Lihat sumber Bilangan segitiga

[[Berkas:First six triangular numbers.svg|jmpl|Enam bilangan segitiga pertama.]]

'''Bilangan segitiga''' menghitung benda yang diatur dalam [[segitiga sama sisi]]. Angka segitiga <math>n</math> adalah jumlah titik dalam pengaturan segitiga dengan titik <math>n</math> di satu sisi, dan sama dengan jumlah dari [[bilangan asli]] <math>n</math>, yaitu dari <math>1</math> hingga <math>n</math>. Urutan angka segitiga {{OEIS|id=A000217}}, mulai dari [[jumlah kosong|angka segitiga ke-0]], adalah
: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 120, 136, 153, 171, 190, 190, 210, 231, 253, 276, 300 , 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666 ...

[[Wacław Sierpiński]] mengajukan pertanyaan tentang keberadaan empat bilangan segitiga yang berbeda dalam [[Barisan dan deret geometri|perkembangan geometris]]. Hal itu dikira tidak mungkin oleh ahli matematika Polandia [[Kazimierz Szymiczek]] dan kemudian dibuktikan oleh Fang dan Chen pada 2007.<ref>[http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/h19/h19.pdf Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression]</ref><ref>[http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/h57/h57.pdf Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers]</ref>

Variasi dari bilangan ini disebut bilangan segitiga berkorelasi secara Smarandache, yaitu jika <math>T(a,b,c)</math> dan <math>T(a_1,b_1,c_1)</math> berkorelasi secara Smarandache, maka <math>Z(a) = Z(a_1)</math>, <math>Z(b) = Z(b_1)</math> dan <math>Z(c) = Z(c_1)</math> dengan <math>Z(\dots)</math> sebagai [[fungsi Smarandache]].<ref>A Note on Smarandache Number Related Triangles, [[Hary Gunarto]] & AAK Majumdar, Scientia Magna, 
[https://pdfs.semanticscholar.org/800e/7d949f721f6d99650120eac0f808f7cfa14c.pdf Volume 6, issue 1, page 1-6, 2010].</ref>

== Rumus ==
Bilangan segitiga dinyatakan dengan rumus berikut: <math display="block"> T_n= \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2} ,</math>dengan <math>\textstyle {n+1 \choose 2}</math> adalah [[koefisien binomial]], yang menyatakan jumlah pasangan berbeda yang dapat dipilih dari {{math|''n'' + 1}} objek.

== Bukti ==
Rumus bilangan segitiga di atas dapat dibuktikan menggunakan [[Pembuktian melalui induksi|pembuktian induksi]].<ref>{{cite book|last=Spivak|first=Michael|date=2008|url=https://books.google.com/books?id=7JKVu_9InRUC&pg=PA21|title=Calculus|location=Houston, Texas|publisher=Publish or Perish, Inc.|isbn=978-0-914098-91-1|edition=4|pages=21–22|author-link=Michael Spivak|url-status=live}}</ref> Dimulai dari <math>T_1</math> yang menghasilkan <math>1</math>. Asumsi untuk suatu bilangan asli <math>m</math>, maka <math display="block">T_m = \sum_{k=1}^{m}k = \frac{m(m+1)}{2}.</math>Sekarang, dengan menambahkan <math>m + 1</math>, maka akan menghasilkan<math display="block">
\begin{align}
  \sum_{k=1}^{m}k + (m + 1) &= \frac{m(m + 1)}{2} + m + 1\\
                            &= \frac{m(m + 1) + 2m + 2}{2}\\
                            &= \frac{m^2 + m + 2m + 2}{2}\\
                            &= \frac{m^2 + 3m + 2}{2}\\
                            &= \frac{(m + 1)(m + 2)}{2}.
\end{align}

</math>

Dengan demikian, rumus di atas juga benar untuk <math>m</math>, jika rumus tersebut benar untuk <math>m+1</math>. Selain itu, karena rumus tersebut selalu benar untuk <math>1</math>, maka untuk <math>2</math>, <math>3</math>, dan seterusnya yang merupakan bilangan asli <math>n</math> juga benar melalui induksi.

== Referensi ==
{{Reflist|30em}}

== Pranala luar ==
{{Commons category|triangular numbers}}
* {{SpringerEOM|title=Arithmetic series|id=p/a013370}}
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/numbers.shtml#square Triangular numbers] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml There exist triangular numbers that are also square] at [[cut-the-knot]]
* {{MathWorld|urlname=TriangularNumber|title=Triangular Number}}
{{Authority control}}{{Deret (matematika)}}

[[Kategori:Matematika]]


{{Numtheory-stub}}