Lihat sumber Deret Taylor

{{Kalkulus | deret}}

[[Berkas:sintay.svg|jmpl|Seiring dengan meningkatnya orde, polinomial Taylor mendekati fungsi yang dihampirinya. Gambar ini menunjukkan <font color=#333333><math>\sin x</math></font> (in black) and hampiran Taylor, polinomial orde <font color=red>1</font>, <font color=orange>3</font>, <font color=yellow>5</font>, <font color=green>7</font>, <font color=blue>9</font>, <font color=indigo>11</font> and <font color=violet>13</font>.]]
[[Berkas:Exp series.gif|ka|jmpl|[[Fungsi eksponensial]] (warna biru), dan jumlahan suku ke ''n''+1 awal deret Taylornya di titik 0 and (warna merah).]]

'''Deret Taylor''' dalam [[matematika]] adalah representasi [[fungsi matematika]] sebagai [[deret (matematika)|jumlahan tak hingga]] dari suku-suku yang nilainya dihitung dari [[turunan]] fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai [[limit]] [[polinomial Taylor]]. Deret Taylor mendapat nama dari [[matematikawan]] [[Inggris]] [[Brook Taylor]]. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai '''deret Maclaurin''', dari nama matematikawan [[Skotlandia]] [[Colin Maclaurin]]

== Definisi ==
Deret Taylor dari sebuah [[fungsi riil]] atau [[fungsi kompleks]] ''f''(''x'') yang [[fungsi terdiferensialkan takhingga|terdiferensialkan takhingga]] dalam sebuah [[pemetaan]] sebuah [[bilangan riil]] atau [[bilangan kompleks|kompleks]] ''a'' adalah [[deret pangkat]]

<!--
Deret Taylor tidak perlu sama dengan fungsinya. Jadi mohon jangan tuliskan f(x)=... di sini. Dengan kata lain,

JANGAN UBAH RUMUS INI!!!! !-->:<math>f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots </math><!--
-->

yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

:<math> \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}</math>

dengan ''n''! melambangkan [[faktorial]] ''n'' dan ''f''<sup>&nbsp;(''n'')</sup>(''a'') melambangkan nilai dari turunan ke-''n'' dari ''f'' pada titik ''a''. Turunan kenol dari ''f'' didefinisikan sebagai ''f'' itu sendiri, dan {{nowrap|(''x'' − ''a'')<sup>0</sup>}} dan 0! didefinisikan sebagai&nbsp;1.

Dalam kasus khusus di mana ''a'' = 0, deret ini disebut juga sebagai '''Deret Maclaurin'''.

==Kesalahan perkiraan dan konvergensi==
{{main|Teorema Taylor}}
[[Gambar:Taylorsine.svg|300px|thumb|right|Fungsi sinus (biru) sangat dekat dengan polinomial Taylor derajat 7 (merah muda) untuk periode penuh yang berpusat pada titik asal.]]
[[Gambar:LogTay.svg|300px|thumb|right|Polinomial Taylor untuk {{math|ln(1 + ''x'')}} hanya memberikan perkiraan yang akurat dalam rentang tersebut {{math|−1 < ''x'' ≤ 1}}. Untuk {{math|''x'' > 1}}, Polinomial Taylor dengan derajat yang lebih tinggi memberikan perkiraan yang lebih buruk.]]
[[Gambar:Logarithm GIF.gif|300px|thumb|right|Perkiraan Taylor untuk {{math|ln(1 + ''x'')}} (black). Untuk {{math|''x'' > 1}}, perkiraannya berbeda.]]

Gambar di sebelah kanan adalah perkiraan yang akurat dari {{math|sin ''x''}} sekitar intinya {{math|''x'' {{=}} 0}}. Kurva merah muda adalah polinomial derajat tujuh:

:<math>\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}.\!</math>

Kesalahan dalam perkiraan tersebut tidak lebih dari nilai {{math|{{sfrac|{{mabs|''x''}}<sup>9</sup>|9!}}}}. Secara khusus, untuk nilai {{math|−1 < ''x'' < 1}}, kesalahannya kurang dari&nbsp;0.000003.

Sebaliknya, ditampilkan juga gambar dari fungsi logaritma natural pada nilai {{math|ln(1 + ''x'')}} dan beberapa [[polinomial Taylor]] di sekitar nilai {{math|''a'' {{=}} 0}}. Perkiraan tersebut menyatu dengan fungsi dari {{math|−1 < ''x'' ≤ 1}}; di luar wilayah tersebut polinomial Taylor derajat yang lebih tinggi berada ''lebih buruk'' perkiraan untuk fungsi tersebut. Hal tersebut mirip dengan [[Fenomena anak tangga]].{{citation needed|date=November 2017}}

''Masalah'' yang terjadi saat mendekati fungsi dengan nilai {{mvar|n}} Pada Polinomial Taylor dari derajat disebut ''sisa'' atau ''[[Residual (analisis numerik)|residual]]'' dan dilambangkan dengan fungsinya {{math|''R''<sub>''n''</sub>(''x'')}}. [[Teorema Taylor]] dapat digunakan untuk mendapatkan batasan ukuran sisanya.

Secara umum, deret Taylor sama sekali tidak perlu [[deret konvergen|menggunakan konvergen]]. Dan sebenarnya himpunan fungsi dengan deret Taylor konvergen adalah [[himpunan kecil]] di [[ruang Fréchet]] dari [[fungsi mulus]]. Dan bahkan jika deret Taylor memiliki fungsi {{mvar|f}} konvergen, batasnya secara umum tidak perlu sama dengan nilai fungsinya {{math|''f''&thinsp;(''x'')}}. Misalnya Fungsi
:<math>
f(x) = \begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^2}}&\text{if } x\neq0\\
0&\text{if } x=0
\end{cases}
</math>
<!--is [[infinitely differentiable]] at {{math|''x'' {{=}} 0}}, and has all derivatives zero there. Consequently, the Taylor series of {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} about {{math|''x'' {{=}} 0}} is identically zero. However, {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} is not the zero function, so does not equal its Taylor series around the origin.  Thus, {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} is an example of a [[non-analytic smooth function]].

In [[real analysis]], this example shows that there are [[infinitely differentiable function]]s {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} whose Taylor series are ''not'' equal to {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} even if they converge. By contrast, the [[holomorphic function]]s studied in [[complex analysis]] always possess a convergent Taylor series, and even the Taylor series of [[meromorphic function]]s, which might have singularities, never converge to a value different from the function itself. The complex function {{math|''e''<sup>−1/''z''<sup>2</sup></sup>}}, however, does not approach 0 when {{mvar|z}} approaches 0 along the imaginary axis, so it is not [[Continuous function|continuous]] in the complex plane and its Taylor series is undefined at 0.-->

Secara lebih umum, setiap urutan bilangan real atau kompleks dapat muncul sebagai [[koefisien]] dalam deret Taylor dari fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata, konsekuensi dari [[lemma Borel]].  Akibatnya, [[radius konvergensi]] deret Taylor bisa menjadi nilai nol. Bahkan ada fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata yang deret Taylor-nya memiliki radius konvergensi 0 di mana-mana.<ref>{{Citation | last = Rudin | first = Walter | author-link = Walter Rudin| title = Analisis Nyata dan Kompleks | place = New Dehli | publisher = McGraw-Hill | year = 1980 | page = 418, Exercise 13 | isbn = 0-07-099557-5 | postscript = <!--none-->}}</ref>

<!--A function cannot be written as a Taylor series centred at a [[singularity (mathematics)|singularity]]; in these cases, one can often still achieve a series expansion if one allows also negative powers of the variable {{mvar|x}}; see [[Laurent series]]. For example, {{math|''f''&thinsp;(''x'') {{=}} ''e''<sup>−1/''x''<sup>2</sup></sup>}} can be written as a Laurent series.-->

==Generalisasi==
Namun demikian, ada generalisasi<ref>{{citation|first=William|last=Feller|authorlink=William Feller|title=Pengantar teori probabilitas dan aplikasinya, Volume 2|edition=3rd|publisher=Wiley|year=1971|pages=230–232}}.</ref><ref>{{citation|first1=Einar|last1=Hille|authorlink1=Einar Hille|first2=Ralph S.|last2=Phillips|authorlink2=Ralph S. Phillips|title=Analisis fungsional dan semi-kelompok|publisher=American Mathematical Society|series=Publikasi Kolokium AMS|volume=31|year=1957|pages=300–327}}.</ref> dari deret Taylor yang konvergen ke nilai fungsi itu sendiri untuk setiap [[fungsi terikat|terikat]] dari [[fungsi kontinu]] pada nilai {{math|(0,∞)}}, menggunakan kalkulus [[beda hingga]]. Secara khusus, seseorang memiliki teorema berikut, karena [[Einar Hille]], bahwa untuk apa saja {{math|''t'' > 0}},
:<math>\lim_{h\to 0^+}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\frac{\Delta_h^nf(a)}{h^n} = f(a+t).</math>
Darimana nilai {{math|Δ{{su|p=''n''|b=''h''}}}} adalah {{mvar|n}} Pada operator perbedaan hingga dengan ukuran langkah {{mvar|h}}. Deret tersebut persis seperti deret Taylor, kecuali perbedaan yang terbagi muncul sebagai pengganti diferensiasi: deret ini secara formal mirip dengan [[deret Newton]]. Saat fungsinya {{mvar|f}} bersifat analitik di {{mvar|a}}, istilah dalam deret bertemu dengan istilah deret Taylor, dan dalam pengertian ini menggeneralisasi deret Taylor biasa.

Secara umum, untuk urutan tak terbatas apa pun {{math|''a''<sub>''i''</sub>}}, identitas deret pangkat berikut berlaku:
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{u^n}{n!}\Delta^na_i = e^{-u}\sum_{j=0}^\infty\frac{u^j}{j!}a_{i+j}.</math>
Jadi secara khusus,
:<math>f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} e^{-\frac{t}{h}}\sum_{j=0}^\infty f(a+jh) \frac{\left(\frac{t}{h}\right)^j}{j!}.</math>
<!--The series on the right is the [[expectation value]] of {{math|''f''&thinsp;(''a'' + ''X'')}}, where {{mvar|X}} is a [[Poisson distribution|Poisson-distributed]] [[random variable]] that takes the value {{math|''jh''}} with probability {{math|''e''<sup>−''t''/''h''</sup>·{{sfrac|(''t''/''h''){{isup|''j''}}|''j''!}}}}. Hence,
:<math>f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} \int_{-\infty}^\infty f(a+x)dP_{\frac{t}{h},h}(x).</math>-->
[[Hukum jumlah besar]] menyiratkan bahwa identitas memegang.<ref>{{cite book|authorlink=William Feller|first=William|last=Feller|title=Pengantar probabilitas theory dan aplikasinya|volume=2|edition=3|page=231|year=1970}}</ref>

==Daftar seri Maclaurin dari beberapa fungsi umum==
{{see also|Daftar deret matematika}}
Beberapa ekspansi penting seri Maclaurin menyusul.<ref>Sebagian besar dapat ditemukan di {{harv|Abramowitz|Stegun|1970}}.</ref> Semua perluasan tersebut valid untuk argumen yang kompleks {{mvar|x}}.

=== Fungsi eksponensial ===
[[Berkas:Exp series.gif|right|thumb|[[Fungsi eksponensial]] {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} (berwarna biru), dan jumlah dari yang pertama {{math|''n'' + 1}} persyaratan seri Taylor-nya di 0 (merah).]]
[[Fungsi eksponensial]] pada <math>e^x</math> (dengan basis [[e (matematika)|{{mvar|e}}]]) memiliki deret Maclaurin
:<math>e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots </math>.
Hal tersebut menyatu untuk nilai {{mvar|x}}.

=== Logaritma natural ===
[[Logaritma natural]] (dengan basis [[e (matematika)|{{mvar|e}}]]) memiliki deret Maclaurin
:<math>\begin{align}
\ln(1-x) &= - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n = -x - \frac{x^2}2 - \frac{x^3}3 - \cdots , \\
\ln(1+x) &= \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \cdots .
\end{align}</math>
<!--Mereka berkumpul untuk nilai <math>|x| < 1</math>. (In Selain itu, nilai deret untuk {{math|ln(1 − ''x'')}} berkumpul untuk {{math|''x'' {{=}} −1}}, and the series for {{math|ln(1 + ''x'')}} converges for {{math|''x'' {{=}} 1}}.)-->

=== Deret geometris ===

[[Deret geometris]] dan turunannya memiliki deret Maclaurin

:<math>\begin{align}
\frac{1}{1-x} &= \sum^\infty_{n=0} x^n \\
\frac{1}{(1-x)^2} &= \sum^\infty_{n=1} nx^{n-1}\\
\frac{1}{(1-x)^3} &= \sum^\infty_{n=2} \frac{(n-1)n}{2} x^{n-2}.
\end{align}</math>
Semuanya konvergen untuk <math>|x| < 1</math>.  Ini adalah kasus khusus dari of [[#Binomial series|binomial series]] diberikan di bagian selanjutnya.

== Deret Binomial ==

[[Deret Binomial]] adalah deret pangkat

:<math>(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n</math>

yang koefisiennya adalah [[koefisien binomial]] umum

: <math>\binom{\alpha}{n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.</math>

(Jika {{math| ''n'' {{=}} 0}}, produk ini adalah [[produk kosong]] dan memiliki nilai 1.) Menyatu <math>|x| < 1</math> untuk bilangan real atau kompleks apa pun {{mvar|α}}.

Darimana nilai {{math|''α'' {{=}} −1}}, ini pada dasarnya adalah deret geometri tak hingga yang disebutkan di bagian sebelumnya. Kasus khusus {{math|''α'' {{=}} {{sfrac|1|2}}}} dan {{math|''α'' {{=}} −{{sfrac|1|2}}}} berikan fungsi [[akar kuadrat]] dan [[pembalikan perkalian|pembalikan]]:

:<math>\begin{align} 
(1+x)^\frac12 &= 1 + \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{8}x^2 + \tfrac{1}{16}x^3 - \tfrac{5}{128}x^4 + \tfrac{7}{256}x^5 - \ldots, \\
(1+x)^{-\frac12} &= 1 -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{8}x^2 - \tfrac{5}{16}x^3 + \tfrac{35}{128}x^4 - \tfrac{63}{256}x^5 + \ldots.
\end{align}</math>

Jika hanya [[pendekatan linier|suku linier]] yang dipertahankan, ini disederhanakan menjadi [[perkiraan binomial]].

== Perkiraan dalam fungsi ==
=== Fungsi trigonometri ===
[[Fungsi trigonometri]] biasa dan inversnya memiliki deret Maclaurin berikut:
:<math>\begin{align}
\sin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\cos x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\tan x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\sec x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} &&=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\arcsin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots && \text{for }|x| \le 1\\[6pt]
\arccos x &=\frac{\pi}{2}-\arcsin x\\&=\frac{\pi}{2}- \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}&&=\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}-\cdots&& \text{for }|x| \le 1\\[6pt]
\arctan x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &&=x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}-\cdots && \text{for }|x| \le 1,\ x\neq\pm i
\end{align}</math>

Semua sudut diekspresikan dalam [[radian]]. Angka-angka {{math|''B<sub>k</sub>''}} muncul dalam perluasan {{math|tan ''x''}} adalah [[angka Bernoulli]]. Hal itu {{math|''E''<sub>''k''</sub>}} dalam perluasan {{math|sec ''x''}} adalah [[nomor Euler]].

=== Fungsi hiperbolik ===
[[Fungsi hiperbolik]] memiliki deret Maclaurin yang terkait erat dengan deret untuk fungsi trigonometri yang sesuai:
:<math>\begin{align}
\sinh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} &&= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\cosh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} &&= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\tanh x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n \left(4^n-1\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\operatorname{arsinh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} && && \text{for }|x| \le 1\\[6pt]
\operatorname{artanh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} && && \text{for }|x| \le 1,\ x\neq\pm 1
\end{align}</math>

Angka-angka {{math|''B<sub>k</sub>''}} muncul di seri untuk {{math|tanh ''x''}} adalah [[angka Bernoulli]].

==Deret Taylor sebagai definisi==
{{sect-stub}}
Secara klasik, [[fungsi aljabar]] s didefinisikan oleh persamaan aljabar, dan [[fungsi transendental]] s (termasuk yang dibahas di atas) ditentukan oleh beberapa properti yang mendukungnya, seperti [[persamaan diferensial]]. Misalnya, [[fungsi eksponensial]] adalah fungsi yang sama dengan turunannya sendiri di mana-mana, dan mengasumsikan nilai 1 di asalnya. Namun, seseorang dapat mendefinisikan [[fungsi analitik]] dengan deret Taylor-nya.
<!--Taylor series are used to define functions and "[[operator (mathematics)|operator]]s" in diverse areas of mathematics. In particular, this is true in areas where the classical definitions of functions break down. For example, using Taylor series, one may extend analytic functions to sets of matrices and operators, such as the [[matrix exponential]] or [[matrix logarithm]].

In other areas, such as formal analysis, it is more convenient to work directly with the [[power series]] themselves. Thus one may define a solution of a differential equation ''as'' a power series which, one hopes to prove, is the Taylor series of the desired solution.-->

==Deret Taylor dalam beberapa variabel==

Deret Taylor juga dapat digeneralisasikan ke fungsi lebih dari satu variabel dengan<ref>{{citation|author=[[Lars Hörmander]]|title=Analisis operator diferensial parsial, volume 1|year=1990|publisher=Springer|at=Eqq. 1.1.7 and 1.1.7′}}</ref><ref>{{citation|author1=Duistermaat|author2=Kolk|title=Distribusi: Teori dan aplikasi|publisher=Birkhauser|year=2010|at=ch. 6}}</ref>

:<math>\begin{align}
T(x_1,\ldots,x_d) &= \sum_{n_1=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty  \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\ldots,a_d) \\
&= f(a_1, \ldots,a_d) + \sum_{j=1}^d \frac{\partial f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j} (x_j - a_j) + \frac{1}{2!} \sum_{j=1}^d \sum_{k=1}^d \frac{\partial^2 f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k} (x_j - a_j)(x_k - a_k) \\ 
& \qquad \qquad + \frac{1}{3!} \sum_{j=1}^d\sum_{k=1}^d\sum_{l=1}^d \frac{\partial^3 f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k \partial x_l} (x_j - a_j)(x_k - a_k)(x_l - a_l) + \cdots
\end{align}</math>

Dari contoh di atas, untuk suatu fungsi <math>f(x,y)</math> yang bergantung pada dua variabel, {{mvar|x}} dan {{mvar|y}}, seri Taylor ke urutan kedua tentang intinya {{math|(''a'', ''b'')}} is

:<math>f(a,b) +(x-a) f_x(a,b) +(y-b) f_y(a,b) + \frac{1}{2!}\Big( (x-a)^2 f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b) f_{xy}(a,b) +(y-b)^2 f_{yy}(a,b) \Big)</math>

di mana subskrip menunjukkan masing-masing [[turunan parsial]].

Ekspansi deret Taylor orde dua dari fungsi nilai skalar lebih dari satu variabel dapat ditulis secara kompak sebagai

:<math>T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} D f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2!} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} \left \{D^2 f(\mathbf{a}) \right \} (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots,</math>

Darimana {{math|''D'' ''f''&thinsp;('''a''')}} adalah [[gradien]] dari nilai {{mvar|f}} dievaluasi pada {{math|'''x''' {{=}} '''a'''}} dan {{math|''D''<sup>2</sup> ''f''&thinsp;('''a''')}} adalah [[matriks Hessian]]. Menerapkan [[notasi multi-indeks]] deret Taylor untuk beberapa variabel menjadi

:<math>T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \geq 0}\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha}{\alpha !} \left({\mathrm{\partial}^{\alpha}}f\right)(\mathbf{a}),</math>

yang harus dipahami sebagai versi [[multi-indeks]] yang masih lebih disingkat dari persamaan pertama paragraf ini, dengan analogi penuh untuk kasus variabel tunggal.

=== Contoh ===
[[Gambar:Second Order Taylor.svg|200px|thumb|right|Pendekatan deret Taylor orde dua (berwarna oranye) dari suatu fungsi {{math|''f''&thinsp;(''x'',''y'') {{=}} ''e<sup>x</sup>'' ln(1 + ''y'')}} di sekitar asalnya.]]
Untuk menghitung ekspansi deret Taylor orde dua di sekitar titik {{math|(''a'', ''b'') {{=}} (0, 0)}} dari fungsi tersebut
:<math>f(x,y)=e^x\ln(1+y),</math>

yang pertama menghitung semua turunan parsial yang diperlukan:

:<math>\begin{align}
f_x &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f_y &= \frac{e^x}{1+y} \\[6pt]
f_{xx} &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f_{yy}  &= - \frac{e^x}{(1+y)^2}  \\[6pt]
f_{xy} &=f_{yx} =  \frac{e^x}{1+y} .
\end{align}</math>

Mengevaluasi turunan ini di asalnya akan menghasilkan koefisien Taylor

:<math>\begin{align}
f_x(0,0) &= 0 \\
f_y(0,0) &=1 \\
f_{xx}(0,0) &=0 \\
f_{yy}(0,0) &=-1 \\
f_{xy}(0,0) &=f_{yx}(0,0)=1.
\end{align}</math>

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus umum

:<math>T(x,y) = f(a,b) +(x-a) f_x(a,b) +(y-b) f_y(a,b) +\frac{1}{2!}\Big( (x-a)^2f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b) +(y-b)^2 f_{yy}(a,b) \Big)+ \cdots</math>

menghasilkan

:<math>\begin{align}
T(x,y) &= 0 + 0(x-0) + 1(y-0) + \frac{1}{2}\Big( 0(x-0)^2 + 2(x-0)(y-0) + (-1)(y-0)^2 \Big) + \cdots \\
&= y + xy - \frac{y^2}{2} + \cdots 
\end{align}</math>

Setelah {{math|ln(1 + ''y'')}} bersifat analitik {{math|{{abs|''y''}} < 1}}, kita punya
:<math>e^x\ln(1+y)= y + xy - \frac{y^2}{2} + \cdots, \qquad |y| < 1.</math>

== Contoh ==
Deret Maclaurin untuk setiap [[polinomial]] adalah polinomial itu sendiri.

Deret Maclaurin untuk {{nowrap|(1 − ''x'')<sup>−1</sup>}} merupakan [[deret geometri]]

:<math>1+x+x^2+x^3+\cdots\!</math>

maka deret Taylor untuk ''x''<sup>−1</sup> pada {{nowrap|''a'' {{=}} 1}} adalah

:<math>1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\!</math>

Dengan melakukan [[integral|integrasi]] deret Maclaurin di atas, dapat dihitung deret Maclaurin untuk {{nowrap|log(1  − ''x'')}}, di mana log melambangkan [[logaritma natural]]:

:<math>-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4-\cdots\!</math>

dan deret Taylor yang bersangkutan untuk log(''x'') pada {{nowrap|''a'' {{=}} 1}} adalah

:<math>(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3-\frac{1}{4}(x-1)^4+\cdots,\!</math>

dan lebih umum, deret Taylor yang bersangkutan untuk log(''x'') pada suatu ''a'' = ''x''<sub>0</sub> adalah:

: <math> \log ( x_0 ) + \frac{1}{x_0} ( x - x_0 ) - \frac{1}{x_0^2}\frac{( x - x_0 )^2}{2} + \cdots.</math>

Deret Taylor untuk [[fungsi eksponensial]] e<sup>''x''</sup> pada ''a''&nbsp;= 0 adalah

:<math>1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots\! = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.</math>

Ekspansi di atas berlaku karena derivatif e<sup>''x''</sup> terhadap x juga adalah e<sup>''x''</sup> dan e<sup>0</sup> sama dengan&nbsp;1. Ini menyisakan elemen {{nowrap|(''x'' − 0)<sup>''n''</sup>}} pada numerator dan ''n''<nowiki>!</nowiki> pada denominator untuk setiap elemen dalam jumlah tak terhingga.

== Lihat pula ==
* [[Teorema Taylor]]
* [[Deret pangkat]]
* [[Teorema nilai purata]]

== Referensi ==
{{Reflist}}
* {{Citation| last1=Abramowitz| first1=Milton| author1-link=Milton Abramowitz| last2=Stegun| first2=Irene A.| author2-link=Irene Stegun| title=[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]| publisher=[[Dover Publications]]| location=New York| id=Ninth printing| year=1970}}
* {{citation| last1=Thomas|first1=George B. Jr.|last2=Finney|first2=Ross L.| title=Calculus and Analytic Geometry (9th ed.)| publisher=Addison Wesley| year=1996| id=ISBN 0-201-53174-7}}
* {{citation| last=Greenberg|first=Michael| title=Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.)| publisher=Prentice Hall| year=1998| id=ISBN 0-13-321431-1}}

== Pranala luar ==
* {{MathWorld| urlname= TaylorSeries| title= Taylor Series}}
* [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/TaylorSeriesMod.html Taylor Series Representation Module by John H. Mathews]
* "[http://csma31.csm.jmu.edu/physics/rudmin/ParkerSochacki.htm Discussion of the Parker-Sochacki Method] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20051202115417/http://csma31.csm.jmu.edu/physics/rudmin/ParkerSochacki.htm |date=2005-12-02 }}"
* [[minea.org]]
* [http://stud3.tuwien.ac.at/~e0004876/taylor/Taylor_en.html Another Taylor visualisation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070605020930/http://stud3.tuwien.ac.at/~e0004876/taylor/Taylor_en.html |date=2007-06-05 }} - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/taylor_series.html Taylor series revisited for numerical methods] pada [http://numericalmethods.eng.usf.edu Numerical Methods for the STEM Undergraduate]

{{Deret (matematika)}}

[[Kategori:Kalkulus]]

[[pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora]]