Lihat sumber Fungsi zeta Riemann

[[File:Cplot zeta.svg|right|thumb|250px|Fungsi zeta Riemann {{math|''ζ''(''z'')}} digambarkan dengan [[pewarnaan domain]].<ref>{{cite web|url=http://nbviewer.ipython.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb |title=Jupyter Notebook Viewer|website=Nbviewer.ipython.org|access-date=2017-01-04}}</ref>]]
[[File:Riemann-Zeta-Detail.png|right|thumb|200px|Pole di <math>z=1</math> dan dua akar di garis kritis.]]
'''Fungsi zeta Riemann''' atau '''fungsi zeta Euler–Riemann''' adalah fungsi variabel kompleks, dilambangkan dengan huruf Yunani <math>\zeta</math> (zeta), yang dirumuskan sebagai berikut

:<math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots</math>, jika <math>\operatorname{Re}(s) > 1</math>, dan melalui pengontinuan analitik jika <math>\mathrm{Re}(s)\leq 1</math> .<ref>Steuding, Jörn; Suriajaya, Ade Irma (1 November 2020). "Value-Distribution of the Riemann Zeta-Function Along Its Julia Lines". ''Computational Methods and Function Theory''. '''20''' (3): 389–401. doi:10.1007/s40315-020-00316-x. ISSN 2195-3724. S2CID 216323223. "Teorema 2 menyiratkan bahwa fungsi ζ memiliki singularitas di tak terhingga."</ref>

Fungsi ini memiliki peranan yang krusial pada [[teori bilangan analitik]] dan juga memiliki aplikasi pada [[fisika]], teori probabilitas, dan [[statistika]] terapan.

Fungsi ini pertama kali diperkenalkan oleh [[Leonhard Euler]], namun awalnya ia memperkenalkan fungsi ini sebagai fungsi real pada abad ke-18. Kemudian, pada 1859, [[Georg Friedrich Bernhard Riemann|Bernhard Riemann]] memperluas definisi yang diberikan oleh Euler, menjadikan fungsi ini sebagai fungsi [[Bidang kompleks|kompleks]] yang meromorfik, memberikan persamaan fungsional untuk fungsi ini dan memaparkan hubungan antara nol dari fungsi ini dan [[Teorema bilangan prima|distribusi bilangan prima]], melalui artikelnya yang berjudul "''On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude"''. Artikel ini juga memuat [[hipotesis Riemann]], suatu konjektur tentang distribusi nol kompleks dari fungsi zeta Riemann. Banyak matematikawan berpandangan bahwa hipotesis ini merupakan salah satu masalah terpenting di bidang [[matematika murni]].<ref>{{Cite web|last=Bombieri|first=Enrico|title=The Riemann Hypothesis – official problem description|url=http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf|website=Clay Mathematics Institute|access-date=2014-08-08|archive-date=2015-12-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20151222090027/http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf|dead-url=yes}}</ref>

Nilai dari fungsi zeta Riemann pada bilangan genap positif telah ditemukan oleh Euler. Nilai <math>\zeta(2)</math>, khususnya, menyelesaikan permasalahan Basel. Pada 1979, Roger Apéry membuktikan bahwa <math>\zeta(3)</math> bernilai irasional. Euler juga menemukan nilai fungsi zeta Riemann pada [[bilangan bulat]] negatif yang merupakan bilangan rasional dan memiliki peranan penting pada [[bentuk modular]]. Fungsi zeta Riemann juga memiliki perumuman, seperti deret Dirichlet, fungsi-L Dirichlet, dan fungsi-L.

== Definisi ==
Fungsi zeta Riemann <math>\zeta(s)</math> adalah fungsi variabel kompleks <math>s=\sigma+it</math>. (Penggunaan notasi <math>s, \sigma,</math> dan <math>t</math> di sini mengikuti notasi yang awalnya digunakan Riemann untuk memelajari fungsi <math>\zeta</math>). Jika <math>\mathrm{Re}(s)=\sigma>1</math>, fungsi ini dapat dituliskan sebagai deret atau integral konvergen berikut:<math display="block">\zeta(s)=\sum

_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1} dx,</math>dengan<math display="block">\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty} x^{s-1}e^{x} dx</math>adalah [[Fungsi gamma|fungsi Gamma]]. Untuk nilai kompleks lainnya, fungsi zeta Riemann didefinisikan melalui pengontinuan analitik dari fungsi yang telah didefinisikan untuk <math>\mathrm{Re}(s)=\sigma>1</math>.

Leonhard Euler menggunakan definisi deret di atas untuk bilangan bulat positif <math>s</math> pada 1740, dan kemudian Chebyshev memperluas definisi  ini untuk <math>\sigma>1</math>.<ref>{{Cite book|last=Devlin|first=Keith|date=2002|title=The Millennium Problems: The seven greatest unsolved mathematical puzzles of our time.|url=https://archive.org/details/millenniumproble0000devl|location=New York|publisher=Barnes & Noble|isbn=978-0-7607-8659-8|pages=[https://archive.org/details/millenniumproble0000devl/page/43 43]–47|url-status=live}}</ref>

Deret di atas merupakan prototipe dari deret Dirichlet yang konvergen mutlak ke suatu fungsi analitik untuk <math>s</math> dengan <math>\sigma>1</math> dan divergen untuk nilai <math>s</math> lainnya. Riemann menunjukkan bahwa fungsi yang didefinisikan oleh deret yang konvergen hanya pada setengah bidang kompleks memiliki pengontinuan analitik ke seluruh nilai kompleks <math>s \neq 1</math>. Untuk <math>s=1</math>, deret di atas adalah [[Deret harmonik (matematika)|deret harmonik]] yang divergen menuju <math>+\infty</math>, dan<math display="block">\lim_{s \rightarrow 1}(s-1)\zeta(s)=1.</math>

Dengan demikian, fungsi zeta Riemann merupakan fungsi meromorfik pada bidang kompleks , yang holomorfik di mana-mana, kecuali di <math>s=1</math> yang merupakan kutub sederhana dengan residu 1.

== Identitas darab Euler ==
Pada 1737, hubungan antara fungsi zeta dan [[bilangan prima]] ditemukan oleh Euler, yang membuktikan [[Bukti rumus darab Euler untuk fungsi zeta Riemann|membuktikan identitas berikut.]]

: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prima}} \frac{1}{1-p^{-s}},</math>

dengan bentuk matematika pada ruas kiri adalah {{math|''ζ''(''s'')}} dari definisi dan pada ruas kanan adalah [[Darab takhingga|darab (perkalian) tak hingga]] yang menjangkau seluruh bilangan prima ''{{mvar|p}}'' (bentuk demikian disebut [[darab Euler]]):

: <math>\prod_{p \text{ prima}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}}\cdot\frac{1}{1-11^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots</math>

Kedua ruas pada identitas darab Euler konvergen jika {{math|Re(''s'') > 1}}.  [[Bukti rumus darab Euler untuk fungsi zeta Riemann|Identitas Euler]] di atas dapat dibuktikan dengan hanya menggunakan [[Deret geometrik|deret geometri]] dan [[Fundamental theorem of arithmetic|teorema dasar aritmetika]]. Karena [[Deret harmonik (matematika)|deret harmonik]], yang diperoleh dengan mensubstitusi {{math|''s'' {{=}} 1}} pada ekspresi matematika di atas, divergen, identitas Euler (yang menjadi {{math|Π<sub>''p''</sub> {{sfrac|''p''|''p'' − 1}}}}) memberikan bukti bahwa [[Teorema Euklid|banyaknya bilangan prima adalah tak hingga]].<ref>{{cite book|last=Sandifer|first=Charles Edward|date=2007|title=How Euler Did It|publisher=Mathematical Association of America|isbn=978-0-88385-563-8|page=193}}</ref> Karena logaritma dari {{math|{{sfrac|''p''|''p'' − 1}}}} mendekati {{math|{{sfrac|1|''p''}}}}, identitas ini dapat digunakan untuk membuktikan hasil yang lebih kuat bahwa deret resiprokal bilangan prima divergen menuju tak hingga. Di sisi lain, hasil ini dan tapis Erasthothenes memperlihatkan bahwa kepadatan himpunan bilangan prima dalam himpunan [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] adalah nol.

Identitas darab Euler dapat digunakan untuk menghitung [[Kepadatan asimtotik|peluang asimtotik]] terpilihnya ''{{mvar|s}}'' bilangan bulat positif yang membentuk himpunan yang koprima pada pengambilan ''{{mvar|s}}'' bilangan bulat positif secara acak. Secara intituitif, peluang sebuah bilangan habis dibagi suatu bilangan prima (atau sembarang bilangan bulat positif)  ''{{mvar|p}}'' adalah {{math|{{sfrac|1|''p''}}}}.  Akibatnya, peluang semua ''{{mvar|s}}'' bilangan yang terpilih habis dibagi bilangan ''{{mvar|p}}'' adalah {{math|{{sfrac|1|''p''{{isup|''s''}}}}}}, dan peluang setidaknya ada satu bilangan yang ''tidak'' habis dibagi ''{{mvar|p}}'' adalah {{math|1 − {{sfrac|1|''p''{{isup|''s''}}}}}}. Untuk sembarang prima yang berbeda, kejadian keterbagian ini saling bebas, sebab kandidat pembaginya (yaitu bilangan-bilangan prima) saling koprima. Dengan demikian, peluang asimtotik terpilihnya ''{{mvar|s}}'' bilangan bulat positif yang membentuk himpunan yang koprima diberikan oleh darab berikut yang menjangkau seluruh bilangan prima,

: <math>\prod_{p \text{ prima}} \left(1-\frac{1}{p^s}\right) = \left( \prod_{p \text{ prima}} \frac{1}{1-p^{-s}} \right)^{-1} = \frac{1}{\zeta(s)}. </math>

== Persamaan fungsional Riemann ==
Fungsi zeta memenuhi [[persamaan fungsional]]<math display="block">\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s),</math>dengan {{math|Γ(''s'')}} adalah [[Fungsi gamma|fungsi Gamma]]. Ini adalah persamaan fungsi meromorfik yang valid di seluruh bidang kompleks. Persamaan ini menghubungkan nilai dari fungsi zeta Riemann di titik ''{{mvar|s}}'' dan {{math|1 − ''s''}}, khususnya mengaitkan nilai fungsi ini di titik bilangan bulat positif dengan titik bilangan ganjil negatif. Karena fungsi sinus di persamaan memiliki nol sederhana di setiap bilangan bulat, persamaan fungsional ini menunjukkan bahwa {{math|''ζ''(''s'')}} memiliki nol sederhana di setiap bilangan bulat negatif {{math|1=''s'' = −2''n''}}, yang dikenal sebagai '''nol trivial''' dari {{math|''ζ''(''s'')}}. Di sisi lain, jika ''{{mvar|s}}'' adalah bilangan genap positif, hasi kali {{math|sin({{sfrac|''πs''|2}})Γ(1 − ''s'')}} pada ruas kanan bernilai tidak nol karena {{math|Γ(1 − ''s'')}} memiliki kutub sederhana, yang dapat dicoret dengan nol sederhana dari fungsi sinus.

{{Math proof|title=Bukti persamaan fungsional Riemann|proof=Bukti dari persamaan fungsional Riemann adalah sebagai berikut:
Perhatikan bahwa jika <math>\sigma > 0</math>,  berlaku
<math display="block">\int_0^\infty x^{{1\over2}{s} - 1}e^{-n^2\pi x}\, dx = {\Gamma \left({s\over2}\right)\over{n^s\pi^{s \over 2}}}.</math>

Akibatnya, jika  <math>\sigma > 1</math> maka 
<math display="block"> 
\frac{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)}{ \pi^{\frac s 2} } = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty x^{{s\over 2}-1} e^{-n^2 \pi x}\, dx = \int_0^\infty x^{{s\over 2}-1} \sum_{n=1}^\infty e^{-n^2 \pi x}\, dx,</math>
Perhatikan bahwa penukaran deret dan integral valid dari konvergensi mutlak (oleh karenanya syarat pada <math>\sigma</math> diperketat).

Untuk memudahkan, misalkan
<math display="block">\psi(x) := \sum_{n=1}^\infty e^{-n^2 \pi x}.</math>

Maka <math display="block">\zeta(s) = {\pi^{s\over2}\over\Gamma({s \over 2})} \int_0^\infty x^{{1\over2}{s} - 1}\psi(x)\, dx.</math>

Dari [[Identitas deret Poisson]], berlaku <math display="block">\sum_{n=-\infty}^\infty {e^{-n^2 \pi x}} = {1 \over \sqrt x}\sum_{n=-\infty}^\infty {e^{-n^2 \pi \over x}},</math>

sehingga <math display="block">2 \psi(x)+1 = {1\over \sqrt x} \left\{2\psi \left ( {1 \over x} \right )+1\right\}.</math>

Akibatnya, <math display="block">\pi^{-{s \over 2}} \Gamma \left ( {s \over 2} \right ) \zeta (s) = \int_0^1 x^{{s\over 2}-1} \psi(x) \, dx + \int_1^\infty x^{{s\over 2}-1} \psi(x) \, dx,</math>

yang ekuivalen dengan <math display="block">\int_0^1 x^{{s \over 2}-1} \left\{ {1\over \sqrt x} \psi \left ( {1 \over x} \right ) + {1\over 2 \sqrt x} - {1 \over 2} \right\} \, dx + \int_1^\infty x^{{s\over 2}-1} \psi(x) \, dx</math>
atau
<math display="block">
{1 \over {s-1}} - {1\over s} + \int_0^1 x^{{s\over 2}-{3\over 2}} \psi \left ( {1 \over x} \right ) \, dx + \int_1^\infty x^{{s\over 2}-1} \psi(x) \, dx 
.</math>

Sekarang,
<math display="block">
\pi^{-{s \over 2}} \Gamma \left ( {s \over 2} \right ) \zeta (s)={1 \over {s({s-1})}} + \int_1^\infty \left ({x^{-{{s}\over 2}-{1\over 2}} + x^{{{s}\over 2}-1}} \right ) \psi(x) \, dx
</math>

yang konvergen untuk setiap ''s'', sehingga identitas ini berlaku dari pengontinuan analitik. Lebih lanjut lagi, ruas sebelah kanan juga tidak berubah jika ''s'' diganti menjadi 1&nbsp;−&nbsp;''s'', sehingga
<math display="block">\pi^{-{s \over 2}} \Gamma \left ( {s \over 2} \right ) \zeta (s) = \pi^{-{1 \over 2} + {s \over 2}} \Gamma \left ( {1 \over 2} - {s \over 2} \right ) \zeta (1-s)</math>
yang merupakan persamaan fungsional di atas.
{{cite book|title=The Theory of the Riemann Zeta-function |publisher=Oxford Science Publications|date=1986|edition=2nd |pages=21–22|author=E. C. Titchmarsh| location=[[Oxford]] |isbn=0-19-853369-1}} Attributed to [[Bernhard Riemann]].}}Persamaan fungsional ini dibuktikan oleh Riemann pada tahun 1859 di artikelnya berjudul "[[On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude]]". Dia menggunakan persamaan ini untuk mengkonstruksi pengontinuan analitik dari fungsi zeta yang awalnya didefinisikan hanya untuk <math>\sigma>1</math>. Pada 1749, Euler sebenarnya telah membuat suatu konjektur yang ekuivalen dengan persamaan fungsional Riemann. Konjektur ini memberikan identitas [[fungsi eta Dirichlet]] (fungsi zeta ganti tanda):<math display="block">\eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = \left(1-{2^{1-s}}\right)\zeta(s).</math>Ternyata, hubungan ini dapat digunakan untuk menghitung {{math|''ζ''(''s'')}} pada daerah 0 < {{math|Re(''s'')}} < 1, i.e.<math display="block">\zeta(s)=\frac{1}{1-{2^{1-s}}} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s}</math>dengan deret pada fungsi ''η'' [[Deret konvergen|konvergen]] (walaupun [[Konvergensi mutlak|tidak secara mutlak]]) pada bidang kompleks dengan bagian real {{math|''s'' > 0}} (untuk survei yang lebih mendetail mengenai sejarah persamaan fungsional Riemann, lihat Blagouchine<ref>{{cite conference|first=I.V.|last=Blagouchine|date=1 March 2018|title=The history of the functional equation of the zeta-function|conference=Seminar on the History of Mathematics|publisher=Steklov Institute of Mathematics|place=St.&nbsp;Petersburg, RU|url=http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?&presentid=19339&option_lang=eng|postscript=;}} {{cite web|title=online PDF|url=https://iblagouchine.perso.centrale-marseille.fr/Blagouchine-The-history-of-the-functional-equation-of-the-zeta-function-(1-March-2018).php|access-date=2023-01-22|archive-date=2018-05-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20180502212646/https://iblagouchine.perso.centrale-marseille.fr/Blagouchine-The-history-of-the-functional-equation-of-the-zeta-function-(1-March-2018).php|dead-url=yes}}</ref><ref>{{cite journal|last=Blagouchine|first=I.V.|year=2014|title=Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results|url=https://link.springer.com/article/10.1007/s11139-013-9528-5|journal=The Ramanujan Journal|volume=35|issue=1|pages=21–110|doi=10.1007/s11139-013-9528-5|s2cid=120943474|access-date=2018-02-01|archive-date=2017-12-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20171212193059/https://link.springer.com/article/10.1007/s11139-013-9528-5|dead-url=no}}

{{cite journal|last=Blagouchine|first=I.V.|year=2017|title=Addendum|url=https://iblagouchine.perso.centrale-marseille.fr/Blagouchine-Malmsten-integrals-and-their-evaluation-by-contour-integration-methods-(Ramanujan-J-2014).php|journal=The Ramanujan Journal|volume=42|pages=777–781|doi=10.1007/s11139-015-9763-z|s2cid=125198685|access-date=2023-01-22|archive-date=2018-05-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20180502212749/https://iblagouchine.perso.centrale-marseille.fr/Blagouchine-Malmsten-integrals-and-their-evaluation-by-contour-integration-methods-(Ramanujan-J-2014).php|dead-url=yes}}</ref>).

Riemann juga menemukan versi simetris dari persamaan fungsional dengan menerapkannya ke fungsi-xi:<math display="block">\xi(s) = \frac{1}{2} \pi^{-\frac{s}{2}}s(s-1)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s),</math>yang memenuhi:<math display="block">\xi(s) = \xi(1 - s).</math>([[Fungsi Ξ Riemann|Fungsi awal {{math|''ξ''(''t'')}}]] versi Riemann awalnya didefinisikan sedikit berbeda dengan versi sekarang)

Semasa Riemann, faktor  <math>\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)</math> pada persamaan fungsional Riemann tidak begitu dipahami, sampai [[John Tate (mathematician)|John Tate]] (1950) membahasnya pada [[Tesis Tate|tesisnya]]. Ia menunjukkan bahwa "faktor Gamma" ini adalah [[Local L-factor|faktor-L lokal]] yang berpadanan dengan [[tempat Archimedes]] (''Archimedean places''), sedangkan faktor lainnya pada ekspansi darab Euler adalah faktor-L lokal dari tempat nonArchimedes.

== Nol, garis kritis, dan hipotesis Riemann ==
{{main|Hipotesis Riemann}}
[[Berkas:Zero-free_region_for_the_Riemann_zeta-function.svg|ka|jmpl|300x300px|Fungsi zeta Riemann tidak memiliki nol nontrivial di sebelah kanan garis {{math|''σ'' {{=}} 1}} ataupun di sebelah kiri garis  {{math|''σ'' {{=}} 0}} (begitupula di daerah yang cukup dekat dengan salah satu dari kedua garis ini). Selain itu, the nol fungsi zeta Riemann yang nontrivial bersifat simetris terhadap sumbu real dan garis  {{math|''σ'' {{=}} {{sfrac|1|2}}}} dan, menurut [[hipotesis Riemann]], semua nol nontrivial fungsi zeta Riemann terdapat pada garis {{math|''σ'' {{=}} {{sfrac|1|2}}}}.]]
[[Berkas:Zeta_polar.svg|ka|jmpl|300x300px|Gambar ini memberikan grafik fungsi Riemann zeta pada garis kritis untuk nilai real ''{{mvar|t}}'' bergerak dari 0 ke 34. Lima nol pertama pada pita kritis terlihat sebagai titik pada spiral yang melalui titik asal.]]
[[Berkas:RiemannCriticalLine.svg|jmpl|300x300px|Bagian real (merah) dan bagian imajiner (biru) dari fungsi zeta Riemann pada garis kritis Re(''s'') = 1/2. Nol nontrivial pertama dapat dilihat pada Im(''s'') = ±14.135, ±21.022 and ±25.011.]]
Persamaan fungsional Riemann menunjukkan bahwa fungsi zeta Riemann memiliki nol pada {{nowrap|−2, −4,...}}. Semua nol tersebut dikenal sebagai '''nol trivial,''' karena eksistensi semua nol ini relatif lebih mudah untuk dibuktikan, misalnya dari {{math|sin {{sfrac|π''s''|2}}}} bernilai 0 pada persamaan fungsional. Nol nontrivial lebih menarik perhatian, karena tidak hanya distribusinya yang tidak begitu dipahami, namun utamanya karena nol nontrivial dari fungsi ini memiliki konsekuensi mengenai bilangan prima dan objek terkait pada teori bilangan. Hasil sejauh ini telah menunjukkan bahwa nol nontrivial fungsi zeta Riemann terdapat pada pita terbuka <math>\{s \in \mathbb{C} : 0 < \operatorname{Re}(s) < 1\}</math>, yang disebut '''pita kritis'''.  Himpunan<math>\{s \in \mathbb{C} : \operatorname{Re}(s) = 1/2\}</math> disebut '''garis kritis'''. [[Hipotesis Riemann]], salah satu masalah matematika belum terpecahkan yang paling sulit, mengklaim bahwa semua nol nontrivial terdapat pada garis kritis. Pada 1989, Conrey membuktikan bahwa lebih dari 40% nol nontrivial dari fungsi Riemann zeta terdapat pada garis kritis.<ref>{{cite journal|last=Conrey|first=J. B.|author-link=Brian Conrey|year=1989|title=More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line|url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002206781|journal=J. Reine Angew. Math.|volume=1989|issue=399|pages=1–26|doi=10.1515/crll.1989.399.1|mr=1004130|s2cid=115910600|access-date=2023-01-25|archive-date=2023-07-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20230726140210/https://www.digizeitschriften.de/id/243919689_0399%7Clog4|dead-url=no}}</ref>

Untuk fungsi zeta Riemann pada garis kritis, lihat [[Fungsi-Z|''{{mvar|Z}}''-function]].
{| class="wikitable"
|+Lima nol nontrivial pertama<ref>{{cite web|author=[[Eric Weisstein]]|title=Riemann Zeta Function Zeros|url=https://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeros.html|access-date=2021-04-24|archive-date=2023-07-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20230706115106/https://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeros.html|dead-url=no}}</ref><ref>{{cite web|author=The L-functions and Modular Forms Database|title=Zeros of &zeta;(''s'')|url=https://www.lmfdb.org/zeros/zeta/|access-date=2023-01-25|archive-date=2023-07-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20230706134132/https://www.lmfdb.org/zeros/zeta/|dead-url=no}}</ref>
!Nol
|-
|1/2 ± 14.134725 ''i''
|-
|1/2 ± 21.022040 ''i''
|-
|1/2 ± 25.010858 ''i''
|-
|1/2 ± 30.424876 ''i''
|-
|1/2 ± 32.935062 ''i''
|-
|1/2 ± 37.586178 ''i''
|}

=== Banyak nol pada pita kritis ===
Misalkan <math>N(T)</math> adalah banyaknya nol dari <math>\zeta(s)</math> pada pita kritis <math>0 < \operatorname{Re}(s) < 1</math>, yang bagian imajinernya berada pada selang <math>0 < \operatorname{Im}(s) < T</math>. Trudgian membuktikan bahwa, jika <math>T > e</math>, maka<ref>{{cite journal|last=Trudgian|first=Timothy S.|date=2014|title=An improved upper bound for the argument of the Riemann zeta function on the critical line II|journal=J. Number Theory|volume=134|pages=280–292|arxiv=1208.5846|doi=10.1016/j.jnt.2013.07.017}}</ref>

: <math>|N(T) - \frac{T}{2\pi} \log{\frac{T}{2\pi e}}| \leq 0.112 \log T + 0.278 \log\log T + 3.385 + \frac{0.2}{T}</math>.

=== Konjektur Hardy–Littlewood ===
Pada 1914, [[G. H. Hardy|Godfrey Harold Hardy]] membuktikan bahwa banyaknya nol real dari {{math|''ζ'' ({{sfrac|1|2}} + ''it'')}} adalah tak hingga.<ref>{{Cite journal|last1=Hardy|first1=G. H.|last2=Fekete|first2=M.|last3=Littlewood|first3=J. E.|date=1921-09-01|title=The Zeros of Riemann's Zeta-Function on the Critical Line|url=https://zenodo.org/record/1447415|journal=Journal of the London Mathematical Society|volume=s1-1|pages=15–19|doi=10.1112/jlms/s1-1.1.15|access-date=2023-01-25|archive-date=2023-02-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20230224125634/https://zenodo.org/record/1447415|dead-url=no}}</ref>

Hardy dan [[John Edensor Littlewood]]  merumuskan dua konjektur mengenai kepadatan dan jarak antara nol-nol dari {{math|''ζ'' ({{sfrac|1|2}} + ''it'')}} pada selang di antara dua bilangan real positif yang cukup besar. Kali ini, misalkan {{math|''N''(''T'')}} adalah banyaknya nol real dan {{math|''N''<sub>0</sub>(''T'')}} adalah banyaknya nol dari fungsi {{math|''ζ'' ({{sfrac|1|2}} + ''it'')}} pada interval {{math|(0, ''T'']}} yang memiliki orde ganjil.{{numbered list|Untuk setiap {{math|''ε'' > 0}}, terdapat {{math|''T''<sub>0</sub>(''ε'') > 0}} sedemikian sehingga jika
:<math>T \geq T_0(\varepsilon) \quad\text{ and }\quad H=T^{\frac14+\varepsilon},</math>
interval {{math|(''T'', ''T'' + ''H'']}} memuat nol dengan orde ganjil.|Untuk setiap {{math|''ε'' > 0}}, terdapat {{math|''T''<sub>0</sub>(''ε'') > 0}} dan {{math|''c<sub>ε</sub>'' > 0}} sedemikian sehingga pertidaksamaan
:<math>N_0(T+H)-N_0(T) \geq c_\varepsilon H</math>
berlaku jika
:<math>T \geq T_0(\varepsilon) \quad\text{ dan }\quad H=T^{\frac12+\varepsilon}.</math>}}Kedua konjektur ini memberikan pendekatan baru dalam menyelidiki fungsi zeta Riemann.

=== Daerah bebas nol ===
Dalam teori bilangan, lokasi nol dari fungsi zeta Riemann adalah hal yang sangatlah penting. [[Teorema bilangan prima]] ekuivalen dengan pernyataan bahwa tidak ada nol dari fungsi zeta Riemann yang berada pada garis {{math|Re(''s'') {{=}} 1}}.<ref name="Diamond1982">{{cite journal|last=Diamond|first=Harold G.|year=1982|title=Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=7|issue=3|pages=553–89|doi=10.1090/S0273-0979-1982-15057-1|mr=670132|doi-access=free}}</ref> Penggunaan [[teorema nilai rata-rata Vinogradov]] memberikan hasil yang lebih baik daripada hasil sebelumnya,<ref>{{cite journal|last1=Ford|first1=K.|year=2002|title=Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function|journal=Proc. London Math. Soc.|volume=85|issue=3|pages=565–633|arxiv=1910.08209|doi=10.1112/S0024611502013655|s2cid=121144007}}</ref> bahwa  {{math|''ζ'' (''σ'' + ''it'') ≠ 0}} jika<math>\sigma\ge 1-\frac{1}{57.54(\log{|t|})^\frac23(\log{\log{|t|}})^\frac13}</math> and {{math|{{abs|''t''}} ≥ 3}}.

Pada 2015, Mossinghoff dan Trudgian menunjukkan<ref>{{cite journal|last1=Mossinghoff|first1=Michael J.|last2=Trudgian|first2=Timothy S.|year=2015|title=Nonnegative trigonometric polynomials and a zero-free region for the Riemann zeta-function|journal=J. Number Theory|volume=157|pages=329–349|arxiv=1410.3926|doi=10.1016/J.JNT.2015.05.010|s2cid=117968965}}</ref> bahwa fungsi zeta tidak memiliki nol pada daerah

: <math>\sigma\ge 1 - \frac{1}{5.573412 \log|t|}</math>

untuk {{math|{{abs|''t''}} ≥ 2}}. Hingga saat ini, daerah tersebut masih merupakan daerah bebas nol terbesar yang telah diketahui pada pita kritis dengan  <math>3.06 \cdot 10^{10} < |t| < \exp(10151.5) \approx 5.5 \cdot 10^{4408} </math> .

Perwujudan terkuat hasil semacam ini adalah terbuktinya hipotesis Riemann, yang akan memiliki banyak konsekuensi penting pada teori bilangan.

=== Hasil-hasil lain ===
Fungsi zeta Riemann memliki tak hingga banyaknya nol pada garis kritis. [[John Edensor Littlewood|Littlewood]] menunjukkan bahwa jika barisan ({{math|''γ<sub>n</sub>''}}) merupakan barisan bagian imajiner semua nol fungsi zeta Riemann pada [[setengah bidang atas]] diurutkan dari terkecil menuju terbesar, maka

: <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\gamma_{n+1}-\gamma_n\right)=0.</math>

[[Teorema garis kritis]] menyatakan bahwa perbandingan antara banyaknya nol pada garis kritis dan banyaknya nol pada pita kritis bernilai lebih besar daripada nol. (Hipotesis Riemann mengimplikasikan bahwa nilai perbandingan ini adalah 1.)

Pada pita kritis, nol dengan bagian imajiner nonnegatif terkecil adalah {{math|{{sfrac|1|2}} + 14.13472514...''i''}} ({{OEIS2C|A058303}}). Karena

: <math>\zeta(s)=\overline{\zeta(\overline{s})}</math>

untuk setiap bilangan kompleks {{math|''s'' ≠ 1}}, lokasi nol dari fungsi Riemann zeta simetris terhadap sumbu real. Dari simetri ini dan persamaan fungsional, nol nontrivial dari fungsi zeta Riemann simetris terhadap garis kritis {{math|Re(''s'') {{=}} {{sfrac|1|2}}}}.

Tidak ada nol dari fungsi zeta Riemann yang berada pada garis dengan bagian real 1.

Secara asimtotik, terdapat tak hingga nol pada garis kritis yang ordinatnya dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan transedental yang aproksimasi solusinya diberikan sebagai berikut {{Clarify|reason=Unclear statement below with sloppy undefined notation; see talk page|date=January 2023|text=Asymptotically, there are an infinite number of zeros on the critical line whose ordinates can be determined by solving  a transcendental equation whose approximate solution is given by|pre-text=remove or}}:<ref>{{cite journal|last1=LeClair|first1=André|last2=França|first2=Guilherme|title=Transcendental equations satisfied by the individual zeros of Riemann ζ, Dirichlet and modular L-functions|journal=Communications in number theory and physics|volume=9|issue=1|pages=1-20|doi=10.4310/CNTP.2015.v9.n1.a1}}</ref>

: <math>\gamma_n \approx 2 \pi \frac{n-\frac{11}{8}}{W(\frac{n-\frac{11}{8}}{e})}</math>

dengan <math>W(x)</math> adalah [[fungsi Lambert W]].

== Nilai spesifik ==
{{main|Nilai fungsi zeta Riemann di titik-titik tertentu}}

Untuk sembarang bilangan bulat positif {{math|2''n''}},<math display="block"> \zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!},</math>dengan {{math|''B''<sub>2''n''</sub>}} adalah [[bilangan Bernoulli]] ke-{{math|2''n''}}. Untuk bilangan ganjil positif, sejauh ini belum ditemukan rumus sederhana untuk mencari nilai fungsi zeta Riemann, walaupun nilai fungsi zeta Riemann untuk bilangan ganjil positif sepertinya memiliki kaitan dengan teori-K aljabar dari bilangan bulat; lihat [[nilai spesial fungsi-L]].

Untuk bilangan bulat nonpositif,<math display="block">\zeta(-n)= (-1)^n\frac{B_{n+1}}{n+1}</math>untuk {{math|''n'' ≥ 0}} (dengan menggunakan konvensi {{math|''B''<sub>1</sub> {{=}} &minus;{{sfrac|1|2}}}}). Khususnya, ''{{mvar|ζ}}'' bernilai nol pada bilangan genap negatif, karena {{math|''B''<sub>''m''</sub> {{=}} 0}} untuk semua bilangan ganjil ''{{mvar|m}}'' selain&nbsp;1. Bilangan-bilangan ini biasanya disebut sebagai "nol trivial" dari fungsi zeta..

Melalui [[pengontinuan analitik]], nilai<math display="block">\zeta(-1) = -\tfrac{1}{12}</math>Hal ini yang sebenarnya menjadi dalih mengapa deret yang sebenarnya divergen [[1 + 2 + 3 + 4 + ⋯]] terkadang ditulis sama dengan <math>-\frac{1}{12}</math>, yang digunakan pada berbagai konteks tertentu ([[penjumlahan Ramanujan]]), seperti [[teori dawai]].<ref name="polchinski">{{cite book|last=Polchinski|first=Joseph|year=1998|title=An Introduction to the Bosonic String|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-63303-1|series=String Theory|volume=I|page=22|author-link=Joseph Polchinski}}</ref>  Serupa, nilai<math display="block">\zeta(0) = -\tfrac{1}{2}</math>dapat dipandang sebagai menuliskan deret divergen [[1 + 1 + 1 + 1 + ⋯]] bernilai <math>-\frac{1}{2}</math>.

Nilai<math display="block">\zeta\bigl(\tfrac12\bigr) = -1.46035450880958681288\ldots</math>digunakan untuk menghitung masalah kinetik batas lapisan pada persamaan kinetik linear.<ref>{{cite journal|last1=Kainz|first1=A. J.|last2=Titulaer|first2=U. M.|date=1992|title=An accurate two-stream moment method for kinetic boundary layer problems of linear kinetic equations|journal=J. Phys. A: Math. Gen.|volume=25|issue=7|pages=1855–1874|bibcode=1992JPhA...25.1855K|doi=10.1088/0305-4470/25/7/026}}</ref><ref>Further digits and references for this constant are available at {{OEIS2C|id=A059750}}.</ref>

Walaupun<math display="block">\zeta(1) = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \cdots</math>divergen, [[Nilai Prinsipal Cauchy|nilai prinsipal Cauchy]]<math display="block"> \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\zeta(1+\varepsilon)+\zeta(1-\varepsilon)}{2}</math>ada dan bernilai [[Konstanta Euler–Mascheroni|konstanta Euler-Mascheroni]] {{math|''γ'' {{=}} 0.5772...}}.<ref name="Sondow1998">{{cite journal|last1=Sondow|first1=Jonathan|date=1998|title=An antisymmetric formula for Euler's constant|url=http://home.earthlink.net/~jsondow/id8.html|journal=Mathematics Magazine|volume=71|issue=3|pages=219–220|doi=10.1080/0025570X.1998.11996638|archive-url=https://web.archive.org/web/20110604123534/http://home.earthlink.net/~jsondow/id8.html|archive-date=2011-06-04|access-date=2006-05-29}}</ref>

Pembuktian bahwa nilai<math display="block">\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>dikenal sebagai [[masalah Basel]]. Kebalikan dari deret ini merupakan jawaban dari pertanyaan berikut: ''Berapa peluang dua bilangan yang terpilih secara acak bersifat [[Koprima (bilangan)|relatif prima]]?''<ref>{{cite book|last1=Ogilvy|first1=C. S.|last2=Anderson|first2=J. T.|date=1988|title=Excursions in Number Theory|url=https://archive.org/details/excursionsinnumb0000ogil|publisher=Dover Publications|isbn=0-486-25778-9|pages=[https://archive.org/details/excursionsinnumb0000ogil/page/29 29]–35|author-link=C. Stanley Ogilvy}}</ref> Nilai<math display="block">\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots = 1.202056903159594285399...</math>adalah [[konstanta Apéry]].

Dengan menggunakan limit <math>s \rightarrow +\infty</math> pada bilangan real, nilai <math>\zeta (+\infty) = 1</math>. Namun, pada [[tak hingga kompleks]] di [[permukaan bola Riemann]], fungsi zeta Riemann memiliki [[kesingularan esensial]].<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Steuding|first1=Jörn|last2=Suriajaya|first2=Ade Irma|date=2020-11-01|title=Value-Distribution of the Riemann Zeta-Function Along Its Julia Lines|url=https://doi.org/10.1007/s40315-020-00316-x|journal=Computational Methods and Function Theory|language=en|volume=20|issue=3|pages=389–401|doi=10.1007/s40315-020-00316-x|issn=2195-3724|quote=Theorem 2 implies that ζ has an essential singularity at infinity|s2cid=216323223|access-date=2023-01-27|archive-date=2023-07-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20230726140211/https://link.springer.com/article/10.1007/s40315-020-00316-x|dead-url=no}}</ref>

== Sifat fungsi zeta Riemann ==
Untuk deret yang melibatkan nilai fungsi zeta pada himpunan bilangan bulat <math display="inline">\mathbb{Z}</math> atau himpunan setengah bilangan bulat<math display="inline">\left(\left\{\frac{n}{2}: n \in \mathbb{Z} \right\}\right)</math>, lihat [[deret zeta rasional]].

=== Kebalikan fungsi zeta Riemann ===
Kebalikan dari fungsi zeta Riemann dapat dituliskan sebagai [[deret Dirichlet]] pada [[fungsi Möbius]] {{math|''μ''(''n'')}}:

: <math>\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}</math>

untuk setiap bilangan kompleks ''{{mvar|s}}'' dengan bilangan real lebih besar daripada 1. Ada berbagai identitas serupa dengan kesamaan di atas yang melibatkan [[Fungsi multiplikatif|fungsi-fungsi multiplikatif]] yang biasa dikenal; yang dapat dillihat pada artikel [[deret Dirichlet]].

<!--The paragraph below needs to be explained better; we need a section on RH equivalents.-->Hipotesis Riemann ekuivalen dengan klaim bahwa identitas di atas juga berlaku apabila bagian real dari ''{{mvar|s}}'' lebih besar daripada {{sfrac|1|2}}.

=== Keuniversalan fungsi zeta Riemann ===
Pita kritis fungsi zeta Riemann memiliki sifat '''keuniversalan'''. [[Keuniversalan fungsi zeta Riemann]] menyatakan bahwa ada beberapa lokasi pada pita kritis yang dapat mengaproksimasi sembarang fungsi zeta Riemann dengan baik. [[Fungsi holomorfik]] merupakan fungsi yang sangatlah umum, sehingga ini adalah sifat yang luar biasa. Bukti pertama dari keuniversalan fungsi zeta Riemann diberikan oleh Sergei Mikhailovitch Voronin pada 1975.<ref>{{cite journal|last=Voronin|first=S. M.|date=1975|title=Theorem on the Universality of the Riemann Zeta Function|journal=Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem.|volume=39|pages=475–486}} Reprinted in ''Math. USSR Izv.'' (1975) '''9''': 443–445.</ref> Setelahnya, muncul artikel yang memuat versi "efektif" dari teorema Voronin<ref>{{cite journal|author1=Ramūnas Garunkštis|author2=Antanas Laurinčikas|author3=Kohji Matsumoto|author4=Jörn Steuding|author5=Rasa Steuding|date=2010|title=Effective uniform approximation by the Riemann zeta-function|journal=Publicacions Matemàtiques|volume=54|issue=1|pages=209–219|doi=10.1090/S0025-5718-1975-0384673-1|jstor=43736941|doi-access=free}}</ref> dan juga memperluas teorema tersebut pada [[fungsi-L Dirichlet]].<ref>{{cite journal|author=Bhaskar Bagchi|date=1982|title=A Joint Universality Theorem for Dirichlet L-Functions|journal=Mathematische Zeitschrift|volume=181|issue=3|pages=319–334|doi=10.1007/bf01161980|issn=0025-5874|s2cid=120930513}}</ref><ref>{{cite book|last=Steuding|first=Jörn|date=2007|title=Value-Distribution of L-Functions|location=Berlin|publisher=Springer|isbn=978-3-540-26526-9|series=Lecture Notes in Mathematics|volume=1877|page=19|arxiv=1711.06671|doi=10.1007/978-3-540-44822-8}}</ref>

=== Estimasi dari modulus maksimum fungsi zeta Riemann ===
Misalkan fungsi {{math|''F''(''T'';''H'')}} dan {{math|''G''(''s''<sub>0</sub>;Δ)}} didefinisikan sebagai berikut

: <math> F(T;H) = \max_{|t-T|\le H}\left|\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)\right|,\qquad G(s_{0};\Delta) = \max_{|s-s_{0}|\le\Delta}|\zeta(s)|. </math>

Variabel ''{{mvar|T}}'' di sini merepresentasikan suatu bilangan positif yang cukup besar, {{math|0 < ''H'' ≪ log log ''T''}}, {{math|''s''<sub>0</sub> {{=}} ''σ''<sub>0</sub> + ''iT''}}, {{math|{{sfrac|1|2}} ≤ ''σ''<sub>0</sub> ≤ 1}}, {{math|0 < Δ < {{sfrac|1|3}}}}. Estimasi batas bawah ''{{mvar|F}}'' dan ''{{mvar|G}}'' memberikan gambaran seberapa besar (modulus) nilai  {{math|''ζ''(''s'')}} pada subinterval kecil dari garis kritis atau pada lingkungan kecil dari titik-titik pada pita kritis {{math|0 ≤ Re(''s'') ≤ 1}}.

Kasus {{math|''H'' ≫ log log ''T''}} diteliti oleh [[Kanakanahalli Ramachandra]];  sedangkan kasus  {{math|Δ > ''c''}}, dengan {{math|''c''}} adalah suatu konstanta yang cukup besar, bersifat trivial.

[[Anatolii Alexeevitch Karatsuba|Anatolii Karatsuba]], membuktikan,<ref>{{cite journal|last=Karatsuba|first=A. A.|year=2001|title=Lower bounds for the maximum modulus of {{math|''ζ''(''s'')}} in small domains of the critical strip|journal=Mat. Zametki|volume=70|issue=5|pages=796–798}}</ref><ref>{{cite journal|last=Karatsuba|first=A. A.|year=2004|title=Lower bounds for the maximum modulus of the Riemann zeta function on short segments of the critical line|journal=Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat.|volume=68|issue=8|pages=99–104|bibcode=2004IzMat..68.1157K|doi=10.1070/IM2004v068n06ABEH000513|s2cid=250796539}}</ref> khususnya, bahwa jika nilai ''{{mvar|H}}'' dan {{math|Δ}} melewati suatu konstanta cukup kecil tertentu, dua estimasi berikut

: <math> F(T;H) \ge T^{- c_1},\qquad G(s_0; \Delta) \ge T^{-c_2}, </math>

berlaku, dengan {{math|''c''<sub>1</sub>}} dan {{math|''c''<sub>2</sub>}} adalah suatu konstanta mutlak tertentu.

== Referensi ==
{{Reflist}}{{Daftar fungsi matematika}}
{{Deret (matematika)}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Teori bilangan analitik]]
[[Kategori:Fungsi meromorfik]]
[[Kategori:Bernhard Riemann]]