Lihat sumber Fungsi Lambert W

{{Short description|"Fungsi" multinilai}}
{{DISPLAYTITLE:Fungsi Lambert ''W''}}
[[Gambar:Mplwp lambert W branches.svg|thumb|288px|right|Grafik {{math|1=''y'' = ''W''(''x'')}} nyata {{math|''x'' < 6}} dan {{math|''y'' > −4}}. Cabang atas (biru) dengan {{math|''y'' ≥ −1}} adalah grafik fungsi {{math|''W''<sub>0</sub>}} (principal branch), cabang bawah (magenta) dengan {{math|''y'' ≤ −1}} adalah grafik fungsi {{math|''W''<sub>−1</sub>}}. Nilai minimum '' x '' adalah pada {−1/''e'',−1}]]{{Periksa terjemahan|en|Lambert W function}}
Dalam [[matematika]], '''Fungsi Lambert {{mvar | W}}''', juga disebut '''fungsi omega''' atau '''logaritma produk''', adalah [[multinilai fungsi]], yaitu [[Titik cabang|cabang]] dari [[hubungan terbalik]] fungsi {{math|''f''(''w'') {{=}} ''we''<sup>''w''</sup>}}, dengan {{mvar | w}} adalah salah satu [[bilangan kompleks]] dan {{math|''e''<sup>''w''</sup>}} adalah [[fungsi eksponensial]].

Untuk setiap bilangan bulat {{math | '' k ''}} ada satu cabang, dilambangkan dengan {{math|''W<sub>k</sub>''(''z'')}}, yang merupakan fungsi bernilai kompleks dari satu argumen kompleks. {{math|''W''<sub>0</sub>}} dikenal sebagai [[cabang utama]]. Fungsi-fungsi ini memiliki properti berikut: jika {{math | '' z ''}} dan {{math | '' w ''}} adalah bilangan kompleks, maka
:<math>w e^{w} = z</math>

memegang jika dan hanya jika

:<math>w=W_k(z) \ \ \text{ untuk beberapa bilangan bulat } k.</math>

Saat berhadapan dengan [[Bilangan riil|bilangan real]] saja, kedua cabang tersebut {{math|''W''<sub>0</sub>}} dan {{math|''W''<sub>−1</sub>}} cukup: untuk bilangan real {{math | '' x ''}} dan {{math | '' y ''}} persamaan
:<math>y e^{y} = x</math>
bisa diselesaikan untuk {{math | '' y ''}} hanya jika {{math|''x'' ≥ −{{sfrac|1|''e''}}}}; kita mendapatkan {{math|''y'' {{=}} ''W''<sub>0</sub>(''x'')}} jika {{math|''x'' ≥ 0}} dan dua nilai {{math|''y'' {{=}} ''W''<sub>0</sub>(''x'')}} dan {{math|''y'' {{=}} ''W''<sub>−1</sub>(''x'')}} jika {{math|−{{sfrac|1|''e''}} ≤ ''x'' < 0}}.

Relasi Lambert {{mvar|W}} tidak bisa diekspresikan dalam istilah [[fungsi dasar]].<ref>{{citation
 | last = Chow | first = Timothy Y.
 | doi = 10.2307/2589148
 | issue = 5
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | mr = 1699262
 | pages = 440–448
 | title = What is a closed-form number?
 | volume = 106
 | year = 1999| arxiv = math/9805045
 | jstor = 2589148
 }}.</ref> Ini berguna dalam [[kombinatorik]], misalnya, dalam pencacahan [[grafik pohon|pohon]]. Ini dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai persamaan yang melibatkan eksponensial (misalnya maksimum dari [[hukum Planck|Planck]], [[Distribusi Bose–Einstein|Bose–Einstein]], dan [[Distribusi Fermi-Dirac]]) dan juga terjadi dalam larutan [[penundaan diferensial]], seperti {{math|''y''′(''t'') {{=}} ''a'' ''y''(''t'' − 1)}}. Dalam [[biokimia]], dan khususnya [[kinetika enzim]], solusi bentuk terbuka untuk analisis kinetika waktu-kursus dari [[kinetika Michaelis–Menten]] dijelaskan dalam istilah fungsi Lambert {{mvar | W}}.

:[[Gambar:Product Log.jpg|thumb|288px|Cabang utama dari fungsi Lambert {{mvar | W}} di bidang kompleks. Perhatikan [[potongan cabang]] di sepanjang sumbu nyata negatif, berakhir pada {{math|−{{sfrac|1|''e''}}}}. Dalam gambar ini, rona suatu titik {{mvar | z}} ditentukan oleh [[argumen (analisis kompleks)|argumen]] dari {{math|''W''(''z'')}}, dan kecerahan dengan [[nilai absolut]] dari {{math|''W''(''z'')}}.]]

[[Gambar:Lambert-modulus-HSV.png|thumb|300px|Modulus dari cabang utama fungsi Lambert {{mvar | W}}, diwarnai sesuai dengan {{math | [[argumen (analisis kompleks) | arg]] ''W''(''z'')}}]]

== Istilah ==
Fungsi Lambert {{mvar | W}} dinamai [[Johann Heinrich Lambert]]. Cabang utama {{math|''W''<sub>0</sub>}} dilambangkan dengan {{mvar | Wp}} di [[Perpustakaan Digital Fungsi Matematika]], dan cabangnya {{math|''W''<sub>−1</sub>}} dilambangkan dengan {{mvar | Wm}} di sana.

Konvensi notasi yang dipilih di sini (dengan {{math|''W''<sub>0</sub>}} dan {{math|''W''<sub>−1</sub>}}) mengikuti referensi kanonis pada fungsi Lambert {{mvar | W}} oleh Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey dan [[Donald Knuth|Knuth]].<ref name = "Corless">{{cite journal
  | last1 = Corless
  | first1 = R. M.
  | last2 = Gonnet
  | first2 = G. H.
  | last3 = Hare
  | first3 = D. E. G.
  | last4 = Jeffrey
  | first4 = D. J.
  | last5 = Knuth
  | first5 = D. E.
  | author5-link = Donald Knuth
  | title = On the Lambert ''W'' function
  | journal = Advances in Computational Mathematics
  | volume = 5
  | pages = 329–359
  | year = 1996
  | url = http://kong.apmaths.uwo.ca/~rcorless/frames/PAPERS/LambertW/LambertW.ps
  | format = PostScript
  | doi = 10.1007/BF02124750
  | arxiv = 1809.07369
  | s2cid = 29028411
  | access-date = 2020-10-20
  | archive-date = 2011-08-28
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20110828181912/http://kong.apmaths.uwo.ca/~rcorless/frames/PAPERS/LambertW/LambertW.ps
  | dead-url = yes
  }}</ref>

Nama "logaritma produk" dapat dipahami sebagai berikut: Karena [[fungsi invers]] dari {{math|''f''(''w'') {{=}} ''e''<sup>''w''</sup>}} disebut [[logaritma]], masuk akal untuk memanggil fungsi invers dari [[Produk (matematika)|produk]] {{math| ''we''<sup>''w''</sup>}} sebagai "logaritma produk". Ini terkait dengan [[Konstanta Omega]], yang sama dengan {{math|''W''<sub>0</sub>(1)}}.

== Sejarah ==

Lambert pertama kali mempertimbangkan ''Persamaan Transendental Lambert'' terkait pada 1758,<ref>Lambert J. H., [http://www.kuttaka.org/~JHL/L1758c.pdf "Observationes variae in mathesin puram"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220128224332/http://www.kuttaka.org/~JHL/L1758c.pdf |date=2022-01-28 }}, ''Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica'', Band III, 128–168, 1758.</ref> yang mengarah ke artikel oleh [[Leonhard Euler]] pada tahun 1783<ref>Euler, L. [http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E532.pdf "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120729112325/http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E532.pdf |date=2012-07-29 }}. ''Acta Acad. Scient. Petropol. 2'', 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L.  ''Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae''. Leipzig,  Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921.</ref> yang membahas kasus khusus {{math|''we<sup>w</sup>''}}.

Fungsi yang dianggap Lambert adalah 
: <math>x = x^m + q.</math>

Euler mengubah persamaan ini menjadi bentuk
: <math>x^a - x^b = (a - b) c x^{a + b}.</math>

Kedua penulis mendapatkan solusi seri untuk persamaan mereka.

Setelah Euler menyelesaikan persamaan ini, dia mempertimbangkan kasusnya {{math|1=''a'' = ''b''}}. Mengambil batasan dia menurunkan persamaan
: <math>\ln x = c x^a.</math>

Dia kemudian meletakkan {{math | 1 = '' a '' = 1}} dan memperoleh solusi deret konvergen untuk persamaan yang dihasilkan, mengekspresikan '' x '' dalam suku-suku '' c ''.

Setelah mengambil turunan sehubungan dengan {{math | '' x ''}} dan beberapa manipulasi, diperoleh bentuk standar dari fungsi Lambert.

Pada tahun 1993, ketika dilaporkan bahwa fungsi Lambert {{mvar | W}} memberikan solusi yang tepat untuk kuantum-mekanik [[Potensial delta#Potensi delta ganda|model fungsi delta sumur Dirac]] untuk muatan yang sama—masalah mendasar dalam fisika — Tanpa biji dan pengembang sistem aljabar komputer [[Perangkat lunak Maple|Maple]] melakukan pencarian perpustakaan dan menemukan bahwa fungsi ini ada di mana-mana.<ref name = "Corless" /><ref name="corless_maple">{{cite journal |first1=R. M. |last1=Corless |first2=G. H. |last2=Gonnet |first3=D. E. G. |last3=Hare |first4=D. J. |last4=Jeffrey |title=Lambert's ''W'' function in Maple |journal=The Maple Technical Newsletter |volume=9 |issue= |pages=12–22 |year=1993 |citeseerx = 10.1.1.33.2556 }}</ref>

Contoh lain di mana fungsi ini ditemukan adalah di [[kinetika Michael–Menten]].

Meskipun sudah menjadi pengetahuan cerita rakyat bahwa fungsi Lambert {{mvar | W}} tidak dapat diekspresikan dalam istilah fungsi dasar (Liouvillian), bukti terbitan pertama tidak muncul hingga 2008.<ref>{{cite journal |first1=Manuel |last1=Bronstein |first2=Robert M. |last2=Corless |first3=James H. |last3=Davenport |first4=D.J. |last4= Jeffrey |title=Algebraic properties of the Lambert ''W'' function from a result of Rosenlicht and of Liouville |journal=Integral Transforms and Special Functions |volume=19 |issue=10 |pages=709–712 |year=2008 |doi=10.1080/10652460802332342 }}</ref>

== Sifat dasar, cabang dan jangkauan ==
[[Berkas:Imaginary_part_of_the_Lambert_W(n,x%2Bi_y)_for_various_branches_(n).jpg|thumb|right|Plot bagian imajiner dari W [n, x + i y] untuk cabang n=-2,-1,0,1,2. Plotnya mirip dengan fungsi multinilai [[logaritma kompleks]] kecuali jarak antar sheet tidak konstan dan sambungan sheet utama berbeda]]

Ada banyak sekali cabang dari fungsi {{mvar | W}}, dilambangkan dengan {{math|''W<sub>k</sub>''(''z'')}}, untuk bilangan bulat {{mvar|k}}; {{math|''W''<sub>0</sub>(''z'')}} menjadi cabang utama (atau kepala sekolah).  {{math|''W''<sub>0</sub>(''z'')}} didefinisikan untuk semua bilangan kompleks '' z '' sementara {{math|''W<sub>k</sub>''(''z'')}} dengan {{math|''k'' ≠ 0}} didefinisikan untuk semua bukan nol '' z ''. Kita punya  {{math|''W''<sub>0</sub>(0) {{=}} 0}} dan {{math|{{underset|''z''&rarr;0|lim}} ''W''<sub>''k''</sub>(''z'') {{=}} −∞}}  untuk semua {{math|''k'' ≠ 0}}.

Titik cabang untuk cabang utama ada di {{math|''z'' {{=}} −{{sfrac|1|''e''}}}}, dengan potongan cabang yang meluas ke {{math | −∞}} sepanjang sumbu negatif nyata. Potongan cabang ini memisahkan cabang utama dari dua cabang {{math|''W''<sub>−1</sub>}} dan {{math|''W''<sub>1</sub>}}.  Di semua cabang {{math|''W<sub>k</sub>''}} dengan {{math|''k'' ≠ 0}}, ada titik bercabang di {{math | '' z '' {{=}} 0}} dan sebuah cabang dipotong di sepanjang sumbu nyata negatif.

Fungsi {{math|''W<sub>k</sub>''(''z''), ''k'' &isin; '''Z'''}} semuanya [[Fungsi (matematika)#Fungsi injektif|injektif]] dan rentangnya terputus-putus. Rentang dari seluruh fungsi multinilai {{mvar | W}} adalah bidang kompleks.  Bayangan dari sumbu nyata adalah gabungan dari sumbu nyata dan [[kuadratrik dari Hippias]], kurva parametrik {{math|''w'' {{=}} −''t'' cot ''t'' + ''it''}}.

{{Clear}}

=== Invers ===

[[Berkas:InvertW.jpg|thumb|left|Wilayah bidang kompleks yang untuknya {{tmath|1=W(n,ze^z) = z}}. Batas yang lebih gelap dari suatu kawasan tertentu disertakan dalam kawasan berwarna lebih terang dengan warna yang sama. Titik di {-1,0} disertakan di kedua {{tmath|1=n=-1}} wilayah (biru) dan wilayah {{tmath | 1 = n = 0}} (abu-abu). Garis kisi horizontal adalah kelipatan π. 
]]

Plot rentang di atas juga menggambarkan daerah dalam bidang kompleks tempat hubungan inbers sederhana '{{tmath|1=W(n,ze^z) = z}} adalah benar. ''f''=''ze<sup>z</sup>'' menyiratkan bahwa ada '' n '' seperti itu {{tmath|1=z=W(n,f)=W(n,ze^z)}}, di mana '' n '' akan bergantung pada nilai '' z ''. Nilai bilangan bulat '' n '' akan berubah secara tiba-tiba saat ''ze<sup>z</sup>'' berada di potongan cabang {{tmath|1=W(n,ze^z)}} yang berarti itu {{math|''ze<sup>z</sup>'' &le; 0}}, kecuali untuk {{tmath | 1=n=0}} di mana tempatnya {{math|''ze<sup>z</sup>'' &le; -1/''e''}}.

Menetapkan {{tmath|1=z=x+iy}} di mana '' x '' dan '' y ''. Mengekspresikan '' e <sup> z </sup> '' dalam koordinat polar, terlihat bahwa:

:<math>
\begin{align}
ze^z  & = (x+i y)e^x(\cos(y)+i \sin(y)) \\
& = e^x (x \cos(y)-y \sin(y)) + i e^x (x \sin(y)+y \cos(y)) \\
\end{align}
</math>

Untuk <math>n \neq 0</math>, cabang dipotong untuk {{tmath|1=W[n,ze^z]}} akan menjadi sumbu nyata non-positif sehingga:
:<math>x \sin(y)+y \cos(y)=0 \Rightarrow x=-y/\tan(y) </math>
dan
:<math>(x \cos(y)-y \sin(y))e^x \leq 0</math>
Untuk <math>n = 0</math>, cabang dipotong untuk {{tmath|1=W[n,z e^z]}} akan menjadi sumbu nyata dengan <math>-\infty < z \leq -1/e</math> sehingga ketimpangan menjadi:
:<math>(x \cos(y)-y \sin(y))e^x \leq -1/e</math>

Di dalam wilayah yang dibatasi oleh hal di atas, tidak akan ada perubahan yang terputus-putus {{tmath|1=W(n,ze^z)}} dan wilayah tersebut akan menentukan di mana fungsi '' W '' dapat dibalik: yaitu {{tmath|1=W(n,ze^z) = z}}.

{{Clear}}

== Kalkulus ==

=== Turunan ===
Dengan [[diferensiasi implisit]], seseorang dapat menunjukkan bahwa semua cabang dari {{mvar | W}} memenuhi [[persamaan diferensial biasa|persamaan diferensial]]

:<math>z(1 + W) \frac{dW}{dz} = W \quad \text{untuk } z \neq -\frac{1}{e}.</math>

({{mvar|W}} bukan [[Fungsi yang dapat dibedakan|dapat dibedakan]] untuk {{math|''z'' {{=}} −{{sfrac|1|''e''}}}}.) Akibatnya, kami mendapatkan rumus berikut untuk turunan dari ''W'':

:<math>\frac{dW}{dz} = \frac{W(z)}{z(1 + W(z))} \quad \text{untuk } z \not\in \left\{0, -\frac{1}{e}\right\}.</math>

Menggunakan identitas {{math|''e''<sup>''W''(''z'')</sup> {{=}} {{sfrac|''z''|''W''(''z'')}}}}, kami mendapatkan rumus setara berikut:
:<math>\frac{dW}{dz} = \frac{1}{z + e^{W(z)}} \quad \text{untuk } z \neq -\frac{1}{e}.</math>

Di asalnya kita punya
:<math>W'_0(0)=1.</math>

=== Antiturunan ===
Fungsi {{math|''W''(''x'')}}, dan banyak ekspresi yang melibatkan {{math|''W''(''x'')}}, bisa [[integral|terintegrasi]] menggunakan [[aturan substitusi|substitusi]] {{math|''w'' {{=}} ''W''(''x'')}}, yaitu {{math|''x'' {{=}} ''we''<sup>''w''</sup>}}:

:<math> \begin{align}
\int W(x)\,dx &= x W(x) - x + e^{W(x)} + C\\
& = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C.
\end{align}</math>
(Persamaan terakhir lebih umum dalam literatur tetapi tidak berlaku pada {{math | '' x '' {{=}} 0}}). Salah satu konsekuensi dari ini (menggunakan fakta bahwa {{math|''W''<sub>0</sub>(''e'') {{=}} 1}}) adalah identitas
:<math>\int_{0}^{e} W_0(x)\,dx = e - 1.</math>

== Ekspansi asimtotik ==
[[Deret Taylor]] dari {{math|''W''<sub>0</sub>}} sekitar 0 dapat ditemukan menggunakan [[Teorema inversi Lagrange]] dan diberikan oleh

:<math>W_0(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n =x-x^2+\tfrac{3}{2}x^3-\tfrac{8}{3}x^4+\tfrac{125}{24}x^5-\cdots.</math>

[[Radius konvergensi]] adalah {{math|{{sfrac|1|''e''}}}}, seperti yang dapat dilihat oleh [[uji rasio]]. Fungsi yang ditentukan oleh deret ini dapat diperluas menjadi [[fungsi holomorfik]] yang ditentukan pada semua bilangan kompleks dengan [[potongan cabang]] sepanjang [[interval (matematika)|interval]] {{open-closed|−∞, −{{sfrac|1|''e''}}}}; fungsi holomorfik ini mendefinisikan [[cabang utama]] dari fungsi Lambert {{mvar | W}}.

Untuk nilai besar dari {{mvar|x}}, {{math|''W''<sub>0</sub>}} asimtotik dengan
:<math>\begin{align}
W_0(x) &= L_1 - L_2 + \frac{L_2}{L_1} + \frac{L_2\left(-2 + L_2\right)}{2L_1^2} + \frac{L_2\left(6 - 9L_2 + 2L_2^2\right)}{6L_1^3} + \frac{L_2\left(-12 + 36L_2 - 22L_2^2 + 3L_2^3\right)}{12L_1^4} + \cdots \\[5pt]
&= L_1 - L_2 + \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^l \left[ \begin{smallmatrix} l + m \\ l + 1 \end{smallmatrix} \right]}{m!} L_1^{-l-m} L_2^m,
\end{align}</math>
dimana {{math|''L''<sub>1</sub> {{=}} ln ''x''}}, {{math|''L''<sub>2</sub> {{=}} ln ln ''x''}}, dan {{math|<big><big>[</big></big>{{su|p=''l'' + ''m''|b=''l'' + 1|a=c}}<big><big>]</big></big>}} adalah sebuah [[Bilangan Stirling dari jenis pertama]] non-negatif.<ref name = "Corless" /> Mempertahankan hanya dua istilah pertama dari ekspansi,
:<math>W_0(x) = \ln x - \ln \ln x + o(1).</math>

Cabang real lainnya, {{math|''W''<sub>−1</sub>}}, didefinisikan dalam interval {{math|[−{{sfrac|1|''e''}}, 0)}},memiliki pendekatan dalam bentuk yang sama ketika ''x'' mendekati nol, dengan dalam kasus ini {{math|''L''<sub>1</sub> {{=}} ln(−''x'')}} dan {{math|''L''<sub>2</sub> {{=}} ln(−ln(−''x''))}}.<ref name = "Corless" />

Itu menunjukkan<ref>A. Hoorfar, M. Hassani, [https://www.emis.de/journals/JIPAM/article983.html?sid=983 Inequalities on the Lambert ''W'' Function and Hyperpower Function] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20221213153902/https://www.emis.de/journals/JIPAM/article983.html?sid=983 |date=2022-12-13 }}, JIPAM, volume 9, issue 2, article 51. 2008.</ref> yang dipegang oleh batas berikut (batas atas hanya untuk ''x'' ≥ ''e''):
:<math>\ln x -\ln \ln x + \frac{\ln \ln x}{2\ln x} \le W_0(x) \le \ln x - \ln\ln x + \frac{e}{e - 1} \frac{\ln \ln x}{\ln x}.</math>

Pada tahun 2013, itu sudah dibuktikan<ref name = "Chatzigeorgiou">{{cite journal
  | last1 = Chatzigeorgiou| first1 = I.
  | title = Bounds on the Lambert function and their Application to the Outage Analysis of User Cooperation
  | journal = IEEE Communications Letters
  | volume = 17
  | issue = 8
  | pages = 1505–1508
  | year = 2013
  | arxiv = 1601.04895| doi = 10.1109/LCOMM.2013.070113.130972
 | s2cid = 10062685
 }}</ref> bahwa cabang {{math|''W''<sub>−1</sub>}} bisa dibatasi sebagai berikut:
:<math>-1 - \sqrt{2u} - u < W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right) < -1 - \sqrt{2u} - \tfrac{2}{3}u \quad \text{for } u > 0.</math>

=== Bilangan bulat pangkat dan kompleks ===
[[Bilangan bulat]] pangkat dari {{math|''W''<sub>0</sub>}} juga mengakui ekspansi deret [[Deret Taylor|Taylor]] (atau [[Deret Laurent|Laurent]]) sederhana:

:<math>
W_0(x)^2 = \sum_{n=2}^\infty \frac{-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n - 2)!} x^n = x^2 - 2x^3 + 4x^4 - \tfrac{25}{3}x^5 + 18x^6 - \cdots.
</math>

Secara lebih umum, untuk {{math|''r'' ∈ '''ℤ'''}}, [[Deret pangkat formal#Rumus inversi Lagrange|Rumus inversi Lagrange]] diberikan

:<math>
W_0(x)^r = \sum_{n=r}^\infty \frac{-r\left(-n\right)^{n - r - 1}}{(n - r)!} x^n,
</math>
yang, secara umum, merupakan rangkaian urutan Laurent {{mvar | r}}. Dengan kata lain, yang terakhir dapat ditulis dalam bentuk perluasan kekuatan Taylor {{math|''W''<sub>0</sub>(''x'') / ''x''}}:

:<math>
\left(\frac{W_0(x)}{x}\right)^r = e^{-r W_0(x)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{r\left(n + r\right)^{n - 1}}{n!} \left(-x\right)^n,
</math>
yang berlaku untuk semua <math>r \in \Complex</math> dan <math>\left|x\right|< \frac{1}{e}</math>.

== Identitas ==

[[Berkas:A Lambert W function identity.jpg|thumb|Sebuah plot ''W<sub>j</sub>(x e<sup>x</sup>)'' dimana biru untuk j = 0 dan merah untuk j = -1. Garis diagonal mewakili interval di mana ''W<sub>j</sub>(x e<sup>x</sup>)=x'']]

Beberapa identitas mengikuti dari definisi tersebut:
:<math>\begin{align}
W_0(x e^x) &= x & \text{for } x &\geq -1,\\
W_{-1}(x e^x) &= x & \text{for } x &\leq -1.
\end{align}</math>
Perhatikan itu, karena {{math|''f''(''x'') {{=}} ''xe<sup>x</sup>''}} tidak [[injeksi]], tidak selalu begitu {{math|''W''(''f''(''x'')) {{=}} ''x''}}, mirip dengan [[fungsi trigonometri terbalik]]. Untuk diperbaiki {{math|''x'' < 0}} dan {{math|''x'' ≠ −1}}, persamaan {{math|''xe<sup>x</sup>'' {{=}} ''ye<sup>y</sup>''}} memiliki dua solusi di {{mvar | y}}, salah satunya tentu saja {{math|''y'' {{=}} ''x''}}. Kemudian, untuk {{math|''i'' {{=}} 0}} dan {{math|''x'' < −1}}, serta untuk {{math|''i'' {{=}} −1}} dan {{math|''x'' ∈ (−1, 0)}}, {{math|''y'' {{=}} ''W<sub>i</sub>''(''xe<sup>x</sup>'')}} adalah solusi lainnya.

Beberapa identitas lainnya:<ref>{{cite web | url=http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ProductLog/17/01/0001/ | title=Lambert function: Identities (formula 01.31.17.0001) | access-date=2020-10-20 | archive-date=2022-01-21 | archive-url=https://web.archive.org/web/20220121194242/https://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ProductLog/17/01/0001/ | dead-url=no }}</ref>
:<math>
\begin{align}
& W(x) \cdot e^{W(x)} = x, \quad\text{karena itu:}\\[5pt]
& e^{W(x)} = \frac{x}{W(x)}, \qquad e^{-W(x)} = \frac{W(x)}{x}, \qquad e^{n W(x)} = \left(\frac{x}{W(x)}\right)^n.
\end{align}
</math>

:<math>\ln W_0(x) = \ln x - W_0(x) \quad \text{untuk } x > 0.</math><ref>{{cite web | url=http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html | title=Lambert W-Function | access-date=2020-10-20 | archive-date=2012-11-17 | archive-url=https://web.archive.org/web/20121117065736/http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html | dead-url=no }}</ref>

: <math>W_0\left(x \ln x\right) = \ln x \quad\text{dan}\quad e^{W_0\left(x \ln x\right)} = x \quad \text{untuk } x \geq \frac1e . </math>
: <math>W_{-1}\left(x \ln x\right) = \ln x \quad\text{dan}\quad e^{W_{-1}\left(x \ln x\right)} = x \quad \text{untuk } x \leq \frac1e . </math>

:<math>
\begin{align}
& W(x) = \ln \frac{x}{W(x)} &&\text{untuk } x \geq -\frac1e, \\[5pt]
& W\left( \frac{nx^n}{W\left(x\right)^{n-1}} \right) = n W(x) &&\text{untuk } n, x > 0
\end{align}
</math>

::(yang dapat diperpanjang ke {{mvar | n}} dan {{mvar | x}} lainnya jika cabang yang benar dipilih).

:<math>W(x) + W(y) = W\left(x y \left(\frac{1}{W(x)} + \frac{1}{W(y)}\right)\right) \quad \text{untuk } x, y > 0.</math>

Mengganti {{math|−ln ''x''}} dalam definisi:
:<math>\begin{align}
W_0\left(-\frac{\ln x}{x}\right) &= -\ln x &\text{for } 0 &< x \leq e,\\[5pt]
W_{-1}\left(-\frac{\ln x}{x}\right) &= -\ln x &\text{for } x &> e.
\end{align}</math>

Dengan eksponensial [[iterasi]] Euler {{math|''h''(''x'')}}:
:<math>\begin{align}h(x) & = e^{-W(-\ln x)}\\
                         & = \frac{W(-\ln x)}{-\ln x} \quad \text{untuk } x \neq 1.
\end{align}</math>

== Nilai khusus ==
Untuk sembarang [[bilangan aljabar]] bukan nol {{mvar|x}}, {{math|''W''(''x'')}} adalah [[Bilangan Transenden|bilangan transendental]]. Memang, jika {{math|''W''(''x'')}} adalah nol, maka {{mvar | x}} harus nol juga, dan jika {{math|''W''(''x'')}} bukan nol dan aljabar, lalu menurut [[teorema Lindemann–Weierstrass]], {{math|''[[e (konstanta matematika)|e]]''<sup>''W''(''x'')</sup>}} harus transendental, menyiratkan itu {{math|''x'' {{=}} ''W''(''x'')''e''<sup>''W''(''x'')</sup>}} juga harus transendental.

Berikut ini adalah nilai khusus dari cabang utama:

:<math>W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{i\pi}{2}.</math>

:<math>W\left(-\frac{1}{e}\right) = -1.</math>

:<math>W\left(-\frac{\ln a}{a}\right)= -\ln a  \quad \left(\frac{1}{e}\le a\le e\right).</math>

:<math>W\left(2 \ln 2 \right) = \ln 2.</math>

:<math>W(0) = 0.</math>

:<math>W(1) = \Omega = \left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{\left(e^t-t\right)^2 + \pi^2}\right)^{-1} - 1\approx 0.56714329\ldots</math> ([[konstanta Omega]]).

:<math>W(1) = e^{-W(1)} = \ln\left(\frac{1}{W(1)}\right) = -\ln W(1).</math>

:<math>W(e) = 1.</math>

:<math>W\left(e^{1+e}\right) = e.</math>

:<math>W(-1) \approx -0.31813+1.33723i.</math>

== Representasi ==

Cabang utama dari fungsi Lambert dapat diwakili oleh integral yang tepat, karena Poisson:<ref name = "Finch">{{cite book
  | last = Finch| first = S. R.
  | title = Mathematical constants
  | url = https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc| page = [https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/450 450]
  | year = 2003
  | publisher = Cambridge University Press
 }}</ref>
:<math>-\frac{\pi}{2}W(-x)=\int_0^\pi\frac{\sin\left(\tfrac32 t\right)-xe^{\cos t}\sin\left(\tfrac52 t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^2e^{2\cos t}}\sin\left(\tfrac12 t\right)\,dt \quad \text{untuk } |x| < \frac1{e}.
</math>

Di domain yang lebih luas {{math|−{{sfrac|1|''e''}} ≤ ''x'' ≤ ''e''}}, representasi yang jauh lebih sederhana ditemukan oleh Mező:<ref>{{cite web |last1=István |first1=Mező |title=An integral representation for the principal branch of Lambert the ''W'' function |url=https://sites.google.com/site/istvanmezo81/home?authuser=0 |accessdate=7 November 2017 |archive-date=2023-02-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230203204554/https://sites.google.com/site/istvanmezo81/home?authuser=0 |dead-url=no }}</ref>
:<math>
W(x) = \frac{1}{\pi} \operatorname{Re} \int_0^\pi \ln\left(\frac{e^{e^{it}} - xe^{-it}}{e^{e^{it}} - xe^{it}}\right) \,dt.
</math>

Representasi [[pecahan berlanjut]] berikut juga berlaku untuk cabang utama:<ref name = "Dubinov">{{cite book
  | last1 = Dubinov| first1 = A. E.
  | last2 = Dubinova| first2 = I. D.
  | last3 = Saǐkov| first3 = S. K.
  | title = The Lambert ''W'' Fungsi dan Aplikasinya pada Soal Matematika Fisika (dalam bahasa Rusia)
  | page = 53
  | year = 2006
  | publisher = RFNC-VNIIEF
 }}</ref>
:<math>
W(x) = \cfrac{x}{1+\cfrac{x}{1+\cfrac{x}{2+\cfrac{5x}{3+\cfrac{17x}{10+\cfrac{133x}{17+\cfrac{1927x}{190+\cfrac{13582711x}{94423+\ddots}}}}}}}}.
</math>
Juga, jika <math>\left|W(z) \right|<1</math>:<ref>{{Cite book |last1=Robert M. |first1=Corless |last2=David J. |first2=Jeffrey |last3=Donald E. |first3=Knuth |title=A sequence of series for the Lambert ''W'' function |journal=Proceedings of the 1997 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation |year=1997 |pages=197–204 |doi=10.1145/258726.258783|isbn=978-0897918756 |s2cid=6274712 }}</ref>
:<math>
W(x) = \cfrac{x}{\exp \cfrac{x}{\exp \cfrac{x}{\ddots}}}.
</math>
Gantinya, jika <math>\left| W(z) \right| > e </math>, maka
:<math>
W(x) = \ln \cfrac{x}{\ln \cfrac{x}{\ln \cfrac{x}{\ddots}}}.
</math>

== Plot ==
<gallery caption="Plot fungsi Lambert {{mvar | W}} pada bidang kompleks">
Berkas:LambertWRe.png|<math>z = \operatorname{Re}(W_0(x + iy))</math>
Berkas:LambertWIm.png|<math>z = \operatorname{Im}(W_0(x + iy))</math>
Berkas:LambertWAbs.png|<math>z=\left|W_0(x + iy)\right|</math>
Berkas:LambertWAll.png|Superimposisi dari tiga plot sebelumnya
</gallery>

== Lihat pula ==
* [[Fungsi Wright Omega]]
* [[Persamaan trinomial]] Lambert
* [[Teorema inversi lagrange#Fungsi Lambert W|Teorema inversi Lagrange]]
* [[Matematika eksperimental]]
* [[Metode Holstein–Herring]]
* [[R=T model|{{math|''R'' {{=}} ''T''}} model]]
* [[Ross π lemma|Ross' {{mvar|π}} lemma]]

== Catatan ==
{{reflist|30em}}

== Referensi ==
* {{Cite journal | last1=Corless | first1=R. | last2=Gonnet | first2=G. | last3=Hare | first3=D. | last4=Jeffrey | first4=D. | last5=Knuth | first5=Donald | author5-link=Donald Knuth | title=On the Lambert ''W'' function | url=http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf | year=1996 | journal=Advances in Computational Mathematics | issn=1019-7168 | volume=5 | pages=329–359 | doi=10.1007/BF02124750 | s2cid=29028411 | access-date=2007-03-10 | archive-url=https://web.archive.org/web/20101214110615/http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf | archive-date=2010-12-14 | url-status=dead }}
* {{cite journal |url=http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf |last1=Chapeau-Blondeau |first1=F. |last2=Monir |first2=A. |title=Evaluation of the Lambert ''W'' Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2 |journal=IEEE Trans. Signal Process. |volume=50 |issue=9 |year=2002 |access-date=2004-03-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120328002359/http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf |archive-date=2012-03-28 |url-status=dead |doi=10.1109/TSP.2002.801912 }}
* {{cite journal |author=Francis|title=Quantitative General Theory for Periodic Breathing |journal=Circulation |volume=102 |issue=18 |pages=2214–21 |year=2000 |doi=10.1161/01.cir.102.18.2214 |pmid=11056095|display-authors=etal|citeseerx=10.1.1.505.7194|s2cid=14410926 }} (Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)
* {{Cite journal | last=Hayes | first=B. | title=Why ''W''? | url=https://www.americanscientist.org/sites/americanscientist.org/files/2005216151419_306.pdf | year=2005 | journal=American Scientist | volume=93 | issue=2 | pages=104–108 | doi=10.1511/2005.2.104 | access-date=2020-10-20 | archive-date=2022-10-24 | archive-url=https://web.archive.org/web/20221024210815/https://www.americanscientist.org/sites/americanscientist.org/files/2005216151419_306.pdf | dead-url=no }}
* {{dlmf|id=4.13|title=Lambert ''W'' function|first=R. |last=Roy|first2=F. W. J. |last2=Olver}}
* {{cite journal |last1=Stewart |first1=Seán M. |year=2005 |title=A New Elementary Function for Our Curricula? |url=http://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ720055.pdf |journal=Australian Senior Mathematics Journal |volume=19 |issue=2 |pages=8–26 |issn=0819-4564 |id=[[Education Resources Information Center|ERIC]] EJ720055 |layurl=http://eric.ed.gov/?id=EJ720055 |access-date=2020-10-20 |archive-date=2023-02-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230203202315/https://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ720055.pdf |dead-url=no }}
* [https://arxiv.org/abs/1003.1628 Veberic, D., "Having Fun with Lambert ''W''(''x'') Function" arXiv:1003.1628 (2010)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220501190027/https://arxiv.org/abs/1003.1628 |date=2022-05-01 }}; {{Cite journal | last1=Veberic | first1=D. | title=Lambert ''W'' function for applications in physics | year=2012 | journal=Computer Physics Communications | volume=183 | issue=12 | pages=2622–2628 | doi=10.1016/j.cpc.2012.07.008 | arxiv=1209.0735 | bibcode=2012CoPhC.183.2622V | s2cid=315088 }}
* {{cite journal | arxiv=1601.04895| last1 = Chatzigeorgiou | first1 = I. |title=Bounds on the Lambert function and their Application to the Outage Analysis of User Cooperation |journal=IEEE Communications Letters |volume=17 |issue=8 |pages=1505–1508 |year=2013 |doi=10.1109/LCOMM.2013.070113.130972| s2cid = 10062685 }}

== Pranala luar ==
{{commons category}}
* [http://dlmf.nist.gov/4.13 National Institute of Science and Technology Digital Library – Lambert {{mvar|W}}] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121015151038/http://dlmf.nist.gov/4.13 |date=2012-10-15 }}
* [http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html MathWorld – Lambert {{mvar|W}}-Function] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121117065736/http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html |date=2012-11-17 }}
* [https://web.archive.org/web/20060824060948/http://www.whim.org/nebula/math/lambertw.html Computing the Lambert {{mvar|W}} function]
* [http://www.apmaths.uwo.ca/~rcorless/frames/PAPERS/LambertW/ Corless et al. Notes about Lambert {{mvar|W}} research] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120408215952/http://www.apmaths.uwo.ca/~rcorless/frames/PAPERS/LambertW/ |date=2012-04-08 }}
* GPL [https://github.com/DarkoVeberic/LambertW C++ implementation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230610155755/https://github.com/DarkoVeberic/LambertW |date=2023-06-10 }} with Halley's and Fritsch's iteration.
* [https://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Special-Functions.html Special Functions] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190520010526/http://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Special-Functions.html |date=2019-05-20 }} of the [https://www.gnu.org/software/gsl/ GNU Scientific Library] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210122183256/https://www.gnu.org/software/gsl/ |date=2021-01-22 }} – GSL
{{Daftar fungsi matematika}}
{{DEFAULTSORT:Fungsi Lambert W}}
[[Kategori:Fungsi khusus]]