Lihat sumber Bilangan prima Wolstenholme

{{Infobox integer sequence
| named_after           = [[Joseph Wolstenholme]]
| publication_year      = 1995<ref>Bilangan prima Wolstenholme pertama kali dijelaskan oleh {{Harvnb|McIntosh|1995|p=385}}.</ref>
| author                = McIntosh, R. J.
| terms_number          = 2
| con_number            = Tak berhingga banyaknya
| parentsequence        = [[Bilangan prima tak beraturan]]
| first_terms           = [[16843 (angka)|16843]], [[2124679 (angka)|2124679]]
| largest_known_term    = [[2124679 (angka)|2124679]]
| OEIS                  = A088164
| OEIS_name             = Wolstenholme primes: primes p such that binomial(2p-1,p-1) == 1 (mod p^4)
}}
Dalam [[teori bilangan]], '''bilangan prima Wolstenholme''' ({{Lang-en|Wolstenholme prime}}) merupakan jenis [[bilangan prima]] spesial yang memenuhi [[teorema Wolstenholme]] yang lebih kuat. Teorema Wolstenholme melibatkan [[relasi kekongruenan]] yang dipenuhi oleh semua bilangan prima yang lebih besar daripada 3. Bilangan prima Wolstenholme dinamai dari seorang matematikawan yang bernama [[Joseph Wolstenholme]], yang pertama kali menjelaskan teorema ini pada abad ke-19.

Bilangan prima ini menjadi banyak perhatian karena memiliki kaitannya dengan [[Teorema Terakhir Fermat]]. Selain itu, bilangan prima Wolstenholme juga berkaitan dengan jenis kelas bilangan spesial lainnya, yang dikaji dengan harapan dapat memperumum suatu bukti kebenaran teorema untuk semua [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] yang lebih besar daripada dua.

Dua bilangan prima Wolstenholme yang diketahui hanyalah 16843 dan 2124679 {{OEIS|A088164}}. Tiada bilangan prima Wolstenholme yang lebih kecil daripada 10<sup>9</sup>.<ref>{{MathWorld|urlname=WolstenholmePrime|title=Wolstenholme prime|mode=cs2}}</ref>

==Definisi==
Bilangan prima Wolstenholme dapat didefinisikan sebagai bilangan prima <math> p > 7 </math> yang memenuhi [[relasi kekongruenan|kekongruenan]]:<math display="block">{2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \pmod{p^4}.</math>
Disini, ekspresi di ruas kiri melambangkan [[koefisien binomial]].<ref>{{citation|url = http://www.johndcook.com/binomial_coefficients.html | title = Binomial coefficients | first = J. D. | last = Cook | access-date = 21 Desember 2010}}</ref>
Sebagai perbandingan, [[teorema Wolstenholme]] menyatakan bahwa untuk setiap bilangan prima <math> p > 3 </math>, maka berlaku kekongruenan:
<math display="block">{2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}.</math>

Bilangan prima Wolstenholme didefinisikan sebagai bilangan prima <math> p </math> yang membagi pembilang dari [[bilangan Bernoulli]] <math> B_{p - 3} </math>.<ref>{{harvnb|Clarke|Jones|2004|p=553}}; {{harvnb|McIntosh|1995|p=387}}; {{harvnb|Zhao|2008|p=25}}.</ref> Karena itu, bilangan prima Wolstenholme membentuk subhimpunan dari [[bilangan prima tak beraturan]]. Bilangan prima Wolstenholme merupakan bilangan prima <math> p </math> sehingga <math> (p,p - 3) </math> merupakan [[Bilangan prima beraturan#Pasangan tak beraturan|pasangan tak beraturan]].<ref>{{harvnb|Johnson|1975|p=114}}; {{harvnb|Buhler|Crandall|Ernvall|Metsänkylä|1993|p=152}}.</ref>

Bilangan prima Wolstenholme adalah bilangan prima <math> p </math> sehingga 
<math display="block">H_{p - 1} \equiv 0 \pmod{p^3}.</math>
Ini berarti, pembilang dari [[bilangan harmonik]] <math>H_{p-1}</math> yang dinyatakan dalam suku terkecil dapat dibagi oleh <math> p^3 </math>.{{sfn|Zhao|2007|p=18}}

==Pencarian dan status saat ini==
{{unsolved|matematika|Adakah bilangan prima Wolstenholme selain 16843 dan 2124679?}}
Pencarian bilangan prima Wolstenholme dimulai sekitar tahun 1960-an, dan kemudian berlanjut hingga hasil saat ini diterbitkan pada tahun 2007. Bilangan prima Wolstenholme yang pertama, 16843, ditemukan pada tahun 1964, walaupun pada kala itu tidak dilaporkan secara langsung.<ref>Selfridge and Pollack menerbitkan bilangan prima Wolstenholme pertama di {{Harvnb|Selfridge|Pollack|1964|p=97}}. Lihat {{Harvnb|McIntosh|Roettger|2007|p=2092}}).</ref> Penemuan tersebut kemudian dikonfirmasi sekitar tahun 1970-an. Hal ini hanya menyisakan contoh bilangan prima yang diketahui selama hampir 20 tahun, hingga diumumkan penemuan adanya bilangan prima Wolstenholme yang kedua, 2124679, pada tahun 1993.{{sfn|Ribenboim|2004|p=23}} Hingga mencapai 1.2{{e|7}}, tiada bilangan prima Wolstenholme ditemukan.{{sfn|Zhao|2007|p=25}} Pencarian tersebut kemudian diperluas hingga mencapai 2{{e|8}} oleh {{harvnb|McIntosh|1995}}, dan {{harvnb|Trevisan|Weber|2001}} dapat mencari bilangan tersebut hingga mencapai 2,5{{e|8}}.<ref>{{harvnb|McIntosh|1995|p=387}}; {{harvnb|Trevisan|Weber|2001|p=283–284}}.</ref> Hingga pada tahun 2007, hasil laporan mengatakan bahwa hanya ada dua bilangan prima yang lebih kecil daripada {{10^|9}}.{{sfn|McIntosh|Roettger|2007|p=2092}}
{{-}}

== Catatan kaki ==
{{reflist|30em}}

== Referensi ==
{{refbegin|30em}}
* {{Citation | last1=Buhler | first1=J. | last2=Crandall | first2=R. | last3=Ernvall | first3=R. | last4=Metsänkylä | first4=T. | title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million | year=1993 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=61 | issue=203 | pages=151–153 | url=http://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1197511-5/S0025-5718-1993-1197511-5.pdf | doi=10.2307/2152942 | jstor=2152942 | bibcode=1993MaCom..61..151B | doi-access=free }} 

* {{Citation | last1=Clarke | first1=F. | last2=Jones | first2=C. | title=A Congruence for Factorials | year=2004 | journal=Bulletin of the London Mathematical Society | volume=36 | pages=553–558 | url=http://blms.oxfordjournals.org/content/36/4/553.full.pdf | doi=10.1112/S0024609304003194 | issue=4 }}

* {{Citation | last1=Johnson | first1=W. | title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants | year=1975 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=29 | issue=129 | pages=113–120 | url=http://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0376606-9/S0025-5718-1975-0376606-9.pdf | doi=10.2307/2005468 | jstor=2005468 | doi-access=free | accessdate=2023-04-27 | archive-date=2022-12-07 | archive-url=https://web.archive.org/web/20221207223158/https://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0376606-9/S0025-5718-1975-0376606-9.pdf | dead-url=yes }}

* {{Citation | last1=McIntosh | first1=R. J. | title=On the converse of Wolstenholme's Theorem | year=1995 | journal=[[Acta Arithmetica]] | volume=71 | issue=4 | pages=381–389 | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7144.pdf | doi=10.4064/aa-71-4-381-389 | doi-access=free | accessdate=2023-04-27 | archive-date=2022-12-08 | archive-url=https://web.archive.org/web/20221208022827/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7144.pdf | dead-url=yes }}

* {{Citation | last1=McIntosh | first1=R. J. | last2=Roettger | first2=E. L. | title=A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes | year=2007 | journal=Mathematics of Computation | volume=76 | issue=260 | pages=2087–2094 | doi=10.1090/S0025-5718-07-01955-2 | url=http://www.ams.org/mcom/2007-76-260/S0025-5718-07-01955-2/S0025-5718-07-01955-2.pdf | bibcode=2007MaCom..76.2087M | doi-access=free }}

* {{Citation | author1-link=Paulo Ribenboim | last1=Ribenboim | first1=P. | title=The Little Book of Bigger Primes | location=New York | publisher=Springer-Verlag New York, Inc. | year=2004 | isbn=978-0-387-20169-6 | chapter=Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime | url=http://www.google.de/url?sa=t | accessdate=2023-06-07 | archive-date=2023-05-14 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230514132112/http://www.google.de/url?sa=t | dead-url=yes }}

* {{Citation | last1=Selfridge | first1=J. L. | last2=Pollack | first2=B. W. | title=Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000 | year=1964 | journal=Notices of the American Mathematical Society | volume=11 | pages=97}}

* {{Citation | last1=Trevisan | first1=V. | last2=Weber | first2=K. E. | title=Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem | year=2001 | journal=Matemática Contemporânea | volume=21 | pages=275–286 | url=http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/448/000317407.pdf?sequence=1 | accessdate=2023-04-27 | archive-date=2022-09-22 | archive-url=https://web.archive.org/web/20220922073256/https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/448/000317407.pdf?sequence=1 | dead-url=yes }}

* {{Citation | last1=Zhao | first1=J. | title=Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p<sup>5</sup> variations of Lucas' theorem | year=2007 | journal=Journal of Number Theory | volume=123 | pages=18–26 | doi=10.1016/j.jnt.2006.05.005 | s2cid=937685 | url=http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoJNTBern.pdf | doi-access=free | accessdate=2023-04-27 | archive-date=2022-10-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20221006204756/http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoJNTBern.pdf | dead-url=yes }}

* {{Citation | last1=Zhao | first1=J. | title=Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums | year=2008 | journal=International Journal of Number Theory | volume=4 | issue=1 | pages=73–106 | url=http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoIJNT.pdf | doi=10.1142/s1793042108001146 | accessdate=2023-04-27 | archive-date=2022-10-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20221006213004/http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoIJNT.pdf | dead-url=yes }}
{{refend}}

== Bacaan lebih lanjut ==
{{Refbegin}}
* {{Citation | last1=Babbage | first1=C. | title=Demonstration of a theorem relating to prime numbers | journal=The Edinburgh Philosophical Journal | volume=1 | year=1819 | pages=46–49 | url=https://books.google.com/books?id=KrA-AAAAYAAJ&pg=PA46 }}
* {{Citation | last1=Krattenthaler | first1=C. | last2=Rivoal | first2=T. | title=On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II | year=2009 | journal=Communications in Number Theory and Physics | volume=3 | issue=  3| pages=555–591 | arxiv=0907.2578 | bibcode=2009arXiv0907.2578K | doi=10.4310/CNTP.2009.v3.n3.a5 }}
* {{Citation | last1=Wolstenholme | first1=J. | title=On Certain Properties of Prime Numbers | year=1862 | journal=The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics | volume=5 | pages=35–39 | url=https://books.google.com/books?id=vL0KAAAAIAAJ&pg=PA35 }}
{{Refend}}

[[Kategori:Kelas bilangan prima]]
[[Kategori:Masalah yang belum terpecahkan dalam teori bilangan]]