstor = 2689647
 | mr = 1572246
}}</ref>-->
}}

=== Sumber ===

* {{cite book
 | last = Freitag | first = Mark A.
 | year = 2014
 | title = Mathematics for Elementary School Teachers: A Process Approach
 | publisher = Brooks/Cole
 | isbn = 978-0-618-61008-2
 | url = https://books.google.com/books?id=GYsWAAAAQBAJ&pg=PA598
}}
* {{cite book
 | last = Larcombe | first = H. J.
 | title = Cambridge Intermediate Mathematics: Geometry Part II
 | year = 1929
 | url = https://books.google.com/books?id=SAE9AAAAIAAJ&pg=PA177
 | publisher = Cambridge University Press
}}

== Pranala luar ==
{{Commons category}}
* {{MathWorld2|urlname=SquarePyramid|title=Square pyramid|urlname2=JohnsonSolid|title2=Johnson solid}}
* {{MathWorld|urlname=WheelGraph|title=Wheel graph}}
* [https://web.archive.org/web/20071008222854/http://polyhedra.org/poly/show/45/square_pyramid Square Pyramid] – Interactive Polyhedron Model
* [https://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra ([[VRML]] [https://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/square_pyramid_(J1).wrl model])

[[Kategori:Bangun ruang Johnson]]
[[Kategori:Piramida dan bipiramida]]
[[Kategori:Polihedra prismatoid]]