Lihat sumber Bilangan komposit tinggi

{{short description|Bilangan bulat positif dengan lebih banyak pembagi daripada bilangan bulat positif yang lebih kecil}}
{{about|bilangan yang memiliki banyak pembagi | bilangan difaktorkan hanya dengan pangkat 2, 3, 5 dan 7 (juga disebut bilangan 7-mulus)|Bilangan halus}}
[[Berkas:Highly composite number Cuisenaire rods 6.png|75px|thumb|Demonstrasi, dengan [[Batang Cuisenaire]], dari empat pertama: 1, 2, 4, 6]]
__FORCETOC__
'''Bilangan komposit tinggi''' adalah [[bilangan bulat]] [[bilangan positif|positif]] dengan lebih banyak [[pembagi]] daripada bilangan bulat positif yang lebih kecil. Istilah ini diciptakan oleh [[Ramanujan]] (1915). Namun, [[Jean-Pierre Kahane]] telah menyarankan bahwa konsep tersebut mungkin telah diketahui oleh [[Plato]], yang menetapkan [[5040 (angka)|5040]] sebagai jumlah ideal penduduk di kota sebagai 5040 telah lebih menjadi pembagi.<ref>{{citation|first=Jean-Pierre|last=Kahane|authorlink=Jean-Pierre Kahane|title=Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre|journal=Notices of the American Mathematical Society|date=February 2015|volume=62|issue=2|pages=136–140}}. Kahane mengutip Plato [[Laws (dialogue)|''Laws'']], 771c.</ref>

Konsep terkait '''sebagian besar bilangan komposit''' mengacu pada bilangan bulat positif yang memiliki setidaknya sebanyak pembagi sebagai bilangan bulat positif yang lebih kecil.

Namanya bisa agak menyesatkan, karena dua bilangan komposit tinggi (1 dan 2) sebenarnya bukan [[bilangan komposit]].

== Contoh ==
{{Dalam perbaikan|Mohon untuk tidak menyunting bagian ini}}
38 bilangan komposit tinggi awal atau terkecil tercantum dalam tabel di bawah ini  {{OEIS|id=A002182}}. Jumlah pembagi diberikan di kolom berlabel '' d '' ('' n ''). Tanda bintang menunjukkan [[bilangan komposit sangat unggul]].

{| class="wikitable" style="text-align:left"
|-
! Order
! HCN<br />''n''
! Faktorisasi<br /> prima
! Eksponen<br /> prima
! Bilangan<br />faktor<br />prima
! ''d''(''n'')
! Faktorisasi<br />[[primorial]]
|-
| 1
| [[1 (angka)|1]]
| 
|
| 0
| 1
|
|-
| 2[[Bilangan komposit tinggi unggul|*]]
| [[2 (angka)|2]]
| <math>2</math>
|1
| 1
| 2
| <math>2</math>
|-
| 3
| [[4 (number)|4]]
| <math>2^2</math>
|2
| 2
| 3
| <math>2^2</math>
|-
| 4[[Bilangan komposit tinggi unggul|*]]
| [[6 (angka)|6]]
| <math>2\cdot 3</math>
|1,1
| 2
| 4
| <math>6</math>
|-
| 5[[Superior highly composite number|*]]
| [[12 (number)|12]]
| <math>2^2\cdot 3</math>
|2,1
| 3
| 6
| <math>2\cdot 6</math>
|-
| 6
| [[24 (number)|24]]
| <math>2^3\cdot 3</math>
|3,1
| 4
| 8
| <math>2^2\cdot 6</math>
|-
| 7
| [[36 (number)|36]]
| <math>2^2\cdot 3^2</math>
|2,2
| 4
| 9
| <math>6^2</math>
|-
| 8
| [[48 (number)|48]]
| <math>2^4\cdot 3</math>
|4,1
| 5
| 10
| <math>2^3\cdot 6</math>
|-
| 9[[Superior highly composite number|*]]
| [[60 (number)|60]]
| <math>2^2\cdot 3\cdot 5</math>
|2,1,1
| 4
| 12
| <math>2\cdot 30</math>
|-
| 10[[Superior highly composite number|*]]
| [[120 (number)|120]]
| <math>2^3\cdot 3\cdot 5</math>
|3,1,1
| 5
| 16
| <math>2^2\cdot 30</math>
|-
| 11
| [[180 (number)|180]]
| <math>2^2\cdot 3^2\cdot 5</math>
|2,2,1
| 5
| 18
| <math>6\cdot 30</math>
|-
| 12
| [[240 (number)|240]]
| <math>2^4\cdot 3\cdot 5</math>
|4,1,1
| 6
| 20
| <math>2^3\cdot 30</math>
|-
| 13[[Superior highly composite number|*]]
| [[360 (number)|360]]
| <math>2^3\cdot 3^2\cdot 5</math>
|3,2,1
| 6
| 24
| <math>2\cdot 6\cdot 30</math>
|-
| 14
| [[720 (number)|720]]
|<math>2^4\cdot 3^2\cdot 5</math>
|4,2,1
| 7
| 30
| <math>2^2\cdot 6\cdot 30</math>
|-
| 15
| [[840 (number)|840]]
| <math>2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7</math>
|3,1,1,1
| 6
| 32
| <math>2^2\cdot 210</math>
|-
| 16
| 1260
| <math>2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math>
|2,2,1,1
| 6
| 36
| <math>6\cdot 210</math>
|-
| 17
| 1680
| <math>2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7</math>
|4,1,1,1
| 7
| 40
| <math>2^3\cdot 210</math>
|-
| 18[[Superior highly composite number|*]]
| [[2520 (number)|2520]]
| <math>2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math>
|3,2,1,1
| 7
| 48
| <math>2\cdot 6\cdot 210</math>
|-
| 19[[Superior highly composite number|*]]
| [[5040 (number)|5040]]
| <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math>
|4,2,1,1
| 8
| 60
| <math>2^2\cdot 6\cdot 210</math>
|-
| 20
| 7560
| <math>2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7</math>
|3,3,1,1
| 8
| 64
| <math>6^2\cdot 210</math>
|-
| 21
| 10080
| <math>2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math>
|5,2,1,1
| 9
| 72
| <math>2^3\cdot 6\cdot 210</math>
|-
| 22
| 15120
| <math>2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7</math>
|4,3,1,1
| 9
| 80
| <math>2\cdot 6^2\cdot 210</math>
|-
| 23
| 20160
| <math>2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math>
|6,2,1,1
| 10
| 84
| <math>2^4\cdot 6\cdot 210</math>
|-
| 24
| 25200
| <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7</math>
|4,2,2,1
| 9
| 90
| <math>2^2\cdot 30\cdot 210</math>
|-
| 25
| 27720
| <math>2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|3,2,1,1,1
| 8
| 96
| <math>2\cdot 6\cdot 2310</math>
|-
| 26
| 45360
| <math>2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7</math>
|4,4,1,1
| 10
| 100
| <math>6^3\cdot 210</math>
|-
| 27
| 50400
| <math>2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7</math>
|5,2,2,1
| 10
| 108
| <math>2^3\cdot 30\cdot 210</math>
|-
| 28[[Superior highly composite number|*]]
| 55440
| <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|4,2,1,1,1
| 9
| 120
| <math>2^2\cdot 6\cdot 2310</math>
|-
| 29
| 83160
| <math>2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|3,3,1,1,1
| 9
| 128
| <math>6^2\cdot 2310</math>
|-
| 30
| 110880
| <math>2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|5,2,1,1,1
| 10
| 144
| <math>2^3\cdot 6\cdot 2310</math>
|-
| 31
| 166320
| <math>2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|4,3,1,1,1
| 10
| 160
| <math>2\cdot 6^2\cdot 2310</math>
|-
| 32
| 221760
| <math>2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|6,2,1,1,1
| 11
| 168
| <math>2^4\cdot 6\cdot 2310</math>
|-
| 33
| 277200
| <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11</math>
|4,2,2,1,1
| 10
| 180
| <math>2^2\cdot 30\cdot 2310</math>
|-
| 34
| 332640
| <math>2^5\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|5,3,1,1,1
| 11
| 192
| <math>2^2\cdot 6^2\cdot 2310</math>
|-
| 35
| 498960
| <math>2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|4,4,1,1,1
| 11
| 200
| <math>6^3\cdot 2310</math>
|-
| 36
| 554400
| <math>2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11</math>
|5,2,2,1,1
| 11
| 216
| <math>2^3\cdot 30\cdot 2310</math>
|-
| 37
| 665280
| <math>2^6\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
|6,3,1,1,1
| 12
| 224
| <math>2^3\cdot 6^2\cdot 2310</math>
|-
| 38[[Superior highly composite number|*]]
| 720720
| <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13</math>
|4,2,1,1,1,1
| 10
| 240
| <math>2^2\cdot 6\cdot 30030</math>
|}

Pembagi dari 15 bilangan komposit tinggi pertama ditunjukkan di bawah ini. 

{| class="wikitable"
! ''n'' !! ''d''(''n'') !! Divisors of ''n''
|-
| 1 || 1 || 1
|-
| 2 || 2 || 1, 2
|-
| 4 || 3 || 1, 2, 4
|-
| 6 || 4 || 1, 2, 3, 6
|-
| 12 || 6 || 1, 2, 3, 4, 6, 12
|-
| 24 || 8 || 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
|-
| 36 || 9 || 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
|-
| 48 || 10 || 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
|-
| 60 || 12 || 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
|-
| 120 || 16 || 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
|-
| 180 || 18 || 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
|-
| 240 || 20 || 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240
|-
| 360 || 24 || 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360
|-
| 720 || 30 || 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720
|-
| 840 || 32 || 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 56, 60, 70, 84, 105, 120, 140, 168, 210, 280, 420, 840
|}

Tabel di bawah ini menunjukkan 72 pembagi dari 10080 dengan menuliskannya sebagai hasil kali dari dua angka dalam 36 cara berbeda.

{| class="wikitable" style="text-align:center;table-layout:fixed;"
|-
|colspan="6"| <big>'''The highly composite number: 10080'''</big> <br /> 10080&nbsp;=&nbsp;(2&nbsp;×&nbsp;2&nbsp;×&nbsp;2&nbsp;×&nbsp;2&nbsp;×&nbsp;2) &nbsp;×&nbsp; (3&nbsp;×&nbsp;3) &nbsp;×&nbsp; 5 &nbsp;×&nbsp; 7
|- style="color:#000000;background:#ffffff;"
|style="line-height:1.4" height=64|'''1'''<br />×<br />'''10080'''
|style="line-height:1.4"|  '''2''' <br /> × <br /> ''' 5040'''
|style="line-height:1.4"|     3    <br /> × <br />     3360
|style="line-height:1.4"|  '''4''' <br /> × <br /> ''' 2520'''
|style="line-height:1.4"|     5    <br /> × <br />     2016
|style="line-height:1.4"|  '''6''' <br /> × <br /> ''' 1680'''
|- style="color:#000000;background:#ffffff;"
|style="line-height:1.4" height=64|7<br />× <br />     1440
|style="line-height:1.4"|     8    <br /> × <br /> ''' 1260'''
|style="line-height:1.4"|     9    <br /> × <br />     1120
|style="line-height:1.4"|    10    <br /> × <br />     1008
|style="line-height:1.4"| '''12''' <br /> × <br /> '''  840'''
|style="line-height:1.4"|    14    <br /> × <br /> '''  720'''
|- style="color:#000000;background:#ffffff;"
|style="line-height:1.4" height=64|15<br />×<br />      672
|style="line-height:1.4"|    16    <br /> × <br />      630
|style="line-height:1.4"|    18    <br /> × <br />      560
|style="line-height:1.4"|    20    <br /> × <br />      504
|style="line-height:1.4"|    21    <br /> × <br />      480
|style="line-height:1.4"| '''24''' <br /> × <br />      420
|- style="color:#000000;background:#ffffff;"
|style="line-height:1.4" height=64|28<br />×<br /> '''  360'''
|style="line-height:1.4"|    30    <br /> × <br />      336
|style="line-height:1.4"|    32    <br /> × <br />      315
|style="line-height:1.4"|    35    <br /> × <br />      288
|style="line-height:1.4"| '''36''' <br /> × <br />      280
|style="line-height:1.4"|    40    <br /> × <br />      252
|- style="color:#000000;background:#ffffff;"
|style="line-height:1.4" height=64|42<br />×<br /> '''  240'''
|style="line-height:1.4"|    45    <br /> × <br />      224
|style="line-height:1.4"| '''48''' <br /> × <br />      210
|style="line-height:1.4"|    56    <br /> × <br /> '''  180'''
|style="line-height:1.4"| '''60''' <br /> × <br />      168
|style="line-height:1.4"|    63    <br /> × <br />      160
|- style="color:#000000;background:#ffffff;"
|style="line-height:1.4" height=64|70<br />×<br />      144
|style="line-height:1.4"|    72    <br /> × <br />      140
|style="line-height:1.4"|    80    <br /> × <br />      126
|style="line-height:1.4"|    84    <br /> × <br />  ''' 120'''
|style="line-height:1.4"|    90    <br /> × <br />      112
|style="line-height:1.4"|    96    <br /> × <br />      105
|-
|colspan="6"|'''''Catatan:&nbsp;''''' Bilangan dalam '''bold''' adalah'' ''' bilangan komposit tinggi '''. <br /> Hanya nomor dua puluh yang sangat komposit 7560 (=&nbsp;3&nbsp;×&nbsp;2520) is absent.<br />10080 is a so-called [[smooth number|7-smooth number]] ''{{OEIS|id=A002473}}''.
|}
Bilangan komposit ke-15.000 dapat ditemukan di situs web Achim Flammenkamp. Ini adalah produk dari 230 bilangan prima:

: <math>a_0^{14} a_1^9 a_2^6 a_3^4 a_4^4 a_5^3 a_6^3 a_7^3 a_8^2 a_9^2 a_{10}^2 a_{11}^2 a_{12}^2 a_{13}^2 a_{14}^2 a_{15}^2 a_{16}^2 a_{17}^2 a_{18}^{2} a_{19} a_{20} a_{21}\cdots a_{229},</math>

dimana <math>a_n</math> adalah deretan bilangan prima yang berurutan, dan semua suku yang dihilangkan (''a''<sub>22</sub> to ''a''<sub>228</sub>) adalah faktor dengan eksponen sama dengan satu (yaitu bilangan <math>2^{14}  \times 3^{9}  \times 5^6  \times \cdots \times 1451</math>). Lebih tepatnya, ini adalah produk dari tujuh primorial yang berbeda:

: <math>b_0^5 b_1^3 b_2^2 b_4 b_7 b_{18} b_{229},</math>

dimana <math>b_n</math> adalah [[primorial]] <math>a_0a_1\cdots a_n</math>.
<ref>{{citation
 | last = Flammenkamp | first = Achim 
 | title = Highly Composite Numbers
 | url = http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html}}.</ref>

[[Berkas:Highly_composite_numbers.svg|thumb|250px|Plot jumlah pembagi bilangan bulat dari 1 hingga 1000. Bilangan komposit tinggi diberi label dengan huruf tebal dan bilangan komposit tinggi di atas diberi tanda bintang. Di [//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Highly_composite_numbers.svg Berkas SVG], arahkan kursor ke atas bilah untuk melihat statistiknya.]]

== Faktorisasi prima ==
Secara kasar, agar sebuah bilangan menjadi sangat komposit, ialah anda harus memiliki [[faktorisasi prima]] sekecil mungkin, tetapi tidak terlalu banyak yang sama. Dengan [[teorema dasar aritmetika]], setiap bilangan bulat positif '' n '' memiliki faktorisasi prima yang unik:

:<math>n = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}\qquad (1)</math>

dimana <math>p_1 < p_2 < \cdots < p_k</math> adalah bilangan prima dan eksponen, sedangkan <math> c_i </math> adalah bilangan bulat positif.

Faktor apa pun dari n harus memiliki kelipatan yang sama atau lebih kecil di setiap bilangan prima:

:<math>p_1^{d_1} \times p_2^{d_2} \times \cdots \times p_k^{d_k}, 0 \leq d_i \leq c_i, 0 < i \leq k</math>

Jadi jumlah pembagi '' n '' adalah:

:<math>d(n) = (c_1 + 1) \times (c_2 + 1) \times \cdots \times (c_k + 1).\qquad (2)</math>

Oleh karena itu, untuk bilangan komposit tinggi '' n '',

* '' k '' yang diberi bilangan prima '' p ''<sub>''i''</sub> harus persis bilangan prima '' k '' pertama (2, 3, 5, ...); jika tidak, kita bisa mengganti salah satu bilangan prima yang diberikan dengan bilangan prima yang lebih kecil, dan dengan demikian mendapatkan bilangan yang lebih kecil dari '' n '' dengan jumlah pembagi yang sama (misalnya 10 = 2 × 5 dapat diganti dengan 6 = 2 × 3; keduanya memiliki empat pembagi);
* urutan eksponen harus tidak meningkat, yaitu <math>c_1 \geq c_2 \geq \cdots \geq c_k</math>; jika tidak, dengan menukar dua eksponen kita akan mendapatkan angka yang lebih kecil dari '' n '' dengan jumlah pembagi yang sama (misalnya 18&nbsp;=&nbsp;2<sup>1</sup>&nbsp;×&nbsp;3<sup>2</sup> boleh diganti dengan 12&nbsp;=&nbsp;2<sup>2</sup>&nbsp;×&nbsp;3<sup>1</sup>; keduanya memiliki enam pembagi).

Perhatikan, bahwa meskipun kondisi yang dijelaskan di atas diperlukan, kondisi tersebut tidak cukup untuk sebuah bilangan menjadi sangat komposit. Sebagai contoh, 96 = 2<sup>5</sup> × 3 memenuhi kondisi di atas dan memiliki 12 pembagi tetapi tidak terlalu komposit karena ada bilangan yang lebih kecil 60 yang memiliki jumlah pembagi yang sama.

== Pertumbuhan dan kepadatan asimtotik ==
Bila ''Q''(''x'') menunjukkan jumlah bilangan komposit yang kurang dari atau sama dengan '' x '', maka ada dua konstanta '' a '' dan '' b '', keduanya lebih besar dari 1, sehingga
:<math>(\log x)^a \le Q(x) \le (\log x)^b \, .</math>
Bagian pertama dari ketidaksetaraan dibuktikan oleh [[Paul Erdős]] pada tahun 1944 dan bagian kedua oleh [[Jean-Louis Nicolas]] pada tahun 1988. Kami memiliki<ref name=HBI45>Sándor et al. (2006) p.45</ref>

:<math>1.13862 < \liminf \frac{\log Q(x)}{\log\log x} \le 1.44 \ </math>

dan

:<math>\limsup \frac{\log Q(x)}{\log\log x} \le 1.71 \ .</math>

== Urutan terkait ==
{{Euler_diagram_numbers_with_many_divisors.svg}}
Bilangan komposit yang lebih tinggi dari 6 juga merupakan [[jumlah berlimpah]]. Kita hanya perlu melihat tiga pembagi terbesar dari bilangan komposit tinggi tertentu untuk memastikan fakta ini. Tidak benar bahwa semua bilangan komposit tinggi juga [[Bilangan Harshad]] dalam basis 10. HCN pertama yang bukan bilangan Harshad adalah 245.044.800, yang memiliki jumlah digit 27, tetapi 27 tidak membagi.

10 dari 38 bilangan komposit tinggi pertama adalah [[bilangan komposit sangat unggul]].
Urutan bilangan komposit tinggi {{OEIS|id=A002182}} adalah himpunan bagian dari urutan bilangan terkecil '' k '' dengan pembagi '' n '' persis {{OEIS|id=A005179}}.

Bilangan komposit tinggi yang jumlah pembaginya juga merupakan bilangan komposit tinggi adalah untuk n = 1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800, 195643523275200 {{OEIS|id=A189394}}. Sangat mungkin urutan ini selesai.

Bilangan bulat positif '' n '' adalah '''sebagian besar bilangan komposit''' jika ''d''(''n'') ≥ ''d''(''m'') untuk semua ''m'' ≤ ''n''.  Fungsi penghitungan ''Q''<sub>''L''</sub>(''x'') dari sebagian besar bilangan komposit memuaskan
:<math>(\log x)^c \le \log Q_L(x) \le (\log x)^d \ </math>
untuk nilai positif ''c'',''d'' dengan <math>0.2 \le c \le d \le 0.5</math>.<ref name=HNTI46>Sándor et al. (2006) p.46</ref><ref name=Nic79>{{cite journal | last=Nicolas | first=Jean-Louis | authorlink=Jean-Louis Nicolas | title=Répartition des nombres largement composés | language=French | zbl=0368.10032 | journal=Acta Arith. | volume=34 | issue=4 | pages=379–390 | year=1979 | doi=10.4064/aa-34-4-379-390 | doi-access=free }}</ref>

Karena faktorisasi prima dari bilangan komposit tinggi menggunakan semua bilangan prima '' 'k' 'pertama, setiap bilangan komposit tinggi harus berupa [[bilangan praktis]].<ref>{{citation
 | last = Srinivasan | first = A. K.
 | title = Practical numbers
 | journal = [[Current Science]]
 | volume = 17
 | year = 1948
 | pages = 179–180
 |mr=0027799
 | url = http://www.ias.ac.in/jarch/currsci/17/179.pdf}}.</ref> Banyak dari angka-angka ini digunakan dalam [[bobot dan ukuran historis|sistem pengukuran tradisional]], dan cenderung digunakan dalam desain teknik, karena kemudahan penggunaannya dalam perhitungan yang melibatkan [[pecahan]].

== Lihat pula ==
* [[Bilangan komposit sangat unggul]]
* [[Bilangan total]]
* [[Tabel pembagi]]
* [[Fungsi total Euler]]
* [[Bilangan bulat]]
* [[Bilangan halus]]

== Catatan ==
{{reflist}}

== Referensi ==
* {{cite journal | last1=Ramanujan | first1=S. | author1-link=Srinivasa Ramanujan | title=Highly composite numbers | jfm=45.1248.01 | doi=10.1112/plms/s2_14.1.347 | journal=Proc. London Math. Soc. |series=Series 2 | volume=14 | pages=347–409 | year=1915| url=https://zenodo.org/record/1433496/files/article.pdf }} ([http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram15.pdf online] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140903125105/http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram15.pdf |date=2014-09-03 }})
* {{cite book | editor1-last=Sándor | editor1-first=József | editor2-last=Mitrinović | editor2-first=Dragoslav S. | editor3-last=Crstici |editor3-first=Borislav | title=Handbook of number theory I | location=Dordrecht | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2006 | isbn=1-4020-4215-9 | zbl=1151.11300 | pages=45–46}}
*{{cite journal
 | last = Erdös | first = P. | authorlink = Paul Erdős
 | journal = [[Journal of the London Mathematical Society]]
 | mr = 0013381
 | pages = 130–133
 | series = Second Series
 | title = On highly composite numbers
 | url = https://www.renyi.hu/~p_erdos/1944-04.pdf
 | volume = 19
 | issue = 75_Part_3 | year = 1944
 | doi=10.1112/jlms/19.75_part_3.130}}
*{{cite journal
 | last1 = Alaoglu | first1 = L. | author1-link = Leonidas Alaoglu
 | last2 = Erdös | first2 = P. | author2-link = Paul Erdős
 | issue = 3
 | journal = [[Transactions of the American Mathematical Society]]
 | mr = 0011087
 | pages = 448–469
 | title = On highly composite and similar numbers
 | url = https://www.renyi.hu/~p_erdos/1944-03.pdf
 | volume = 56
 | year = 1944 | doi=10.2307/1990319| jstor = 1990319 }}
*{{cite journal
 | last = Ramanujan | first = Srinivasa | authorlink = Srinivasa Ramanujan
 | doi = 10.1023/A:1009764017495
 | issue = 2
 | journal = Ramanujan Journal
 | mr = 1606180
 | pages = 119–153
 | title = Highly composite numbers
 | url = http://math.univ-lyon1.fr/~nicolas/ramanujanNR.pdf
 | volume = 1
 | year = 1997}} Beranotasi dan dengan kata pengantar oleh Jean-Louis Nicolas dan Guy Robin.

== Pranala luar ==
* {{MathWorld |urlname=HighlyCompositeNumber |title=Highly Composite Number}}
* [https://web.archive.org/web/19980707133810/http://www.math.princeton.edu/~kkedlaya/math/hcn-algorithm.tex Algorithm for computing Highly Composite Numbers]
* [https://web.archive.org/web/19980707133953/http://www.math.princeton.edu/~kkedlaya/math/hcn10000.txt.gz First 10000 Highly Composite Numbers as factors]
* [http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html  Achim Flammenkamp, First 779674 HCN with sigma,tau,factors]
* [http://www.javascripter.net/math/calculators/highlycompositenumbers.htm Online Highly Composite Numbers Calculator]

{{Kelas pembagi}}
{{Kelas bilangan asli}}

[[Kategori:Urutan bilangan bulat]]