Lihat sumber Konstanta Apéry

{{short description|Jumlah dari invers dari pangkat tiga positif}}
{{infobox non-integer number
|rationality=Irasional
|symbol=''ζ''(3)
|decimal={{gaps|1.20205|69031|59594|2854...}}
|algebraic=
|continued_fraction=<math>1 + \frac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{18 + \cfrac{1}{\ddots\qquad{}}}}}</math>
|continued_fraction_linear=
|binary={{gaps|1.0011|0011|1011|1010|...}}
|hexadecimal={{gaps|1.33BA|004F|0062|1383|...}}
}}

Dalam [[matematika]], '''konstanta Apéry''' adalah [[penjumlahan|jumlah]] dari [[invers perkalian]] denagan pangkat kubik positif. Artinya, konstanta Apéry didefinisikan sebagai bilangan<math display="block">\begin{align}\zeta(3) &= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3} \\&= \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{n^3}\right)\end{align}</math>dengan {{math|''ζ''}} adalah [[fungsi zeta Riemann]]. Bilangan ini memiliki nilai yang kira-kira sama dengan{{sfnp|Wedeniwski|2001}}

:{{math|''ζ''(3) {{=}} {{gaps|1.20205|69031|59594|28539|97381|61511|44999|07649|86292|…}}}} {{OEIS|id=A002117}}.

Konstanta Apéry dinamai dari [[Roger Apéry]]. Konstanta ini biasanya ditemukan dalam sejumlah masalah fisik, di antaranya dalam suku orde kedua dan ketiga [[Rasio giromagnetik|rasio gyromagnetic]] elektron dengan menggunakan [[elektrodinamika kuantum]]. Konstanta ini juga ditemukan dalam analisis [[pohon rentang minimum acak]],<ref>Lihat {{harvnb|Frieze|1985}}.</ref> serta mempunyai hubungan dengan [[fungsi gamma]] ketika menyelesaikan integral tertentu yang melibatkan fungsi eksponensial dalam hasil bagi, yang kadangkala ditemukan dalam fisika, sebagai contoh, ketika mengevaluasi kasus dimensi dua dari [[model Debye]] dan [[hukum Stefan–Boltzmann]].

== Bilangan irasional ==
{{unsolved|matematika|Apakah konstanta Apéry adalah transendental?}}{{math|''ζ''(3)}} disebut sebagai konstanta Apéry, konstanta yang dinamai dari matematikawan berkebangsaan Prancis, [[Roger Apéry]]. Roger Apéry membuktikan bahwa konstanta itu adalah [[bilangan irasional]] pada tahun 1978.<ref name="Apery-1979">Lihat {{harvnb|Apéry|1979}}.</ref> Hasil tersebut dikenal sebagai [[teorema Apéry]]. Bukti aslinya rumit dan sulit dipahami,<ref>Lihat {{harvnb|van der Poorten|1979}}.</ref> tetapi kemudian ditemukan bukti yang lebih sederhana.<ref>{{harvtxt|Beukers|1979}}; {{harvtxt|Zudilin|2002}}.</ref>

Bukti irasionalitas Beuker yang disederhanakan melibatkan pendekatan integran dari integral rangkap tiga untuk <math>\zeta(3)</math>,<math display="block">\zeta(3) = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xyz}\, dx\, dy\, dz,</math> 
dengan menggunakan [[polinomial Legendre]]. Secara khusus, artikel van der Poorten menulis pendekatan ini dengan menyatakan bahwa <math display="block">I_3 := -\frac{1}{2} \int_0^1 \int_0^1 \frac{P_n(x) P_n(y) \log(xy)}{1-xy}\, dx\, dy = b_n \zeta(3) - a_n, </math>

dengan <math display="inline">|I| \leq \zeta(3) (1-\sqrt{2})^{4n}</math>, <math display="inline">P_n(z)</math> adalah [[polinomial Legendre]], dan [[suburutan]] <math display="inline">b_n, 2 \operatorname{lcm}(1,2,\ldots,n) \cdot a_n \in \mathbb{Z}</math> adalah [[bilangan bulat]] atau [[hampir bilangan bulat]]. Akan tetapi, masalah yang menanyakan apakah konstanta Apéry adalah [[bilangan transendental|transendental]] masih belum terpecahkan.

== Representasi deret ==

=== Klasik ===
Selain mempunyai deret<math display="block">\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3},</math>[[Leonhard Euler]] memberikan representasi deret{{sfnp|Euler|1773}}<math display="block">\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7} \left( 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {2^{2k}(2k+1)(2k+2)} \right)</math>pada tahun 1772, yang kemudian ditemukan kembali berulang kali.{{sfnp|Srivastava|2000|loc=hlm. 571 (1.11)}} 
=== Konvergensi cepat ===
Sejak pada abad ke-19, sejumlah matematikawwan telah menemukan deret percepatan konvergensi untuk menghitung letak desimal {{math|''ζ''(3)}}. Sejak pada tahun 1990-an, terdapat riset yang bertujuan untuk mencari deret yang efisien secara komputasional dengan tingkat konvergensi yang cepat (lihat bagian "[[Tetapan Apéry#Digit yang diketahui|Digit yang diketahui]]").

Representasi deret berikut ditemukan oleh [[Andrey Markov]] pada tahun 1890,<ref>Lihat {{harvnb|Markov|1890}}.</ref> kemudian ditemukan kembali oleh Hjortnaes pada tahun 1953,<ref>Lihat {{harvnb|Hjortnaes|1953}}.</ref> dan sekali lagi, representasi deret tersebut ditemukan kembali dan diperkenalkan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:<ref name="Apery-1979" /><math display="block">\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{k!^2}{(2k)!k^3}.</math>Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan pada tahun 1996, yang memberikan (secara asimtotik) 1,43 dengan pembulatan letak desimal terbaru per suku:{{sfnp|Amdeberhan|1996}}<math display="block">\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!^3(56k^2 - 32k + 5)}{(2k-1)^2(3k)!}.</math>

Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997, yang memberikan (secara asimtotik) 3,01 dengan pembulatan letak desimal dengan terbaru per suku:{{sfnp|Amdeberhan|Zeilberger|1997}}<math display="block">\zeta(3) = \frac{1}{64} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{k!^{10}(205k^2 + 250k + 77)}{(2k+1)!^5}.</math>

Representasi deret berikut ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998, yang memberikan (secara asimtotik) 5,04 dengan pembulatan letak desimal yang baru per suku:<ref>Lihat {{harvnb|Wedeniwski|1998}} dan {{harvnb|Wedeniwski|2001}}. Dalam pesannya kepada Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski mengatakan bahwa ia mendapatkan rumus ini dari {{harvnb|Amdeberhan|Zeilberger|1997}}. Penemuannya pada tahun 1998 disebutkan dalam [http://plouffe.fr/simon/articles/TableofRecords.pdf Simon Plouffe's Table of Records] (8 April 2001).</ref><math display="block">\zeta(3) = \frac{1}{24} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(2k+1)!^3(2k)!^3k!^3(126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^3}.</math>Representasi deret ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan jutaan pembulatan letak desimal.<ref>{{harvtxt|Wedeniwski|1998}}; {{harvtxt|Wedeniwski|2001}}.</ref>

Representasi deret berikut ditemukan oleh Mohamud Mohammed pada tahun 2005, yang memberikan (secara asimtotik) 3,92 dengan pembulatan letak desimal desimal terbaru per suku:<ref>Lihat {{harvnb|Mohammed|2005}}.</ref><math display="block">\zeta(3) = \frac{1}{2}\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k(2k)!^3(k+1)!^6(40885k^5 + 124346k^4 + 150160k^3 + 89888k^2 + 26629k + 3116)}{(k+1)^2(3k+3)!^4}.</math>

=== Perhitungan menggunakan digit ===
Pada tahun 1998, Broadhurst memberikan representasi deret yang memungkinkan menghitung [[digit biner]] sembarang, dan untuk konstanta yang akan diperoleh dalam [[waktu linier]] dekat, dan [[ruang logaritma]].<ref>Lihat {{harvnb|Broadhurst|1998}}.</ref>

=== Representasi deret lainnya ===
Representasi deret berikut ditemukan oleh [[Ramanujan]]:<ref>Lihat {{harvnb|Berndt|1989|loc=bab 14, rumus 25.1 dan 25.3}}.</ref><math display="block">\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}.</math>

Representasi deret berikut ditemukan oleh [[Simon Plouffe]] pada tahun 1998:<ref>Lihat {{harvnb|Plouffe|1998}}.</ref><math display="block">\zeta(3)= 14 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)}-\frac{11}{2}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}-\frac{7}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)}.</math>

{{harvtxt|Srivastava|2000}} mengumpulkan banyak deret yang konvergen menuju ke konstanta Apéry.

== Representasi integral ==
Ada banyak representasi integral untuk konstanta Apéry. Ada representasi integral yang sederhana, adapula yang tidak.

=== Rumus yang lebih rumit ===
Terdapat rumus lain, yaitu{{sfnp|Jensen|1895}}<math display="block">\zeta(3)=\pi\!\!\int_{0}^{\infty} \! \frac{\cos(2\arctan{x})}{\left(x^2+1\right)\left(\cosh\frac{1}{2}\pi x\right)^2}\, dx,</math>dan{{sfnp|Beukers|1979}}<math display="block">\zeta(3) =-\frac{1}{2}\int_0^1 \!\!\int_0^1 \frac{\log(xy)}{\,1-xy\,}\, dx \, dy = -\int_0^1 \!\!\int_0^1 \frac{\log(1-xy)}{\,xy\,}\, dx \, dy.</math>

Rumus yang lebih rumit lainnya juga adalah:{{sfnp|Blagouchine|2014}}<math display="block">\begin{align} \zeta(3) &= \frac{8\pi^2}{7}\!\!\int_0^1 \! \frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\log\log\frac{1}{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx \\&= \frac{8\pi^2}{7}\!\!\int_1^\infty \!\frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\log\log{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx.\end{align}</math>Terdapat sebuah kaitan dengan turunan dari [[fungsi gamma]]<math display="block">\zeta(3) = -\tfrac{1}{2}\Gamma'''(1)+\tfrac{3}{2}\Gamma'(1)\Gamma''(1)- \big(\Gamma'(1)\big)^3 = -\tfrac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1),</math>dan rumus tersebut juga sangat berguna untuk menghitung turunan dari berbagai representasi integral dengan menggunakan rumus integral yang diketahui untuk gamma dan [[fungsi poligamma]].{{sfnp|Evgrafov|Bezhanov|Sidorov|Fedoriuk|1969|loc=exercise 30.10.1}}
== Digit yang diketahui ==
Selama beberapa dekade terakhir, jumlah digit yang diketahui dari konstanta Apéry {{math|''ζ''(3)}} semakin banyak. Hal ini disebabkan karena peningkatan kinerja komputer dan [[Algoritma|algoritme]] yang berkembang.

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+ Jumlah digit desimal yang diketahui dari konstanta Apéry {{math|''ζ''(3)}}
! Tanggal || Angka desimal || Perhitungan dilakukan oleh
|-
| 1735 ||align="right"| 16 || [[Leonhard Euler]]
|-
| tak diketahui || align="right" | 16 || [[Adrien-Marie Legendre]]
|-
| 1887 ||align="right"| 32 || [[Thomas Joannes Stieltjes]]
|-
| 1996 ||align="right"| {{val|520000}} || Greg J. Fee & [[Simon Plouffe]]
|-
| 1997 ||align="right"| {{val|1000000}} || Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
|-
| Mei 1997 ||align="right"| {{val|10536006}} || Patrick Demichel
|-
| Februari 1998 ||align="right"| {{val|14000074}} || Sebastian Wedeniwski
|-
| Maret 1998 ||align="right"| {{val|32000213}} || Sebastian Wedeniwski
|-
| Juli 1998 ||align="right"| {{val|64000091}} || Sebastian Wedeniwski
|-
| Desember 1998 ||align="right"| {{val|128000026}} || Sebastian Wedeniwski{{sfnp|Wedeniwski|2001}}
|-
| September 2001 ||align="right"| {{val|200001000}} || Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
|-
| Februari 2002 ||align="right"| {{val|600001000}} || Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
|-
| Februari 2003 ||align="right"| {{val|1000000000}} || Patrick Demichel & Xavier Gourdon<ref>Lihat {{harvnb|Gourdon|Sebah|2003}}.</ref>
|-
| April 2006 ||align="right"| {{val|10000000000}} || Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
|-
| 21 Januari 2009 ||align="right"| {{val|15510000000}} || Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name="Yee-2009">Lihat {{harvnb|Yee|2009}}.</ref>
|-
| 15 Februari 2009 ||align="right"| {{val|31026000000}} || Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name="Yee-2009" />
|-
| 17 September 2010 ||align="right"| {{val|100000001000}} || Alexander J. Yee<ref name="Yee-2017">Lihat {{harvnb|Yee|2017}}.</ref>
|-
| 23 September 2013 ||align="right"| {{val|200000001000}} || Robert J. Setti<ref name="Yee-2017" />
|-
| 7 Agustus 2015 ||align="right"| {{val|250000000000}} || Ron Watkins<ref name="Yee-2017" />
|-
| 21 Desember 2015 ||align="right"| {{val|400000000000}} || Dipanjan Nag<ref name="Nag-2015">Lihat {{harvnb|Nag|2015}}.</ref>
|-
| 13 Agustus 2017 ||align="right"| {{val|500000000000}} || Ron Watkins<ref name="Yee-2017" />
|-
| 26 Mei 2019 ||align="right"| {{val|1000000000000}} || Ian Cutress<ref>{{Cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|title=Records set by y-cruncher|access-date=June 8, 2019}}</ref>
|-
| 26 Juli 2020 ||align="right"| {{val|1200000000100}} || Seungmin Kim<ref>{{Cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/|title=Records set by y-cruncher|archive-url=https://web.archive.org/web/20200810062250/http://www.numberworld.org/y-cruncher/|access-date=10 Agustus 2020|archive-date=2020-08-10}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://smkm.github.io/world-record/aperys-constant/|title=Apéry's constant world record by Seungmin Kim|access-date=28 Juli 2020|archive-date=2020-08-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20200803203946/https://smkm.github.io/world-record/aperys-constant/|dead-url=yes}}</ref>
|}

== Lihat pula ==
*[[Fungsi zeta Riemann]]
*[[Masalah Basel]] — {{math|''ζ''(2)}}
*[[Daftar jumlah timbal balik]]

== Catatan ==
{{Reflist|30em}}

== Referensi ==
{{refbegin|30em}}
*{{Citation|first=Tewodros|last=Amdeberhan|title=Faster and faster convergent series for <math>\zeta(3)</math>|journal=El. J. Combinat.|year=1996|volume=3|issue=1|url=http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v3i1r13}}.
*{{Citation|first1=Tewodros|last1=Amdeberhan|first2=Doron|last2=Zeilberger|title=Hypergeometric Series Acceleration Via the WZ method|journal=El. J. Combinat.|year=1997|volume=4|issue=2|arxiv=math/9804121|bibcode=1998math......4121A|url=http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v4i2r3}}.
*{{Citation|first=Roger|last=Apéry|title=Irrationalité de <math>\zeta 2</math> et <math>\zeta 3</math>|year=1979|journal=Astérisque|volume=61|pages=11–13|url=http://www.numdam.org/item/AST_1979__61__11_0/}}.
*{{Citation|first=Bruce C.|last=Berndt|title=Ramanujan's notebooks, Part II|year=1989|publisher=[[Springer-Verlag|Springer]]}}.
*{{Citation|first=F.|last=Beukers|title=A Note on the Irrationality of <math>\zeta(2)</math> and <math>\zeta(3)</math>|journal=Bull. London Math. Soc.|volume=11|issue=3|pages=268–272|year=1979|doi=10.1112/blms/11.3.268}}.
*{{Citation|first=Iaroslav V.|last=Blagouchine|title=Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results|journal=The Ramanujan Journal|volume=35|number=1|pages=21–110|year=2014|doi=10.1007/s11139-013-9528-5|s2cid=120943474}}.
*{{Citation|first=D.J.|last=Broadhurst|title=Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of <math>\zeta(3)</math> and <math>\zeta(5)</math>|year=1998|arxiv=math.CA/9803067}}.
*{{Citation|first=Leonhard|last=Euler|author-link=Leonhard Euler|year=1773|title=Exercitationes analyticae|journal=Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae|volume=17|pages=173–204|url=http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf|language=la|access-date=2008-05-18}}.
*{{Citation|first1=M. A.|last1=Evgrafov|first2=K. A.|last2=Bezhanov|first3=Y. V.|last3=Sidorov|first4=M. V.|last4=Fedoriuk|first5=M. I.|last5=Shabunin|title=A Collection of Problems in the Theory of Analytic Functions [in Russian]|publisher=Nauka|location=Moscow|year=1969}}.
*{{citation|last=Frieze|first=A. M.|author-link=Alan M. Frieze|doi=10.1016/0166-218X(85)90058-7|issue=1|journal=[[Discrete Applied Mathematics]]|mr=770868|pages=47–56|title=On the value of a random minimum spanning tree problem|volume=10|year=1985|doi-access=free}}.
*{{Citation|first1=Xavier|last1=Gourdon|first2=Pascal|last2=Sebah|title=The Apéry's constant: <math>\zeta(3)</math>|year=2003|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html}}.
*{{Citation|first=M. M.|last=Hjortnaes|title=Overføring av rekken <math>\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{k^3}\right)</math> til et bestemt integral, in Proc. 12th Scandinavian Mathematical Congress|location=Lund, Sweden|date=August 1953|publisher=Scandinavian Mathematical Society|pages=211–213}}.
*{{Citation|first=Johan Ludwig William Valdemar|last=Jensen|author-link=Johan Jensen (mathematician)|title=Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver|journal=L'Intermédiaire des Mathématiciens|volume=II|pages=346–347|year=1895}}.
*{{Citation|first=A. A.|last=Markov|author-link=Andrey Markov|title=Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes|journal=Mém. De l'Acad. Imp. Sci. De St. Pétersbourg|volume=t. XXXVII, No. 9|pages=18pp|year=1890}}.
*{{Citation|first=Mohamud|last=Mohammed|title=Infinite families of accelerated series for some classical constants by the Markov-WZ method|journal=Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science|volume=7|pages=11–24|year=2005|doi=10.46298/dmtcs.342}}.
*{{citation|title=Advanced Number Theory with Applications|series=Discrete Mathematics and Its Applications|first=Richard A.|last=Mollin|publisher=CRC Press|year=2009|isbn=9781420083293|page=220|url=https://books.google.com/books?id=6I1setlljDYC&pg=PA220}}.
*{{Citation|first=Simon|last=Plouffe|title=Identities inspired from Ramanujan Notebooks II|year=1998|url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html}}.
*{{Citation|first=Tanguy|last=Rivoal|title=La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs|journal=Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I|volume=331|issue=4|year=2000|pages=267–270|doi=10.1016/S0764-4442(00)01624-4|bibcode=2000CRASM.331..267R|arxiv=math/0008051|s2cid=119678120}}.
*{{Citation|last=Srivastava|first=H. M.|title=Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions|journal=Taiwanese Journal of Mathematics|date=December 2000|volume=4|issue=4|pages=569–599|doi=10.11650/twjm/1500407293|url=http://society.math.ntu.edu.tw/~journal/tjm/V4N4/tjm0012_3.pdf|oclc=36978119|access-date=2015-08-22|doi-access=free}}.
*{{Citation|first=Alfred|last=van der Poorten|author-link=Alfred van der Poorten|title=A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of <math>\zeta(3)</math>|journal=[[The Mathematical Intelligencer]]|volume=1|issue=4|year=1979|pages=195–203|doi=10.1007/BF03028234|s2cid=121589323|url=http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf|archive-date=2011-07-06}}.
*{{Citation|first=Sebastian|last=Wedeniwski|title=The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places|editor=Simon Plouffe|year=2001|publisher=Project Gutenberg|url=http://www.gutenberg.org/cache/epub/2583/pg2583.html}} (Message to Simon Plouffe, with all decimal places but a shorter text edited by Simon Plouffe).
*{{Citation|first=Sebastian|last=Wedeniwski|title=The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places|url=http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/Zeta3.txt|date=13 December 1998}} (Message to Simon Plouffe, with original text but only some decimal places).
*{{Citation|first=Alexander J.|last=Yee|title=Large Computations|year=2009|url=http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html}}.
*{{Citation|first1=Alexander J.|last1=Yee|title=Zeta(3) - Apéry's Constant|year=2017|url=http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/}}

*{{Citation|first1=Dipanjan|last1=Nag|title=Calculated Apéry's constant to 400,000,000,000 Digit, A world record|year=2015|url=https://dipanjan.me/calculated-aperysconstant-upto-400000000000-digit-a-world-record/}}
*{{Citation|first=Wadim|last=Zudilin|title=One of the numbers <math>\zeta(5)</math>, <math>\zeta(7)</math>, <math>\zeta(9)</math>, <math>\zeta(11)</math> is irrational|journal=Russ. Math. Surv.|year=2001|volume=56|pages=774–776|doi=10.1070/RM2001v056n04ABEH000427|issue=4|bibcode=2001RuMaS..56..774Z}}.
*{{Citation|first=Wadim|last=Zudilin|title=An elementary proof of Apéry's theorem|arxiv=math/0202159|year=2002|bibcode=2002math......2159Z}}.
{{refend}}

== Kredit ==
{{PlanetMath attribution|urlname=AperysConstant|title=Konstanta Apéry}}

{{Bilangan irasional}}

{{DEFAULTSORT:Konstanta Aperys}}
[[Kategori:Konstanta matematika]]
[[Kategori:Teori bilangan analitik]]
[[Kategori:Bilangan irasional]]
[[Kategori:Fungsi zeta dan fungsi-L]]