Lihat sumber Elips

[[Berkas:Ellipse Properties.svg|jmpl|Elips dan sifat-sifat matematisnya]]
[[Berkas:Conicas1.PNG|jmpl|Irisan kerucut dalam suatu bidang datar dapat membentuk elips]]
[[Berkas:Ellipse-conic.svg|thumb|Elips (merah) diperoleh sebagai persimpangan kerucut dengan bidang miring.]]
[[Berkas:Ellipse-def0.svg|300px|thumb|Elips: notasi]]
[[Berkas:Ellipse-var.svg|thumb|Elips: contoh dengan eksentrisitas yang meningkat]]

Dalam [[matematika]], sebuah '''elips''' atau '''oval yang beraturan''' adalah gambar yang menyerupai [[lingkaran]] yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari [[irisan kerucut]] dan dapat didefinisikan sebagai [[Lokus (matematika)|lokus]] dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut '''[[Fokus (matematika)|fokus]]''').

Dalam bahasa Indonesia, selain istilah elips atau oval yang beraturan, juga sering dikenal istilah sepadan, yakni ''bulat lonjong'' (atau ''lonjong'' saja)'', bulat bujur'', dan ''bulat panjang''.

== Definisi sebagai lokus poin ==
[[Berkas:Ellipse-def-e.svg|thumb|Elips: definisi dengan jumlah jarak ke fokus]]
[[Berkas:Ellipse-def-dc.svg|thumb|Elips: definisi berdasarkan fokus dan directrix melingkar]]
Elips dapat didefinisikan secara geometris sebagai satu set atau lokus titik dalam bidang Euclidean:
:Diberi dua poin tetap <math>F_1, F_2</math> disebut fokus dan jarak <math>2a</math> yang lebih besar dari jarak antara fokus, elips adalah himpunan poin <math>P</math> sedemikian rupa sehingga jumlah dari jarak <math>|PF_1|,\ |PF_2|</math> adalah sama dengan <math>2a</math>:<math>E = \{P\in \mathbb{R}^2 \,\mid\, |PF_2| +|PF_1 | = 2a \}\ .</math>

Titik tengah <math>C</math> dari segmen garis yang bergabung dengan fokus disebut pusat elips. Garis melalui fokus disebut sumbu utama , dan garis tegak lurus melalui pusat adalah sumbu minor . Sumbu utama memotong elips pada ''titik- titik simpul'' <math>V_1,V_2</math>, yang memiliki jarak <math>a</math> ke pusat. Jarak <math>c</math> dari fokus ke pusat disebut jarak fokus atau eksentrisitas linier. Hasil bagi <math>e=\tfrac{c}{a}</math> adalah eksentrisitas .

Kasus <math>F_1=F_2</math> dapat dilihat dengan cara yang berbeda (lihat gambar):
:Jika <math>c_2</math> adalah lingkaran dengan titik tengah <math>2a</math>, maka jarak suatu titik <math>P</math> ke lingkaran <math>c_2</math> sama dengan jarak ke fokus <math>F_1</math>:
:: <math>|PF_1|=|Pc_2|.</math>

<math>c_2</math> disebut directrix melingkar (terkait dengan fokus <math>F_2</math>) of the ellipse.<ref>{{citation|first1=Tom M.|last1=Apostol|first2=Mamikon A.|last2=Mnatsakanian|title=New Horizons in Geometry|year=2012|publisher=The Mathematical Association of America|series=The Dolciani Mathematical Expositions #47|isbn=978-0-88385-354-2|page=251}}</ref><ref>Istilah Jerman untuk lingkaran ini adalah Leitkreis yang dapat diterjemahkan sebagai "Lingkaran Direktur", tetapi istilah itu memiliki arti yang berbeda dalam literatur bahasa Inggris (lihat [[Director circle]]).</ref> Properti ini tidak boleh disamakan dengan definisi elips menggunakan garis directrix di bawah ini.

Dengan menggunakan bola Dandelin , orang dapat membuktikan bahwa setiap bagian bidang kerucut dengan bidang adalah elips, dengan asumsi bidang tidak mengandung puncak dan memiliki kemiringan kurang dari garis pada kerucut.

== Sistem Koordinat Kartesius ==
{{Lihat pula|Koordinat Kartesius pada Elips}}
=== Persamaan standar ===
Bentuk standar elips dalam koordinat Cartesian mengasumsikan bahwa asal adalah pusat elips, x- sumbu adalah sumbu utama, dan:
:fokus adalah poinnya
<math>F_1 = (c,\, 0),\ F_2=(-c,\, 0)</math>,
:simpulnya adalah <math>V_1 = (a,\, 0),\ V_2 = (-a,\, 0)</math>.

Untuk titik arbitrer <math>(x,y)</math> jarak ke fokus <math>(c,0)</math> adalah 
<math>\sqrt{(x - c)^2 + y^2 }</math> dan ke fokus lainnya <math>\sqrt{(x + c)^2 + y^2}</math>. Karena itu intinya <math>(x,\, y)</math> is on the ellipse whenever: 
:<math>\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a\ .</math>

Menghapus [[Ekspresi radikal|radikal]] dengan squarings yang sesuai dan menggunakan  <math>b^2 = a^2-c^2</math> menghasilkan persamaan standar elips:
:<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,</math>

atau, memecahkan ''y:''
:<math>y = \pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} = \pm \sqrt{\left(a^2 - x^2\right)\left(1 - e^2\right)}.</math>

Keliling lebar dan tinggi <math>a,\; b</math> disebut sumbu semi mayor dan semi minor . Poin atas dan bawah <math>V_3 = (0,\, b),\; V_4 = (0,\, -b)</math>

Ini mengikuti dari persamaan bahwa elips simetris sehubungan dengan sumbu koordinat dan karenanya sehubungan dengan asal.

=== Keliling ===
==== Sumbu semi mayor dan semi minor ====
Sepanjang artikel ini <math>a</math> Sebuah adalah sumbu semi-mayor, yaitu <math>a \ge b > 0 \ .</math> Secara umum persamaan elips kanonik <math>\tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} = 1 </math> mungkin <math>a < b</math> (dan karenanya elips akan lebih tinggi daripada lebar); dalam bentuk ini sumbu semi-mayor akan menjadi <math>b</math>.    Formulir ini dapat dikonversi ke formulir standar dengan mentransposisi nama variabel

==== Eksentritas linear ====
Ini adalah jarak dari pusat ke fokus:
<math>c = \sqrt{a^2 - b^2}</math>.

=== Keanehan ===
Eksentrisitas dapat dinyatakan sebagai:
: <math>e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2}</math>,

==== Rektum semi-lektur ====
Panjang akord melalui satu fokus, tegak lurus terhadap sumbu utama, disebut rektum latus . Separuh di antaranya adalah rektum semi-latus <math>\ell</math> Perhitungan menunjukkan:
: <math>\ell = \frac{b^2}a = a \left(1 - e^2\right).</math><ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|pp=304,APP-28}}</ref>

=== Garis singgung ===
Garis arbitrer <math>g</math> memotong sebuah elips pada 0, 1, atau 2 poin, masing-masing disebut garis eksterior , garis singgung dan garis potong . Melalui setiap titik elips ada garis singgung yang unik. Garis singgung pada suatu titik <math>(x_1,\, y_1)</math> dari elips <math>\tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} = 1</math> memiliki persamaan koordinat:
:<math>\frac{x_1}{a^2}x + \frac{y_1}{b^2}y = 1.</math>

[[Persamaan parametrik]] vektor garis singgung adalah:
: <math>\vec x = \begin{pmatrix}x_1 \\ y_1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}
  \;\!    -y_1 a^2 \\
  \;\ \ \  x_1 b^2
\end{pmatrix}\ </math> with <math>\ s \in \mathbb{R}\ .</math>

'''Bukti''': Biarkan <math>(x_1,\, y_1)</math> be a point on an ellipse and <math display="inline">\vec{x} = \begin{pmatrix}x_1 \\ y_1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}u \\ v\end{pmatrix}</math> menjadi persamaan garis apa pun <math>g</math> mengandung <math>(x_1,\, y_1)</math>. Memasukkan persamaan garis ke dalam persamaan elips dan menghormati <math display-"inline">\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1</math> yields:
: <math>
  \frac{\left(x_1 + su\right)^2}{a^2} + \frac{\left(y_1 + sv\right)^2}{b^2} = 1\ \quad\Longrightarrow\quad
  2s\left(\frac{x_1u}{a^2} + \frac{y_1v}{b^2}\right) + s^2\left(\frac{u^2}{a^2} + \frac{v^2}{b^2}\right) = 0\ .</math>

=== Elips bergeser ===
Jika elips standar digeser untuk memiliki pusat <math>\left(x_\circ,\, y_\circ\right)</math>, persamaannya adalah
: <math>\frac{\left(x - x_\circ\right)^2}{a^2} + \frac{\left(y - y_\circ\right)^2}{b^2} = 1 \ .</math>

Sumbu masih sejajar dengan sumbu x dan y.

== Luas elips ==
Luas elips adalah <math>L = \pi a b</math>

== Keliling elips ==
Keliling elips adalah
; Keliling I
:<math>K \approx 2 \pi \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}</math>

; Keliling II (model Ramanujan)
:<math>K \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]= \pi \left[3(a+b)-\sqrt{10ab+3(a^2+b^2)}\right]</math>

dan

:<math>K \approx \pi \left(a+b \right) \left(1+ \frac{3h}{10+ \sqrt{4-3h}} \right)</math> di mana <math>h = \frac{(a - b)^2}{(a + b)^2}</math>

; Keliling III (model integral)
:<math>K = 2\pi a \left[1 - \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \frac{e^{2n}}{2n-1}\right] </math>

dan

:<math>K = \pi (a+b) \left[1 + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{(2n-1)!!}{2^n n!}\right)^2 \frac{h^n}{(2n-1)^2}\right]</math>

== Lihat pula ==
* [[Elipsoid]]

== Referensi ==
{{Reflist}}

== Pranala luar ==
{{commons}}
* [https://www.britannica.com/EBchecked/topic/185064 Elips (matematika)] di ''[[Encyclopædia Britannica]]''
* [https://planetmath.org/ellipse Elips] di [[PlanetMath|PlanetMath.org]]
* [https://faculty.evansville.edu/ck6/ellipse.pdf The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C.] oleh [[Clark Kimberling]]

{{bangun}}
{{irisan kerucut}}

[[Kategori:Irisan kerucut]]
[[Kategori:Bentuk]]