Lihat sumber Daftar identitas logaritma

{{Infobox mathematical function|name=Logaritma|image=Logarithms.svg|imagesize=240px|domain=<math> (0,\infty) </math>|kodomain=<math> (-\infty,\infty) </math>|plusinf=<math> \infty </math>|root=<math> 1 </math>|max=Tidak ada|min=Tidak ada|inverse=<math> x = b^y </math>|derivative=<math> \frac{1}{x \ln b} </math>|antiderivative=<math> x \log_b x - \frac{x}{\ln b} + C </math>}}Identitas logaritma atau dikenal sebagai ''hukum logaritma'', ialah kumpulan rumus-rumus yang melibatkan [[logaritma]] dan bertujuan untuk mempermudah [[kalkulasi]] pada bentuk-bentuk yang cukup rumit.

Fungsi logaritma dapat didefinisikan sebagai <!-- Frasa "Dengan mengingat kembali" rasanya kurang cocok untuk dituliskan di bagian pembuka sebuah artikel. Antara sampaikan saja definisi log yang dipakai, atau pindahkan definisi log ke, contoh, bagian "Sifat dasar".

teks asli:
Dengan mengingat kembali bahwa definisi logaritma dapat ditulis sebagai -->

: <math>b^x = c \iff \,^b\!\log c = x</math>.

dimana <math>b</math> adalah adalah basis atau bilangan pokok<ref name=":1">Archangelia Maria Lelu, [https://repository.usd.ac.id/30478/2/161442018_full.pdf Desain Pembelajaran Pada Materi Fungsi Logaritma Menggunakan Pendekatan Pembelajaran Berbasis Masalah dan Hasil Pembelajaran Ditinjau dari Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Kelas X MIPA] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211022011040/https://repository.usd.ac.id/30478/2/161442018_full.pdf |date=2021-10-22 }}, hlm. 15.</ref> dari logaritma, dengan syarat <math>0<b<1</math> atau <math>b>1</math>, <math>x</math> adalah bilangan yang dilogaritmakan yang disebut dengan numerus,<ref name=":0">Entis Sutisna, S.Pd, [https://sman3simpanghilir.sch.id/download/file/X_Matematika_Peminatan_KD_3_1_Fungsi_Eksponen_dan_Fungsi_Logaritma_.pdf Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211021114551/https://sman3simpanghilir.sch.id/download/file/X_Matematika_Peminatan_KD_3_1_Fungsi_Eksponen_dan_Fungsi_Logaritma_.pdf |date=2021-10-21 }}, hlm. 29.</ref> dan bilangan positif <math>c</math> adalah hasil dari logaritma<ref name=":1" /><ref name=":0" /> yang disebut dengan antilogaritma.{{Butuh rujukan}} <!--Kalimat ini hanya selera dan gaya setiap penyunting sih... jika mau, Anda dapat menggantinya kembali:

teks asli:
dimana, <math>b</math>, bilangan positif dan tidak sama dengan 1, adalah basis atau bilangan pokok<ref name=":1">Archangelia Maria Lelu, [https://repository.usd.ac.id/30478/2/161442018_full.pdf Desain Pembelajaran Pada Materi Fungsi Logaritma Menggunakan Pendekatan Pembelajaran Berbasis Masalah dan Hasil Pembelajaran Ditinjau dari Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Kelas X MIPA], hlm. 15.</ref> dari logaritma tersebut, dengan syarat <math>0<b<1</math> atau <math>b>1</math>, <math>x</math> adalah numerus<ref name=":0">Entis Sutisna, S.Pd, [https://sman3simpanghilir.sch.id/download/file/X_Matematika_Peminatan_KD_3_1_Fungsi_Eksponen_dan_Fungsi_Logaritma_.pdf Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X], hlm. 29.</ref> atau bilangan yang dliogaritmakan, dan <math>c</math> adalah hasil logaritma<ref name=":0" /><ref name=":1" /> atau antilogaritma, yang mensyaratkan bilangan positif.{{Butuh rujukan}} -->

Sebagai catatan, notasi logaritma yang dipakai dalam halaman ini tetap memiliki makna yang sama dengan <math> \log_b x </math>, kendatipun notasinya berbeda.

Berikut adalah '''daftar identitas logaritma''' beserta dengan pembuktian-pembuktiannya, antara lain:

== Sifat dasar ==

=== Sifat trivial ===
Salah satu yang paling mendasar dalam identitas logaritma, ialah <math>^b\!\log b = 1</math>, karena <math>b^1 = b</math>. Terdapat sifat dasar lain, yaitu

* <math>^b\!\log 1 = 0</math>, karena <math>b^0 = 1</math>.
* <math>^b\!\log b^n = n</math>.

Sebagai pengecualian, logaritma dengan <math>b = 0</math> tidak memiliki nilai<!-- definisi basis mengatakan b harus bilangan positif. Apakah Anda memang ingin menuliskan b < 0? -->. Hasil [[Limit fungsi|limit]] dari <math>^b\!\log 0 = -\infty</math> ketika <math>b \to 0^+</math>. Untuk memahami lebih lanjut mengenai konsep ini, lihat buktinya di [[Daftar identitas logaritma#Limit|sini]].

=== Perkalian dan pembagian ===

* <math>^b\!\log xy = \, ^b\!\log x + \, ^b\!\log y</math><ref name=":2">{{Cite book|last1=Kanginan|first1=Marthen|last2=Nurdiansyah|first2=Hadi|last3=Akhmad|first3=Ghany|date=2016|title=Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas X|publisher=Yrama Widya|isbn=978-602-374-554-8|pages=74|url-status=live}}</ref>
{{collapse top|title=Klik 'tampil' untuk melihat bukti}}
Misalkan <math> ^b\!\log x = u </math> dan <math> ^b\!\log y = v </math>. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh <math> x = b^u </math> dan <math> y = b^v </math>. Maka,

:<math> xy = b^{u+v} </math>.

Ambil logaritma basis <math> a </math> pada kedua ruas sehingga

:<math> ^b\!\log xy = \, ^b\!\log b^{u+v} = u + v = \, ^b\!\log x + \, ^b\!\log y \quad \blacksquare </math>.{{Butuh rujukan}}
{{collapse bottom}}Sifat ini dapat diperumum ke kasus dengan numerus merupakan hasil perkalian banyak suku,

: <math>^b\!\log \left(\prod_{i=1}^n x_i \right) = \sum_{i=1}^n \, ^b\!\log x_i</math>.

* <math>^b\!\log\left(\frac{x}{y}\right) = \, ^b\!\log x - \, ^b\!\log y </math><ref name=":2" />
{{collapse top|title=Klik 'tampil' untuk melihat bukti}}
Misalkan <math>^b\!\log x = u</math> dan <math>^b\!\log y = v</math>. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh <math>x = b^u</math> dan <math>y = b^v</math>. Maka,
<math>\frac{x}{y} = b^{u-v}</math>

Ambil logaritma basis <math>a</math> pada kedua ruas sehingga

:<math>^b\!\log \frac{x}{y} = \, ^b\!\log b^{u-v} = u - v = \, ^b\!\log x - \, ^b\!\log y \quad \blacksquare </math>.{{Butuh rujukan}}
{{collapse bottom}}

=== Penambahan dan pengurangan ===

* <math>^b\!\log(x+y) = \,^b\!\log(x) + \, ^b\!\log\left(1 + \frac{y}{x}\right)</math>
* <math>^b\!\log(x-y) = \, ^b\!\log x + \, ^b\!\log\left(1 - \frac{y}{x}\right)</math>

Lebih umumnya lagi,

: <math>^b\!\log\left(\sum_{i=0}^n x_i\right) = \, ^b\!\log x_0 + \, ^b\!\log\left(1 + \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{a_0}\right) = \, ^b\!\log x_0 + \, ^b\!\log\left(1 + \sum_{i=1}^n b^{\left(^b\!\log x_i - ^b\!\log x_0\right)}\right)</math>.

=== Perubahan basis ===
[[Perubahan basis]] dapat dirumuskan sebagai

: <math>^b\!\log x = \frac{^p\!\log x}{^p\!\log b}</math><ref name=":2" />

dengan syarat <math>0 < p < 1</math> dan <math>p > 1</math> dan <math>p \ne 1</math>, dengan mengikuti definisi logaritma.<ref>Referensinya (pada bagian definisi) mencakup di [[Daftar identitas logaritma#cite ref-1|sini]].</ref>{{collapse top|title=Klik 'tampil' untuk melihat bukti}}Misal <math> ^b\!\log x = y </math>. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen, kita memperoleh <math> b^y = x </math>. Maka, kita tuliskan sebagai
:<math> ^p\!\log x = ^p\!\log b^y </math>
Dengan menggunakan sifat sebelumnya, maka
:<math> \begin{align} ^p\!\log x &= y \, ^p\!\log b  \\ y &= \frac{^p\!\log x}{^p\!\log b} \end{align} </math>
Substitusi kembali sehingga didapati
:<math> ^b\!\log x = \frac{^p\!\log x}{^p\!\log b} \quad \blacksquare </math>.<ref name=":2"/>
{{collapse bottom}}

=== Perkalian dan pembagian dalam basis logaritma ===

* <math> ^{bc}\!\log x = \frac{1}{\frac{1}{^b\!\log x}+\frac{1}{^c\!\log x}}</math>
* <math> ^{\frac{b}{c}}\!\log x = \frac{1}{\frac{1}{^b\!\log x}-\frac{1}{^c\!\log x}}</math>

=== Pertukaran basis ===
Pertukaran basis pada logaritma dapat dirumuskan sebagai

: <math> ^b\!\log x = \frac{1}{^x\!\log b} </math>.
{{collapse top|title=Klik 'tampil' untuk melihat bukti}}
Dengan menggunakan sifat [[Identitas logaritma#Perubahan basis|perubahan basis]], maka kita dapat memisalkan <math> p = x </math> akan memperoleh
:<math> ^b\!\log x = \frac{^x\!\log x}{^x\!\log b} = \frac{1}{^x\!\log b} </math>. <math> \blacksquare </math>{{Butuh rujukan}}
{{collapse bottom}}

=== Logaritma dalam eksponen ===

* <math>x^{\frac{\log(\log x)}{\log x}} = \log x</math> atau <math>x^\frac{\log a}{\log x} = a</math>
{{collapse top|title=Klik 'tampil' untuk melihat bukti}}
Menggunakan sifat perubahan basis, akan memperoleh

:<math>x^{\frac{\log a}{\log x}} = x^{^x\!\log a} = a</math>. <math>\blacksquare</math>
{{collapse bottom}}

== Membatalkan eksponen ==
Sama halnya dengan penambahan dan pengurangan, maupun perkalian dan pembagian, logaritma dapat membatalkan eksponen karena kedua operasi tersebut saling invers. Secara matematis ini mengartikan,

: <math>b^{^b\!\log x} = x</math> karena <math>^b\!\operatorname{antilog}(\,^b\!\log x) = x</math>; dan
: <math>^b\!\log (b^x) = x</math> karena <math>^b\!\log(\,^b\!\operatorname{antilog} x) = x</math>.<ref>{{Cite web|title=Antilogarithm|url=https://mathworld.wolfram.com/Antilogarithm.html|website=Wolfram MathWorld}}</ref><!-- Tunggu... operator antilog ngga pernah didefinisikan di artikel. -->

Perhatikan bahwa sifat logaritma di atas dapat kita pakai untuk membuktikan bahwa <math>^b\!\log x^\frac{1}{n} = \frac{1}{n} \, ^b\!\log x</math>.

== Logaritma dengan basis lain ==

=== Logaritma natural ===
{{div col|colwidth=22em}}
* <math>\ln 1 = 0</math>
* <math>\ln e = 1</math>
* <math>\ln e^x = x</math>
* <math>e^{\ln x} = x</math>
* <math>\ln xy = \ln x + \ln y</math>
* <math>\ln \frac{x}{y} = \ln x - \ln y</math>
{{div col end}}

== Logaritma dalam kalkulus ==

=== Limit ===
[[Berkas:Logarithms.png|jmpl|360x360px|Untuk <math>b > 1</math>, ketika <math>x \to 0^+</math>, maka grafik menunjukkan bahwa nilai yang diperoleh menuju <math>-\infty</math> dengan drastis dan ketika <math>x \to \infty</math>, maka menuju <math>\infty</math> secara perlahan.]]

* <math>\lim_{x \to 0^+} \, ^b\!\log x = -\infty</math>
* <math>\lim_{x \to \infty} \, ^b\!\log x = \infty</math>

Untuk membuktikan limit tersebut, perhatikan [[grafik fungsi]] logaritma basis <math>b</math> sembarang (untuk <math>b > 1</math>). Sebagai catatan, untuk <math>0 < b < 1</math>,

* <math>\lim_{x \to 0^+} \, ^b\!\log x = \infty</math>
* <math>\lim_{x \to \infty} \, ^b\!\log x = -\infty</math>

Pembuktian yang serupa terhadap limit dari fungsi [[logaritma alami]].

* <math>\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty</math>
* <math>\lim_{x \to \infty} \ln x = \infty</math>

Sebagai tambahan, berikut adalah identitas logaritma dalam limit.

* <math>\lim_{x \to 0^+} x^c \cdot \, ^b\!\log x = 0</math> jika <math>c > 0</math>
* <math>\lim_{x \to 0^+} \frac{^b\!\log x}{x^c} = 0</math> jika <math>c > 0</math>

=== Turunan ===
[[Turunan]] logaritma dalam [[kalkulus]] dapat dirumuskan sebagai

: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)}</math>, dengan <math>x > 0</math>, <math>b > 0</math>, dan <math>b \ne 1</math>.

{{collapse top|title=Klik 'tampil' untuk melihat bukti}}Perhatikan bahwa 
:<math>y = \log_b x</math> jika dan hanya jika <math>x = b^y</math>,

maka kita memperoleh
:<math>\ln x = y \cdot \ln b</math>.

Dengan substitusi kembali, diperoleh
:<math>\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}</math>.

Jika kita turunkan, maka kita mendapatkan
: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)}</math><ref>Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). ''Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1''. hlm.&nbsp;336. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)</ref>
{{collapse bottom}}Turunan dalam basis lain, antara lain

* <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \ln x = \frac{1}{x}</math>

=== Integral ===
[[Integral]] logaritma dalam [[kalkulus]] dapat dirumuskan sebagai

: <math>\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x\left(\log_b(x) - \frac{1}{\ln(b)}\right) + C</math><ref>{{Cite web|title=Logarithm Rules|url=https://www.rapidtables.com/math/algebra/Logarithm.html|website=RapidTables}}</ref>

Integral dalam basis lain, antara lain

* <math>\int \ln(x) \, dx= x \ln(x) - x + C\,</math>

{{collapse top|title=Klik 'tampil' untuk melihat bukti}}
Buktinya dapat kita pakai identitas integral terhadap logaritma, dengan memisalkan <math>b = e</math>. Ada bukti lain, ialah [[integrasi parsial]]. Dengan memisalkan <math>u = \ln x</math>, <math>\mathrm dv = \mathrm dx</math>, <math>\mathrm du = \frac{1}{x} \, \mathrm dx</math> dan <math>v = x</math>, maka

:<math>\int \ln x \, \mathrm dx = (\ln x)(x) - \int (x)\left(\frac{1}{x}\right) \, \mathrm dx = x \ln x - \int \, \mathrm dx = x \ln x - x + C </math>. <math>\blacksquare</math>

{{collapse bottom}}Sebagai catatan, halaman ini hanya menjelaskan dasar-dasarnya saja. Lihat [[Daftar integral dari fungsi logaritmik]] sebagai identitas tambahannya.

=== Deret ===

* <math>\ln(1 + x) = \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}</math>

== Pendekatan logaritma ==

* <math>\log x \approx \frac{x^x - 1}{x}</math><ref name=":3">{{Cite web|first=Mathprof (13753)|title=approximation of the log function|url=https://planetmath.org/approximationofthelogfunction|website=planetmath.org|access-date=2013-03-22 15:18:38}}</ref>
* <math>\log(1+x) \approx x</math><ref name=":3" />

== Bentuk pecahan berlanjut ==

=== Logaritma alami ===

* <math>

\ln(1+x) =\cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}}

</math>

* <math>
\ln\left(1+\frac{x}{y}\right) = \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}}  = \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}}
</math>

== Lihat pula ==

* [[Daftar identitas eksponensiasi]]

== Rujukan ==
<references />{{Identitas matematika}}

[[Kategori:Identitas matematika]]
[[Kategori:Logaritma]]