Aturan L'Hôpital

Contoh penerapan aturan L'Hopital untuk fungsi Templat:Math dan Templat:Math. Fungsi Templat:Math tidak terdefinisi pada Templat:Math namun dapat dibuat menjadi sebuah fungsi kontinu di setiap Templat:Math dengan mendefinisikan Templat:Math.

Dalam kalkulus, Aturan L'Hôpital merupakan sebuah teknik derivatif (turunan) yang berguna untuk menentukan nilai limit yang melibatkan bentuk tak tentu. Penerapan (atau penerapan berulang) aturan ini akan mengubah bentuk tak tentu menjadi bentuk tentu. Dengan demikian, nilai suatu limit dapat dengan mudah ditentukan. Aturan ini paling sering digunakan dalam bidang fisika, ekonomi dan masih banyak lagi.

Dalam bentuk yang paling sederhana, dalil l’Hôpital menyatakan bahwa untuk fungsi ƒ dan g yang dapat diturunkan pada selang terbuka Templat:Mvar, bisa jadi terdapat suatu titik Templat:Mvar dalam selang Templat:Mvar yang tidak terdefinisi. Jika

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0\text{ atau }\pm \mathrm{\infty },$ $g^{\prime }(x)\ne 0$ untuk semua Templat:Mvar di Templat:Mvar dengan Templat:Math,

dan

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ ada,

maka

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$

Sejarah

Guillaume de l'Hôpital (juga ditulis l'HospitalTemplat:Efn) mempublikasikan aturan ini pada bukunya yang terbitkan pada tahun 1696 berjudul Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (terjemahan Inggris: Analysis of the Infinitely Small for the Understanding of Curved Lines), buku teks pertama dalam ilmu kalkulus diferensial. Meskipun demikian, aturan ini diyakini pertama kali ditemukan oleh matematikawan dari Swiss bernama Johann Bernoulli.

Bentuk umum

Bentuk umum dari aturan L'hopital dapat digunakan untuk menyelesaikan banyak kasus. Misal Templat:Math dan Templat:Math berupa bilangan real yang diperluas (bilangan real, tak hingga positif, atau tak hingga negatif) dan Templat:Math merupakan selang terbuka yang mengandung Templat:Math atau selang terbuka dengan akhiran Templat:Math (untuk limit sepihak atau limit di tak hingga dengan Templat:Math tak hingga). Fungsi Templat:Math dan Templat:Math diasumsikan dapat diturunkan pada Templat:Math, tetapi kemungkinan tidak dapat diturunkan pada Templat:Math, dan $g^{\prime }(x)\ne 0$ pada Templat:Math namun kemungkinan tidak pada Templat:Math. Diasumsikan pula bahwa $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L.$ Dengan demikian, aturan ini dapat diterapkan ketika rasio turunan memiliki jumlah hingga maupun tak hingga, tetapi tidak ketika rasio turunan mengalami fluktuasi permanen saat Templat:Math semakin mendekat ke Templat:Math.

Apabila

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$

atau

$\underset{x\to c}{\lim }|f(x)|=\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=\mathrm{\infty },$

maka

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L.$

Meskipun kita menulis x → c, limit di atas bisa saja berupa limit sepihak (x → c⁺ atau x → c⁻).

Bacaan lebih lanjut

• Templat:Cite book Templat:Id icon

Pranala luar

• l'Hôpital's rule at PlanetMath Templat:Webarchive

Templat:Matematika-stub