Lihat sumber Geometri aljabar

{{short description|Cabang matematika}}
{{about|cabang matematika|buku oleh Robin Hartshorne|Geometri Aljabar (buku)|jurnal|Geometri Aljabar (jurnal)|sebuah struktur aljabar|Aljabar geometris}}
{{Refimprove|date=January 2020}}
[[Berkas:Togliatti surface.png|thumb|[[Permukaan Togliatti]] ini adalah [[permukaan aljabar]] derajat lima. Gambar tersebut mewakili sebagian dari [[lokus (matematika)|lokus]] aslinya.]]
{{General geometry |branches}}

'''Geometri aljabar''' merupakan cabang [[matematika]] yang mempelajari akar dari suatu [[Polinomial|suku banyak]]. Dalam kajian modern, digunakan berbagai alat dari [[aljabar abstrak]] seperti aljabar komutatif dan [[teori kategori]]. Studi geometri aljabar dilakukan dengan mengonstruksi suatu objek matematika (misalnya, skema dan sheaf) lalu kemudian meninjau hubungannya dengan struktur yang sudah dikenal. Berbagai alat ini dibuat untuk membantu memahami permasalahan mendasar terkait geometri.<ref>{{Cite book|title=Foundations of Algebraic Geometry|last=Vakil|first=Ravi|date=2017|publisher=|isbn=|location=|pages=|url-status=live}}</ref>

Salah satu objek fundamental dalam studi geometri aljabar adalah varietas aljabarik yang merupakan manifestasi geometris dari akar suatu sistem suku banyak. Dari struktur ini, dapat dikaji berbagai kurva aljabarik seperti [[garis]], [[parabola]], [[elips]], [[kurva eliptik]] dan lain-lain.

Geometri aljabar merupakan salah satu topik sentral dalam matematika dengan berbagai topik terkait seperti analisis kompleks, [[topologi]], [[teori bilangan]], [[teori kategori]], dan lain-lain.

Geometri aljabar menempati tempat sentral dalam matematika modern dan memiliki beberapa hubungan konseptual dengan berbagai bidang seperti [[analisis kompleks]], [[topologi]] dan [[teori bilangan]]. Awalnya studi tentang [[sistem persamaan polinomial]] dalam beberapa variabel, subjek geometri aljabar dimulai di mana [[pemecahan persamaan]] berhenti, ini mengarah ke beberapa daerah terdalam dalam semua matematika, baik secara konseptual maupun dalam istilah teknik.
<!-- paragraf ini salah tempat di depan. Mungkin di bagian sejarah?

[[Ide Descartes]] tentang [[koordinat]] adalah pusat geometri aljabar, karena '''titik''' dari suatu ragam aljabar adalah titik yang koordinatnya merupakan solusi dari persamaan yang mendefinisikan ragam. Namun, kota itu telah mengalami serangkaian transformasi luar biasa yang dimulai pada awal abad ke-19. Sebelum itu, koordinat diasumsikan sebagai [[tupel]] dari [[bilangan riil]], tetapi ini berubah ketika pertama [[bilangan kompleks]], dan kemudian elemen dari sembarang pada [[bidang (matematika)|bidang]]. [[Koordinat homogen]] dari [[geometri proyektif]] menawarkan perluasan pengertian sistem koordinat ke arah yang berbeda, dan memperkaya ruang lingkup geometri aljabar. -->

Pada abad ke-20, geometri aljabar terpecah menjadi beberapa subdaerah.
* Arus utama geometri aljabar dikhususkan untuk mempelajari titik-titik kompleks dari varietas aljabar dan lebih umum lagi pada titik-titik dengan koordinat dalam [[bidang tertutup aljabar]].
* [[Geometri aljabar nyata|Geometri aljabar]] real adalah ilmu yang mempelajari titik-titik real dari suatu ragam aljabar.
* [[Geometri Diofantin]] dan, secara lebih umum, [[geometri aritmetika]] adalah studi tentang titik varietas aljabar dengan koordinat di [[bidang (matematika)|bidang]] yang tidak [[tertutup secara aljabar]] dan terjadi di [[teori bilangan aljabar]], seperti bidang [[bilangan rasional]], [[bidang bilangan]], [[bidang terbatas]], [[bidang fungsi aljabar|bidang fungsi]], dan [[bilangan p-adik]].
* Sebagian besar [[Teori Singularitas#Singularitas dalam geometri aljabar|teori singularitas]] dikhususkan untuk singularitas varietas aljabar.
* [[#Geometri aljabar komputasi|Geometri aljabar komputasi]] adalah area yang muncul di persimpangan geometri aljabar dan [[aljabar komputer]], dengan munculnya komputer. Ini terutama terdiri dari [[algoritme]] desain dan [[perangkat lunak]] pengembangan untuk mempelajari sifat dari varietas aljabar yang diberikan secara eksplisit.

Banyak perkembangan arus utama geometri aljabar di abad ke-20 terjadi dalam kerangka aljabar abstrak, dengan peningkatan penekanan ditempatkan pada sifat "intrinsik" dari varietas aljabar yang tidak bergantung pada cara tertentu untuk menanamkan varietas dalam ruang koordinat ambien; ini paralel dengan perkembangan dalam [[topologi]], [[geometri diferensial|diferensial]] dan [[geometri kompleks]]. Salah satu pencapaian utama geometri aljabar abstrak ini adalah [[Grothendieck]] pada [[teori skema]] yang memungkinkan salah satunya untuk menggunakan [[teori gemal]] untuk mempelajari varietas aljabar dengan cara yang sangat mirip dengan penggunaannya dalam studi [[Manifold diferensial|lipatan diferensial]] dan [[Manifold kompleks|analitik]]. Ini diperoleh dengan memperluas pengertian titik: Dalam geometri aljabar klasik, titik dari varietas afin dapat diidentifikasi, melalui [[Hilbert Nullstellensatz]], dengan [[ideal maksimal]] dari [[gelanggang koordinat]], sedangkan titik dari skema afin yang sesuai adalah semua ideal utama dari gelanggang ini. Ini berarti bahwa titik dari skema seperti itu dapat berupa titik biasa atau subvarietas. Pendekatan ini juga memungkinkan penyatuan bahasa dan alat geometri aljabar klasik, terutama berkaitan dengan titik kompleks, dan teori bilangan aljabar. [[Bukti Wiles tentang Teorema Terakhir Fermat|Bukti Wiles]] dari konjektur lema yang disebut [[Teorema terakhir Fermat]] adalah contoh kekuatan pendekatan ini.

== Pengertian dasar ==
{{Further|Varietas aljabar}}

=== Angka nol dari polinomial simultan ===
[[Berkas:Slanted circle.png|thumb|right|Bola dan lingkaran miring]]
Dalam geometri aljabar klasik, objek utama yang menarik adalah kumpulan kumpulan [[polinomial]] yang hilang, artinya himpunan semua titik yang secara bersamaan memenuhi satu atau lebih [[sistem persamaan polinomial|persamaan polinomial]]. Misalnya, [[N-bola|dua dimensi]] pada [[bola (geometri)|bola]] dengan jari-jari 1 dalam tiga dimensi dalam [[Ruang Euklides]] <math>\R^3</math> dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik <math>(x,y,z)</math> dengan

:<math>x^2+y^2+z^2-1=0.\,</math>

Lingkaran "miring" pafd <math>\R^3</math> dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik <math>(x,y,z)</math> yang memenuhi dua persamaan polinomial

:<math>x^2+y^2+z^2-1=0,\,</math>
:<math>x+y+z=0.\,</math>

== Varietas afin ==
{{main|Varietas afin}}

Pertama kita mulai dengan [[bidang (matematika)|bidang]] <math>k</math>. Dalam geometri aljabar klasik, bidang ini selalu berupa bilangan kompleks <math>\mathbb{C}</math>, tetapi banyak dari hasil yang sama benar jika kita mengasumsikan bahwa <math>k</math> saja [[bidang tertutup aljabar|tertutup secara aljabar]]. Kita menganggap [[ruang affine|ruang afin]] dari dimensi <math>n</math> atas <math>k</math>, dilambangkan <math>\mathbf{A}^n(k)</math> (atau lebih sederhananya <math>\mathbf{A}^n</math>, ketika <math>k</math> jelas dari konteksnya). Ketika salah satunya menetapkan sistem koordinat, salah satunya dapat mengidentifikasi <math>\mathbf{A}^n(k)</math> dengan <math>k^n</math>. Tujuan tidak bekerja dengan <math>k^n</math> adalah untuk menekankan bahwa salah satunya "melakukan" sesuatu dengan struktur [[ruang vektor]] pada <math>k^n</math>.

Fungsi <math>f\colon \mathbf{A}^n \to \mathbf{A}^1</math> dikatakan sebagai ''polinomial'' (atau ''regular'') jika dapat ditulis dengan polinomial, yaitu jika pada polinomial <math>p</math> maka <math>k[x_1,\dots,x_n]</math> merupakan <math>f(M) = p(t_1,\dots,t_n)</math> untuk titik <math>M</math> dengan koordinat <math>(t_1,\dots,t_n)</math> di <math>\mathbf{A}^n</math>. Sifat suatu fungsi menjadi polinomial (atau beraturan) tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat di <math>\mathbf{A}^n</math>.

Ketika sistem koordinat dipilih, fungsi beraturan pada <math>n</math> sebagai ruang afin dapat diidentifikasi dengan gelanggang [[fungsi polinomial]] dalam variabel <math>n</math> pada <math>k</math>. Oleh karena itu, himpunan fungsi beraturan pada <math>\mathbf{A}^n</math> adalah sebuah gelanggang yang dilambangkan <math>k[\mathbf{A}^n]</math>.

Kita mengatakan bahwa polinomial ''lenyap'' pada suatu titik jika mengevaluasinya pada titik tersebut menghasilkan nol. Misalkan <math>S</math> adalah kumpulan polinomial masuk <math>k[\mathbf{A}^n]</math>. ''Himpunan lenyap dari <math>S</math>'' atau ''himpunan nol'' adalah himpunan <math>V(S)</math> dari semua titik di '''A'''<sup>''n''</sup> di mana setiap polinomial pada <math>S</math>. Secara simbolis,

:<math>V(S) = \{(t_1,\dots,t_n) \mid p(t_1,\dots,t_n) = 0 \text{ untuk semua } p \in S\}.\,</math>

Bagian dari <math>\mathbf{A}^n</math> yang mana adalah <math>V(S)</math>, untuk suatu <math>S</math>, disebut ''himpunan aljabar''. <math>V</math> adalah singkatan dari ''varietas'' (jenis himpunan aljabar tertentu akan didefinisikan di bawah).

Jawaban untuk pertanyaan pertama disediakan dengan memperkenalkan [[topologi Zariski]], sebuah topologi aktif <math>\mathbf{A}^n</math> yang himpunan tertutupnya adalah himpunan aljabar, dan yang secara langsung mencerminkan struktur aljabar <math>k[\mathbf{A}^n]</math>. Kemudian <math>U = V(I(U))</math> adalah <math>U</math> bagian himpunan aljabar atau ekuivalen dengan himpunan tertutup Zariski. Jawaban untuk pertanyaan kedua diberikan oleh [[Hilbert's Nullstellensatz]]. Dalam salah satu bentuknya, dikatakan demikian <math>I(V(S))</math> adalah [[radikal ideal|radikal]] dari ideal yang dihasilkan oleh <math>S</math>. Dalam bahasa yang lebih abstrak, ada [[koneksi Galois]], yang memunculkan dua [[operator penutupan]]; mereka dapat diidentifikasi, dan secara alami memainkan peran dasar dalam teori; [[koneksi Galois#Contoh|contoh]] diuraikan pada koneksi Galois.

Untuk berbagai alasan kita mungkin tidak selalu ingin bekerja dengan seluruh ideal yang sesuai dengan himpunan aljabar <math>U</math>. [[Teorema dasar Hilbert]] menyiratkan bahwa ideal dalam <math>k[\mathbf{A}^n]</math> selalu terbangkit hingga.

Beberapa penulis tidak membuat perbedaan yang jelas antara himpunan aljabar dan varietas dan menggunakan ''varietas taktereduksi'' untuk membuat perbedaan bila diperlukan.

=== Fungsi beraturan ===
{{main|Fungsi beraturan}}

Sama seperti [[fungsi kontinu]] adalah peta alami pada [[ruang topologi]] dan [[fungsi mulus]] adalah peta alami pada [[manifold diferensial]], terdapat kelas fungsi alami pada himpunan aljabar, yang disebut ''fungsi beraturan'' atau'' fungsi polinomial ''. fungsi beraturan pada himpunan aljabar <math>V</math> yang terdapat di <math>\mathbf{A}^n</math> adalah batasan untuk <math>V</math> dari fungsi beraturan di <math>\mathbf{A}^n</math>. Untuk himpunan aljabar yang ditentukan pada bidang [[bilangan kompleks]], fungsi beraturannya adalah mulus dan genap [[fungsi analitik|analitik]].

Mungkin tampak membatasi secara tidak wajar untuk mensyaratkan bahwa fungsi beraturan selalu diperluas ke ruang sekitar, tetapi sangat mirip dengan situasi pada [[ruang normal|normal]] [[ruang topologi]], dimana [[Teorema keberadaan Tietze]] menjamin bahwa fungsi kontinu pada [[himpunan bagian]] tertutup selalu meluas ke ruang topologi sekitar.

Seperti halnya fungsi beraturan pada ruang afin, fungsi beraturan pada <math>V</math> membentuk sebuah gelanggang, yang kita nyatakan dengan <math>k[V]</math>. Gelanggang ini disebut'' [[koordinat gelanggang]] dari <math>V</math> ''.

== Geometri aljabar real ==
{{main|Geometri aljabar real}}

Geometri aljabar real adalah ilmu yang mempelajari titik-titik real  dari varietas aljabar.

Fakta bahwa bidang [[Bilangan riil|bilangan real]] adalah [[bidang terurut]] tidak dapat diabaikan dalam studi semacam itu. Misalnya, kurva persamaan <math>x^2+y^2-a=0</math> adalah lingkaran jika <math> a>0</math>, tetapi tidak memiliki titik real jika <math> a<0</math>. Oleh karena itu, geometri aljabar real tidak hanya mempelajari varietas aljabar real, tetapi telah digeneralisasikan untuk mempelajari ''himpunan semi-aljabar'', yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan polinomial dan pertidaksamaan polinomial. Misalnya, cabang dari persamaan [[hiperbola]] <math>x y-1 = 0</math> bukan ragam aljabar, tetapi himpunan semi-aljabar yang didefinisikan oleh <math>x y-1=0</math> dan <math>x>0</math> atau oleh <math>x y-1=0</math> dan <math>x+y>0</math>.

Salah satu masalah yang menantang dari geometri aljabar real adalah [[masalah keenam belas Hilbert]] yang takterpecahkan: Tentukan posisi masing-masing yang mungkin untuk oval dari [[kurva bidang]] taksingular.

== Geometri aljabar komputasi ==
{{Bagian kosong}}<!--One may date the origin of computational algebraic geometry to meeting EUROSAM'79 (International Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation) held at [[Marseille]], France in June 1979. At this meeting,
* Dennis S. Arnon showed that [[George E. Collins]]'s [[Cylindrical algebraic decomposition]] (CAD) allows the computation of the topology of semi-algebraic sets,
* [[Bruno Buchberger]] presented the [[Gröbner basis|Gröbner bases]] and his algorithm to compute them,
* [[Daniel Lazard]] presented a new algorithm for solving systems of homogeneous polynomial equations with a [[computational complexity]] which is essentially polynomial in the expected number of solutions and thus simply exponential in the number of the unknowns. This algorithm is strongly related with [[Francis Sowerby Macaulay|Macaulay]]'s [[Resultant|multivariate resultant]].

Since then, most results in this area are related to one or several of these items either by using or improving one of these algorithms, or by finding algorithms whose complexity is simply exponential in the number of the variables.

A body of mathematical theory complementary to symbolic methods called [[numerical algebraic geometry]] has been developed over the last several decades.  The main computational method is [[homotopy continuation]].  This supports, for example, a model of [[floating point]] computation for solving problems of algebraic geometry.-->

=== Basis Gröbner ===

{{main|Bagian Dasar Gröbner}}

<!--A [[Gröbner basis]] is a system of [[Ideal (ring theory)#Definitions_and_motivation|generators]] of a polynomial [[ideal (ring theory)|ideal]] whose computation allows the deduction of many properties of the affine algebraic variety defined by the ideal.

Given an ideal ''I'' defining an algebraic set ''V'':
* ''V'' is empty (over an algebraically closed extension of the basis field), if and only if the Gröbner basis for any [[monomial order]]ing is reduced to {1}.
* By means of the [[Hilbert series]] one may compute the [[dimension of an algebraic variety|dimension]] and the [[degree of an algebraic variety|degree]] of ''V'' from any Gröbner basis of ''I'' for a monomial ordering refining the total degree.
* If the dimension of ''V'' is 0, one may compute the points (finite in number) of ''V'' from any Gröbner basis of ''I'' (see [[Systems of polynomial equations]]).
* A Gröbner basis computation allows one to remove from ''V'' all irreducible components which are contained in a given hypersurface.
* A Gröbner basis computation allows one to compute the Zariski closure of the image of ''V'' by the projection on the ''k'' first coordinates, and the subset of the image where the projection is not proper.
* More generally Gröbner basis computations allow one to compute the Zariski closure of the image and the [[critical point (mathematics)|critical point]]s of a rational function of ''V'' into another affine variety.

Gröbner basis computations do not allow one to compute directly the primary decomposition of ''I'' nor the prime ideals defining the irreducible components of ''V'', but most algorithms for this involve Gröbner basis computation. The algorithms which are not based on Gröbner bases use [[regular chain]]s but may need Gröbner bases in some exceptional situations.

Gröbner bases are deemed to be difficult to compute. In fact they may contain, in the worst case, polynomials whose degree is doubly exponential in the number of variables and a number of polynomials which is also doubly exponential. However, this is only a worst case complexity, and the complexity bound of Lazard's algorithm of 1979 may frequently apply. [[Faugère F5 algorithm]] realizes this complexity, as it may be viewed as an improvement of Lazard's 1979 algorithm. It follows that the best implementations allow one to compute almost routinely with algebraic sets of degree more than 100. This means that, presently, the difficulty of computing a Gröbner basis is strongly related to the intrinsic difficulty of the problem.

===Cylindrical algebraic decomposition (CAD)===
CAD is an algorithm which was introduced in 1973 by G. Collins to implement with an acceptable complexity the [[Tarski–Seidenberg theorem]] on [[quantifier elimination]] over the real numbers.

This theorem concerns the formulas of the [[first-order logic]] whose [[atomic formula]]s are polynomial equalities or inequalities between polynomials with real coefficients. These formulas are thus the formulas which may be constructed from the atomic formulas by the logical operators ''and'' (∧), ''or'' (∨), ''not'' (¬), ''for all'' (∀) and ''exists'' (∃). Tarski's theorem asserts that, from such a formula, one may compute an equivalent formula without quantifier (∀, ∃).

The complexity of CAD is doubly exponential in the number of variables. This means that CAD allows, in theory, to solve every problem of real algebraic geometry which may be expressed by such a formula, that is almost every problem concerning explicitly given varieties and semi-algebraic sets.

While Gröbner basis computation has doubly exponential complexity only in rare cases, CAD has almost always this high complexity. This implies that, unless if most polynomials appearing in the input are linear, it may not solve problems with more than four variables.

Since 1973, most of the research on this subject is devoted either to improve CAD or to find alternative algorithms in special cases of general interest.

As an example of the state of art, there are efficient algorithms to find at least a point in every connected component of a semi-algebraic set, and thus to test if a semi-algebraic set is empty. On the other hand, CAD is yet, in practice, the best algorithm to count the number of connected components.-->

{{Bagian kosong}}

== Kompleksitas asimtotik vs. efisiensi praktis ==
Algoritme umum dasar dari [[geometri komputasi]] memiliki kasus terburuk eksponensial ganda [[Teori kompleksitas komputasi|kompleksitas]]. Lebih tepatnya, jika <math>d</math> adalah derajat maksimal dari polinomial masukan dan <math>n</math> jumlah variabel, kompleksitasnya paling banyak. <math>d^{2^{c n}}</math> untuk beberapa konstanta <math>c</math>, dan, untuk beberapa masukan, paling tidak kompleksitasnya <math>d^{2^{c' n}}</math> untuk konstanta <math>c'</math> lainnya.

Selama 20 tahun terakhir abad ke-20, berbagai algoritme telah diperkenalkan untuk menyelesaikan sub-masalah tertentu dengan kompleksitas yang lebih baik. Sebagian besar algoritme ini memiliki kompleksitas <math>d^{O(n^2)}</math>.{{Citation needed|reason=klaim yang paling dan urutan membutuhkan pembuktian|date=November 2018}}

Di antara algoritme ini yang memecahkan submasalah dari masalah yang dipecahkan oleh basis Gröbner, salah satunya dapat mengutip '' pengujian jika varietas afin kosong '' dan '' menyelesaikan sistem polinomial takhomogen''. Algoritme semacam itu jarang diterapkan karena, pada sebagian besar entri [[Algoritme F4 dan F5 Faugère]] memiliki efisiensi praktis yang lebih baik dan mungkin kompleksitas yang serupa atau lebih baik (''mungkin ''karena evaluasi kompleksitas algoritma dasar Gröbner pada kelas entri tertentu adalah tugas yang sulit yang telah dilakukan hanya dalam beberapa kasus khusus).

Algoritme utama geometri aljabar real yang memecahkan masalah yang diselesaikan dengan CAD berhubungan dengan topologi himpunan semi-aljabar. Salah satunya mungkin mengutip'' menghitung jumlah komponen yang terhubung'', ''menguji jika dua titik berada dalam komponen yang sama'' atau'' menghitung [[stratifikasi Whitney]] dari himpunan aljabar real ''. Mereka memiliki kompleksitas <math>d^{O(n^2)}</math>, tetapi konstanta yang terlibat oleh notasi <math>O</math> begitu tinggi sehingga menggunakannya untuk memecahkan masalah taktrivial yang secara efektif diselesaikan oleh CAD, tidak mungkin bahkan jika salah satunya dapat menggunakan semua daya komputasi yang ada. Oleh karena itu, algoritme ini belum pernah diimplementasikan dan ini merupakan area penelitian aktif untuk mencari algoritme yang memiliki kompleksitas asimtotik yang baik dan efisiensi praktis yang baik.

== Lihat pula ==
{{div col |colwidth=27em}}
* [[Statistik aljabar]]
* [[Geometri diferensial]]
* [[Geometri kompleks]]
* [[Aljabar geometri]]
* [[Glosarium geometri aljabar klasik]]
* [[Teori irisan]]
* [[Daftar terbitan dalam matematika#Geometri aljabar|Terbitan penting dalam geometri aljabar]]
* [[Daftar permukaan aljabar]]
* [[Geometri aljabar takkomutatif]]
* [[Diffieti|Teori Diffieti]]
* [[Geometri aljabar diferensial]]
* [[Geometri aljabar real]]
* [[Aljabar taklinear]]
{{div col end}}

== Catatan ==
{{Notelist|30em}}{{empty section}}

== Referensi ==
{{Reflist|30em}}
== Daftar pustaka ==
* {{cite book |ref=harv |last=Kline |first=M. |date=1972 |title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times |volume=Volume 1 |publisher=Oxford University Press |isbn=0195061357}}

== Bacaan lebih lanjut ==
;Beberapa buku teks klasik yang mendahului skema:
* {{cite book
 |last=van der Waerden |first=B. L. |authorlink=B. L. van der Waerden
 |year = 1945
 |title = Einfuehrung in die algebraische Geometrie
 |publisher = [[Dover]]
}}
* {{cite book |last1=Hodge |first1=W. V. D. |authorlink1=W. V. D. Hodge |last2=Pedoe |first2=Daniel |authorlink2=Daniel Pedoe |title=Methods of Algebraic Geometry Volume 1 |year=1994 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-46900-5 |zbl=0796.14001}}
* {{cite book| last1 = Hodge| first1 = W. V. D.| authorlink1 = W. V. D. Hodge| last2 = Pedoe| first2 = Daniel| authorlink2 = Daniel Pedoe| title = Methods of Algebraic Geometry Volume 2| year = 1994| publisher = [[Cambridge University Press]]| isbn = 978-0-521-46901-2| zbl = 0796.14002 }}
* {{cite book| last1 = Hodge| first1 = W. V. D.| authorlink1 = W. V. D. Hodge| last2 = Pedoe| first2 = Daniel| authorlink2 = Daniel Pedoe| title = Methods of Algebraic Geometry Volume 3| year = 1994| publisher = [[Cambridge University Press]]| isbn = 978-0-521-46775-9| zbl = 0796.14003 }}

;Modern textbooks that do not use the language of schemes:
* {{cite book| last = Garrity| first = Thomas| title = Algebraic Geometry A Problem Solving Approach| year = 2013| publisher = [[American Mathematical Society]]| isbn = 978-0-821-89396-8|display-authors=etal}}
* {{cite book
 | last1=Griffiths | first1=Phillip | authorlink1=Phillip Griffiths
 | last2=Harris | first2=Joe | authorlink2=Joe Harris (mathematician)
 | year = 1994
 | title = Principles of Algebraic Geometry
 | publisher = [[Wiley-Interscience]]
 | isbn = 978-0-471-05059-9
 | zbl = 0836.14001
}}
* {{cite book| last = Harris| first = Joe| authorlink = Joe Harris (mathematician)| title = Algebraic Geometry A First Course| year = 1995| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]| isbn = 978-0-387-97716-4| zbl = 0779.14001 }}
* {{cite book| last = Mumford| first = David| authorlink = David Mumford| title = Algebraic Geometry I Complex Projective Varieties| edition = 2nd| year = 1995| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]| isbn = 978-3-540-58657-9| zbl = 0821.14001 }}
* {{cite book| last = Reid| first = Miles| authorlink = Miles Reid| title = Undergraduate Algebraic Geometry| url = https://archive.org/details/undergraduatealg0000reid| url-access = registration| year = 1988| publisher = [[Cambridge University Press]]| isbn = 978-0-521-35662-6| zbl = 0701.14001 }}
* {{cite book| last = Shafarevich| first = Igor| authorlink = Igor Shafarevich| title = Basic Algebraic Geometry I Varieties in Projective Space| edition = 2nd| year = 1995| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]| isbn = 978-0-387-54812-8| zbl = 0797.14001| url-access = registration| url = https://archive.org/details/basicalgebraicge00irsh}}

;Textbooks in computational algebraic geometry
* {{cite book |last1=Cox |first1=David A. |authorlink1=David A. Cox |last2=Little |first2=John |last3=O'Shea |first3=Donal |title=Ideals, Varieties, and Algorithms |edition=2nd |year=1997 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |isbn=978-0-387-94680-1 |zbl=0861.13012}}
* {{cite book | last1=Basu | first1=Saugata | last2=Pollack | first2=Richard | last3=Roy | first3=Marie-Françoise | year=2006 | title=Algorithms in real algebraic geometry | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] | url=http://perso.univ-rennes1.fr/marie-francoise.roy/bpr-ed2-posted1.html | access-date=2020-10-12 | archive-date=2022-11-16 | archive-url=https://web.archive.org/web/20221116144409/https://perso.univ-rennes1.fr/marie-francoise.roy/bpr-ed2-posted1.html | dead-url=no }}
* {{cite book
 | last1=González-Vega |first1=Laureano
 | last2=Recio |first2=Tómas 
 | year = 1996
 | title = Algorithms in algebraic geometry and applications
 | publisher = Birkhaüser
}}
* {{cite book
 | editor1-last=Elkadi |editor1-first=Mohamed 
 | editor2-last=Mourrain |editor2-first=Bernard 
 | editor3-last=Piene |editor3-first=Ragni 
 | year = 2006
 | title = Algebraic geometry and geometric modeling
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
}}
* {{cite book
 | editor1-last=Dickenstein |editor1-first=Alicia|editor1-link=Alicia Dickenstein
 | editor2-last=Schreyer |editor2-first=Frank-Olaf
 | editor3-last=Sommese |editor3-first=Andrew J.
 | year = 2008
 | title = Algorithms in Algebraic Geometry
 | volume=146
 | series=The IMA Volumes in Mathematics and its Applications
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
 | isbn=9780387751559
 | lccn=2007938208
}}
* {{cite book
 | last1=Cox |first1=David A. |authorlink1=David A. Cox
 | last2=Little |first2=John B.
 | last3=O'Shea |first3=Donal 
 | year = 1998
 | title = Using algebraic geometry
 | url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4757-6911-1 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
}}
* {{cite book
 | last1=Caviness |first1=Bob F.
 | last2=Johnson |first2=Jeremy R. 
 | year = 1998
 | title = Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
}}

;Textbooks and references for schemes:
* {{cite book |last1=Eisenbud |first1=David |authorlink1=David Eisenbud |last2=Harris |first2=Joe |authorlink2=Joe Harris (mathematician) |title=The Geometry of Schemes |url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-0-387-22639-2 |year=1998 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |isbn=978-0-387-98637-1 |zbl=0960.14002}}
* {{cite book
 | last=Grothendieck |first=Alexander |authorlink=Alexander Grothendieck
 | year = 1960
 | title = Éléments de géométrie algébrique
 | publisher = [[Publications Mathématiques de l'IHÉS]]
 | zbl = 0118.36206
|title-link=Éléments de géométrie algébrique }}
* {{cite book |last1=Grothendieck |first1=Alexander |authorlink1=Alexander Grothendieck |last2=Dieudonné |first2=Jean Alexandre |title=Éléments de géométrie algébrique |edition=2nd |volume=1 |year=1971 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |isbn=978-3-540-05113-8 |zbl=0203.23301|title-link=Éléments de géométrie algébrique }}
* {{cite book |last=Hartshorne |first=Robin |authorlink=Robin Hartshorne |title=Algebraic Geometry |year=1977 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |isbn=978-0-387-90244-9 |zbl=0367.14001|title-link=Algebraic Geometry (book) }}
* {{cite book |last=Mumford |first=David |authorlink=David Mumford |title=The Red Book of Varieties and Schemes Includes the Michigan Lectures on Curves and Their Jacobians |url=https://archive.org/details/redbookofvarieti0002mumf |edition=2nd |year=1999 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |isbn=978-3-540-63293-1 |zbl=0945.14001}}
* {{cite book| last = Shafarevich| first = Igor| authorlink = Igor Shafarevich| title = Basic Algebraic Geometry II Schemes and complex manifolds| edition = 2nd| year = 1995| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]| isbn = 978-3-540-57554-2| zbl = 0797.14002| url-access = registration| url = https://archive.org/details/basicalgebraicge00irsh}}

== Pranala luar ==
{{Wikiquote}}
* [http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGnov1817public.pdf ''Dasar-dasar Geometri Aljabar'' oleh Ravi Vakil, 808 pp.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191130195401/http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGnov1817public.pdf |date=2019-11-30 }}
* [https://web.archive.org/web/20040415021548/http://planetmath.org/encyclopedia/AlgebraicGeometry.html ''Geometri aljabar''] di [http://planetmath.org/ PlanetMath]
* [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/van_der_waerden_-_algebraic_geometry.pdf Terjemahan bahasa Inggris dari buku teks van der Waerden] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230326032125/http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/van_der_waerden_-_algebraic_geometry.pdf |date=2023-03-26 }}
* {{cite web |first=Jean |last=Dieudonné |authorlink=Jean Dieudonné |date=March 3, 1972 |title=Sejarah Geometri Aljabar |url=https://www.youtube.com/watch?v=Jzx-0poj3Eo |publisher=Bicara di Departemen Matematika [[University of Wisconsin – Milwaukee]] |via=[[YouTube]] |access-date=2020-10-12 |archive-date=2023-05-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230509213053/https://www.youtube.com/watch?v=Jzx-0poj3Eo |dead-url=no }} 
* [http://stacks.math.columbia.edu/ The Stacks Project] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230713123015/https://stacks.math.columbia.edu/ |date=2023-07-13 }}, sebuah buku teks ''open source'' dan referensi bekerja pada tumpukan aljabar dan geometri aljabar

{{Bidang matematika | state=collapsed}}

{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Geometri Aljabar}}
[[Kategori:Geometri aljabar| ]]
[[Kategori:Bidang matematika]]
[[Kategori:Geometri]]