Lihat sumber Distribusi t Student

{{short description|DIstribusi peluang}}
{{DISPLAYTITLE:Distribusi {{mvar|t}} Student}}
{{About|sisi matematika dari distribusi {{mvar|t}} Student|penggunaannya pada statistika|Uji t Student}}
{{Infobox probability distribution
| name       = {{mvar|t}} Student
| type       = Kepadatan/kerapatan
| pdf_image  = [[File:student t pdf.svg|325px]]
| cdf_image  = [[File:student t cdf.svg|325px]]
| parameters = <math>\ \nu > 0\ </math> [[Derajat kebebasan (statistika)|derajat kebebasan]] ([[Bilangan riil|riil]], hampir selalu [[bilangan bulat]] positif)
| support    = <math>\ x \in (- \infty, \infty)</math>
| pdf        = <math>\textstyle\ \frac{\Gamma \left(\frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right)} {\sqrt{\pi\ \nu\ }\ \Gamma \left(\frac{ \nu }{\ 2\ } \right)}\ \left(\ 1 + \frac{~ x^2\ }{ \nu }\ \right)^{-\frac{\ \nu+1\ }{ 2 }}\ </math>
| type = density
| cdf        = <math display="block">\begin{matrix}
     \ \frac{\ 1\ }{ 2 } + x\ \Gamma \left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right) \times \\[0.5em]
     \frac{\ { {}_{2}F_1 }\!\left(\ \frac{\ 1\ }{ 2 },\ \frac{\ \nu+1\ }{ 2 };\ \frac{ 3 }{\ 2\ };\ 
           -\frac{~ x^2\ }{ \nu }\ \right)\ }
     {\ \sqrt{\pi\nu}\ \Gamma \left(\frac{\ \nu\ }{ 2 }\right)\ }\ ,
     \end{matrix}</math><br/>
     dengan <math>\ {}_{2}F_1\!(\ ,\ ;\ ;\ )\ </math> adalah [[fungsi hipergeometris]]
| mean       = <math>\ 0\ </math> untuk <math>\ \nu > 1\ ,</math> lainnya [[Bentuk tak tentu|tak terdefinisi]]
| median     = <math>\ 0\ </math>
| mode       = <math>\ 0\ </math>
| variance   = <math>\textstyle\ \frac{ \nu }{\ \nu-2\ }\ </math> untuk <math>\ \nu > 2\ ,</math> {{math|∞}} untuk <math>\ 1 < \nu \le 2\ ,</math><br/> lainnya [[Bentuk tak tentu|tak terdefinisi]]
| skewness   = <math>\ 0\ </math> for <math>\ \nu > 3\ ,</math> lainnya [[Bentuk tak tentu|tak terdefinisi]]
| kurtosis   =<math>\textstyle\ \frac{ 6 }{\ \nu-4\ }</math> for <math>\ \nu > 4\ ,</math> ∞ for <math>\ 2 < \nu \le 4\ ,</math><br/> otherwise [[indeterminate form|undefined]]
| entropy    = <math>\ \begin{matrix}
         \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \left[\ \psi \left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right)
               - \psi \left(\frac{\ \nu\ }{ 2 } \right)\ \right] \\[0.5em]
+ \ln \left[ \sqrt{\nu\ }\ {\mathrm B} \left(\ \frac{\ \nu\ }{ 2 },\ \frac{\ 1\ }{ 2 }\ \right)\right]\ {\scriptstyle\text{(nats)}}\ 
\end{matrix}</math><br/> dengan
: <math> \psi( )\ </math> adalah [[fungsi digamma]],
: <math>\ {\mathrm B}(\ ,\ )\ </math> adalah [[fungsi beta]].
| mgf        = tidak terdefinisi
| char       = <math>\textstyle\frac{\ \left(\ \sqrt{\nu\ }\ |t|\ \right)^{\nu/2}\ K_{\nu/2}\left(\ \sqrt{\nu\ }\ |t|\ \right)\ }{\ \Gamma(\nu/2)\ 2^{\nu/2 - 1}\ }\ </math> for <math>\ \nu > 0\ </math>
* <math>\ K_\nu(x)\ </math> adalah [[Fungsi Bessel|adalah bentuk kedua dari fungsi Bessel yang dimodifikasi]]<ref>{{cite web |last=Hurst |first=Simon |title=The characteristic function of the Student {{mvar|t}} distribution |series=Financial Mathematics Research Report |volume=No.&nbsp;FMRR006-95 |id=Statistics Research Report No.&nbsp;SRR044-95 |url=http://wwwmaths.anu.edu.au/research.reports/srr/95/044/ |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20100218072259/http://wwwmaths.anu.edu.au/research.reports/srr/95/044/ |archive-date=February 18, 2010 }}</ref>
| ES         = <math>\ \mu + s\ \left(\ \frac{\ \left(\ \nu + (T^{-1}(1-p))^2 \right)\ \ \times\ \tau\left( T^{-1}(1-p) \right)\ }{\ (\nu-1)(1-p)\ }\ \right)\ </math>
dengan <math>\ T^{-1}(\ )\ </math> adalah invers dari bentuk standar [[Fungsi distribusi kumulatif|CDF]] {{mvar|t}}&nbsp;Student, dan <math>\ \tau(\ )\ </math> adalah bentuk standar dari [[Fungsi kerapatan probabilitas|PDF]] {{mvar|t}} Student.<ref name=norton>{{cite journal |last1=Norton |first1=Matthew |last2=Khokhlov |first2=Valentyn |last3=Uryasev |first3=Stan |year=2019 |title=Calculating CVaR and bPOE for common probability distributions with application to portfolio optimization and density estimation |journal=[[Annals of Operations Research]] |volume=299 |issue=1–2 |pages=1281–1315 |publisher=Springer|doi=10.1007/s10479-019-03373-1 |arxiv=1811.11301 |s2cid=254231768 |url=http://uryasev.ams.stonybrook.edu/wp-content/uploads/2019/10/Norton2019_CVaR_bPOE.pdf |access-date=2023-02-27}}</ref>
}}

Pada teori [[Peluang (matematika)|peluang]] dan [[statistika]], '''distribusi ''t'' Student''' (atau lebih sederhana '''distribusi ''t''''') {{Mvar|t{{sub|&nu;}}}} adalah [[Sebaran probabilitas|sebaran peluang]] yang menggeneralisasikan [[Distribusi normal|distribusi normal standar]]. Seperti distribusi normal, distribusi {{Mvar|t}} simetris di sekitar nol dan memiliki bentuk bel.

Namun, distribusi {{Mvar|t}} memiliki ekor yang lebih berat, dengan massa ekor bergantung pada parameter derajat kebebasan {{Mvar|&nu;}}. Untuk {{Math|1={{mvar|&nu;}} = 1}}, distribusi {{Mvar|t}} Student {{Mvar|t{{sub|&nu;}}}} menjadi [[distribusi Cauchy]] standar, dengan ekor yang sangat "gemuk". Sementara itu, untuk {{Math|{{mvar|&nu;}} {{panah|r}} &infin;}}, distribusi {{Mvar|t}} menjadi distribusi normal standar {{Math|{{mathcal|N}}(0,1)}} yang memiliki ekor yang "tipis".

Distribusi {{Mvar|t}} Students memainkan peran penting pada banyak analisis statistika, termasuk [[Uji t Student|uji {{Mvar|t}} Student]] untuk menguji [[signifikansi statistika]] dari perbedaan antara dua [[Rata-rata|rerata]] sampel, pembangunan [[selang kepercayaan]] untuk perbedaan antara dua rerata populasi, dan pada [[analisis regresi]] linear.

Pada bentuk ''skala lokalisasi distribusi {{Mvar|t}}'' {{Math|{{mvar|lst}}(&mu;, &tau;{{sup|2}}, &nu;)}}, distribusi ini menggeneralisasi distribusi normal dan juga muncul pada [[analisis Bayes]] pada data dari keluarga {{Ill|distribusi peluang majemuk|en|compound probability distribution}} keika dimarjinalkan oleh parameter variasi.

== Definisi ==

=== Fungsi kepekatan probabilitas ===
'''Distribusi {{Mvar|t}}''' '''Student''' memiliki [[fungsi kepekatan probabilitas]] (''probability density function''; PDF) sebagai berikut:<blockquote><math> f(t)\ =\ \frac{ 1 }{\ \sqrt{\nu\ }\ {\mathrm B}\!\left( \frac{\ 1\ }{ 2 },\ \frac{\ \nu\ }{ 2 }\right)\ } \; \left(\ 1 + \frac{\ t^2\ }{ \nu }\ \right)^{-(\nu+1)/2}\ ,</math></blockquote>dengan {{Mvar|&nu;}} adalah jumlah [[Derajat kebebasan (statistika)|derajat kebebasan]] dan {{Math|&Gamma;}} adalah [[fungsi gamma]]. Definisi ini juga dapat ditulis sebagai berikut:<blockquote><math>\ \frac{\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 }\right)\ }{\ \sqrt{\pi\ \nu\ }\; \Gamma\!\left( \frac{\ \nu\ }{ 2 }\right)\ }\ =\ \frac{ 1 }{\ 2 \sqrt{\nu\ }\ }\ \cdot\ \frac{\ (\nu - 1)\cdot(\nu -3)\cdots 5 \cdot 3\ }{\ (\nu -2)\cdot(\nu -4) \cdots 4 \cdot 2\ } ~.</math></blockquote>dengan {{Math|B}} adalah [[fungsi beta]]. Pada beberapa nilai bilangan bulat derajat kebebasan {{Mvar|&nu;}} , kita dapat:

Untuk {{Math|{{mvar|&nu;}} > 1}} dan genap,<blockquote><math>\ \frac{\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right)\ }{\ \sqrt{\pi\ \nu\ }\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu\ }{ 2 } \right)}\ =\  \frac{ 1 }{\ \pi \sqrt{\nu\ }\ }\ \cdot\ \frac{(\nu -1)\cdot(\nu -3)\cdots 4 \cdot 2\ }{\ (\nu -2)\cdot(\nu -4)\cdots 5 \cdot 3\ } ~.</math></blockquote>Untuk {{Math|{{mvar|&nu;}} > 1}} dan ganjil,<blockquote><math>\int_{-\infty}^t f(u)\ \operatorname{d}u ~=~ \frac{1}{2} + t\ \frac{\ \Gamma\!\left( \frac{\ \nu+1\ }{ 2 } \right)\ }{\ \sqrt{\pi\ \nu\ }\ \Gamma\!\left( \frac{ \nu }{\ 2\ }\right)\ } \ {}_{2}F_1\!\left(\ \frac{1}{2}, \frac{\ \nu+1\ }{2}\ ; \frac{ 3 }{\ 2\ }\ ;\ -\frac{~ t^2\ }{ \nu }\ \right)\ ,</math></blockquote>Fungsi kerapatan probabilitas bernilai [[Distribusi simetris|simetris]] dan bentuknya terlihat seperti bel selayaknya variabel yang terdistribusi normal dengan rerata 0 dan variasi 1, tetapi dengan bentuk yang sedikit lebih rendah dan lebar. Ketika nilai derajat kebabsannya meningkat, distribusi {{Mvar|t}} mendekati distribusi normal dengan rerata 0 dan variasi 1. Untuk alasan ini, parameter {{Mvar|&nu;}} juga disebut sebagai parameter normalisasi.<ref>{{cite book|last=Kruschke|first=J.K.|year=2015|title=Doing Bayesian Data Analysis|publisher=Academic Press|isbn=9780124058880|edition=2nd|oclc=959632184|author-link=John K. Kruschke}}</ref>

Gambar berikut memperlihatkan kerapatan dari distribusi {{Mvar|t}} ketika nilai {{Mvar|&nu;}} meningkat. Distribusi normal diperlihatkan dengan warna biru sebagai perbandingan. Catat bahwa distribusi {{Mvar|t}} (garis merah) menjadi lebih dekat dengan distribusi normal saat nilai {{Mvar|&nu;}} meningkat.
{{Multiple image
| align             = center
| caption_align     = center
| header            = Kerapatan distribusi&nbsp;{{mvar|t}} (merah) untuk derajat kebebasan dengan nilai 1, 2, 3, 5, 10, dan 30 dibandingkan dengan distribusi normal standar (biru). <br/> Plot sebelumnya diperlihatkan dalam warna hijau.
| perrow            = 3
| image1            = T distribution 1df enhanced.svg
| image2            = T distribution 2df enhanced.svg
| image3            = T distribution 3df enhanced.svg
| image4            = T distribution 5df enhanced.svg
| image5            = T distribution 10df enhanced.svg
| image6            = T distribution 30df enhanced.svg
| caption1          = 1 derajat kebebasan
| caption2          = 2 derajat kebebasan
| caption3          = 3 derajat kebebasan
| caption4          = 5 derajat kebebasan
| caption5          = 10 derajat kebebasan
| caption6          = 30 derajat kebebasan
}}

=== Fungsi distribusi kumulatif ===
[[Fungsi distribusi kumulatif]] (''cumulative distribution function''; CDF) dapat dituliskan dalam bentuk {{Mvar|I}}, bentuk fungsi beta tidak lengkap. Untuk {{Math|{{mvar|t}} > 0}},<blockquote><math>F(t) = \int_{-\infty}^t\ f(u)\ \operatorname{d}u ~=~ 1 - \frac{1}{2} I_{x(t)}\!\left( \frac{\ \nu\ }{ 2 },\ \frac{\ 1\ }{ 2 } \right)\ ,</math></blockquote>dengan<blockquote><math>x(t) = \frac{ \nu }{\ t^2+\nu\ } ~.</math></blockquote>Nilai lain dapat dihitung dengan simetris. Persamaan alternatif, berlaku untuk {{Math|{{mvar|t}}{{sup|2}} < {{mvar|&nu;}}}}, adalah<blockquote><math> f(t)\ =\ \frac{\ \Gamma\!\left(\frac{\ \nu+1\ }{ 2 }\right)\ }{\ \sqrt{\pi\ \nu\ }\; \Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)} \; \left(\ 1 + \frac{~ t^2\ }{ \nu }\ \right)^{-(\nu+1)/2}\ ,</math></blockquote>dengan {{Math|{{sub|2}}{{mvar|F}}{{sub|1}} ( , ; ; )}} adalah salah satu contoh dari [[fungsi hipergeometris]].

Untuk informasi lebih lanjut tentang fungsi distribusi kumulatif invers, lihat {{slink|fungsi kuantil|Distribusi t Student}}

=== Kasus khusus ===
Beberapa nilai {{Mvar|&nu;}} memberikan bentuk sederhana dari distribusi {{Mvar|t}} Students.

{| class="wikitable"
|-
! <math>\ \nu\ </math>
! PDF
! CDF
! Catatan
|-
! 1
| <math>\ \frac{\ 1\ }{\ \pi\ (1 + t^2)\ }\ </math>
| <math>\ \frac{\ 1\ }{ 2 } + \frac{\ 1\ }{ \pi }\ \arctan(\ t\ )\ </math>
| Lihat [[Distribusi Cauchy]]
|-
! 2
| <math>\ \frac{ 1 }{\ 2\ \sqrt{2\ }\ \left(1+\frac{t^2}{2}\right)^{3/2}}\ </math>
| <math>\ \frac{ 1 }{\ 2\ }+\frac{ t }{\ 2\sqrt{2\ }\ \sqrt{ 1 + \frac{~ t^2\ }{ 2 }\ }\ }\ </math>
|
|-
! 3
| <math>\ \frac{ 2 }{\ \pi\ \sqrt{3\ }\ \left(\ 1 + \frac{~ t^2\ }{ 3 }\ \right)^2\ }\ </math>
| <math>\ \frac{\ 1\ }{ 2 } + \frac{\ 1\ }{ \pi }\ \left[ \frac{ \left(\ \frac{ t }{\ \sqrt{3\ }\ }\ \right) }{ \left(\ 1 + \frac{~ t^2\ }{ 3 }\ \right) } + \arctan\left(\ \frac{ t }{\ \sqrt{3\ }\ }\ \right)\ \right]\ </math>
|
|-
! 4
| <math>\ \frac{\ 3\ }{\ 8\ \left(\ 1 + \frac{~ t^2\ }{ 4 }\ \right)^{5/2}}\ </math>
| <math>\ \frac{\ 1\ }{ 2 } + \frac{\ 3\ }{ 8 } \left[\ \frac{ t }{\ \sqrt{ 1 + \frac{~ t^2\ }{ 4 } ~}\ } \right] \left[\ 1 - \frac{~ t^2\ }{\ 12\ \left(\ 1 + \frac{~ t^2\ }{ 4 }\ \right)\ }\ \right]\ </math>
|
|-
! 5
| <math>\ \frac{ 8 }{\ 3 \pi \sqrt{5\ }\left(1+\frac{\ t^2\ }{ 5 }\right)^3\ }\ </math>
| <math>\ \frac{\ 1\ }{ 2 } + \frac{\ 1\ }{\pi}{ \left[ \frac{ t }{\ \sqrt{5\ }\left(1 + \frac{\ t^2\ }{ 5 }\right)\ } \left(1 + \frac{ 2 }{\ 3 \left(1 + \frac{\ t^2\ }{ 5 }\right)\ }\right) + \arctan\left( \frac{ t }{\ \sqrt{\ 5\ }\ } \right)\right]}\ </math>
|
|-
! <math>\ \infty\ </math>
| <math>\ \frac{ 1 }{\ \sqrt{2 \pi\ }\ }\ e^{-t^2/2}</math>
| <math>\ \frac{\ 1\ }{ 2 }\ {\left[ 1 + \operatorname{erf}\left( \frac{ t }{\ \sqrt{2\ }\ } \right) \right]}\ </math>
| Lihat ''[[Distribusi normal]]'', ''{{Ill|Fungsi galat|en|Error function}}''
|}

==Catatan kaki==
{{Reflist}}

==Referensi==
*{{Cite journal
| last1 = Senn | first1 = S.
| last2 = Richardson | first2 = W.
| title = The first {{mvar|t}}&nbsp;test
| journal = [[Statistics in Medicine (journal)|Statistics in Medicine]]
| volume = 13
| issue = 8
| pages = 785–803
| year = 1994
| pmid = 8047737 |doi=10.1002/sim.4780130802
}}
*{{cite book|title=Introduction to Mathematical Statistics|url=https://archive.org/details/introductiontoma0000hogg|vauthors=Hogg RV, Craig AT|publisher=Macmillan|year=1978|edition=4th|location=New York|asin=B010WFO0SA|author-link=Robert V. Hogg}}
*{{cite book |last1=Venables |first1=W. N. |first2=B. D. |last2=Ripley |year=2002 |title=Modern Applied Statistics with S |edition=Fourth |publisher=Springer }}
*{{Cite book
  | last = Gelman
  | first = Andrew
  |author2=John B. Carlin |author3=Hal S. Stern |author4=Donald B. Rubin
   | title = Bayesian Data Analysis
  | publisher = CRC/Chapman & Hall
  | year = 2003
  | isbn = 1-58488-388-X
  | url = http://www.stat.columbia.edu/~gelman/book/
| edition = Second
 }}

==Pranala luar==
*{{springer|title=Student distribution|id=p/s090710}}
*[http://jeff560.tripod.com/s.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)] ''(Remarks on the history of the term "Student's distribution")''
*{{Citation |last=Rouaud |first=M. |date=2013 |url=http://www.incertitudes.fr/book.pdf |title=Probability, Statistics and Estimation |edition=short |ref=none}} First Students on page 112.
*[https://flexbooks.ck12.org/cbook/ck-12-interactive-algebra-2-for-ccss/section/6.6/related/lesson/students-t-distribution-adv-pst/ Student's t-Distribution], {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210410192326/https://flexbooks.ck12.org/cbook/ck-12-interactive-algebra-2-for-ccss/section/6.6/related/lesson/students-t-distribution-adv-pst/ |date=2021-04-10 }}

{{Statistika|state=collapsed}}

[[Kategori:Fungsi khusus]]
[[Kategori:Distribusi normal]]