Lihat sumber Grup topologi

{{Short description|Grup yang merupakan ruang topologi dengan aksi grup yang berkelanjutan}}
{{Group theory sidebar}}
[[Gambar:Real number line.svg|thumb|right|350px|[[Bilangan riil]] membentuk grup topologis di bawah [[penambahan]]]]

Dalam [[matematika]], '''grup topologis''' adalah [[grup (matematika)|grup]] {{mvar | G}} bersama dengan [[Ruang topologis|topologi]] pada <math>G</math> sehingga kedua [[operasi biner]] grup dan elemen grup pemetaan fungsi ke balikkannya masing-masing adalah fungsi [[fungsi kontinu (topologi)|kontinu]] yang berkaitan dengan topologi. Grup topologis adalah objek matematika dengan [[struktur aljabar]] dan struktur topologi. Jadi, salah satunya dapat melakukan [[operasi aljabar]], karena struktur grupnya, dan salah satunya dapat berbicara tentang fungsi kontinu, karena topologinya.

Grup topologis, bersama dengan [[aksi grup kontinu]], digunakan untuk mempelajari [[simetri]] kontinu, yang memiliki banyak penerapan, misalnya [[Simetri (fisika)|dalam fisika]]. Dalam [[analisis fungsional]], setiap [[ruang vektor topologis]] adalah grup topologis aditif dengan sifat tambahan bahwa [[perkalian skalar]] adalah kontinu; akibatnya, banyak hasil dari teori grup topologis dapat diterapkan pada analisis fungsional.

== Definisi formal ==
'''Grup topologis''', {{mvar | G}}, adalah [[ruang topologi]] yang juga merupakan grup operasi grup (dalam hal ini darab):
:<math>\cdot : G \times G \to G</math>, <math>(x,y) \mapsto xy</math>
dan peta balikkan:
:<math>^{-1} : G \to G</math>, <math>x \mapsto x^{-1}</math>
adalah [[Fungsi kontinu|kontinu]].<ref group=note>'' yaitu '' Kontinu artinya untuk himpunan terbuka {{math|''U'' ⊆ ''G''}}, {{math|''f''&nbsp;<sup>−1</sup>(''U'')}} terbuka di domain {{math|dom ''f''}} dari {{mvar|f}}.</ref> Disini {{math|''G'' × ''G''}} dipandang sebagai ruang topologi dengan [[topologi darab]]. Topologi seperti itu dikatakan '''serasi dengan operasi grup''' dan disebut '''topologi grup'''.

;Memeriksa kekontinuan

Peta darab kontinu jika dan hanya jika untuk <math>x, y \in G</math> dan setiap lingkungan <math>W</math> dari <math>xy</math> di <math>G</math>, terdapat lingkungan <math>U</math> dari <math>x</math> dan <math>V</math> dari <math>y</math> pada <math>G</math> sehingga <math>U \cdot V \subseteq W</math>, dimana <math>U \cdot V := \{u \cdot v : u \in U, v \in V\}</math>}. Peta balikkan kontinu jika dan hanya jika <math>x \in G</math> dan suatu lingkungan <math>V</math> dari <math>x^{-1}</math> pada <math>G</math>, lingkungan <math>U</math> dari <math>x</math> ke <math>G</math> sehingga <math>U^{-1} \subseteq V</math>, dimana <math>U^{-1} := \{u^{-1} : u \in U \}</math>.

Untuk menunjukkan bahwa topologi serasi dengan operasi grup, itu sudah cukup untuk memeriksa peta
:<math>G \times G \to G</math>, <math>(x,y) \mapsto (xy)^{-1}</math>
adalah kontinu. Secara eksplisit, ini berarti bahwa untuk <math>x, y \in G</math> dan suatu lingkungan <math>W</math> oleh <math>G</math> dari {{math|''xy''&nbsp;<sup>−1</sup>}}, ada lingkungan <math>U</math> dari <math>x</math> dan <math>V</math> dari <math>y</math> di <math>G</math> maka <math>U \cdot (V^{-1}) \subseteq W</math>.

;Notasi aditif

Definisi ini menggunakan notasi untuk grup perkalian;
padanan untuk grup aditif adalah bahwa dua operasi berikut kontinu: 
:<math>+ : G \times G \to G</math>, <math>(x,y) \mapsto x + y</math>
:<math>- : G \to G</math>, <math>x \mapsto -x</math>.

;Ke-Hausdorff-an

Meski bukan bagian dari definisi ini, banyak penulis<ref>{{harvnb|Armstrong|1997|p=73}}; {{harvnb|Bredon|1997|p=51}}</ref> perlu bahwa topologi pada <math>G</math> menjadi [[Ruang Hausdorff|Hausdorff]]. Salah satu alasan untuk ini adalah bahwa setiap grup topologi dapat secara kanonik dikaitkan dengan grup topologi Hausdorff dengan mengambil hasil bagi kanonik yang sesuai; Ini bagaimanapun, sering kali masih membutuhkan kerja dengan grup topologi takHausdorff asli. Alasan lain, dan beberapa kondisi yang setara, dibahas di bawah ini.

Artikel ini tidak akan mengasumsikan bahwa grup topologi selalu Hausdorff.

;Kategori

Dalam bahasa [[teori kategori]], grup topologi dapat didefinisikan secara ringkas sebagai [[objek kelompok|objek grup]] dalam [[kategori ruang topologi]], dengan cara yang sama seperti grup biasa adalah objek grup dalam [[kategori himpunan]]. Perhatikan bahwa aksioma diberikan dalam bentuk peta (darab biner, balikkan uner, dan identitas nol), oleh karena itu definisi kategoris.

== Kehomomorfan ==
'''Kehomomorfan''' dari grup topologis berarti [[kehomomorfan grup]] <math>G \to H</math>. Grup topologis, bersama dengan kehomomorfannya, membentuk [[teori kategori|kategori]]. kehomomorfan grup antara grup topologi komutatif kontinu jika dan hanya jika kontinu pada ''beberapa'' titik.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=19-45}}

'''Keisomorfan''' dari grup topologis adalah [[grup isomorfisme|grup keisomorfan]] yang juga merupakan [[homeomorfisme]] dari ruang topologi yang mendasarinya. Ini lebih kuat daripada hanya perlu keisomorfan grup kontinu, kebalikannya juga harus kontinu. Terdapat contoh grup topologis yang isomorfik sebagai grup biasa tetapi tidak sebagai grup topologis. Memang, setiap grup topologis takdiskret juga merupakan grup topologis bila dipertimbangkan dengan topologi diskret. Grup yang mendasari sama, tetapi sebagai grup topologis tidak ada keisomorfan.

== Contoh ==
Setiap grup dapat dengan mudah dibuat menjadi grup topologis dengan mempertimbangkannya menggunakan [[topologi diskrit|topologi diskret]]; grup seperti itu disebut [[grup diskret]]. Dalam pengertian ini, teori grup topologi mengasumsikan bahwa grup biasa. [[Topologi takdiskret]] (yaitu topologi trivial) juga membuat setiap grup menjadi grup topologis.

[[Bilangan real]], <math>\R</math> dengan topologi biasa membentuk grup topologis di bawah tambahan. [[Ruang Euklides|Ruang Euklidean-{{mvar|n}}]] dari <math>\R^n</math> juga merupakan grup topologis dalam penambahan, dan lebih umum lagi, setiap [[ruang vektor topologis]] membentuk grup topologis (Abel). Beberapa contoh lain dari grup topologis [[Grup Abelian|Abel]] adalah [[grup lingkaran]] <math>S^1</math>, atau [[Grup torus|torus]] <math>(S^1)^n</math> untuk bilangan asli <math>n</math>.

[[Grup klasik]] adalah contoh penting dari grup topologis takAbel. Misalnya, [[grup linear umum]] <math>\operatorname{GL}(n,\R)</math> mengenai semua terbalikkan [[Matriks (matematika)|matriks]] <math>n</math> kali <math>n</math> dengan entri real dapat dilihat sebagai grup topologis dengan topologi yang ditentukan dengan melihat <math>\operatorname{GL}(n,\R)</math> sebagai [[subruang (topologi)|subruang]] dari ruang Euklides <math>\R^{n \times n}</math>. Grup klasik lainnya adalah [[grup ortogonal]] <math>\operatorname{O}(n)</math>, grup dari semua [[peta linear]] dari <math>\R^n</math> terhadap dirinya sendiri yang mempertahankan [[jarak Euklides|panjang]] dari semua vektor. Grup ortogonal adalah [[ruang kompak|kompak]] sebagai sebuah ruang topologi. Banyak dari [[geometri Euklides]] dapat dipandang sebagai mempelajari struktur grup ortogonal, atau grup yang terkait erat <math>O(n) \ltimes \R^n</math> mengenai [[grup Euclidean|isometri]] dari <math>\R^n</math>.

Grup yang disebutkan sejauh ini adalah semua [[grup Lie]], artinya grup tersebut [[manifold halus]] sedemikian rupa sehingga operasi grup adalah [[fungsi mulus|mulus]], tidak hanya kontinu. Grup Lie adalah grup topologis yang paling dipahami; banyak pertanyaan tentang grup Lie dapat diubah menjadi pertanyaan aljabar murni tentang [[aljabar Lie]] dan kemudian diselesaikan.

Contoh grup topologis yang bukan grup Lie adalah grup aditif <math>\Q</math> dari [[bilangan rasional]], dengan topologi yang diwarisi dari <math>\R</math>. 
Ini adalah ruang [[terhitung]], dan tidak memiliki topologi diskret. Contoh yang penting untuk [[teori bilangan]] adalah grup <math>\Z_p</math> dari [[bilangan bulat p-adik]], untuk [[bilangan prima]] <math>p</math>, yang berarti [[batas invers|batas balikkan]] dari grup hingga <math>\Z/p^n</math> karena <math>n</math> menuju takterhingga. Grup <math>\Z_p</math> is berperilaku baik karena kompak (pada kenyataannya, homeomorfik ke [[himpunan Cantor]]), tetapi berbeda dari grup Lie (real) karena [[Grup takterhubung total|takterhubung]].

Grup <math>\Z_p</math> adalah grup pro-hingga; itu isomorfik ke subgrup darab <math>\prod_{n \geq 1} \mathbb{Z} / p^n </math> sedemikian rupa sehingga topologinya diinduksi oleh topologi darab, di mana grup hingga <math>\mathbb{Z} / p^n</math> diberi topologi diskret. Kelas besar lain dari grup pro-terbatas yang penting dalam teori bilangan adalah [[grup Galois mutlak]].

== Grup topologis Abel lengkap ==
Informasi tentang konvergensi jaring dan filter, seperti definisi dan sifat, dapat ditemukan di artikel tentang [[filter dalam topologi]].

== Keseragaman kanonik pada grup topologis komutatif ==
{{Main|Ruang seragam}}
Selanjutnya kita akan mengasumsikan bahwa setiap grup topologis yang kami anggap adalah grup topologis komutatif aditif dengan elemen identitas {{math | 0}}.

{{Quote|1='''Definisi''' ('''Rombongan kanonik''' dan '''diagonal'''): 
'''Diagonal''' dari {{mvar | X}} adalah himpunan

::{{math|1=Δ<sub>''X''</sub>  &thinsp;:=&thinsp;  { (''x'', ''x'') : ''x'' ∈ ''X'' &thinsp;}}}

dan untuk {{math|''N'' ⊆ ''X''}} berisi {{math | 0}}, '''rombongan kanonik''' atau '''lingkungan kanonik sekitar {{mvar | N}}' '' adalah himpunan

::{{math|1=Δ<sub>''X''</sub>(''N'')  &nbsp;:=&nbsp;  { (''x'', ''y'') ∈ ''X'' × ''X'' : ''x'' - ''y'' ∈ ''N''&thinsp;}  &nbsp;=&nbsp;  {{underset|''y'' ∈ ''X''|{{big|∪}}}} [(''y'' + ''N'') × { ''y'' }] &nbsp;=&nbsp;  Δ<sub>''X''</sub> + (''N'' × { 0 }) }}

'''Definisi''' ('''Keseragaman kanonik'''):{{sfn | Edwards | 1995 | p=61}} Untuk grup topologi {{math|(''X'', τ)}}, '''keseragaman kanonik''' pada {{mvar | X}} adalah [[Ruang seragam|struktur seragam]] yang diinduksi oleh himpunan semua lingkungan kanonik {{math|1=Δ(''N'')}} sebagai rentang {{mvar | N}} di semua lingkungan {{math | 0}} pada {{mvar | X}}.

Artinya, ini adalah penutupan ke atas dari prefilter berikut pada {{math|''X'' × ''X''}},

::{{math|1={ Δ(''N'') : ''N'' adalah lingkungan 0 pada ''X''&thinsp;}}}

di mana prefilter ini membentuk apa yang dikenal sebagai [[basis lingkungan]] dari keseragaman kanonik. 
}}

{{Quote|1='''Definisi''' ('''Keseragaman translasi-invarian'''):{{sfn | Schaefer | Wolff | 1999 | pp=12-19}} Untuk grup aditif komutatif {{mvar | X}}, sistem dasar lingkungan {{math | ℬ}} disebut '''translasi-invarian''' jika untuk setiap {{math|''B'' ∈ ℬ}}, {{math|(''x'', ''y'') ∈ ''B''}} jika dan hanya jika {{math|(''x'' + ''z'', ''y'' + ''z'') ∈ ''B''}} for all {{math|''x'', ''y'', ''z'' ∈ ''X''}}. Keseragaman {{math | ℬ}} disebut '''translasi-invarian''' jika memiliki basis lingkungan yang merupakan invarian-translasi.
}}

'''Catatan''':
<ul>
<li>Keseragaman kanonik pada setiap grup topologi komutatif adalah invarian-translasi.</li>
<li>Keseragaman kanonik yang sama akan dihasilkan dengan menggunakan basis lingkungan asal alih-alih filter dari semua lingkungan asal.</li>
<li>Setiap rombongan {{math|Δ<sub>''X''</sub>(''N'')}} berisi diagonal {{math|1=Δ<sub>''X''</sub> := Δ<sub>''X''</sub>({0}) = { (''x'', ''x'') : ''x'' ∈ ''X'' &thinsp;}}} karena {{math|0 ∈ ''N''}}.
</li>
<li>Jika {{mvar | N}} adalah [[himpunan simetri|simetris]] (yaitu {{math|1=- ''N'' = ''N''}}) kemudian {{math|1=Δ<sub>''X''</sub>(''N'')}} simetris (yaitu, {{math|1=(Δ<sub>''X''</sub>(''N''))<sup>op</sup> &thinsp;=&thinsp; Δ<sub>''X''</sub>(''N'')}}) dan 
::{{math|1=Δ<sub>''X''</sub>(''N'') ∘ Δ<sub>''X''</sub>(''N'') &thinsp;=&thinsp; { (''x'', ''z'') : ∃ ''y'' ∈ ''X'' &thinsp;such that&thinsp; ''x'', ''z'' ∈ ''y'' + ''N'' } &nbsp;=&nbsp; {{underset|''y'' ∈ ''X''|{{big|∪}}}} [(''y'' + ''N'') × (''y'' + ''N'')] &nbsp;=&nbsp; Δ<sub>''X''</sub> + (''N'' × ''N'')}}.</li>
<li>Topologi yang diinduksi pada {{mvar | X}} oleh keseragaman kanonik adalah sama dengan topologi yang dimulai dengan {{mvar | X}} (yaitu {{math | τ}}).</li>
</ul>

== Pratapis dan jaring Cauchy ==

{{Main|Filter dalam topologi | Jaring (matematika)}}

Teori umum [[ruang seragam]] s memiliki definisi sendiri tentang "Cauchy pratapis" dan "Cauchy net." Untuk keseragaman kanonik pada {{mvar | X}}, ini dikurangi menjadi definisi yang dijelaskan.

{{Quote|1='''Definisi''' ('''Jumlah dan hasil jala'''):{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=47-66}} Seharusnya {{math|1=''x''<sub>•</sub> = (''x''<sub>''i''</sub>)<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>}} adalah jaring di {{mvar | X}} dan {{math|1=''y''<sub>•</sub> = (''y''<sub>''i''</sub>)<sub>''j'' ∈ ''J''</sub>}} adalah jaring di {{mvar | Y}}. Buat {{math|''I'' × ''J''}} menjadi satu set diarahkan dengan menyatakan {{math|(''i'', ''j'') ≤ (''i''<sub>2</sub>, ''j''<sub>2</sub>)}} jika dan hanya jika {{math|''i'' ≤ ''i''<sub>2</sub>}} dan {{math|''j'' ≤ ''j''<sub>2</sub>}}. Kemudian {{nowrap|1={{math|1=''x''<sub>•</sub> × ''y''<sub>•</sub>  &nbsp;:=&nbsp;  (''x''<sub>''i''</sub>, ''y''<sub>''j''</sub>)<sub>(''i'', ''j'') ∈ ''I''×''J''</sub>}}}} menunjukkan '''produk jaring'''. Jika {{math|1=''X'' = ''Y''}} lalu gambar jaring ini di bawah peta tambahan {{math|''X'' × ''X'' → ''X''}} menunjukkan '''jumlah''' dari dua jaring ini:

::{{math|1=''x''<sub>•</sub> + ''y''<sub>•</sub>  &nbsp;:=&nbsp;  (&thinsp;''x''<sub>''i''</sub> + ''y''<sub>''j''</sub>&thinsp;)<sub>(''i'', ''j'') ∈ ''I''×''J''</sub>}}

dan '''perbedaan''' mereka didefinisikan sebagai citra bersih produk di bawah peta pengurangan:

::{{math|1=''x''<sub>•</sub> - ''y''<sub>•</sub>  &nbsp;:=&nbsp;  (&thinsp;''x''<sub>''i''</sub> - ''y''<sub>''j''</sub>&thinsp;)<sub>(''i'', ''j'') ∈ ''I''×''J''</sub>}}.
}}

{{Quote|1='''Definisi''' ('''Jaring Cauchy'''):{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | p=48}} [[Jaring (matematika)|jaring]] {{math|1=''x''<sub>•</sub> = (''x''<sub>''i''</sub>)<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>}} dalam grup topologi aditif {{mvar | X}} disebut '''Jaring Cauchy''' jika

::{{math|(&thinsp;''x''<sub>''i''</sub> - ''x''<sub>''j''</sub>&thinsp;)<sub>(''i'', ''j'') ∈ ''I''×''I''</sub> &nbsp;→&nbsp; 0}}&nbsp; in &thinsp;{{mvar|X}}

atau setara, jika untuk setiap lingkungan {{mvar | N}} dari {{math | 0}} di {{mvar | X}}, ada beberapa {{math|''i''<sub>0</sub> ∈ ''I''}} maka {{math|''x''<sub>''i''</sub> - ''x''<sub>''j''</sub> ∈ ''N''}} untuk {{math|''i'', ''j'' ≥ ''i''<sub>0</sub>}} dengan {{math|''i'', ''j'' ∈ ''I''}}.

'''[[Urutan Cauchy]]''' adalah Cauchy net yang berurutan.
}}

{{Quote|1='''Definisi''' ('''{{mvar | N}}-himpunan kecil'''):{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=48-51}} Jika {{mvar | B}} adalah subset dari grup aditif {{mvar | X}} dan {{mvar | N}} adalah himpunan yang berisi {{math | 0}}, lalu kita katakan bahwa {{mvar | B}} adalah '''{{mvar | N}}-kecil''' atau '''urutan kecil {{mvar | N}}''' if {{math|''B'' - ''B'' ⊆ ''N''}}.

'''Definisi''' ('''Prafilter Cauchy'''): Sebuah prefilter {{math | ℬ}} pada grup topologi aditif {{mvar | X}} disebut '''Cauchy prefilter''' jika memenuhi salah satu kondisi setara berikut:
<ol>
<li>{{math|ℬ &thinsp;-&thinsp; ℬ &nbsp;→&nbsp; 0}}&nbsp; in {{mvar|X}}, dimana &nbsp;{{math|1=ℬ &thinsp;-&thinsp; ℬ &nbsp;:=&nbsp; { ''B'' &thinsp;-&thinsp; ''C'' &thinsp;:&thinsp; ''B'', ''C'' ∈ ℬ } }} adalah sebuah prefilter.</li>
<li>{{math|1={ ''B'' &thinsp;-&thinsp; ''B'' &thinsp;:&thinsp; ''B'' ∈ ℬ }  &nbsp;→&nbsp; 0}}&nbsp; in {{mvar|X}}, dimana &nbsp;{{math|{ ''B'' &thinsp;-&thinsp; ''B'' &thinsp;:&thinsp; ''B'' ∈ ℬ } }} adalah prafilter yang setara dengan {{math|ℬ &thinsp;-&thinsp; ℬ}}.</li>
<li>For setiap lingkungan {{mvar | N}} dari {{math | 0}} di {{mvar | X}}, {{math | ℬ}} berisi beberapa {{mvar | N}}-himpunan kecil (yaitu, ada beberapa {{math|''B'' ∈ ℬ}} maka {{math|''B'' - ''B'' ⊆ ''N''}}).{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=48–51}}</li>
</ol>
dan jika {{mvar | X}} komutatif maka juga:
<ol start=4>
<li>Untuk setiap lingkungan {{mvar | N}} dari {{math | 0}} di {{mvar | X}}, ada beberapa {{math|''B'' ∈ ℬ}} dan beberapa {{mvar|''x'' ∈ ''X''}} maka {{math|''B'' ⊆ ''x'' + ''N''}}.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=48-51}}</li>
</ol>
* Itu sudah cukup untuk memeriksa salah satu kondisi di atas untuk setiap [[basis lingkungan]] yang diberikan dari {{math | 0}} di {{mvar | X}}.
}}

Ucapan:
<ul>
<li>Misalkan {{math |ℬ}} adalah pratapis pada grup topologis komutatif {{mvar | X}} dan {{math|''x'' ∈ ''X''}}. Kemudian {{math|ℬ → ''x''}} di {{mvar | X}} jika dan hanya jika {{math|''x'' ∈ cl ℬ}} dan {{math|ℬ}} adalah Cauchy.{{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | pp=47-66}}</li>
</ul>

== Generalisasi ==
Berbagai generalisasi grup topologis dapat diperoleh dengan melemahkan kondisi kekontinuan:{{sfn|Arhangel'skii|Tkachenko|2008|p=12}}
* [[Grup semitopologi]] adalah grup <math>G</math> dengan topologi untuk {{math|''c'' ∈ ''G''}} dua fungsi {{math|''G'' → ''G''}} didefinisikan oleh {{math|''x'' ↦ ''xc''}} dan {{math|''x'' ↦ ''cx''}} adalah kontinu.
* [[Grup kuasitopologi]] adalah grup semitopologis di mana elemen pemetaan fungsi ke balikkannya juga kontinu.
* [[Grup paratopologi]] adalah grup dengan topologi sedemikian rupa sehingga operasi grup kontinu.

== Lihat pula ==
* [[Grup aljabar]]
* [[Grup kompak]]
* [[Ruang vektor topologis lengkap]]
* [[Grup Lie]]
* [[Grup kompak lokal]]
* [[Grup tak terbatas]]
* [[Gelanggang topologi]]
* [[Ruang vektor topologis]]

== Catatan ==
{{reflist|group=note}}

== Referensi ==
{{Reflist}}

== Bibliografi ==
* {{cite book | last1=Arhangel'skii|first1= Alexander | author-link1 = Alexander Arhangelskii | last2=Tkachenko|first2= Mikhail | title=Topological Groups and Related Structures | publisher=[[World Scientific]] | year=2008 | isbn=978-90-78677-06-2 | mr=2433295}}
* {{cite book | last=Armstrong|first= Mark A. | title=Basic Topology | publisher=[[Springer-Verlag]] | edition=1st | year=1997 | isbn=0-387-90839-0 | mr=0705632}}
* {{Citation | author1-first=Wojciech | author1-last=Banaszczyk | title=On the existence of exotic Banach–Lie groups | journal=[[Mathematische Annalen]] | volume=264 | issue=4 | year=1983 | pages=485–493 | doi=10.1007/BF01456956 | mr=0716262 | url=https://polipapers.upv.es/index.php/AGT/article/view/1800 | accessdate=2021-01-01 | archive-date=2023-06-10 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230610145311/https://polipapers.upv.es/index.php/AGT/article/view/1800 | dead-url=no }}
* {{Citation | author1-first=Nicolas | author1-last=Bourbaki | author1-link=Nicolas Bourbaki | year=1998 | title=General Topology. Chapters 1–4 | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=3-540-64241-2 | mr=1726779}}
* {{cite book | author-link = Glen Bredon | last=Bredon|first= Glen E. | title=Topology and Geometry | series=Graduate Texts in Mathematics | publisher=[[Springer-Verlag]] | edition=1st | year=1997 | isbn=0-387-97926-3 | mr=1700700}}
* {{Citation | author1-first=Allen | author1-last=Hatcher | author1-link=Allen Hatcher | title=Algebraic Topology | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2001 | url=https://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | isbn=0-521-79540-0 | mr=1867354 | accessdate=2021-01-01 | archive-date=2018-05-19 | archive-url=https://web.archive.org/web/20180519001501/http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | dead-url=no }}
* {{Edwards Functional Analysis Theory and Applications}}
* {{Citation | author1-last=Hewitt | author1-first=Edwin | author1-link=Edwin Hewitt | author2-first=Kenneth A. | author2-last=Ross | author2-link=Kenneth A. Ross | title=Abstract Harmonic Analysis | year=1979 | volume=1 | edition=2nd | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=978-0387941905 | mr=0551496}}
* {{Citation | author1-last=Hewitt | author1-first=Edwin | author1-link=Edwin Hewitt | author2-first=Kenneth A. | author2-last=Ross | author2-link=Kenneth A. Ross | title=Abstract Harmonic Analysis | year=1970 | volume=2 | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=978-0387048321 | mr=0262773}}
* {{Citation | author1-first=George W. | author1-last=Mackey | author1-link=George Mackey | title=The Theory of Unitary Group Representations | publisher=[[University of Chicago Press]] | year=1976 | isbn=0-226-50051-9 | mr=0396826}}
* {{Citation | author1-first=Deane | author1-last=Montgomery | author1-link=Deane Montgomery | author2-first=Leo | author2-last=Zippin | author2-link=Leo Zippin | title=Topological Transformation Groups | mr=0073104 | publisher=[[Interscience Publishers]] | location=New York, London |year=1955}}
* {{Narici Beckenstein Topological Vector Spaces|edition=2}} <!-- {{sfn | Narici | Beckenstein | 2011 | p=}} -->
* {{cite book | last = Pontryagin | first = Lev S. | author-link = Lev Pontryagin | title = Topological Groups | year = 1986 | edition = 3rd | others = trans. from Russian by Arlen Brown and P.S.V. Naidu | publisher = Gordon and Breach Science Publishers | location = New York | isbn = 2-88124-133-6 | mr=0201557}}
* {{cite book | last=Porteous | first=Ian R. | author-link=Ian R. Porteous | title=Topological Geometry | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1981 | edition=2nd | isbn=0-521-23160-4 | mr=0606198}}
* {{Schaefer Wolff Topological Vector Spaces|edition=2}}

{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Topological Group}}
[[Kategori:Grup topologi| ]]
[[Kategori:Grup Lie]]
[[Kategori:Analisis Fourier]]