Lihat sumber Integral lipat

{{Short description|Perumuman dari integral tentu terhadap fungsi variabel banyak}}
{{Calculus |Multivariable}}
[[File:Areabetweentwographs.svg|thumb|right|Integral sebagai luasan antara dua kurva.]]
[[File:Volume under surface.png|right|thumb|Integral lipat dua sebagai volume terhadap permukaan {{math|''z'' {{=}} 10 − {{sfrac|''x''<sup>2</sup> − ''y''<sup>2</sup>|8}}}}. Pada bagian bawah benda (di grafik tersebut), daerah berbentuk persegi panjang merupakan domain pengintegralan, sedangkan permukaannya merupakan integral dari grafik dari fungsi dua variabel.]]

Dalam [[matematika]] (khususnya dalam cabang [[kalkulus multivariabel]]), '''integral lipat''' merupakan [[integral tentu]] dari [[fungsi variabel real banyak]], contohnya seperti {{math|''f''(''x'', ''y'')}} atau {{math|''f''(''x'', ''y'', ''z'')}}. Integral dari fungsi dua variabel pada daerah di bidang [[garis bilangan real|bilangan real]] (<math>\mathbb{R}^2</math>) disebut '''integral lipat dua''', dan integral dari fungsi tiga variabel pada daerah di ruang tiga dimensi bilangan real (<math>\mathbb{R}^3</math>) disebut '''integral lipat tiga'''.<ref name= "Stewart">{{cite book |author-link=James Stewart (mathematician) |last=Stewart |first=James |date=2008 |title=Calculus: Early Transcendentals |edition=6th |publisher=Brooks Cole Cengage Learning |isbn=978-0-495-01166-8 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 }}</ref> 

==Pengenalan==
Integral tentu dari fungsi positif satu variabel yang mewakili [[luas]] daerah antara [[grafik fungsi]] dan sumbu-{{mvar|x}}. Mirip dengan sebelumnya, '''integral lipat dua''' dari fungsi positif dua variabel mewakili [[volume]] daerah antara permukaan yang didefinisikan melalui fungsi (di [[bidang Kartesius]] berdimensi tiga, dengan {{math|''z'' {{=}} ''f''(''x'', ''y'')}}) dan bidang yang memuat [[Domain fungsinya|domain]] fungsinya.<ref name = "Stewart" /> Integral lipat akan memberikan [[hipervolume]] dari fungsi multidimensi jika ada banyaknya variabel.

Pengintegralan banyak dari fungsi dalam variabel {{mvar|n}}: {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} pada domain {{mvar|D}} biasanya diwakili oleh simbol integral bersarang yang dihitung dalam urutan yang terbalik (integral paling sebelah kiri dihitung terakhir), ditunjukkan oleh fungsi dan argumen integran dalam urutan wajar (integral pada argumen paling sebelah kanan dihitung terakhir). Domain pengintegralannya mewakili secara simbolis untuk setiap argumen pada simbol integral, atau disingkat oleh variabel di simbol integral paling sebelah kanan:<ref>{{cite book|last1=Larson |last2=Edwards |date=2014 |title=Multivariable Calculus |url=https://archive.org/details/multivariablecal0000lars |edition=10th |publisher=Cengage Learning |isbn= 978-1-285-08575-3}}</ref>

:<math> \int \cdots \int_\mathbf{D}\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n </math>

Karena konsep [[antiturunan]] hanya didefinisikan untuk fungsi satu variabel real, definisi [[integral taktentu]] biasanya tidak langsung memperluas ke integral lipat.

==Definisi secara matematis==
Untuk {{math|''n'' > 1}}, misalkan {{mvar|T}} adalah domain ''[[hyperrectangle]]'' berdimensi {{mvar|n}}, dengan interval "setengah terbuka". Maka, secara matematis didefinisikan sebagai

:<math>T= [ a_1, b_1) \times [ a_2, b_2) \times \cdots \times [ a_n, b_n) \subseteq \R^n.</math>

[[Partisi (teori himpunan)|Partisi]] masing-masing interval {{Math|[''a<sub>j</sub>'', ''b</sub>j</sub>'')}} dengan keluarga hingga {{mvar|I<sub>j</sub>}} dari subinterval tak-bertindih {{mvar|i<sub>j<sub>α</sub></sub>}}, dengan masing-masing subinterval tertutup di sebelah kiri dan terbuka di sebelah kanan. Maka, keluarga hingga dari ''subrectangle'' {{mvar|C}} yang dinyatakan sebagai

:<math>C=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n</math>

merupakan [[partisi (teori himpunan)|partitisi]] dari {{mvar|T}}. Dalam artian, ''subrectangle'' {{mvar|C<sub>k</sub>}} tak bertindih dan gabungan dari interval tersebut adalah {{mvar|T}}. Agar dapat menjelaskan lebih lanjut, misalkan {{math|''f'' : ''T'' → '''R'''}} adalah fungsi yang didefinisikan oleh {{mvar|T}}. Misalkan pula partisi {{mvar|C}} dari {{mvar|T}} seperti yang didefinsikan sebelumnya, sehingga {{mvar|C}} adalah keluarga dari ''subrectangle'' {{mvar|m}}, dinyatakan sebagai {{mvar|C<sub>m</sub>}}. Secara matematis, ditulis sebagai 

:<math>T=C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m</math>

Kita dapat menghitung hampiran dari total volume berdimensi {{math|(''n'' + 1)}} dengan batas bawahnya adalah ''hyperrectangle'' {{mvar|T}} berdimensi {{mvar|n}} dan batas atasnya adalah grafik {{mvar|f}} berdimensi {{mvar|n}}. Hal ini dapat ditunjukkan melalui [[jumlah Riemann]]:

:<math>\sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}(C_k)</math>

dengan {{mvar|P<sub>k</sub>}} adalah titik di {{mvar|C<sub>k</sub>}} dan {{math|m(''C''<sub>''k''</sub>)}} merupakan hasilkali dari panjang interval yang hasilkali Kartesius adalah {{mvar|C<sub>k</sub>}}, juga dikenal sebagai ukuran dari {{mvar|C<sub>k</sub>}}.

'''Diameter''' suatu ''subrectangle'' {{mvar|C<sub>k</sub>}} merupakan panjang interval paling terbesar, dengan [[hasilkali Cartesius]]nya adalah {{mvar|C<sub>k</sub>}}. Diameter dari partisi {{mvar|T}} yang diberikan dinyatakan sebagai diameter terpanjang dari ''subrectangle'' dalam partisi. Secara intuitif, ketika diameter dari partisi {{mvar|C}} dibatasi lebih kecil dan lebih kecil lagi, jumlah ''subrectangle'' {{mvar|m}} semakin besar, dan ukuran {{math|m(''C''<sub>''k''</sub>)}} dari masing-masing ''subrectangle'' semakin kecil. Fungsi {{mvar|f}} dikatakan '''terintegralkan Riemann''' jika [[limit]]

:<math>S=\lim_{\delta \to 0} \sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m} (C_k)</math>

ada, dengan limitnya mengambil semua partisi {{mvar|T}} yang mungkin dari diameter setidaknya {{mvar|δ}}.<ref>{{cite book |last=Rudin |first=Walter |author-link=Walter Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |url-access=registration |series=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics |edition=3rd |publisher=McGraw–Hill |isbn=978-0-07-054235-8}}</ref>

Jika {{mvar|f}} adalah terintegralkan Riemann, maka {{mvar|S}} disebut '''integral Riemann''' dari {{mvar|f}} pada {{mvar|T}} dan dinyatakan sebagai

:<math> \int \cdots \int_T\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n </math>

atau bentuk integral di atas seringkali disingkat sebagai

: <math>\int_T\!f(\mathbf{x})\,d^n\mathbf{x}.</math>

dengan {{math|'''x'''}} mewakili {{math|(''x''<sub>1</sub>, &hellip;, ''x<sub>n</sub>'')}} kelipatan {{mvar|n}} dan {{math|''d''{{isup|''n''}}'''x'''}} merupakan [[Diferensial (infinitesimal)|diferensial]] volume berdimensi {{mvar|n}}.

[[Integral Riemann]] suatu fungsi yang didefinsikan pada batas sembarang himpunan berdimensi {{mvar|n}} dapat didefinisikan dengan memperluas fungsi tersebut menjadi sebuah fungsi yang didefinisikan pada persegi panjang setengah terbuka, dengan nilainya nol berada di luar domain fungsi aslinya. Maka, integral dari fungsi asli pada domain asli dinyatakan menjadi integral dari fungsi yang diperluas pada domain berupa persegi panjang, jika ada.

Integral Riemann berdimensi {{mvar|n}} disebut '''integral lipat'''.

===Sifat-sifat===
Ada banyak sifat integral lipat yang sama dengan sifat integral dari fungsi satu variabel seperti linearitas, komutitativitas, kemonotonan, dan sebagainya. Sifat yang penting mengenai integral lipat adalah bahwa nilai suatu integral adalah bebas dari urutan integran terhadap syarat-syarat tertentu. Sifat populer ini dikenal sebagai [[teorema Fubini]].<ref name="a">{{cite book|last=Jones |first=Frank |date=2001 |title=Lebesgue Integration on Euclidean Space |url=https://archive.org/details/lebesgueintegrat00jone_950 |url-access=limited |publisher=Jones and Bartlett |pages=[https://archive.org/details/lebesgueintegrat00jone_950/page/n546 527]–529 }}{{ISBN missing}}</ref>

===Kasus istimewa===
Ada berbagai kasus istimewa terkait dengan integral lipat. '''Integral lipat dua''' dari {{mvar|f}} di {{mvar|T}} ditulis

:<math> l = \iint_T f(x,y)\, dx\, dy </math>

untuk kasus {{nowrap|<math>T \subseteq \R^2</math>,}} sedangkan '''integral lipat tiga''' dari {{mvar|f}} di {{mvar|T}} ditulis

:<math> l = \iiint_T f(x,y,z)\, dx\, dy\, dz</math>

untuk kasus <math>T \subseteq \R^3</math>.

Perhatikan bahwa menurut konvensi, integral lipat ganda mempunyai dua tanda integral, sedangkan integral lipat tiga mempunyai tiga tanda integral.

==Metode-metode pengintegralan==
Pada beberapa kasus, penyelesaian masalah terkait dengan integral lipat melibatkan sebuah pencarian mengenai cara untuk mereduksi integral lipat menjadi [[integral teriterasi]], sebuah deret dari integral satu variabel, yang masing-masing integral dapat diselesaikan langsung. Namun, hal ini dibenarkan melalui [[teorema Fubini]], asalkan fungsinya [[Fungsi kontinu|kontinu]]. Terkadang metode ini dapat memperoleh hasil pengintegralan dengan menguji langsung tanpa melakukan perhitungan apapun.

Berikut adalah beberapa contoh-contoh terkait metode-metode pengintegralan:<ref name="Stewart" />

===Fungsi konstan integran===
Ketika integrannya adalah [[fungsi konstan]] {{mvar|c}}, integral dari fungsi tersebut sama dengan hasil kali dari {{mvar|c}} dan ukuran domain pengintegralan. Jika {{math|1=''c'' = 1}} dan domainnya merupakan subdaerah dari {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, maka integral memberikan luas daerah. Namun jika domainnya merupakan subdaerah dari {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}, maka integral memberikan volume daerah. 
<blockquote>'''Contoh.''' Misalkan {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 2}} dan

:<math>D = \left\{ (x,y) \in \R^2 \ : \ 2 \le x \le 4 \ ; \ 3 \le y \le 6 \right\}</math>

maka integral darinya adalah

:<math>\int_3^6 \int_2^4 \ 2 \ dx\, dy =2\int_3^6 \int_2^4 \ 1 \ dx\, dy= 2\cdot\operatorname{luas}(D) = 2 \cdot (2 \cdot 3) = 12,</math>

karena menurut definisi, diperoleh:

:<math>\int_3^6 \int_2^4 \ 1 \ dx\, dy=\operatorname{luas}(D).</math></blockquote>

===Metode menggunakan simetri===
Ketika domain pengintegralan adalah simetri terhadap asalnya, yang terhadap salah satu variabel pengintegralan, dan integran adalah [[Fungsi ganjil dan genap|fungsi ganjil]] terhadap variabel tersebut, maka integralnya sama dengan nol, ketika integral pada dua bagian domain memiliki [[Nilai absolut|nilai mutlak]] yang sama, namun dengan tanda yang berlawanan. Ketika integran adalah [[Fungsi ganjil dan genap|fungsi genap]] terhadap variabel tersebut, maka integralnya dua kali integral pada satu bagian domain, ketika integral pada dua bagian domain adalah sama.

<blockquote>'''Contoh 1.''' Tinjau fungsi {{math|1=''f''(''x'',''y'') = 2 sin(''x'') − 3''y''<sup>3</sup> + 5}} diintegralkan pada domain

:<math>T=\left \{ ( x,y) \in \R^2 \ : \ x^2+y^2\le 1 \right \},</math>

sebuah cakram [[Jari-jari|berjari-jari]] 1 yang berpusat di titik asalnya dengan batas yang ditentukan.

Dengan menggunakan sifat linearitas, integral dari fungsi tersebut dapat diurai menjadi tiga bagian integral:

:<math>\iint_T \left(2\sin x - 3y^3 + 5\right) \, dx \, dy = \iint_T 2 \sin x \, dx \, dy - \iint_T 3y^3 \, dx \, dy + \iint_T 5 \, dx \, dy</math>

Fungsi {{math|2 sin(''x'')}} adalah fungsi ganjil di variabel {{mvar|x}} dan cakram {{mvar|T}} simetri terhadap sumbu-{{mvar|y}}, sehingga nilai dari integral pertama adalah 0. Mirip contoh sebelumnya, fungsi {{math|3''y''<sup>3</sup>}} adalah fungsi ganjil dari{{mvar|y}}, dan {{mvar|T}} simetri terhadap sumbu-{{mvar|x}}, dan seterusnya hingga mencapai hasil akhir, yaitu nilai dari integral ketiga. Jadi, integral aslinya sama dengan 5 kalinya dari luas cakram, yaitu 5''{{pi}}''.</blockquote>

<blockquote>'''Contoh 2.''' Tinjau fungsi {{math|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') = ''x'' exp(''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup>)}} dan ketika mengintegralkan daerah [[Bola (matematika)|bola]] berjari-jari 2, yang berpusat di titik asli,
:<math>T = \left \{ ( x,y, z) \in \R^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 \le 4 \right \},</math>
maka "bola" tersebut simetri dengan tiga sumbu. Namun, hal ini cukup mengintegralkannya terhadap sumbu-{{mvar|x}} untuk memperlihatkan bahwa hasilnya adalah 0, karena fungsinya adalah ganjil dari variabel tersebut.</blockquote>

<!-- ===Domain normal di {{math|R<sup>2</sup>}}===
{{See also|Urutan pengintegralan (kalkulus)}}

Metode ini dapat berlaku untuk setiap domain {{mvar|D}}, asalkan
* [[Proyeksi ortografi|proyeksi]] dari {{mvar|D}} ke sumbu-{{mvar|x}} atau sumbu-{{mvar|y}} dibatasi oleh nilai {{mvar|a}} dan {{mvar|b}}; dan
* setiap garis yang tegak lurus dengan sumbu tersebut yang melalui antara dua nilai tersebut memotong domain dalam suatu interval, yang titik akhirnya dinyatakan sebagai grafik dari dua fungsi, {{mvar|α}} and {{mvar|β}}.
Domain {{mvar|D}} disebut ''domain normal''.  Namun, beberapa literatur di tempat lain yang mengatakan bahwa domain normal terkadang disebut domain jenis I atau jenis II domain, tergantung sumbu domain manakah yang berserabut. Biasanya, fungsi yang diintegralkan harus terintegralkan Riemann pada domain, karena hal ini benar jika (misalkan) fungsinya adalah kontinu.

====Domain normal terhadap sumbu-{{mvar|x}}====
Jika domain {{mvar|D}} normal terhadap sumbu-{{mvar|x}} dan {{math|''f'' : ''D'' → '''R'''}} adalah [[fungsi kontinu]], maka {{math|''α''(''x'')}} dan {{math|''β''(''x'')}} (yang dinyatakan pada interval {{math|[''a'', ''b'']}}) merupakan dua fungsi yang menentukan domain {{mvar|D}}. Maka, menurut teorema Fubini:<ref>{{Cite book|title=Calculus, 8th Edition|last=Stewart|first=James|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1285740621|date=2015-05-07}}</ref>
:<math>\iint_D f(x,y)\, dx\, dy = \int_a^b dx \int_{ \alpha (x)}^{ \beta (x)} f(x,y)\, dy.</math>

====Domain normal terhadap sumbu-{{mvar|y}}====
Jika domain {{mvar|D}} normal terhadap sumbu-{{mvar|y}} dan {{math|''f'' : ''D'' → '''R'''}} adalah fungsi kontinu, maka {{math|''α''(''y'')}} dan {{math|''β''(''y'')}} (yang dinyatakan pada {{math|[''a'', ''b'']}})) merupakan dua fungsi yang menentukan domain {{mvar|D}}. Lagi, maka menurut teorema Fubini:

:<math>\iint_D f(x,y)\, dx\, dy = \int_a^b dy \int_{\alpha (y)}^{ \beta (y)} f(x,y)\, dx.</math>

====Domain normal di {{math|R<sup>3</sup>}}====
Jika {{mvar|T}} domain yang normal terhadap bidang-{{mvar|xy}} dan ditentnukan melalui fungsi {{math|''α''(''x'', ''y'')}} dan {{math|''β''(''x'', ''y'')}}, maka

:<math>\iiint_T f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iint_D \int_{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)} f(x,y,z) \, dz\, dx\, dy</math>

This definition is the same for the other five normality cases on {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}.  It can be generalized in a straightforward way to domains in {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}.

===Mengubah variabel===
{{See also|Integral substitusi#Substitusi untuk variabel banyak}}

Batas pengintegralan acapkali tidak dapat diubah dengan mudah (tanpa adanya normalitas atau dengan rumus yang bentuknya kompleks untuk diintegralkan). Rumus dengan bentuk yang kompleks dapat ditulis ulang menjadi integral dalam daerah yang lebih "enak" untuk dilihat dengan cara [[Perubahan variabel|mengubah variabel]]<nowiki/>nya. Untuk melakukannya, fungsi harus beradopsi dengan koordinat baru.

<blockquote>'''Contoh 1a.''' Fungsi adalah  {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = (''x'' − 1)<sup>2</sup> + {{sqrt|''y''}}}}, jika ia adopsi substitusi variabel {{math|1=''u'' = ''x'' − 1}} dan {{math|1=''v'' = ''y''}} menjadi {{math|1=''x'' = ''u'' + 1}}, {{math|1=''y'' = ''v''}}. Jadi, diperoleh fungsi baru, yaitu {{math|1=''f''<sub>2</sub>(''u'', ''v'') = (''u'')<sup>2</sup> + {{sqrt|''v''}}}}.</blockquote>
* Hal ini mirip dengan domain karena dibatasi oleh variabel asli yang diubah sebelumnya ({{mvar|x}} and {{mvar|y}} contohnya).
* Diferensial {{mvar|dx}} dan {{mvar|dy}} transformasi melalui nilai mutlak dari [[matriks dan determinan Jacobi| 
determinan matriks Jacobi]] yang memuat turunan parsial dari transformasi terkait variabel baru (misalkan, sebagai contoh, transformasi diferensial dalam koordinat polar).

Ada tiga "jenis" utama dalam mengubah variabel (satu di antaranya di {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, dua di antaranya di {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}). Namun, substitusi pada umumnya dapat dilakukan menggunakan prinsip yang sama.

====Polar coordinates====
{{See also|Polar coordinate system}}
[[File:Passaggio in coordinate polari.svg|thumb|270px|right|Transformation from cartesian to polar coordinates.]]
In {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} if the domain has a circular symmetry and the function has some particular characteristics one can apply the ''transformation to polar coordinates'' (see the example in the picture) which means that the generic points {{math|''P''(''x'', ''y'')}} in Cartesian coordinates switch to their respective points in polar coordinates. That allows one to change the shape of the domain and simplify the operations.

The fundamental relation to make the transformation is the following:

:<math>f(x,y) \rightarrow f(\rho \cos \varphi,\rho \sin \varphi ).</math>

<blockquote>'''Example 2a.''' The function is {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = ''x'' + ''y''}} and applying the transformation one obtains
:<math>f(\rho, \varphi) = \rho \cos \varphi + \rho \sin \varphi = \rho(\cos \varphi + \sin \varphi ).</math></blockquote>

<blockquote>'''Example 2b.''' The function is {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}}, in this case one has:
:<math>f(\rho, \varphi) = \rho^2 \left(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi\right) = \rho^2</math>
using the [[Pythagorean trigonometric identity]] (very useful to simplify this operation).</blockquote>

The transformation of the domain is made by defining the radius' crown length and the amplitude of the described angle to define the {{math|''ρ'', ''φ''}} intervals starting from {{math|''x'', ''y''}}.
[[File:Esempio trasformazione dominio da cartesiano polare.svg|thumb|230px|right|Example of a domain transformation from cartesian to polar.]]

<blockquote>'''Example 2c.''' The domain is {{math|1=''D'' = {''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≤ 4}<nowiki/>}}, that is a circumference of radius 2; it's evident that the covered angle is the circle angle, so {{mvar|φ}} varies from 0 to 2{{pi}}, while the crown radius varies from 0 to 2 (the crown with the inside radius null is just a circle).</blockquote>

<blockquote>'''Example 2d.''' The domain is {{math|1=''D'' = {''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≤ 9, ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≥ 4, ''y'' ≥ 0}<nowiki/>}}, that is the circular crown in the positive {{mvar|y}} half-plane (please see the picture in the example); {{mvar|φ}} describes a plane angle while {{mvar|ρ}} varies from 2 to 3. Therefore the transformed domain will be the following [[rectangle]]:

:<math>T = \{ 2 \le \rho \le 3, \ 0 \le \varphi \le \pi \}.</math>

The [[Jacobian determinant]] of that transformation is the following:

:<math>\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho, \varphi)} = \begin{vmatrix} \cos \varphi & - \rho \sin \varphi \\ \sin \varphi & \rho \cos \varphi \end{vmatrix} = \rho</math>

which has been obtained by inserting the partial derivatives of {{math|1=''x'' = ''ρ'' cos(''φ'')}}, {{math|1=''y'' = ''ρ'' sin(''φ'')}} in the first column respect to {{mvar|ρ}} and in the second respect to {{mvar|φ}}, so the {{mvar|dx dy}} differentials in this transformation become {{mvar|ρ dρ dφ}}.

Once the function is transformed and the domain evaluated, it is possible to define the formula for the change of variables in polar coordinates:

:<math>\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \iint_T f(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi) \rho \, d \rho\, d \varphi.</math>

{{mvar|φ}} is valid in the {{closed-closed|0, 2π}} interval while {{mvar|ρ}}, which is a measure of a length, can only have positive values.</blockquote>

<blockquote>'''Example 2e.''' The function is {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = ''x''}} and the domain is the same as in Example 2d. From the previous analysis of {{mvar|D}} we know the intervals of {{mvar|ρ}} (from 2 to 3) and of {{mvar|φ}} (from 0 to {{pi}}). Now we change the function:

:<math>f(x,y) = x \longrightarrow f(\rho,\varphi) = \rho \cos \varphi.</math>

finally let's apply the integration formula:

:<math>\iint_D x \, dx\, dy = \iint_T \rho \cos \varphi \rho \, d\rho\, d\varphi.</math>

Once the intervals are known, you have

:<math>\int_0^\pi \int_2^3 \rho^2 \cos \varphi \, d \rho \, d \varphi = \int_0^\pi \cos \varphi \ d \varphi \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_2^3 = \Big[ \sin \varphi \Big]_0^\pi \ \left(9 - \frac{8}{3} \right) = 0.</math></blockquote>

====Cylindrical coordinates====
[[File:Cylindrical Coordinates.svg|thumb|right|190px|Cylindrical coordinates.]]
In {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} the integration on domains with a circular base can be made by the ''passage to [[Cylindrical coordinate system|cylindrical coordinates]]''; the transformation of the function is made by the following relation:
:<math>f(x,y,z) \rightarrow f(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi, z)</math>

The domain transformation can be graphically attained, because only the shape of the base varies, while the height follows the shape of the starting region.

<blockquote>'''Example 3a.''' The region is {{math|1=''D'' = {''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≤ 9, ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≥ 4, 0 ≤ ''z'' ≤ 5}<nowiki/>}} (that is the "tube" whose base is the circular crown of Example 2d and whose height is 5); if the transformation is applied, this region is obtained:
:<math>T = \{ 2 \le \rho \le 3, \ 0 \le \varphi \le 2 \pi, \ 0 \le z \le 5 \}</math>
(that is, the parallelepiped whose base is similar to the rectangle in Example 2d and whose height is 5).

Because the {{mvar|z}} component is unvaried during the transformation, the {{mvar|dx dy dz}} differentials vary as in the passage to polar coordinates: therefore, they become {{mvar|ρ dρ dφ dz}}.

Finally, it is possible to apply the final formula to cylindrical coordinates:

:<math>\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi, z) \rho \, d\rho\, d\varphi\, dz.</math>

This method is convenient in case of cylindrical or conical domains or in regions where it is easy to individuate the ''z'' interval and even transform the circular base and the function.</blockquote>

<blockquote>'''Example 3b.''' The function is {{math|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') = ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''}} and as integration domain this [[cylinder (geometry)|cylinder]]: {{math|1=''D'' = {''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≤ 9, −5 ≤ ''z'' ≤ 5}<nowiki/>}}. The transformation of {{mvar|D}} in cylindrical coordinates is the following:

:<math>T = \{ 0 \le \rho \le 3, \ 0 \le \varphi \le 2 \pi, \ -5 \le z \le 5 \}.</math>

while the function becomes

:<math>f(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi, z) = \rho^2 + z</math>

Finally one can apply the integration formula:

:<math>\iiint_D \left(x^2 + y^2 +z\right) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T \left( \rho^2 + z\right) \rho \, d\rho\, d\varphi\, dz;</math>

developing the formula you have

:<math>\int_{-5}^5 dz \int_0^{2 \pi} d\varphi \int_0^3 \left( \rho^3 + \rho z \right)\, d\rho = 2 \pi \int_{-5}^5 \left[ \frac{\rho^4}{4} + \frac{\rho^2 z}{2} \right]_0^3 \, dz = 2 \pi \int_{-5}^5 \left( \frac{81}{4} + \frac{9}{2} z\right)\, dz = \cdots = 405 \pi.</math></blockquote>

====Spherical coordinates====
[[File:Spherical Coordinates (Colatitude, Longitude).svg|thumb|right|190px|Spherical coordinates.]]
In {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} some domains have a spherical symmetry, so it's possible to specify the coordinates of every point of the integration region by two angles and one distance. It's possible to use therefore the ''passage to [[Spherical coordinate system|spherical coordinates]]''; the function is transformed by this relation:
:<math>f(x,y,z) \longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi, \rho \sin \theta \sin \varphi, \rho \cos \varphi)</math>

Points on the {{mvar|z}}-axis do not have a precise characterization in spherical coordinates, so {{mvar|θ}} can vary between 0 and 2{{pi}}.

The better integration domain for this passage is the sphere.

<blockquote>'''Example 4a.''' The domain is {{math|1=''D'' = ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup> ≤ 16}} (sphere with radius 4 and center at the origin); applying the transformation you get the region
:<math>T = \{ 0 \le \rho \le 4, \ 0 \le \varphi \le \pi, \ 0 \le \theta \le 2 \pi \}.</math>

The Jacobian determinant of this transformation is the following:

:<math>\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho, \theta, \varphi)} = \begin{vmatrix}
\cos \theta \sin \varphi & - \rho \sin \theta \sin \varphi & \rho \cos \theta \cos \varphi \\
\sin \theta \sin \varphi & \rho \cos \theta \sin \varphi & \rho \sin \theta \cos \varphi \\
\cos \varphi & 0 & - \rho \sin \varphi \end{vmatrix} = \rho^2 \sin \varphi</math>

The {{mvar|dx dy dz}} differentials therefore are transformed to {{math|''ρ''<sup>2</sup> sin(''φ'') ''dρ'' ''dθ'' ''dφ''}}.

This yields the final integration formula:

:<math>\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \rho^2 \sin \varphi \, d\rho\, d\theta\, d\varphi.</math></blockquote>

It is better to use this method in case of spherical domains '''and''' in case of functions that can be easily simplified by the first fundamental relation of trigonometry extended to {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} (see Example 4b); in other cases it can be better to use cylindrical coordinates (see Example 4c).

:<math>\iiint_T f(a,b,c) \rho^2 \sin \varphi \, d\rho\, d\theta\, d\varphi.</math>

The extra {{math|''ρ''<sup>2</sup>}} and {{math|sin ''φ''}} come from the Jacobian.

In the following examples the roles of {{mvar|φ}} and {{mvar|θ}} have been reversed.

<blockquote>'''Example 4b.''' {{mvar|D}} is the same region as in Example 4a and {{math|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') = ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup>}} is the function to integrate. Its transformation is very easy:

:<math>f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) = \rho^2,</math>

while we know the intervals of the transformed region {{mvar|T}} from {{mvar|D}}:

:<math>T=\{0 \le \rho \le 4, \ 0 \le \varphi \le \pi, \ 0 \le \theta \le 2 \pi\}.</math>

We therefore apply the integration formula:

:<math>\iiint_D \left(x^2 + y^2 + z^2\right) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T \rho^2 \, \rho^2 \sin \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi,</math>

and, developing, we get

:<math>\iiint_T \rho^4 \sin \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi = \int_0^{\pi} \sin \varphi \,d\varphi \int_0^4 \rho^4 d \rho \int_0^{2 \pi} d\theta = 2 \pi \int_0^{\pi} \sin \varphi \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_0^4 \, d \varphi = 2 \pi \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_0^4 \Big[- \cos \varphi \Big]_0^{\pi} = \frac{4096 \pi}{5}.</math></blockquote>

<blockquote>'''Example 4c.''' The domain {{mvar|D}} is the ball with center at the origin and radius {{math|3''a''}},

:<math>D = \left \{ x^2 + y^2 + z^2 \le 9a^2 \right \}</math>

and {{math|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') = ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}} is the function to integrate.

Looking at the domain, it seems convenient to adopt the passage to spherical coordinates, in fact, the intervals of the variables that delimit the new {{mvar|T}} region are obviously:

:<math>T=\{0 \le \rho \le 3a, \ 0 \le \varphi \le 2 \pi, \ 0 \le \theta \le \pi\}.</math>

However, applying the transformation, we get

:<math>f(x,y,z) = x^2 + y^2 \longrightarrow \rho^2 \sin^2 \theta \cos^2 \varphi + \rho^2 \sin^2 \theta \sin^2 \varphi = \rho^2 \sin^2 \theta.</math>

Applying the formula for integration we obtain:

:<math>\iiint_T \rho^2 \sin^2 \theta \rho^2 \sin \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi = \iiint_T \rho^4 \sin^3 \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi</math>

which can be solved by turning it into an iterated integral.

<math>\iiint_T \rho^4 \sin^3 \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi = \underbrace{\int_0^{3a}\rho^4 d\rho}_{I} \,\underbrace{\int_0^\pi \sin^3\theta\,d\theta}_{II}\, \underbrace{\int_0^{2\pi} d \varphi}_{III}</math>.

<math>I = \left.\int_0^{3a}\rho^4 d\rho = \frac{\rho^5}{5}\right\vert_0^{3a} = \frac{243}{5}a^5</math>,

<math>II = \int_0^\pi \sin^3\theta \, d\theta = -\int_0^\pi \sin^2\theta \, d(\cos \theta) = \int_0^\pi (\cos^2\theta-1) \, d(\cos \theta) = \left.\frac{\cos^3\theta}{3}\right|^\pi_0 - \left.\cos\theta\right|^\pi_0 = \frac{4}{3}</math>,

<math>III = \int_0^{2\pi} d \varphi = 2\pi</math>.


Collecting all parts,

<math>\iiint_T \rho^4 \sin^3 \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi = I\cdot II\cdot III = \frac{243}{5}a^5\cdot \frac{4}{3}\cdot 2\pi = \frac{648}{5}\pi a^5</math>.


Alternatively, this problem can be solved by using the passage to cylindrical coordinates. The new {{mvar|T}} intervals are

:<math>T=\left\{0 \le \rho \le 3a, \ 0 \le \varphi \le 2 \pi, \ - \sqrt{9a^2 - \rho^2} \le z \le \sqrt{9a^2 - \rho^2}\right\};</math>

the {{mvar|z}} interval has been obtained by dividing the ball into two [[sphere|hemisphere]]s simply by solving the [[inequality (mathematics)|inequality]] from the formula of {{mvar|D}} (and then directly transforming {{math|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}} into {{math|''ρ''<sup>2</sup>}}). The new function is simply {{math|''ρ''<sup>2</sup>}}. Applying the integration formula

:<math>\iiint_T \rho^2 \rho \, d \rho \, d \varphi \, dz.</math>

Then we get

:<math>\begin{align} \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^{3a} \rho^3 d\rho \int_{-\sqrt{9a^2 - \rho^2}}^{\sqrt{9 a^2 - \rho^2}}\, dz &= 2 \pi \int_0^{3a} 2 \rho^3 \sqrt{9 a^2 - \rho^2} \, d\rho \\
&= -2 \pi \int_{9 a^2}^0 (9 a^2 - t) \sqrt{t}\, dt && t = 9 a^2 - \rho^2 \\
&= 2 \pi \int_0^{9 a^2} \left ( 9 a^2 \sqrt{t} - t \sqrt{t} \right ) \, dt \\
&= 2 \pi \left( \int_0^{9 a^2} 9 a^2 \sqrt{t} \, dt - \int_0^{9 a^2} t \sqrt{t} \, dt\right) \\
&= 2 \pi \left[9 a^2 \frac23 t^{ \frac32 } - \frac{2}{5} t^{ \frac{5}{2}} \right]_0^{9 a^2} \\
&= 2 \cdot 27 \pi a^5 \left ( 6 - \frac{18}{5} \right ) \\
&= \frac{648 \pi}{5} a^5. \end{align}</math>

Thanks to the passage to cylindrical coordinates it was possible to reduce the triple integral to an easier one-variable integral.</blockquote>

See also the differential volume entry in [[nabla in cylindrical and spherical coordinates]]. -->

== Contoh ==
=== Integral ganda di atas persegi panjang ===
Mari kita asumsikan bahwa kita ingin mengintegrasikan fungsi multivariabel {{mvar|f}} di suatu wilayah {{mvar|A}}:
:<math>A = \left \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \ : \ 11 \le x \le 14 \ ; \ 7 \le y \le 10 \right \} \mbox{ dan } f(x,y) = x^2 + 4y\,</math>

Dari sini kami merumuskan integral iterasi

:<math>\int_7^{10} \int_{11}^{14} (x^2 + 4y) \, dx\, dy </math>

Integral bagian dalam dilakukan terlebih dahulu, berintegrasi dengan {{mvar|x}} dan mengambil {{mvar|y}} sebagai konstanta, karena ini bukan [[variabel integrasi]]. Hasil integral ini, yang merupakan fungsi yang hanya bergantung pada {{mvar|y}}, kemudian diintegrasikan sehubungan dengan {{mvar|y}}.

:<math>\begin{align}
\int_{11}^{14} \left(x^2 + 4y\right) \, dx & = \left [\frac13 x^3 + 4yx \right]_{x=11}^{x=14} \\
&= \frac13(14)^3 + 4y(14) - \frac13(11)^3 - 4y(11) \\
&= 471 + 12y \end{align}</math>

Kami kemudian mengintegrasikan hasilnya sehubungan dengan {{mvar|y}}.

:<math>\begin{align}
\int_7^{10} (471 + 12y) \ dy & = \Big[471y + 6y^2\Big]_{y=7}^{y=10} \\
&= 471(10)+ 6(10)^2 - 471(7) - 6(7)^2 \\
&= 1719 \end{align}</math>

Dalam kasus di mana integral ganda dari nilai absolut fungsi berhingga, urutan integrasi dapat dipertukarkan, yaitu, ''x'' pertama dan mengintegrasikan sehubungan dengan ''y'' pertama menghasilkan hasil yang sama. Itulah [[Teorema Fubini]]. Misalnya, melakukan perhitungan sebelumnya dengan urutan terbalik memberikan hasil yang sama:

:<math> \begin{align}
\int_{11}^{14} \int_{7}^{10} \, \left(x^2 + 4y\right) \, dy\, dx & = \int_{11}^{14} \Big[x^2 y + 2y^2 \Big]_{y=7}^{y=10} \, dx \\
&= \int_{11}^{14} \, (3x^2 + 102) \, dx \\
&= \Big[x^3 + 102x \Big]_{x=11}^{x=14} \\
&= 1719. \end{align}</math>

=== Integral ganda di atas domain normal ===
[[Berkas:Esempio-formulediriduzione-r2.svg|thumb|160px|right|Example: double integral over the normal region ''D'']]

Pertimbangkan wilayahnya (lihat grafik di contoh):
:<math>D = \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \ : \ x \ge 0, y \le 1, y \ge x^2 \}</math> 
Hitung

:<math>\iint_D (x+y) \, dx \, dy.</math>

Domain ini normal dalam kaitannya dengan ''x'' dan ''y'' sumbu. Untuk menerapkan rumus, diperlukan untuk menemukan fungsi yang menentukan ''D'' dan interval di mana fungsi ini didefinisikan. Dalam hal ini kedua fungsi tersebut adalah:

:<math>\alpha (x) = x^2\text{ and }\beta (x) = 1</math>

sedangkan interval diberikan oleh perpotongan fungsi dengan ''x''&nbsp;=&nbsp;0, jadi interval dari [''a'',&nbsp;''b''] = [0,&nbsp;1] (normalitas telah dipilih sehubungan dengan sumbu ''x'' untuk pemahaman visual yang lebih baik).

Sekarang dimungkinkan untuk menerapkan rumus:

:<math>\iint_D (x+y) \, dx \, dy = \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 (x+y) \, dy = \int_0^1 dx \ \left[xy + \frac{y^2}{2} \right]^1_{x^2}</math>

(pada awalnya integral kedua dihitung dengan mempertimbangkan '' x '' sebagai konstanta). Operasi yang tersisa terdiri dari penerapan teknik dasar integral:

:<math>\int_0^1 \left[xy + \frac{y^2}{2}\right]^1_{x^2} \, dx = \int_0^1 \left(x + \frac{1}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2} \right) dx = \cdots = \frac{13}{20}.</math>

Bila kita memilih normalitas sehubungan dengan sumbu '' y '' - kita dapat menghitung

:<math>\int_0^1 dy \int_0^{\sqrt{y}} (x+y) \, dx.</math>

dan mendapatkan nilai yang sama.
[[Berkas:Dominio-normalità r3 esempio.svg|thumb|160px|right|Example of domain in '''R'''<sup>3</sup> that is normal with respect to the ''xy''-plane.]]

=== Menghitung volume ===
Menggunakan metode yang dijelaskan sebelumnya, dimungkinkan untuk menghitung volume beberapa padatan umum.
* '''[[Tabung (geometri)|Tabung]]''': Volume tabung dengan tinggi {{mvar|h}} dan dasar lingkaran jari-jari {{mvar|R}} dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta {{mvar|h}} di atas alas lingkaran, menggunakan koordinat kutub.
::<math>\mathrm{Volume} = \int_0^{2\pi} d \varphi\, \int_0^R h \rho \, d \rho = 2 \pi h \left[\frac{\rho^2}{2}\right]_0^R = \pi R^2 h</math>

Ini sesuai dengan rumus volume sebuah [[prisma]]

::<math>\mathrm{Volume} = \text{luas alas} \times \text{tinggi}. </math>

* '''[[Bola (geometri)|Bola]]''': Volume bola dengan jari-jari {{mvar|R}} dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas bola, menggunakan koordinat bola.

::<math>\begin{align} \text{Volume} &= \iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz \\
&= \iiint_D 1 \, dV \\
&= \iiint_S \rho^2 \sin \varphi \, d\rho\, d\theta\, d\varphi \\
&= \int_0^{2\pi} \, d \theta \int_0^{ \pi } \sin \varphi\, d \varphi \int_0^R \rho^2\, d \rho \\
&= 2 \pi \int_0^\pi \sin \varphi\, d \varphi \int_0^R \rho^2\, d \rho \\
&= 2 \pi \int_0^\pi \sin \varphi \frac{R^3}{3 }\, d \varphi \\
&= \frac23 \pi R^3 \Big[-\cos \varphi\Big]_0^\pi = \frac43 \pi R^3.
\end{align}</math>

* '''[[Tetrahedron]]''' (segitiga [[piramida]] atau 3 - [[simpleks]]): Volume tetrahedron dengan puncaknya pada titik asal dan tepi panjang {{mvar|''ℓ''}} sepanjang {{mvar|x}}-, {{mvar|y}}- dan {{mvar|z}}-sumbu dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas tetrahedron.

::<math>\begin{align} \text{Volume} &= \int_0^\ell dx \int_0^{\ell-x}\, dy \int_0^{\ell-x-y }\, dz \\
&= \int_0^\ell dx \int_0^{\ell-x } (\ell - x - y)\, dy \\
&= \int_0^\ell \left( l^2 - 2 \ell x + x^2 - \frac{(\ell-x)^2 }{2}\right)\, dx \\
&= \ell^3 - \ell \ell^2 + \frac{\ell^3}{3 } - \left[\frac{\ell^2 x}{2} - \frac{ \ell x^2}{2} + \frac{x^3}{6 }\right]_0^ \ell \\
&= \frac{\ell^3}{3} - \frac{\ell^3}{6} = \frac{ \ell^3}{6}\end{align}</math>

:Hal ini sesuai dengan rumus volume sebuah [[piramida]]

::<math>\mathrm{Volume} = \frac13 \times \text{luas dasar} \times \text{tinggi} = \frac13 \times \frac{\ell^2}{2} \times \ell = \frac{ \ell^3}{6}.</math>

[[Berkas:Dominio improprio.svg|thumb|right|140px|Example of an improper domain.]]

== Beberapa integral tak wajar ==
Dalam kasus domain tidak terikat atau fungsi tidak terikat di dekat batas domain, kita harus memperkenalkan '''[[integral tidak tepat]] rangkap dua''' atau '''integral tidak tepat rangkap tiga'''.

== Lihat pula ==
* Teorema [[analisis nyata|analisis]] utama yang menghubungkan beberapa integral:
** [[Teorema divergensi]]
** [[Teorema Stokes]]
** [[Teorema Green]]

== Referensi ==
{{reflist}}

== Pranala luar ==
* e{{MathWorld | urlname=MultipleIntegral | title=Multiple Integral}}
* {{en}} {{SpringerEOM | urlname=M/m065370 | title=Multiple integral | author=L.D. Kudryavtsev}}

[[Kategori:Kalkulus]]