Lihat sumber E (konstanta matematika)


{{Redirect|Bilangan Euler|kegunaan lain|Daftar benda yang dinamai menurut nama Leonhard Euler#Bilangan}}
{{Redirect|E (bilangan)|kode yang mewakili bahan tambahan makanan|Bilangan E}}{{Periksa terjemahan|en|E (mathematical constant)}}
[[Berkas:hyperbola E.svg|thumb|237px|right|Grafik persamaan <math>y = 1/x</math>. Di antaranya, <math>e</math> adalah bilangan unik yang lebih besar dari 1 yang membuat daerah yang diarsir sama dengan 1.]]
{{e (konstanta matematika)}}
Bilangan <math>e</math> adalah [[konstanta matematika]], bernilai sekitar 2,71828, yang merupakan basis [[logaritma alami]] dan [[fungsi eksponensial]]. Selain nama tersebut, bilangan ini juga disebut sebagai '''bilangan Euler''' yang namanya diambil dari [[Leonhard Euler]], seorang matematikawan [[Swiss]]. Walaupun demikian, hal tersebut dapat menimbulkan kebingungan dengan bilangan bernama mirip, seperti [[Bilangan Euler (bilangan bulat)|bilangan Euler (deret)]], dan [[Konstanta Euler–Mascheroni|konstanta Euler]] (dinotasikan <math>\gamma</math>). Di samping Euler, bilangan <math>e</math> juga disebut sebagai '''konstanta Napier''' yang namanya diambil dari [[John Napier]].<ref>{{Cite web|last=Miller|first=Jeff|title=Earliest Uses of Symbols for Constants|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym/constants/|website=MacTutor|language=Inggris|access-date=2025-01-02}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=e|url=https://mathworld.wolfram.com/e.html|website=Wolfram Mathworld|language=en|access-date=2020-08-10|ref=mathworld}}</ref> Bilangan tersebut sendiri pertama kali ditemukan oleh [[Jacob Bernoulli]] saat ia mempelajari [[Bunga majemuk (keuangan)|bunga majemuk]].<ref name="Pickover">{{cite book|last1=Pickover|first1=Clifford A.|year=2009|url=https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC|title=The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics|publisher=Sterling Publishing Company|isbn=978-1-4027-5796-9|edition=|page=166|language=inggris|url-status=live}} [https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA166 Diambil dari halaman ke-166]</ref><ref name="OConnor">{{MacTutor|mode=cs1 |class=HistTopics |id=e |title=The number {{mvar|e}} |date=September 2001}}</ref>

Bilangan {{Mvar|e}} adalah salah satu bilangan terpenting dalam matematika,<ref>{{Cite book |last=Sawyer |first=W. W. |title=Mathematician's Delight |publisher=Penguin |year=1961 |url=https://archive.org/details/MathemateciansDelight-W.W.Sawyer/page/n153/mode/2up|url-access = registration|pages=155 |language=en}}</ref> bilangan lainnya, antara lain 0, 1, {{Mvar|[[Pi|π]]}}, dan {{Mvar|[[bilangan imajiner|i]]}}. Kelima bilangan tersebut merupakan bagian [[identitas Euler]] {{Math|<math>e^{i\pi}+1=0</math>}} dan memainkan peran penting serta sering muncul pada berbagai bidang matematika.<ref>{{cite book|last1=Wilson|first1=Robinn|year=2018|url=https://books.google.com/books?id=345HDwAAQBAJ|title=Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-251405-9|edition=|page=(pembuka)|language=inggris|url-status=live}}</ref><ref>{{cite book|last1=Posamentier|first1=Alfred S.|last2=Lehmann|first2=Ingmar|year=2004|url=https://books.google.com/books?id=QFPvAAAAMAAJ|title=Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number|publisher=Prometheus Books|isbn=978-1-59102-200-8|edition=|page=68|language=inggris|url-status=live}}</ref> Sama seperti konstanta {{Mvar|{{Pi|π}}}}, bilangan {{Mvar|e}} [[Bilangan irasional|irasional]] yang artinya hal tersebut tidak bisa dinyatakan sebagai pembagian antara dua [[bilangan bulat]]. Lebih lanjut, bilangan {{Mvar|e}} juga [[Bilangan transenden|transenden]] yang artinya hal tersebut bukan solusi (pembuat nol) sebuah polinomial.<ref name=":1" /> Nilai bilangan {{Mvar|e}} hingga desimal ke-30 adalah sebagai berikut:<ref name="OEIS decimal expansion">{{Cite OEIS|A001113|Decimal expansion of {{mvar|e}}}}</ref>
{{block indent
|{{gaps|2.71828|18284|59045|23536|02874|71352}}
}}

== Definisi ==
Bilangan {{Mvar|e}} diungkapkan sebagai [[Limit (matematika)|limit]]
<math display= block>\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac 1n\right)^n,</math>
ungkapan yang diperoleh saat menghitung [[Bunga majemuk (keuangan)|bunga majemuk]]

Selain itu, bilangan tersebut juga diungkapkan sebagai [[deret takhingga]]
<math display="block">e = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots.</math>Bilangan tersebut adalah angka positif khusus {{mvar|a}} yang menjadikan fungsi {{math|1=''y'' = ''a''<sup>''x''</sup>}} [[Kemiringan|bergradien]] 1 di titik {{math|1=''x'' = 0}}.

Lebih lanjut, bilangan tersebut juga diungkapkan sebagai <math display="block">e=\exp(1),</math> dengan <math>\exp</math> [[Fungsi eksponensial|fungsi eksponesial]], fungsi yang [[Turunan|turunannya]] sama dengan dirinya sendiri dan memiliki nilai <math>\exp(0)=1.</math> Oleh karena fungsi eksponensial sering dituliskan dengan <math>x\mapsto e^x,</math> ungkapan tersebut ditulis ulang sebagai
<math display="block">e=e^1.</math>
Fungsi [[logaritma]] berbasis {{mvar|b}} didefinisikan sebagai [[Fungsi invers|invers]] atas fungsi {{Math|<math>x\mapsto b^x.</math>}} Sebagai contoh, persamaan {{Math|<math>b=b^1</math>}} memiliki invers <math>\log_b b= 1.</math> Dengan demikian, persamaan <math>e=e^1</math> mengartikan bahwa {{mvar|e}} adalah basis logaritma natural.

Bilangan {{mvar|e}} juga diungkapkan sebagai [[integral]]:<ref>{{dlmf}}</ref>
<math display="block">\int_1^e \frac {dx}x =1.</math>
Untuk bentuk lainnya, terdapat pada {{slink||Representasi}}
==Sejarah==
Pembahasan mengenai bilangan <math>e</math> pertama kali diterbitkan pada tahun 1618 oleh [[John Napier]] dalam karyanya mengenai tabel lampiran logaritma.<ref name="OConnor" /> Namun, tabel tersebut tidak berisi bilangan itu sendiri, hanya daftar nilai logaritma berbasis <math>e</math>. Tabel tersebut sendiri dipercayai sebagai tulisan [[William Oughtred]].

Bilangan <math>e</math> pertama kali diperkenalkan oleh [[Jacob Bernoulli]] pada tahun 1683, <ref name = "Bernoulli, 1690">Jacob Bernoulli mempertimbangkan masalah peracikan bunga yang terus-menerus, yang menyebabkan ekspresi seri untuk ''e''. Lihat:  Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Beberapa pertanyaan tentang minat, dengan solusi masalah tentang permainan peluang, diusulkan dalam ''Journal des Savants'' (''Ephemerides Eruditorum Gallicanæ''), pada tahun (anno) 1685.**), ''Acta eruditorum'', hal 219–23.  [https://books.google.com/books?id=s4pw4GyHTRcC&pg=PA222#v=onepage&q&f=false On page 222], Bernoulli poses the question:  ''"Alterius naturæ hoc Problema est:  Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?"''  (Ini adalah masalah jenis lain: Pertanyaannya adalah, jika beberapa pemberi pinjaman menginvestasikan [sebuah] sejumlah uang [dengan] bunga, biarlah itu menumpuk, sehingga setiap saat menerima bagian proporsional dari bunga tahunannya; berapa dia akan terutang [pada] akhir tahun?)  Bernoulli menyusun deret pangkat untuk menghitung jawabannya, dan kemudian menulis: ''" … quæ nostra serie [ekspresi matematika untuk deret geometri] &c. major est.  … si ''a''=''b'', debebitur plu quam 2½''a''  & minus quam 3''a''."'' (… yang deret kami [deret geometri] lebih besar [dari]. … jika ''a''=''b'', [pemberi pinjaman] akan berutang lebih dari 2½''a'' dan kurang dari 3''a''.)  Jika ''a''=''b'', deret geometri direduksi menjadi deret untuk ''a'' × ''e'', jadi 2.5 < ''e'' < 3.  (** Referensinya adalah pada masalah yang diajukan oleh Jacob Bernoulli dan yang muncul dalam "Journal des Sçavans" tahun 1685 di bagian bawah [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56536t/f307.image.langEN page 314.])</ref><ref>{{cite book|author1=Carl Boyer|author2=Uta Merzbach|author2-link= Uta Merzbach |title=A History of Mathematics|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|url-access=registration|page=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/419 419]|publisher=Wiley|year=1991|isbn=9780471543978|edition=2nd}}</ref> yang mencoba mencari nilai dari ekspresi berikut (yang sama dengan <math>e</math>):

:<math>\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.</math>

Penggunaan konstanta yang diketahui pertama kali, diawali oleh huruf <math>b</math> adalah dalam korespondensi dari [[Gottfried Leibniz]] hingga [[Christiaan Huygens]] pada tahun 1690 dan 1691.<ref>{{cite web |url=https://leibniz.uni-goettingen.de/files/pdf/Leibniz-Edition-III-5.pdf |title=Sämliche Schriften Und Briefe |last=Leibniz |first=Gottfried Wilhelm |date=2003 |language=de |quote=look for example letter nr. 6}}</ref> [[Leonhard Euler]] memperkenalkan huruf <math>e</math> sebagai dasar untuk logaritma alami, ditulis dalam surat kepada [[Christian Goldbach]] pada tanggal 25 November 1731.<ref>Lettre XV.  Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in:  P.H. Fuss, ed., ''Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle'' … (Korespondensi matematis dan fisik dari beberapa ahli geometri terkenal abad ke-18), vol. 1, (St. Petersburg, Rusia:  1843), hal 56–60, lihat terutama [https://books.google.com/books?id=gf1OEXIQQgsC&pg=PA58#v=onepage&q&f=false p. 58.]  From p. 58:  ''" … (e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … "'' (… (e menunjukkan bilangan yang logaritma hiperboliknya [yaitu, alami] sama dengan 1) …)</ref><ref>{{Cite book|last=Remmert|first=Reinhold|author-link=Reinhold Remmert|title=Theory of Complex Functions|url=https://archive.org/details/theorycomplexfun00remm_318|page=[https://archive.org/details/theorycomplexfun00remm_318/page/n156 136]|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1991|isbn=978-0-387-97195-7}}</ref> Euler mulai menggunakan huruf <math>e</math> untuk konstanta ini pada tahun 1727 atau 1728, dalam sebuah makalah yang tidak diterbitkan tentang kekuatan ledakan dalam meriam,<ref name="Meditatio">Euler, ''[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/853/ Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta]''. {{lang|la|Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817…}} (Bahasa Indonesia: Ditulis untuk bilangan yang satuan logaritmanya e yaitu 2,7182817...")</ref> sedangkan perkenalan pertama <math>e</math> dalam sebuah publikasi adalah ''[[Mechanica]]'' Euler (1736).<ref>Leonhard Euler, ''Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita'' (St. Petersburg (Petropoli), Rusia:  Akademi Ilmu Pengetahuan, 1736), vol. 1, Bab 2, Bagian 11, paragraf 171, hal. 68.  [https://books.google.com/books?id=qalsP7uMiV4C&pg=PA68#v=onepage&q&f=false Dari halaman 68:]  ''Erit enim <math>\frac{dc}{c} = \frac{dy ds}{rdx}</math> seu <math>c = e^{\int\frac{dy ds}{rdx}}</math> ubi ''e'' denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1.''  (Jadi [yaitu, ''c'' adalah kecepatannya] sebagai <math>\frac{dc}{c} = \frac{dy ds}{rdx}</math> or <math>c = e^{\int\frac{dy ds}{rdx}}</math>, di mana ''e'' menunjukkan bilangan yang logaritma hiperboliknya [yaitu, alami] adalah 1.)</ref> Meskipun beberapa peneliti menggunakan huruf <math>c</math> pada tahun-tahun berikutnya, huruf <math>e</math> lebih umum dan akhirnya menjadi standar.{{citation needed|date=Oktober 2017}}

Dalam matematika, standar penulisannya adalah mengatur konstanta sebagai "<math>e</math>" yang ditulis dalam huruf miring; standar [[ISO 80000-2]]:2019 merekomendasikan penulisan konstanta ini dengan pengaturan huruf dalam gaya tegak, tetapi ini belum divalidasikan oleh komunitas ilmiah.{{citation needed|date=Agustus 2020}}

==Aplikasi==

===Bunga majemuk===
[[Berkas:Compound Interest with Varying Frequencies.svg|thumb|right|350px|Pengaruh memperoleh bunga tahunan 20% pada sebuah {{nowrap|awal $1,000}} investasi pada berbagai frekuensi penggabungan]]

[[Jacob Bernoulli]] menemukan konstanta ini pada tahun 1683, ketika mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk:<ref name="OConnor" />
{{quote|Sebuah akun dimulai dengan $1,00 dan membayar bunga 100 persen per tahun. Jika bunga dikreditkan sekali, pada akhir tahun, nilai akun di akhir tahun adalah $2,00. Apa yang terjadi jika bunga dihitung dan dikreditkan lebih sering sepanjang tahun?}}

Jika bunga dikreditkan dua kali dalam setahun, tingkat bunga untuk setiap 6 bulan akan menjadi 50%, jadi $ 1 awal dikalikan 1,5 dua kali, menghasilkan {{nowrap|1=$1.00 × 1.5<sup>2</sup> = $2.25}} di akhir tahun. Bunga hasil kuartalan {{nowrap|1=$1.00 × 1.25<sup>4</sup> = $2.4414...}}, dan penggabungan hasil bunga bulanan {{nowrap|1=$1.00 × (1 + 1/12)<sup>12</sup> = $2.613035…}} Bila ada {{math|''n''}} interval majemuk, bunga untuk setiap interval akan {{math|100%/''n''}} dan nilainya pada akhir tahun akan menjadi $1.00&nbsp;×&nbsp;{{math|1=(1 + 1/''n'')<sup>''n''</sup>}}.

Bernoulli memperhatikan bahwa urutan ini mendekati batas ([[kekuatan minat]]) dengan nilai {{math|''n''}} yang lebih besar dan, dengan demikian, interval penggabungan yang lebih kecil. Penggunaan bunga mingguan ({{math|1=''n'' = 52}}) menghasilkan $ 2,692597 ..., sementara penggunaan bunga uang harian ({{math|1=''n'' = 365}}) menghasilkan $ 2,714567 ... (sekitar dua sen lebih). Batasnya sebagai {{math|''n''}} tumbuh besar adalah jumlah yang kemudian dikenal sebagai {{mvar|e}}. Artinya, dengan penggabungan ''kontinu'', nilai akun akan mencapai $2.7182818...

Secara lebih umum, akun yang dimulai dari $ 1 dan menawarkan tingkat bunga tahunan sebesar {{math|''R''}}, setelah itu {{math|''t''}} tahun, hasil dari {{math|''e''<sup>''Rt''</sup>}} dolar dengan penambahan bunga terus-menerus.

(Perhatikan di sini karena {{math|''R''}} adalah desimal yang setara dengan suku bunga yang dinyatakan sebagai ''persentase'', jadi untuk bunga 5%, {{math|1=''R'' = 5/100 = 0.05}}.)

===Percobaan-percobaan Bernoulli===
[[Berkas:Bernoulli trial sequence.svg|thumb|300px|Grafik probabilitas ''P'' jika {{em|not}} mengamati peristiwa independen masing-masing probabilitas 1/''n'' sesudah ''n'' Pengadilan Bernoulli, dan 1 − ''P''&thinsp; vs ''n''&thinsp;; dapat diamati bahwa ketika '' n '' meningkat, probabilitas 1/''n'' peristiwa kebetulan tidak pernah muncul setelah ''n'' mencoba dengan cepat {{nowrap|menyatu dengan 1/''e''.}}]]
Bilangan dari {{mvar|e}} itu sendiri juga memiliki aplikasi dalam [[teori probabilitas]], dengan cara yang tidak jelas terkait dengan [[pertumbuhan eksponensial]]:

:<math>\binom{10^6}{k} \left(10^{-6}\right)^k\left(1 - 10^{-6}\right)^{10^6-k}.</math>

Secara khusus, kemungkinan hadil nol kali ({{math|1=''k'' = 0}}) adalah
:<math>\left(1 - \frac{1}{10^6}\right)^{10^6}.</math>

yang sangat mendekati batas
:<math>\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}.</math>

===Distribusi normal standar===
{{main|Distribusi normal}}

[[Distribusi normal]] dengan rata-rata nol dan deviasi standar satuan dikenal sebagai ''distribusi normal standar'', diberikan oleh [[fungsi kepadatan probabilitas]]
:<math>\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}.</math>

Batasan varian unit (dan juga deviasi standar unit) menghasilkan {{frac2|1|2}} dalam eksponen, dan batasan luas total unit di bawah kurva <math>\phi(x)</math> menghasilkan faktor <math>\textstyle 1/\sqrt{2\pi}</math>.<sup>[[Integral Gaussian|[bukti]]]</sup> Fungsi ini simetris {{math|1=''x'' = 0}}, di mana ia mencapai nilai maksimumnya <math>\textstyle 1/\sqrt{2\pi}</math>, dan memiliki [[titik belok]] di {{math|1=''x'' = ±1}}.

===Kekacauan===
Aplikasi lain dari {{mvar|e}}, juga ditemukan sebagian oleh Jacob Bernoulli bersama dengan [[Pierre Raymond de Montmort]], Ada dalam masalah [[kekacauan]], juga dikenal sebagai ''masalah cek topi'':<ref>Grinstead, C.M. dan Snell, J.L.''[http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html Introduction to probability theory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110727200156/http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html |date=2011-07-27 }}'' (diterbitkan secara online di bawah [[GFDL]]), p.&nbsp;85.</ref> {{math|''n''}} tamu diundang ke pesta, dan di depan pintu, semua tamu memeriksa topi mereka dengan kepala pelayan, yang pada gilirannya menempatkan topi ke dalam {{math|''n''}} kotak, masing-masing diberi label dengan nama satu tamu. Tapi kepala pelayan belum menanyakan identitas para tamu, jadi dia menempatkan topi ke dalam kotak yang dipilih secara acak. Masalah de Montmort adalah menemukan probabilitas bahwa tidak ada topi yang dimasukkan ke kotak yang tepat. Probabilitas ini, dilambangkan dengan <math>p_n\!</math>, didefinisikan sebagai:

:<math>p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.</math>

Dengan {{math|''n''}} sebagai nilai jumlah tamu cenderung tak terbatas, nilai {{math|''p''<sub>''n''</sub>}} akan semakin mendekati {{math|1 / ''e''}}. Selanjutnya, banyaknya cara penempatan topi ke dalam kotak sehingga tidak ada topi yang berada di kotak yang tepat adalah {{math|''n''!/''e''}} (dibulatkan ke bilangan bulat terdekat untuk setiap bilangan positif&nbsp;{{math|''n''}}).<ref>Knuth (1997) ''[[Seni Pemrograman Komputer]]'' Volume I, Addison-Wesley, p.&nbsp;183 {{isbn|0-201-03801-3}}.</ref>

===Masalah perencanaan yang optimal===
Nilai maksimum dari <math display="inline">\sqrt[x]{x}</math> dapat diperoleh saat <math display="inline">x = e</math>. Selain itu, untuk nilai basis <math display="inline">b>1</math>, nilai maksimum dari <math display="inline">\frac{1}{x} \log_b{x}</math> diperoleh saat <math display="inline">x=e</math> ([[Permasalahan Steiner]]).

Dalam permasalahan lain, sebatang blok dengan panjang {{mvar|L}} dipecah menjadi {{mvar|n}} bagian yang sama. Nilai dari {{mvar|n}} yang memaksimalkan produk dari panjang adalah:<ref>{{cite book|title=Konstanta matematika|url=https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc|url-access=registration|author=Steven Finch|year=2003|publisher=Cambridge University Press|p=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/14 14]}}</ref>
:<math>n = \left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor</math> atau <math>\left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor</math>
===Asimtotik===
Angka {{mvar|e}} terjadi secara alami sehubungan dengan banyak masalah yang melibatkan asimtotik. Contohnya adalah [[Rumus Stirling]] untuk [[Analisis asimtotik|asimtotik]] dari [[fungsi faktorial]], di mana kedua bilangan tersebut {{mvar|e}} dan [[pi|{{pi}}]] muncul:
:<math>n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>

Sebagai konsekuensi,
:<math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} .</math>

== Lihat pula ==
* [[Fungsi eksponensial]]
* [[Logaritma]]

== Referensi ==
{{Reflist}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Matematika]]