Lihat sumber Grup Galois

{{short description|Grup matematika}}
{{distinguish|Bidang Galois}}
Dalam [[matematika]], di bidang [[aljabar abstrak]] yang dikenal sebagai [[teori Galois]], '''Grup Galois''' dari jenis tertentu [[ekstensi bidang]] adalah [[grup (matematika)|grup]] spesifik yang terkait dengan ekstensi bidang. Studi tentang perluasan lapangan dan hubungannya dengan [[polinomial]] yang memunculkan mereka melalui kelompok Galois disebut [[teori Galois]], dinamai demikian untuk menghormati [[Évariste Galois]] yang pertama kali dibahas.

Untuk pembahasan yang lebih mendasar tentang grup Galois dalam istilah [[grup permutasi]], lihat artikel di [[teori Galois]].

== Definisi ==
Misalkan <math> E </math> adalah perpanjangan dari [[bidang (matematika)|bidang]] <math> F </math> (ditulis sebagai <math>E/F</math> dan dibaca "''E'' di atas ''F''&thinsp;"). [[Automorfisme]] dari <math> E/F </math> didefinisikan sebagai automorfisme dari <math> E </math> dari <math> F </math> secara searah. Dengan kata lain, automorfisme <math>E/F</math> adalah [[isomorfisme]] <math>\alpha:E\to E</math> sehingga <math>\alpha(x) = x</math> untuk <math>x\in F</math>. [[Himpunan (matematika)|Himpunan]] dari semua automorfisme <math> E/F </math> membentuk grup dengan operasi [[komposisi fungsi]]. Grup ini terkadang dilambangkan dengan <math>\operatorname{Aut}(E/F).</math>

Jika <math> E/F </math> adalah [[ekstensi Galois]], maka <math>\operatorname{Aut}(E/F)</math> disebut '' 'Galois group' '' dari <math> E/F </math>, dan biasanya dilambangkan dengan <math>\operatorname{Gal}(E/F)</math>.{{quote|Beberapa penulis merujuk <math>\operatorname{Aut}(E/F)</math> sebagai grup Galois untuk ekstensi arbitrer <math> E/F </math> dan menggunakan notasi yang sesuai, oleh {{harvnb|Jacobson|2009}}.}}

Jika <math> E/F </math> bukan ekstensi Galois, maka grup Galois dari <math> E/F </math> terkadang didefinisikan sebagai <math>\operatorname{Aut}(K/F)</math>, di mana <math> K </math> adalah [[penutupan Galois]] dari <math> E </math>.

=== Grup Galois dari suatu polinomial ===
Definisi lain dari grup Galois berasal dari grup Galois dari polinomial <math>f \in F[x]</math>. Jika ada bidang <math> K/F </math> sedemikian rupa sehingga <math> f </math> menjadi faktor sebagai produk dari polinomial linier

:<math>f(x) = (x-\alpha_1)\cdots (x - \alpha_k) \in K[x]</math>

di atas bidang <math> K </math>, maka '''grup Galois dari polinomial''' <math> f </math> didefinisikan sebagai grup Galois dari <math> K/F </math> di mana <math> K </math> minimal di antara semua bidang tersebut.

== Struktur grup Galois ==
=== Teorema dasar teori Galois ===
Salah satu teorema struktur penting dari teori Galois berasal dari [[teorema fundamental teori Galois]]. Ini menyatakan bahwa diberi ekstensi Galois terbatas <math> K/k </math>, ada bijection antara himpunan subbidang <math>k \subset E \subset K</math> dan subgrup <math>H \subset G.</math> Kemudian, <math> E </math> diberikan oleh himpunan invarian dari <math> K </math> di bawah aksi <math> H </math>, jadi

:<math>E = K^H = \{ a\in K : ga = a \text{ dimana } g \in H \}</math>

Selain itu, jika <math> H </math> adalah [[subgrup normal]] maka <math>G/H \cong \operatorname{Gal}(E/k)</math>. Dan sebaliknya, jika <math> E/k </math> adalah ekstensi bidang normal, maka subgrup terkait di <math>\operatorname{Gal}(K/k)</math> adalah grup normal.

=== Struktur kisi ===
Misalkan <math> K_1,K_2 </math> adalah ekstensi Galois dari <math> k </math> dengan grup Galois <math>G_1,G_2.</math> Bidang <math> K_1K_2 </math> dengan grup Galois <math>G = \operatorname{Gal}(K_1K_2/k)</math> memiliki injeksi <math>G \to G_1 \times G_2</math> yang merupakan isomorfisme <math>K_1 \cap K_2 = k</math>.<ref name=":1" />

==== Indruksi ====
Sebagai dilakukan berkali-kali secara tak terbatas. Maka ekstensi Galois <math>K_1,\ldots, K_n / k</math> where <math>K_{i+1} \cap (K_1\cdots K_i) = k,</math> maka isomorfisme dari grup Galois:

:<math>\operatorname{Gal}(K_1\cdots K_n/k) \cong G_1\times \cdots \times G_n.</math>

== Contoh ==
Dalam contoh berikut <math> F </math> adalah bidang, dan <math>\Complex, \R, \Q</math> adalah bidang bilangan [[bilangan kompleks|kompleks]], [[bilangan riil|riil]], dan [[bilangan rasional|rasional]]. Notasi {{math|''F''(''a'')}} menunjukkan ekstensi bidang yang diperoleh dengan [[adjunsi (teori medan)|adjunsi]] elemen {{math | '' a ''}} ke bidang {{math | '' F ''}}.

=== Alat komputasi ===
==== Kardinalitas grup Galois dan derajat perluasan bidang ====
Salah satu proposisi dasar yang diperlukan untuk sepenuhnya menentukan grup Galois<ref name=":0">{{Cite web | url=http://abstract.ups.edu/download/aata-20100827.pdf | title=Abstract Algebra | pages=372–377 | access-date=2021-01-22 | archive-date=2021-05-07 | archive-url=https://web.archive.org/web/20210507014033/http://abstract.ups.edu/download/aata-20100827.pdf | dead-url=no }}</ref> dari ekstensi [[medan hingga]] adalah sebagai berikut: Polinomial <math>f(x) \in F[x]</math>, maka <math> E/F </math> menjadi ekstensi bidang pemisahnya. Maka urutan grup Galois sama dengan derajat perpanjangan medan; itu adalah,

:<math>|\operatorname{Gal}(E/F)| = [E:F]</math>

==== Kriteria Eisenstein ====
Alat yang berguna untuk menentukan kelompok Galois dari suatu polinomial berasal dari [[kriteria Eisenstein]]. Jika polinomial <math>f \in F[x]</math> faktor menjadi polinomial tidak dapat direduksi <math>f = f_1\cdots f_k</math> grup Galois dari <math> f </math> dapat ditentukan menggunakan grup Galois dari setiap <math> f_i </math> karena grup Galois dari <math> f </math> adalah grup Galois dari <math>f_i.</math>

=== Grup trivial ===
<math>\operatorname{Gal}(F/F)</math> merupakan golongan trivial yang memiliki satu unsur yaitu automorfisme identitas.

Contoh lain dari grup Galois trivial adalah <math>\operatorname{Aut}(\R/\Q).</math> Memang, dapat ditunjukkan bahwa automorfisme dari <math> \R </math> [[teori urutan|urutan]] dari bilangan riil dan karenanya harus menjadi identitas.

Pertimbangkan bidang <math>K = \Q(\sqrt[3]{2}).</math> Grup <math>\operatorname{Aut}(K/\Q)</math> hanya berisi automorfisme identitas. Ini karena <math> K </math> bukan [[ekstensi norma]], karena dua [[akar pangkat tiga]] lainnya dari <math> 2 </math>,

:<math>\exp \left (\tfrac{2\pi i}{3} \right ) \sqrt[3]{2}</math> and <math>\exp \left (\tfrac{4\pi i}{3} \right ) \sqrt[3]{2},</math>

hilang dari ekstensi, dengan kata lain {{math | '' K ''}} bukan [[bidang pemisah]].

== Properti ==
Arti penting perpanjangan menjadi Galois adalah bahwa ia mematuhi [[teorema dasar teori Galois]]: subgrup tertutup (sehubungan dengan [[topologi Krull]]) dari grup Galois sesuai dengan bidang perantara dari ekstensi bidang.

Jika <math> E/F </math> adalah ekstensi Galois, maka <math>\operatorname{Gal}(E/F)</math> dapat diberi [[ruang topologi|topologi]], yang disebut topologi Krull, yang membuatnya menjadi [[grup tak hingga]].

== Lihat pula ==
* [[Teorema dasar teori Galois]]
* [[Grup Galois mutlak]]
* [[Representasi Galois]]
* [[Kelompok Dimushkin]]
* [[Grup solvabel]]

== Catatan ==
{{reflist}}

== Referensi ==
*{{cite book| last=Jacobson| first=Nathan| author-link=Nathan Jacobson| title=Basic Algebra I| url=https://archive.org/details/basicalgebra0000jaco| year=2009| edition=2nd| publisher=Dover Publications| isbn=978-0-486-47189-1| orig-year=1985}}
*{{Lang Algebra}}

== Pranala luar ==
*{{springer|title=Galois group|id=p/g043150}}
*[https://math.stackexchange.com/questions/248224/galois-group-and-the-quaternion-group Galois group and the Quaternion group] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220317172104/https://math.stackexchange.com/questions/248224/galois-group-and-the-quaternion-group |date=2022-03-17 }}
*{{MathPages|id=home/kmath290/kmath290|title=Galois Groups}}
*[https://math.stackexchange.com/questions/2470699/comparing-the-global-and-local-galois-groups-of-an-extension-of-number-fields Comparing the global and local galois groups of an extension of number fields] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210128205651/https://math.stackexchange.com/questions/2470699/comparing-the-global-and-local-galois-groups-of-an-extension-of-number-fields |date=2021-01-28 }}
*[https://www.math.ias.edu/~rtaylor/longicm02.pdf Galois Representations] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220120135836/https://www.math.ias.edu/~rtaylor/longicm02.pdf |date=2022-01-20 }} - [[Richard Taylor (mathematician)|Richard Taylor]]

[[Kategori:Teori Galois]]