Eksponensiasi

Grafik Templat:Math untuk sebagai basis b: Templat:Nobr Templat:Nobr Templat:Nobr Templat:Nobr Setiap kurva melewati titik Templat:Math karena setiap bilangan bukan nol pangkat 0 adalah 1. Pada Templat:Math, nilai y sama dengan basis karena setiap bilangan yang dipangkatkan 1 adalah bilangan itu sendiri.

Templat:Periksa terjemahanEksponensiasi adalah sebuah operasi matematika, ditulis sebagai

b^{n}

, melibatkan dua bilangan, basis atau bilangan pokok

b

dan eksponen atau pangkat

n

, diucapkan sebagai "

b

pangkat

n

".^[1]^[2] Ketika

n

adalah bilangan bulat positif, eksponensiasi adalah perkalian berulang dari basis: yaitu,

b^{n}

adalah darab dari mengalikan basis

n

:^[2]

b^{n} = \underset{sebanyak n kali}{\underset{⏟}{b \times \dots \times b}} .

Satu memiliki Templat:Math, dan untuk nilai sembarang bilangan bulat positif Templat:Mvar dan Templat:Mvar, apabila memiliki Templat:Math. Untuk memperluas sifat ini ke eksponen bilangan bulat non-positif, Templat:Math didefinisikan sebagai Templat:Math, dan Templat:Math (dengan Templat:Mvar bilangan bulat positif dan Templat:Mvar bukan nol) didefinisikan sebagai Templat:Math. Khususnya, Templat:Math sama dengan Templat:Math, timbal balik dari Templat:Mvar.

Definisi eksponensial diperluas untuk memungkinkan eksponen real atau kompleks. Eksponen dengan eksponen bilangan bulat juga didefinisikan untuk berbagai macam struktur aljabar, termasuk matriks.

Eksponen digunakan secara luas di berbagai banyak bidang, yaitu ekonomi, biologi, kimia, fisika, dan ilmu komputer, dengan aplikasi seperti bunga majemuk, pertumbuhan populasi, kinetika reaksi kimia, perilaku gelombang, dan kriptografi kunci publik.

Terminologi

Ekspresi Templat:Math disebut "persegi dari b" atau "kuadrat b", karena luas persegi dengan panjang sisi Templat:Math adalah Templat:Math.

Demikian pula, ekspresi Templat:Math disebut "kubus dari b" atau "b pangkat tiga", karena volume kubus dengan panjang rusuk Templat:Math adalah Templat:Math.

Karena itu adalah bilangan bulat positif, eksponen menunjukkan berapa banyak salinan dari basis yang dikalikan bersama. Misalnya, Templat:Math. Basis Templat:Math muncul Templat:Math kali dalam perkalian, karena eksponennya adalah Templat:Math. Maka, Templat:Math adalah pangkat ke-5 dari 3, atau 3 terpangkat ke-5.

Kata "pangkat" terkadang dihilangkan, jadi Templat:Math dapat dibaca "3 ke 5". Oleh karena itu, eksponensiasi Templat:Math dinyatakan sebagai "b untuk pangkat n", "b untuk pangkat ke-n", "b untuk ke-n", atau disingkat juga sebagai "b untuk n ".

Rumus dengan eksponensial bertingkat, seperti Templat:Math (yang berarti Templat:Math dan bukan Templat:Math), disebut juga sebagai menara pangkat.

Eksponen bilangan bulat

Operasi eksponensial dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan langsung dari operasi aritmetika dasar.

Eksponen positif

Definisi eksponensial sebagai perkalian teriterasi dibuktikan secara formalisasi dengan menggunakan induksi,^[3] dan definisi ini digunakan segara untuk perkalian asosiasi:

Kasus dasarnya adalah

b^{1} = b

dan pengulangan adalah

b^{n + 1} = b^{n} \cdot b .

Asosiasi perkalian menyatakan bahwa untuk sembarang bilangan bulat positif Templat:Mvar dan Templat:Mvar, adalah

b^{m + n} = b^{m} \cdot b^{n},

dan

(b^{m})^{n} = b^{m n} .

Eksponen nol

Menurut definisi, setiap bilangan bukan nol terpangkat ke pangkat Templat:Math adalah Templat:Math:^[2]^[4]

b^{0} = 1 .

Definisi ini adalah satu-satunya memungkinkan perluasan rumus

b^{m + n} = b^{m} \cdot b^{n}

ke nol eksponen. Ini digunakan pada setiap struktur aljabar dengan perkalian yang memiliki identitas.

Secara intuitif, $b^{0}$ diartikan sebagai darab kosong dari salinan Templat:Mvar. Jadi, persamaan $b^{0} = 1$ adalah kasus khusus dari konvensi umum untuk darab kosong.

Kasus Templat:Math adalah rumit. Dalam konteks dimana pangkat bilangan bulat yang dipertimbangkan, nilai Templat:Math umumnya ditetapkan ke

0^{0},

namun, jika tidak, pilihannya adalah apakah akan menetapkan nilai, dan nilai apa yang akan ditetapkan mungkin bergantung pada konteks.

Untuk detail selengkapnya, lihat Nol ke pangkat nol.

Eksponen negatif

Eksponen dengan eksponen negatif didefinisikan oleh identitas berikut, yang berlaku untuk sembarang bilangan bulat Templat:Mvar dan bukan nol Templat:Mvar:

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}} .

^[2]

Menaikkan 0 ke eksponen negatif tidak ditentukan, tetapi dalam beberapa keadaan, maka ditafsirkan sebagai tak hingga ( $\infty$ ).

Definisi eksponen dengan eksponen negatif ini adalah satu-satunya yang memungkinkan perluasan identitas $b^{m + n} = b^{m} \cdot b^{n}$ ke eksponen negatif (pertimbangkan kasus $m = - n$ ).

Definisi yang sama berlaku untuk elemen terbalikkan dalam monoid perkalian, yaitu, struktur aljabar dengan perkalian asosiatif dan identitas perkalian yang dilambangkan Templat:Math (misalnya, matriks persegi dari dimensi tertentu). Secara khusus, dalam struktur ini, invers dari elemen terbalikkan Templat:Mvar secara standar dilambangkan sebagai $x^{- 1} .$

Identitas dan sifat

Templat:Redirect Identitas berikut ini, sering disebut juga sebagai Templat:Vanchor, untuk semua eksponen bilangan bulat, asalkan basisnya bukan nol:^[2]

\begin{matrix} b^{m + n} & = b^{m} \cdot b^{n} \\ {(b^{m})}^{n} & = b^{m \cdot n} \\ (b \cdot c)^{n} & = b^{n} \cdot c^{n} \end{matrix}

Tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial bukanlah komutatif (misalnya, Templat:Math), dan juga tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial bukanlah asosiatif (misalnya, Templat:Math, dimana Templat:Math). Tanpa tanda kurung, urutan operasi konvensional untuk deret eksponensial dalam notasi superskrip adalah top-down (atau asosiatif-kanan), bukan bottom-up^[5]^[6]^[7]^[8] (atau asosiatif-kiri). Maka,

b^{p^{q}} = b^{(p^{q})},

yang secara umum berbeda dengan

{(b^{p})}^{q} = b^{p q} .

Pangkat jumlah

pangkat jumlah biasanya dihitung dari pangkat penjumlahan dengan rumus binomial

(a + b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) a^{i} b^{n - i} = \sum_{i = 0}^{n} \frac{n!}{i! (n - i)!} a^{i} b^{n - i} .

Namun, rumus ini hanya berlaku jika jumlah komuter (yaitu Templat:Math), yang menyatakan apabila ia termasuk dalam struktur yaitu komutatif. Jika tidak, Templat:Mvar dan Templat:Mvar adalah matriks persegi dengan ukuran yang sama, rumus ini tidak digunakan. Oleh karena itu dalam aljabar komputer, banyak algoritma yang melibatkan eksponen bilangan bulat diubah ketika basis eksponensial tidak komuter. Beberapa tujuan umum sistem aljabar komputer menggunakan notasi yang berbeda (terkadang, Templat:Math sebagai gantinya adalah Templat:Math) untuk eksponensial dengan basis non-komuter, yang kemudian disebut eksponensial non-komutatif.

Interpretasi kombinatorial

Templat:See also

Untuk bilangan bulat tak-negatif Templat:Mvar dan Templat:Mvar, nilai dari Templat:Math adalah jumlah fungsi dari elemen himpunan Templat:Mvar ke elemen himpunan Templat:Mvar (lihat eksponensial kardinal). Fungsi tersebut diwakilankan sebagai rangkap-Templat:Mvar dari elemen himpunan-Templat:Mvar (atau sebagai kata huruf Templat:Mvar dari alfabet huruf Templat:Mvar). Beberapa contoh untuk nilai Templat:Mvar dan Templat:Mvar tertentu diberikan dalam tabel berikut:

Templat:Math	Templat:Math yang merupakan rangkap-Templat:Mvar dari elemen himpunan Templat:Math
0Templat:Sup = 0	Templat:CNone
1Templat:Sup = 1	(1, 1, 1, 1)
2Templat:Sup = 8	(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
3Templat:Sup = 9	(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
4Templat:Sup = 4	(1), (2), (3), (4)
5Templat:Sup = 1	()

Basis khusus

Templat:AnchorPangkat sepuluh

Templat:See also Templat:Main Dalam sistem bilangan basis sepuluh (desimal), pangkat bilangan bulat Templat:Math ditulis sebagai digit Templat:Math diikuti atau didahului oleh sejumlah nol yang ditentukan oleh tanda dan besaran eksponen. Misalnya, Templat:Math dan Templat:Math.

Eksponen dengan basis Templat:Math digunakan dalam notasi ilmiah untuk menyatakan bilangan besar atau kecil. Misalnya, Templat:Val (kecepatan cahaya dalam ruang hampa), dalam meter per detik) dapat ditulis sebagai Templat:Val dan kemudian perkiraan sebagai Templat:Val.

Awalan SI berdasarkan pangkat Templat:Math yang juga digunakan untuk menggambarkan jumlah kecil atau besar. Misalnya, awalan kilo berarti Templat:Math, jadi satu kilometer adalah Templat:Val.

Templat:AnchorPangkat dua

Templat:Main pangkat negatif pertama Templat:Math biasanya digunakan, dan memiliki nama khusus, misalnya: setengah dan kuarterner.

pangkat Templat:Math muncul dalam teori himpunan, karena himpunan dengan anggota Templat:Math memiliki himpunan pangkat, himpunan dari semua himpunan bagian-nya, yang memiliki anggota Templat:Math.

pangkat bilangan bulat Templat:Math penting dalam ilmu komputer. Bilangan bulat positif pangkat Templat:Math memberikan jumlah bilangan untuk bit Templat:Math bilangan bulat bilangan biner; misalnya, bita mengambil nilai Templat:Math yang berbeda. Sistem bilangan biner menyatakan bilangan sebagai jumlah dari pangkat Templat:Math, dan menyatakannya sebagai urutan Templat:Math dan Templat:Math, dipisahkan oleh titik biner, dimana Templat:Math menunjukkan pangkat Templat:Math yang muncul dalam penjumlahan; eksponen ditentukan oleh tempat Templat:Math ini: eksponen nonnegatif adalah pangkat Templat:Math sebelah kiri titik (mulai dari Templat:Math), dan eksponen negatif ditentukan oleh peringkat sebelah kanan titik.

Pangkat satu

pangkat satu adalah semua satu-satunya: Templat:Math.Ppangkat nol

Jika eksponen Templat:Mvar positif (Templat:Math), pangkat ke-Templat:Mvar dari nol adalah nol: Templat:Math.

Jikalau eksponen Templat:Mvar negatif (Templat:Math), pangkat ke-Templat:Mvar dari nol Templat:Math tidak ditentukan, maka dari itu harus sama dengan $1 / 0^{- n}$ dengan Templat:Math, dan ini sebagai menjadi $1 / 0$ .

Ekspresi Templat:Math didefinisikan sebagai 1, atau maka tidak terdefinisikan (lihat Nol pangkat nol).

[Pangkat negatif satu

Jika Templat:Math adalah bilangan bulat genap, maka Templat:Math.

Jikalau Templat:Math adalah bilangan bulat ganjil, maka nilainya adalah Templat:Math.

Oleh karena itu, pangkat Templat:Math berguna untuk menyatakan sebagai urutan bergantian. Untuk diskusi serupa tentang pangkat bilangan kompleks Templat:Math, lihat Templat:Section link.

Eksponen besar

Limit barisan pangkat dari bilangan besar dari satu divergen; dengan kata lain, barisan tersebut terikat tanpa batas:

Templat:Math sebagai Templat:Math jika Templat:Math

Apabila dibaca sebagai "b pangkat n cenderung +∞ sebagai n cenderung tak hingga ketika b memiliki nilai besar daripada satu".

pangkat suatu bilangan dengan nilai absolut kurang dari satu cenderung nol:

Templat:Math sebagai Templat:Math jika Templat:Math

Setiap pangkat satu tetap satu:

Templat:Math untuk semua Templat:Math jika Templat:Math

pangkat Templat:Math berganti antara Templat:Math dan Templat:Math sebagai Templat:Math berganti antara genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan Templat:Math.

Jika Templat:Math, Templat:Math, berganti sebagai bilangan positif dan negatif besar dan Templat:Math berganti sebagai genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan Templat:Math.

Jika bilangan eksponen berubah cenderung ke Templat:Math karena eksponen cenderung tak hingga, maka limitnya belum tentu salah satu atas. Kasus yang sangat penting adalah

Templat:Math sebagai Templat:Math

Lihat Templat:Section link dibawah ini.

Limit lain, khususnya ekspresi yang menggunakan bentuk antara, dijelaskan dalam Templat:Section link dibawah.

Fungsi pangkat

Fungsi real dari bentuk $f (x) = c x^{n}$ , dimana $c \neq 0$ , terkadang disebut sebagai fungsi pangkat.Templat:Citation needed Ketika $n$ adalah bilangan bulat dan $n \geq 1$ , maka terdapat dua keluarga keujudan, yaitu: untuk $n$ genap, dan untuk $n$ ganjil. Secara umum untuk $c > 0$ , bila $n$ genap $f (x) = c x^{n}$ cenderung ke arah positif ketakterhinggaan dengan penambahan $x$ , dan juga menuju tak hingga positif dengan turunan $x$ . Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat genap memiliki bentuk umum $y = c x^{2}$ , yang merata ditengah sebagai tingkatan $n$ .^[9] Fungsi dengan simetri Templat:Nobr seperti ini disebut fungsi genap.

Ketika $n$ ganjil, perilaku asimptotik $f (x)$ berbalik dari $x$ positif ke $x$ negatif. Untuk $c > 0$ , $f (x) = c x^{n}$ juga cenderung ke arah positif ketakterhinggaan dengan tingkatan $x$ , tetapi menuju ketakterhinggaan negatif dengan turunan $x$ . Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat ganjil memiliki bentuk umum $y = c x^{3}$ , merata ditengah ketika tingkatan $n$ dan kehilangan semua kerataan di garis lurus untuk $n = 1$ . Fungsi dengan simetri seperti ini Templat:Nobr disebut fungsi ganjil.

Untuk $c < 0$ , perilaku asimtotik berlawanan berlaku untuk setiap kasus.^[9]

Daftar pangkat bilangan bulat

n	n²	n³	n⁴	n⁵	n⁶	n⁷	n⁸	n⁹	n¹⁰
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val
4	16	64	256	1024	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val
5	25	125	625	3125	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val
6	36	216	1296	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val
7	49	343	2401	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val
8	64	512	4096	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val
9	81	729	6561	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val
10	100	1000	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val	Templat:Val

Eksponen rasional

Jika Templat:Mvar adalah bilangan real nonnegatif, dan Templat:Mvar adalah bilangan bulat positif, $x^{\frac{1}{n}}$ atau $\sqrt[n]{x}$ menunjukkan real positif unik [[akar ke-n|akar ke-Templat:Mvar]] dari Templat:Math, yaitu, bilangan real positif unik Templat:Mvar sehingga $y^{n} = x .$

Jika Templat:Mvar adalah bilangan real positif, dan $\frac{p}{q}$ adalah bilangan rasional, dengan Templat:Mvar dan Templat:Mvar bilangan bulat, maka $x^{\frac{p}{q}}$ didefinisikan sebagai

x^{\frac{p}{q}} = {(x^{p})}^{\frac{1}{q}} = (x^{\frac{1}{q}})^{p} .

Persamaan sebelah kanan diturunkan dengan menetapkan $y = x^{\frac{1}{q}},$ dan menulis $(x^{\frac{1}{q}})^{p} = y^{p} = {((y^{p})^{q})}^{\frac{1}{q}} = {((y^{q})^{p})}^{\frac{1}{q}} = (x^{p})^{\frac{1}{q}} .$

Jika Templat:Mvar adalah bilangan rasional positif, $0^{r} = 0,$ menurut definisi.

Semua definisi ini diperlukan untuk memperluas identitas $(x^{r})^{s}$ ke eksponen rasional.

Di sisi lain, ada masalah dengan perluasan definisi ini ke basis yang bukan bilangan real positif. Misalnya, bilangan real negatif memiliki akar ke-Templat:Mvar real, yang negatif jika Templat:Mvar adalah ganjil, dan tidak memiliki akar real jika Templat:Mvar genap. Dalam kasus terakhir, kompleks mana pun akar ke-Templat:Mvar memilih satu untuk $x^{\frac{1}{n}},$ identitas $(x^{a})^{b} = x^{a b}$ . Misalnya,

{((- 1)^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = 1 \neq (- 1)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = (- 1)^{1} = - 1 .

Lihat Templat:Slink dan Templat:Slink untuk detail tentang cara menangani masalah ini.

Eksponen real

Untuk bilangan real positif, eksponensial untuk pangkat real dapat didefinisikan dalam dua cara yang setara, baik dengan memperluas pangkat rasional ke real dengan kontinuitas (Templat:Slink, dibawah), atau dalam hal logaritma dari basis dan fungsi eksponensial (Templat:Section link, dibawah). Hasilnya bilangan real positif, dan identitas dan sifat yang ditunjukkan atas untuk eksponen bilangan bulat tetap benar dengan definisi ini untuk eksponen real. Definisi kedua lebih umum digunakan, karena digeneralisasikan secara langsung ke kompleks eksponen.

Di sisi lain, eksponensial ke pangkat real dari bilangan real negatif jauh lebih sulit untuk didefinisikan secara konsisten, karena mungkin non-real dan memiliki beberapa nilai (lihat Templat:Section link). Apabila memilih salah satu dari nilai-nilai ini, yang disebut nilai utama, tetapi tidak ada pilihan nilai utama yang identitasnya

{(b^{r})}^{s} = b^{r s}

adalah benar; lihat Templat:Section link. Oleh karena itu, eksponensial dengan basis yang bukan bilangan real positif umumnya dipandang sebagai fungsi multinilai.

Limit eksponen rasional

Karena bilangan irasional dapat dinyatakan sebagai limit barisan dari bilangan rasional, eksponen bilangan real positif Templat:Mvar dengan eksponen real sembarang Templat:Mvar didefinisikan oleh kontinuitas dengan kaidah^[10]

b^{x} = \lim_{r (\in ℚ) \to x} b^{r} (b \in ℝ^{+}, x \in ℝ),

dimana limitnya diambil alih nilai rasional Templat:Mvar saja. Limit ini ada untuk setiap Templat:Mvar positif dan setiap Templat:Mvar real.

Misalnya, jika Templat:Math, diwakilankan desimal tanpa Templat:Math dan monotonisitas dari pangkat rasional digunakan untuk mendapatkan interval dibatasi oleh pangkat rasional sekecil yang diinginkan, dan dilambangkan sebagai $b^{π} :$

[b^{3}, b^{4}], [b^{3.1}, b^{3.2}], [b^{3.14}, b^{3.15}], [b^{3.141}, b^{3.142}], [b^{3.1415}, b^{3.1416}], [b^{3.14159}, b^{3.14160}], \dots

Jadi, batas atas dan batas bawah interval membentuk dua barisan yang memiliki limit yang sama, dilambangkan dengan sebagai $b^{π} .$

Apabila mendefinisikan $b^{x}$ untuk setiap Templat:Mvar positif dan Templat:Mvar positif sebagai fungsi kontinu dari Templat:Mvar dan Templat:Mvar.

Fungsi eksponensial

Templat:Main Fungsi eksponensial didefinisikan sebagai $x \mapsto e^{x},$ dimana $e \approx 2, 718$ adalah bilangan Euler. Untuk menghindari penalaran lingkar, definisi ini tidak dapat digunakan di sini. Jadi, diberikan definisi fungsi eksponensial, dinotasikan $\exp (x),$ dan dari bilangan Euler bebas dari eksponensial. Kemudian sebuah bukti dibuat sketsa, bahwa apabila jika menggunakan definisi eksponensial yang diberikan pada bagian sebelumnya, maka memiliki:

\exp (x) = e^{x} .

Terdapat banyak cara ekuivalen untuk mendefinisikan fungsi eksponensial, salah satunya adalah mendefinisikannya sebagai fungsi invers dari logaritma alami. Tepatnya, logaritma natural adalah antiturunan dari $1 / x$ yang mengambil nilai Templat:Math untuk Templat:Math :

\ln x = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t} .

Apabila mendefinisikan logaritma sebagai fungsi meningkat dari real positif ke bilangan real. Fungsi invers dan fungsi eksponensial dengan demikian merupakan fungsi naik dari bilangan real ke real positif, yang biasa dilambangkan Templat:Math. Satu satunya, memiliki

\exp (0) = 1,

dan identitas eksponensial

\exp (x + y) = \exp (x) \exp (y)

untuk setiap Templat:Mvar dan Templat:Mvar.

Bilangan Euler didefinisikan sebagai $e = \exp (1)$ . Maka, ini mengikuti dari persamaan sebelumnya bahwa $\exp (x) = e^{x}$ dengan Templat:Mvar adalah bilangan bulat (ini hasil dari definisi perkalian berulang dari eksponensial). Jika Templat:Mvar adalah real, $\exp (x) = e^{x}$ dihasilkan dari definisi yang diberikan pada bagian sebelumnya, dengan menggunakan identitas eksponensial jika Templat:Mvar adalah rasional, dan kontinuitas fungsi eksponensial sebaliknya.

Fungsi eksponensial memenuhi persamaan

\exp (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} .

Karena deret konvergen untuk setiap kompleks nilai Templat:Mvar dengan persamaan yang memungkinkan pendefinisian fungsi eksponensial, dan demikian pula $e^{z},$ untuk argumen kompleks Templat:Mvar. Fungsi eksponensial diperluas masih memenuhi identitas eksponensial, dan biasanya digunakan untuk mendefinisikan eksponensial untuk basis kompleks dan eksponen.

Pangkat melalui logaritma

Definisi Templat:Math sebagai fungsi eksponensial didefinisikan Templat:Math untuk setiap bilangan real positif Templat:Mvar, dalam hal fungsi eksponensial dan logaritmik. Secara khusus, bahwa logaritma natural Templat:Math adalah invers dari fungsi eksponensial Templat:Math maka ia memiliki

b = \exp (\ln b) = e^{\ln b}

untuk setiap Templat:Math. Untuk mempertahankan identitas $(e^{x})^{y} = e^{x y},$ maka ia memiliki

b^{x} = {(e^{\ln b})}^{x} = e^{x \ln b}

Jadi, $e^{x \ln b}$ digunakan sebagai definisi alternatif dari Templat:Math untuk setiap real positif Templat:Mvar. Ini sesuai dengan definisi yang diberikan di atas menggunakan eksponen rasional dan kontinuitas, dengan memperluas secara langsung ke eksponen kompleks mana pun.

Eksponen kompleks dengan basis real positif

Jika Templat:Mvar adalah bilangan real positif, eksponen dengan basis Templat:Mvar dan kompleks eksponen didefinisikan melalui fungsi eksponensial dengan argumen kompleks (lihat dibagian akhir Templat:Slink, diatas) sebagai

b^{z} = e^{(z \ln b)},

dimana $\ln b$ menunjukkan logaritma natural dari Templat:Mvar.

Maka, ini memenuhi identitas

b^{z + t} = b^{z} b^{t},

Secara umum, ${(b^{z})}^{t}$ tidak didefinisikan, karena Templat:Math bukan bilangan real. Jika suatu arti diberikan pada eksponen bilangan kompleks (lihat Templat:Slink, dibawah), secara umum,

{(b^{z})}^{t} \neq b^{z t},

kecuali Templat:Mvar adalah real atau Templat:Mvar adalah bilangan bulat.

Rumus Euler $e^{i y} = \cos y + i \sin y,$ mengekspresikan bentuk polar dari $b^{z}$ dalam hal bagian real dan imajiner dari Templat:Mvar, yaitu

b^{x + i y} = b^{x} (\cos (y \ln b) + i \sin (y \ln b)),

dimana nilai absolut dari faktor trigonometri adalah satu. Maka, hasilnya adalah

b^{x + i y} = b^{x} b^{i y} = b^{x} e^{i y \ln b} = b^{x} (\cos (y \ln b) + i \sin (y \ln b)) .

Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat

Pada bagian sebelumnya, eksponen dengan eksponen non-bilangan bulat telah didefinisikan hanya untuk basis real positif. Untuk basis lain, kesulitan muncul dengan kasus sederhana dari akar ke-Templat:Mvar, yaitu, dari eksponen $1 / n,$ dimana Templat:Mvar adalah bilangan bulat positif. Meskipun teori umum eksponensial dengan eksponen bukan bilangan bulat yang berlaku untuk akar ke-Templat:Mvar, kasus ini layak untuk dipertimbangkan terlebih dahulu, karena tidak perlu menggunakan logaritma kompleks, dan karena itu lebih mudah dipahami.

Akar ke-Templat:Mvar pada bilangan kompleks

Setiap bilangan kompleks bukan nol Templat:Mvar dapat ditulis dalam bentuk polar sebagai

z = ρ e^{i θ} = r (c o s θ + i \sin θ),

dimana $ρ$ adalah nilai absolut dari Templat:Mvar, dan $θ$ adalah argumen. Argumen didefinisikan hingga bilangan bulat kelipatan Templat:Math; ini berarti, jika $θ$ adalah argumen dari bilangan kompleks, maka $θ + 2 k π$ juga merupakan argumen dari bilangan kompleks yang sama.

Bentuk polar dari darab dua bilangan kompleks diperoleh dengan mengalikan nilai absolut dan menambahkan argumen. Oleh karena itu, bentuk kutub dari akar ke-Templat:Mvar dari bilangan kompleks diperoleh dengan mengambil akar ke-Templat:Mvar dari nilai absolut dan membagi argumennya dengan Templat:Mvar:

{(ρ e^{i θ})}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{ρ} e^{\frac{i θ}{n}} .

Jika $2 i π$ ditambahkan ke $θ,$ maka bilangan kompleks tersebut tidak berubah, tetapi ini menambahkan $2 i π / n$ ke argumen akar ke-Templat:Mvar, dan diberikan akar ke-Templat:Mvar yang baru. Ini dilakukan kali Templat:Mvar, dan diberikan kepada akar ke-Templat:Mvar Templat:Mvar dari bilangan kompleks.

Biasanya memilih salah satu dari akar ke-Templat:Mvar Templat:Mvar sebagai akar utama. Pilihan umum adalah memilih akar ke-Templat:Mvar sebagai $- π < θ \leq π,$ yaitu, akar ke-Templat:Mvar yang memiliki bagian real terbesar, dan jika keduanya adalah dua dari bagian imajiner positif tersebut. Ini membuat akar ke-Templat:Mvar utama sebuah fungsi kontinu dalam seluruh bidang kompleks, kecuali untuk nilai real negatif dari radikan. Fungsi ini sama dengan akar ke-Templat:Mvar biasa untuk radikan real positif. Untuk radikan real negatif, dan eksponen ganjil, akar ke-Templat:Mvar utama bukanlah real, meskipun akar ke-Templat:Mvar yang biasa adalah real. Kelanjutan analitik menunjukkan bahwa prinsip akar ke-Templat:Mvar utama adalah fungsi unik diferensial kompleks yang memperluas fungsi akar ke-Templat:Mvar medan kompleks tanpa bilangan real yang bukan positif.

Jika bilangan kompleks dipindahkan sekitar nol dengan meningkatkan argumennya, setelah kenaikan $2 π,$ bilangan kompleks kembali ke posisi awal, dan akar ke-Templat:Mvar-nya adalah permutasi lingkar (yang dikalikan dengan $e^{2 i π / n}$ ). Ini menunjukkan bahwa tidak mungkin untuk mendefinisikan fungsi akar ke-Templat:Mvar yang tidak kontinu pada seluruh medan kompleks.

Akar satuan

Templat:Main

Bilangan kompleks w sedemikian rupa sehingga Templat:Math untuk bilangan bulat positif n adalah akar satuan ke-n. Secara geometris, akar satuan ke-n terletak pada lingkaran satuan dari medan kompleks pada simpul-simpul dari gon-n beraturan dengan satu simpul pada bilangan real 1.

Jika Templat:Math akan tetapi Templat:Math untuk semua bilangan asli k sehingga Templat:Math, maka w disebut akar satuan ke-n primitif. Satuan negatif −1 adalah satu-satunya akar kuadrat primitif dari satuan. satuan imajiner i adalah salah satu dari dua akar ke-4 primitif dari satuan; yang lainnya adalah −i.

Bilangan e^{Templat:Sfrac} adalah akar satuan n primitif dengan argumen positif terkecil. Hal ini terkadang disebut akar kesatuan ke-n utama, meskipun terminologi ini tidaklah universal dan tidak boleh disamakan dengan nilai utama dari Templat:Radic, yaitu 1.^[11]^[12]^[13]) Akar satuan ke-n yang lain dinyatakan sebagai bentuk akar ke-n utama, yaitu ${(e^{\frac{2 π i}{n}})}^{k} = e^{\frac{2 π i}{n} k}$ untuk Templat:Math.

Eksponensial kompleks

Mendefinisikan eksponensial dengan basis kompleks menyebabkan kesulitan serupa dengan yang dijelaskan pada bagian sebelumnya, kecuali, bahwa, secara umum, ada banyak kemungkinan nilai untuk $z^{w}$ . Jadi, salah satu nilai utama didefinisikan yang bukan kontinu untuk nilai Templat:Mvar real dan nonpositif, atau $z^{w}$ didefinisikan sebagai fungsi multinilai.

Dalam semua kasus, logaritma kompleks digunakan untuk mendefinisikan eksponensial kompleks, sebagai

z^{w} = e^{w \log z},

dimana $\log z$ adalah varian dari logaritma kompleks yang digunakan, yaitu, fungsi atau fungsi multinilai sedemikian rupa sehingga

e^{\log z} = z

untuk setiap Templat:Mvar dalam ranah definisi.

Nilai utama

Nilai utama dari logaritma kompleks adalah fungsi unik, biasanya dilambangkan $\log,$ sehingga, untuk setiap bilangan kompleks bukan nol Templat:Mvar,

e^{\log z} = z,

dan bagian imajiner dari Templat:Mvar memenuhi

- π < I m \leq π .

Nilai utama dari logaritma kompleks tidak didefinisikan untuk $z = 0,$ hal itu disebut juga sebagai tidak kontinu pada nilai real negatif Templat:Mvar, dan holomorfik (yaitu, terdiferensial kompleks) pada bagian lain. Jika Templat:Mvar adalah real dan positif, nilai utama dari logaritma kompleks adalah logaritma alami: $\log z = \ln z .$

Nilai utama $z^{w}$ didefinisikan sebagai $z^{w} = e^{w \log z},$ dimana $\log z$ adalah nilai utama dari logaritma.

Fungsi $(z, w) \to z^{w}$ adalah holomorfik kecuali diantara titik-titik dimana Templat:Mvar adalah real dan non-positif.

Jika Templat:Mvar adalah real dan positif, nilai utama $z^{w}$ sama dengan nilai biasa yang didefinisikan di atas. Jika $w = 1 / n,$ dimana Templat:Mvar adalah bilangan bulat, nilai utama ini sama dengan yang didefinisikan di atas.

Fungsi multinilai

Dalam beberapa konteks, terdapat masalah dengan diskontinuitas pada nilai-nilai utama $\log z$ dan $z^{w}$ pada nilai real negatif Templat:Mvar. Dalam hal ini, akan berguna untuk mempertimbangkan fungsi-fungsi ini sebagai fungsi multinilai.

Jika $\log z$ menunjukkan salah satu nilai dari logaritma multinilai (biasanya nilai utamanya), nilai lainnya adalah $2 i k π + \log z,$ dimana Templat:Mvar adalah bilangan bulat. Demikian pula, jika $z^{w}$ adalah salah satu nilai eksponensial, maka nilai lainnya diberikan oleh

e^{w (2 i k π + \log z)} = z^{w} e^{2 i k π w},

dimana Templat:Mvar adalah bilangan bulat.

Nilai Templat:Mvar berbeda memberikan nilai $z^{w}$ yang berbeda kecuali Templat:Mvar adalah bilangan rasional, yaitu, apabila bilangan bulat Templat:Mvar sehingga Templat:Mvar adalah bilangan bulat. Maka hasil dari periodisitas ini dari fungsi eksponensial, bahwa $e^{a} = e^{b}$ jika dan hanya jika $a - b$ adalah kelipatan bilangan bulat dari $2 π .$

Jika $w = \frac{m}{n}$ adalah bilangan rasional dengan Templat:Mvar dan Templat:Mvar bilangan bulat koprima dengan $n > 0,$ maka $z^{w}$ memiliki nilai persis Templat:Mvar. Dalam kasus $m = 1,$ nilai-nilai ini sama dengan yang dijelaskan dalam [[#Akar ke-n bilangan kompleks|§akar ke-Templat:Mvar bilangan kompleks]]. Jika Templat:Mvar adalah bilangan bulat, maka hanya ada satu nilai yang sesuai dengan Templat:Slink.

pangkat multinilai adalah holomorfik untuk $z \neq 0,$ dalam arti bahwa grafik-nya terdiri dari beberapa lembar yang mendefinisikan setiap fungsi holomorfik pada sekitar setiap titik. Jika variasi Templat:Mvar terus menerus sepanjang lingkaran pada sekitar Templat:Math, maka, setelah titik balik, nilai $z^{w}$ berubah dari lapisan.

Komputasi

Bentuk kanonik $x + i y$ dari $z^{w}$ dihitung dari bentuk kanonik Templat:Mvar dan Templat:Mvar. Meskipun ini dapat dijelaskan dengan satu rumus, lebih jelas untuk membagi perhitungan dalam beberapa langkah.

Bentuk polar dari Templat:Mvar. Jika $z = a + i b$ adalah bentuk kanonik dari Templat:Mvar (Templat:Mvar dan Templat:Mvar sebagai real), maka bentuk polar-nya adalah $z = ρ e^{i θ} = ρ (\cos θ + i \sin θ),$ dimana $ρ = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dan $θ = atan2 (a, b)$ (lihat atan2 untuk definisi fungsi ini).
Logaritma dari Templat:Mvar. Nilai utama dari logaritma ini adalah $\log z = \ln ρ + i θ,$ dimana $\ln$ menunjukkan logaritma alami. Nilai logaritma lainnya diperoleh dengan menambahkan $2 i k π$ untuk sembarang bilangan bulat Templat:Mvar.
Bentuk kanonik dari $w \log z .$ Jika $w = c + d i$ dengan real Templat:Mvar dan Templat:Mvar, nilai $w \log z$ adalah $w \log z = (c \ln ρ - d θ - 2 d k π) + i (d \ln ρ + c θ + 2 c k π),$ nilai utama yang sesuai dengan $k = 0 .$
Hasil akhir. Menggunakan identitas $e^{x + y} e^{x} = e^{y}$ dan $e^{y \ln x} = x^{y},$ satu-satunya menggunakan $z^{w} = ρ^{c} e^{- d (θ + 2 k π)} (\cos (d \ln ρ + c θ + 2 c k π) + i \sin (d \ln ρ + c θ + 2 c k π)),$ dengan $k = 0$ untuk nilai utama.

Contoh

$i^{i}$
Bentuk polar Templat:Mvar adalah $i = e^{i π / 2},$ dan dengan demikian nilai $\log i$ adalah $\log i = i (\frac{π}{2} + 2 k π) .$ Oleh karena itu $i^{i} = e^{i \log i} = e^{- \frac{π}{2}} e^{- 2 k π} .$ Jadi, semua nilai real $i^{i}$ utama adalah $e^{- \frac{π}{2}} \approx 0.2079 .$

$(- 2)^{3 + 4 i}$
Demikian pula, bentuk polar dari Templat:Math adalah $- 2 = 2 e^{i π} .$ Jadi, metode yang dijelaskan di atas diberikan nilai $\begin{matrix} (- 2)^{3 + 4 i} & = 2^{3} e^{- 4 (π + 2 k π)} (\cos (4 \ln 2 + 3 (π + 2 k π)) + i \sin (4 \ln 2 + 3 (π + 2 k π))) \\ = - 2^{3} e^{- 4 (π + 2 k π)} (\cos (4 \ln 2) + i \sin (4 \ln 2)) . \end{matrix}$ Dalam hal ini, semua nilai memiliki argumen $4 \ln 2,$ yang sama dan nilai absolut yang berbeda.

Dalam kedua contoh, semua nilai $z^{w}$ memiliki argumen yang sama. Secara umum, ini benar jika dan hanya jika bagian real dari Templat:Mvar adalah bilangan bulat.

Kegagalan pangkat dan identitas logaritma

Beberapa identitas untuk pangkat dan logaritma untuk bilangan real positif akan gagal untuk bilangan kompleks, tidak peduli seberapa pangkat kompleks dan logaritma kompleks didefinisikan sebagai fungsi bernilai tunggal. Misalnya:

Templat:Bulleted list

Eksponen irasional

Templat:Main Jika b adalah real positif bilangan aljabar, dan x adalah bilangan rasional, telah ditunjukkan di atas bahwa b^x adalah bilangan aljabar. Ini sisa hakiki bahkan apabila jika menerima bilangan aljabar untuk b, dengan satu-satunya perbedaan bahwa b^x mengambil beberapa nilai (bilangan terbatas, lihat di bawah), yang merupakan aljabar. Teorema Gelfond–Schneider diberikan beberapa informasi tentang sifat b^x ketika x adalah irasional (yaitu, bukan rasional). Maka, ini menyatakan: Templat:Quote

Pangkat bilangan bulat dalam aljabar

Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untuk operasi asosiatif apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian.^{[nb 1]} Definisi $x^{0}$ memerlukan keberadaan identitas perkalian lebih lanjut.^[14]

Sebuah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi asosiatif yang dilambangkan dengan perkalian, dan identitas perkalian yang dilambangkan dengan 1 adalah monoid. Dalam monoid, eksponensial elemen Templat:Mvar didefinisikan secara induktif oleh

$x^{0} = 1,$
$x^{n + 1} = x x^{n}$ untuk setiap bilangan bulat nonnegatif Templat:Mvar.

Jika Templat:Mvar adalah bilangan bulat negatif, $x^{n}$ didefinisikan hanya jika Templat:Mvar memiliki invers perkalian.^[15] Dalam hal ini, invers dari Templat:Mvar dinotasikan $x^{- 1},$ dan $x^{n}$ didefinisikan sebagai ${(x^{- 1})}^{- n} .$

Eksponen dengan eksponen bilangan bulat mematuhi hukum berikut, untuk Templat:Mvar dan Templat:Mvar dalam struktur aljabar, dan Templat:Mvar dan Templat:Mvar bilangan bulat:

\begin{matrix} x^{0} & = 1 \\ x^{m + n} & = x^{m} x^{n} \\ (x^{m})^{n} & = x^{m n} \\ (x y)^{n} & = x^{n} y^{n} jika x y = y x, dan, khususnya, jika perkaliannya adalah komutatif. \end{matrix}

Definisi ini banyak digunakan di banyak bidang matematika, terutama untuk geup, gelanggang, medan, matriks persegi (yang membentuk gelanggang). Mereka berlaku juga untuk fungsi dari himpunan ke diri-sendiri, yang membentuk monoid bawah komposisi fungsi. Ini termasuk, sebagai contoh spesifik, transformasi geometris, dan endomorfisme dari struktur matematika.

Ketika ada beberapa operasi ulangan, adalah umum untuk menunjukkan operasi berulang/ulangan dengan menempatkan simbolnya di superskrip, sebelum eksponen. Misalnya, jika Templat:Mvar adalah fungsi real yang nilainya dapat dikalikan, $f^{n}$ menunjukkan eksponensial terhadap perkalian, dan $f^{\circ n}$ ditunjukkan eksponensial sehubungan dengan komposisi fungsi. Yaitu,

(f^{n}) (x) = (f (x))^{n} = f (x) f (x) \dots f (x),

dan

(f^{\circ n}) (x) = f (f (\dots f (f (x)) \dots)) .

Biasanya, $(f^{n}) (x)$ dinotasikan $f (x)^{n},$ sedangkan $(f^{\circ n}) (x)$ dilambangkan $f^{n} (x) .$

Dalam sebuah grup

Sebuah grup perkalian adalah himpunan dengan operasi asosiatif dilambangkan sebagai perkalian, yang memiliki elemen identitas, dan setiap elemen memiliki invers.

Jadi, jika Templat:Mvar adalah grup, $x^{n}$ didefinisikan untuk setiap $x \in G$ dan setiap bilangan bulat Templat:Mvar.

Himpunan dari semua pangkat suatu elemen dari grup membentuk subgrup. Sebuah gruprup (atau subgrup) yang terdiri dari semua pangkat dari elemen tertentu Templat:Mvar adalah grup siklik yang dihasilkan oleh Templat:Mvar. Jika semua pangkat Templat:Mvar berbeda, grupnya adalah isomorfik pada grup aditif $ℤ$ dari bilangan bulat. Jika tidak, grup siklik adalah hingga (memiliki jumlah elemen hingga), dan jumlah elemennya adalah urutan dari Templat:Mvar. Jika urutan Templat:Mvar adalah Templat:Mvar, maka $x^{n} = x^{0} = 1,$ dan grup siklik yang dihasilkan oleh Templat:Mvar terdiri dari Templat:Mvar pangkat pertama Templat:Mvar (mulai dengan acuh tak acuh dari eksponen Templat:Math atau Templat:Math).

Urutan elemen memainkan peran mendasar dalam teori grup. Misalnya, urutan suatu elemen dalam grup hingga selalu merupakan pembagi dari jumlah elemen grup tersebut ("urutan" grup). Kemungkinan urutan elemen grup penting dalam studi struktur grup (lihat teorema Sylow), dan dalam klasifikasi grup sederhana hingga.

Notasi superskrip juga digunakan untuk konjugasi; yaitu, Templat:Math, dimana g dan h adalah elemen dari grup. Notasi ini tidak diubah dengan eksponensial, karena superskrip bukan bilangan bulat. Motivasi dari notasi ini adalah bahwa konjugasi memenuhi beberapa hukum eksponensial, yaitu $(g^{h})^{k} = g^{h k}$ dan $(g h)^{k} = g^{k} h^{k} .$

Dalam sebuah gelanggang

Dalam sebuah gelanggang, bahwa beberapa elemen bukan nol memenuhi $x^{n} = 0$ untuk beberapa bilangan bulat Templat:Mvar. Unsur tersebut disebut juga nilpoten. Dalam gelanggang komutatif, unsur-unsur nilpoten membentuk ideal, disebut juga nilradikal dari gelanggang.

Jika nilradikal direduksi menjadi ideal nol (yaitu, jika $x \neq 0$ menyatakan $x^{n} \neq 0$ untuk setiap bilangan bulat positif Templat:Mvar), ring komutatif dikatakan tereduksi. Gelanggang tereduksi penting dalam geometri aljabar, karena gelanggang koordinat dari himpunan aljabar Affin merupakan gelanggang tereduksi.

Lebih umum, diberikan ideal Templat:Mvar dalam gelanggang komutatif Templat:Mvar, himpunan elemen Templat:Mvar yang memiliki pangkat Templat:Mvar adalah ideal, yang disebut radikal dari Templat:Mvar. Nilradikal adalah radikal dari zero ideal. Sebuah ideal radikal adalah ideal yang sama dengan radikal-diri. Dalam gelanggang polinomial $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ atas medan Templat:Mvar, sebuah ideal adalah radikal jika dan hanya jika itu adalah himpunan semua polinomial yang nol pada himpunan aljabar affin (ini adalah konsekuensi dari Hilbertscher Nullstellensatz).

Matriks dan operator linear

Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka hasil kali A dengan n itu sendiri disebut pangkat matriks. Juga $A^{0}$ didefinisikan sebagai matriks identitas,^[16] dan jika A adalah invers, maka $A^{- n} = {(A^{- 1})}^{n}$ .

pangkat matriks sering muncul dalam konteks sistem dinamik diskret, dimana matriks A menyatakan transisi dari vektor keadaan x dari beberapa sistem ke keadaan berikutnya Ax dari sistem.^[17] Ini adalah interpretasi standar dari rantai Markov, misalnya, apabila $A^{2} x$ adalah status sistem setelah dua langkah waktu, dan seterusnya: maka, $A^{n} x$ adalah status sistem setelah langkah kali n. Matriks pangkat $A^{n}$ adalah matriks transisi antara keadaan sekarang dan keadaan pada langkah kali n ke depan. Jadi menghitung pangkat matriks setara dengan memecahkan evolusi sistem dinamis. Dalam banyak kasus, pangkat matriks dihitung dengan menggunakan nilai eigen dan vektor eigen.

Selain matriks, operator linear yang umum juga merupakan eksponen. Contohnya adalah turunan operator kalkulus, $d / d x$ salah satu operator linear yang melakukan fungsi $f (x)$ untuk menghasilkan fungsi baru, yaitu $(d / d x) f (x) = f^{'} (x)$ . pangkat ke-n dari operator diferensiasi adalah turunan ke-n:

{(\frac{d}{d x})}^{n} f (x) = \frac{d^{n}}{d x^{n}} f (x) = f^{(n)} (x) .

Contoh-contoh ini adalah untuk eksponen diskret dari operator linear, tetapi dalam keadaan juga diinginkan untuk mendefinisikan pangkat dari operator tersebut dengan eksponen kontinu. Ini adalah titik awal dari teori matematika semigrup.^[18] Sama seperti pangkat matriks komputasi dengan eksponen diskret memecahkan sistem dinamis diskret, begitu pula pangkat matriks komputasi dengan eksponen kontinu memecahkan sistem dengan dinamika kontinu. Contohnya termasuk pendekatan untuk menyelesaikan persamaan panas, persamaan Schrödinger, persamaan gelombang, dan persamaan diferensial parsial lainnya yang termasuk evolusi waktu. Kasus khusus eksponensial operator turunan ke pangkat non-bilangan bulat disebut turunan pecahan, yang bersama dengan integral pecahan, merupakan operasi dasar dari kalkulus pecahan.

Medan hingga

Templat:Main Sebuah medan adalah struktur aljabar dimana perkalian, penambahan, pengurangan, dan pembagian didefinisikan dan memenuhi sifat-sifatnya yang sudah dikenal; khususnya, perkaliannya adalah asosiatif, dan setiap elemen bukan nol memiliki perkalian invers. Ini menyatakan bahwa eksponen dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan dengan baik, kecuali untuk pangkat nonpositif Templat:Math. Contoh umum adalah bilangan kompleks dan submedan, bilangan rasional dan bilangan real yang telah dibahas sebelumnya dalam artikel ini, dan semua tak hingga.

Sebuah medan hingga adalah medan dengan elemen bilangan hingga. Jumlah elemen ini adalah bilangan prima atau pangkat prima; yaitu, memiliki bentuk $q = p^{k},$ dimana Templat:Mvar adalah bilangan prima, dan Templat:Mvar adalah bilangan bulat positif. Untuk setiap Templat:Mvar tersebut, ada medan dengan elemen Templat:Mvar. Medan dengan elemen Templat:Mvar semuanya adalah isomorfik, yang memungkinkan, bekerja seolah-olah hanya ada satu medan dengan elemen Templat:Mvar, dilambangkan $𝔽_{q} .$

Satu-satunya adalah

x^{q} = x

untuk setiap $x \in 𝔽_{q} .$

Sebuah elemen primitif di $𝔽_{q}$ adalah elemen Templat:Mvar seperti pada himpunan Templat:Math pangkat pertama Templat:Mvar (yaitu, ${g^{1} = g, g^{2}, \dots, g^{p - 1} = g^{0} = 1}$ ) sama dengan himpunan elemen bukan nol dari $𝔽_{q} .$ Ada $φ (p - 1)$ elemen primitif dalam $𝔽_{q},$ dimana $φ$ adalah fungsi totient Euler.

Dalam $𝔽_{q},$ identitas impian Fresman

(x + y)^{p} = x^{p} + y^{p}

adalah hakiki untuk eksponen Templat:Mvar. Seperti $x^{p} = x$ di peta $𝔽_{q},$ maka

\begin{matrix} F : & 𝔽_{q} \to 𝔽_{q} \\ x \mapsto x^{p} \end{matrix}

adalah linear atas $𝔽_{q},$ dan merupakan automorfisme medan, disebut automorfisme Frobenius. Jika $q = p^{k},$ medan $𝔽_{q}$ memiliki Templat:Mvar automorfisme, yang merupakan pangkat pertama Templat:Mvar (antara komposisi) dari Templat:Mvar. Dengan kata lain, grup Galois dari $𝔽_{q}$ adalah siklik urutan Templat:Mvar, yang dihasilkan oleh automorfisme Frobenius.

Pertukaran kunci Diffie–Hellman adalah aplikasi eksponensial dalam Medan hingga yang banyak digunakan untuk komunikasi aman. Ini menggunakan fakta bahwa eksponensial secara komputasi tidak mahal, sedangkan operasi kebalikannya, logaritma diskret, secara komputasi mahal. Lebih tepatnya, jika Templat:Mvar adalah elemen primitif dalam $𝔽_{q},$ maka $g^{e}$ dihitung secara efisien dengan eksponensial dari kuadrat untuk Templat:Mvar, bahkan jika Templat:Mvar besar, sementara tidak ada algoritma yang diketahui memungkinkan pengambilan Templat:Mvar dari $g^{e}$ jika nilai Templat:Mvar adalah besar.

Templat:AnchorAtas himpunan

Templat:Main

Jika n adalah bilangan asli, dan A adalah himpunan sembarang, maka ekspresi Aⁿ sering digunakan untuk menyatakan himpunan dari rangkap-n elemen A. Apabila ditulis Aⁿ menyatakan himpunan fungsi dari himpunan Templat:Math ke himpunan A; rangkap-n Templat:Math mewakili fungsi i ke a_i.

Untuk bilangan kardinal tak hingga dan himpunan A, notasi A^κ juga digunakan untuk menyatakan himpunan semua fungsi dari himpunan ukuran hingga A. Ini terkadang ditulis ^κA untuk membedakannya dari eksponensial utama, yang didefinisikan di bawah ini.

Eksponensial umum ini juga didefinisikan untuk operasi pada himpunan atau untuk himpunan dengan struktur tambahan. Misalnya, dalam aljabar linear, untuk indeks jumlah langsung dari ruang vektor melalui himpunan indeks sembarang. Artinya, apabila berbicara tentang

⨁_{i \in ℕ} V_{i},

dimana setiap V_i adalah ruang vektor.

Kemudian jika V_i = V untuk setiap i, jumlah langsung yang dihasilkan ditulis dalam notasi eksponensial sebagai V^⊕N, atau cukup V^N dengan pengertian bahwa jumlah langsung adalah bawaan. Maka, ini bisa diganti kembali himpunan N dengan bilangan kardinal n untuk mendapatkan Vⁿ, meskipun tanpa memilih himpunan standar tertentu dengan kardinalitas n, yang didefinisikan isomorfisme hingga saja. Diberikan V sebagai medan-R dari bilangan real (yang sebagai ruang vektor atas) dan n menjadi beberapa bilangan asli, maka, ini mendapatkan ruang vektor umum yang dipelajari dalam aljabar linear, dan ruang vektor real-Rⁿ.

Jika basis operasi eksponensial adalah himpunan, operasi eksponensial adalah darab Kartesius kecuali dinyatakan yang lain. Karena beberapa darab Cartesian menghasilkan rangkap-n, yang diwakili oleh suatu fungsi pada himpunan kardinalitas yang sesuai, S^N sebagai himpunan semua fungsi dari N hingga S dalam kasus ini:

S^{N} \equiv {f : N \to S} .

Ini cocok dengan eksponen bilangan kardinal, dalam arti bahwa Templat:Math, dimana Templat:Abs adalah kardinalitas X. Ketika "2" didefinisikan sebagai Templat:Math}, maka memiliki Templat:Math, dimana 2^X, biasanya dilambangkan dengan P(X), adalah himpunan pangkat dari X; masing-masing himpunan bagian Y dari X berkorespondensi secara unik dengan fungsi pada X yang mengambil nilai 1 untuk Templat:Math dan 0 untuk Templat:Math.

Dalam teori kategori

Templat:Main Dalam kategori tertutup Kartesius, operasi eksponensial digunakan untuk kenaikkan objek sembarang ke pangkat objek lain. Ini menggeneralisasi darab Kartesius dalam kategori himpunan. Jika 0 adalah objek awal dalam kategori tertutup Kartesius, maka objek eksponensial 0⁰ adalah isomorfik ke objek terminal 1.

Dari bilangan kardinal dan ordinal

Templat:Main

Dalam teori himpunan, ada operasi eksponensial untuk kardinal dan bilangan ordinal.

Jika κ dan λ adalah bilangan kardinal, ekspresi κ^λ mewakili kardinalitas himpunan fungsi dari sembarang himpunan kardinalitas λ ke himpunan kardinalitas κ.^[19] Jika κ dan λ adalah hingga, maka ini sesuai dengan operasi eksponensial aritmetika biasa. Misalnya, himpunan rangkap-3 elemen dari himpunan elemen-2 memiliki kardinalitas Templat:Math. Dalam aritmetika kardinal, κ⁰ adalah 1 (bahkan jika κ adalah kardinal tak hingga atau nol).

Eksponen bilangan kardinal berbeda dari eksponensial bilangan kardinal, yang didefinisikan oleh proses batas yang melibatkan induksi transfinit.

Eksponensial berulang

Templat:Main Sama seperti eksponensial bilangan asli dimotivasi oleh perkalian berulang, adalah mendefinisikan operasi berdasarkan eksponensial berulang; operasi ini terkadang disebut hiper-4 atau tetrasi. Tetrasi-iterasi mengarah ke operasi lain, dan seterusnya, sebuah konsep bernama hiperoperasi. Urutan operasi ini dinyatakan oleh fungsi Ackermann dan notasi panah atas Knuth. Sama seperti eksponensial pertumbuhan cepat daripada perkalian, pertumbuhan cepat dari penambahan, tetrasi adalah pertumbuhan cepat dari eksponensial. Dinilai pada Templat:Math, fungsi penjumlahan, perkalian, eksponensial, dan tetrasi menghasilkan 6, 9, 27, dan Templat:Val masing-masing pada (Templat:Math).

Limit pangkat

Nol pangkat nol memberikan sejumlah contoh limit yang berbentuk bentuk tak tentu 0⁰. Limit dalam contoh ini ada, tetapi memiliki nilai yang berbeda, menunjukkan bahwa fungsi dua variabel Templat:Math tidak memiliki limit pada titik Templat:Math. Apabila mempertimbangkan pada titik mana fungsi ini memiliki limit.

Lebih tepatnya, perhatikan fungsi Templat:Math didefinisikan pada Templat:Math Kemudian Templat:Math dilihat sebagai himpunan bagian dari Templat:Math (yaitu, himpunan semua pasangan Templat:Math dengan Templat:Math, Templat:Math memiliki garis bilangan real diperluas Templat:Math, dengan darab topologi), yang berisi titik-titik dimana fungsi Templat:Math memiliki limit.

Faktanya, Templat:Math memiliki limit di semua titik akumulasi dari Templat:Math, kecuali Templat:Math, Templat:Math, Templat:Math dan Templat:Math.^[20] Dengan demikian, apabila ini untuk mendefinisikan pangkat Templat:Math dengan kontinuitas Templat:Math, Templat:Math, kecuali untuk 0⁰, (+∞)⁰, 1^+∞ dan 1^−∞, yang tetap bentuk tak tentu.

Dibawah definisi ini dengan kontinuitas, maka memperoleh:

Templat:Math dan Templat:Math, bila Templat:Math.
Templat:Math dan Templat:Math, bila Templat:Math.
Templat:Math dan Templat:Math, bila Templat:Math.
Templat:Math dan Templat:Math, bila Templat:Math.

pangkat ini diperoleh dengan mengambil limit Templat:Math untuk nilai positif dari Templat:Math. Metode ini tidak mengizinkan definisi Templat:Math ketika Templat:Math, karena pasangan Templat:Math dengan Templat:Math bukan merupakan titik akumulasi dari Templat:Math.

Disisi lain, ketika Templat:Math adalah bilangan bulat, maka pangkat Templat:Math bermakna untuk semua nilai Templat:Math, termasuk yang negatif. Maka, ini membuat definisi Templat:Math yang diperoleh diatas untuk Templat:Math negatif menjadi bermasalah ketika nilainya adalah Templat:Math, karena dalam kasus ini Templat:Math karena Templat:Math cenderung Templat:Math melalui nilai positif, tetapi bukan nilai negatif.

Komputasi yang efisien dengan eksponen bilangan bulat

Komputasi bⁿ menggunakan perkalian berulang membutuhkan Templat:Math operasi perkalian, tetapi itu dapat dihitung lebih efisien dari itu, seperti yang diilustrasikan oleh contoh berikut. Untuk menghitung 2¹⁰⁰, terapkan kaidah Horner ke eksponen 100 yang ditulis dalam biner:

100 = 2^{2} + 2^{5} + 2^{6} = 2^{2} (1 + 2^{3} (1 + 2))

.

Kemudian hitung suku-suku berikut secara berurutan, baca kaidah Horner dari kanan ke kiri. Templat:Static row numbers

2² = 4

2 * (2²) = 2³ = 8

(2³)² = 2⁶ = 64

(2⁶)² = 2¹² = Templat:Val

(2¹²)² = 2²⁴ = Templat:Val

2 * (2²⁴) = 2²⁵ = Templat:Val

(2²⁵)² = 2⁵⁰ = Templat:Val

(2⁵⁰)² = 2¹⁰⁰ = Templat:Val

Rangkaian langkah ini hanya membutuhkan 8 perkalian, bukan 99.

Secara umum, jumlah operasi perkalian yang diperlukan untuk menghitung Templat:Math dikurangi menjadi $♯ n + ⌊^{2} \log n ⌋ - 1,$ dengan menggunakan pangkat dengan kuadrat, dengan $♯ n$ menunjukkan jumlah Templat:Math dalam wakilan biner dari Templat:Mvar. Untuk beberapa eksponen (100 tidak termasuk di antaranya), jumlah perkalian dikurangi lebih lanjut dengan menghitung dan menggunakan pangkat kaidah-tambahan minimal. Menemukan barisan perkalian minimal (kaidah penambahan panjang minimal untuk eksponen) untuk Templat:Math adalah soal yang sulit, yang saat ini tidak ada algoritma efisien yang diketahui (lihat Masalah jumlah himpunan bagian), tetapi banyak algoritma heuristik yang cukup efisien tersedia.^[21] Namun, dalam perhitungan praktis, eksponensial dengan mengkuadratkan cukup efisien, dan jauh lebih mudah diimplementasikan.

Fungsi teriterasi

Komposisi fungsi adalah operasi biner yang didefinisikan pada fungsi sehingga kodomain dari fungsi yang ditulis sebelah kanan termasuk dalam domain dari fungsi yang ditulis sebelah kiri. Ini dilambangkan $g \circ f,$ dan didefinisikan sebagai

(g \circ f) (x) = g (f (x))

untuk setiap Templat:Mvar dalam domain Templat:Mvar.

Jika domain suatu fungsi Templat:Mvar sama dengan kodomainnya, maka ia menyusun fungsi dengan sendiri dalam jumlah waktu yang berubah-ubah, dan ini mendefinisikan pangkat ke-Templat:Mvar dari fungsi di bawah komposisi, biasanya disebut iterasi ke-Templat:Mvar dari fungsi tersebut. Jadi $f^{n}$ secara umum menunjukkan iterasi ke-Templat:Mvar dari Templat:Mvar; misalnya, $f^{3} (x)$ berarti $f (f (f (x))) .$ ^[22]

Ketika perkalian didefinisikan pada kodomain fungsi, ini mendefinisikan perkalian pada fungsi, perkalian sesetitik, yang menginduksi eksponensial lain. Saat menggunakan notasi fungsional, dua jenis eksponensial umumnya dibedakan dengan menempatkan eksponen dari iterasi fungsional sebelum tanda kurung yang melampirkan argumen fungsi, dan menempatkan eksponen perkalian sesetitik setelah tanda kurung. Jadi $f^{2} (x) = f (f (x)),$ dan $f (x)^{2} = f (x) \cdot f (x) .$ Ketika notasi fungsional tidak digunakan, disambiguasi yang dilakukan dengan menempatkan simbol komposisi sebelum eksponen; misalnya $f^{\circ 3} = f \circ f \circ f,$ dan $f^{3} = f \cdot f \cdot f .$ Untuk alasan historis, eksponen dari perkalian berulang ditempatkan sebelum argumen untuk beberapa fungsi tertentu, biasanya fungsi trigonometri. Jadi, $\sin^{2} x$ dan $\sin^{2} (x)$ berarti keduanya $\sin (x) \cdot \sin (x)$ dan bukan $\sin (\sin (x)),$ yang jarang dipertimbangkan. Secara historis, beberapa varian notasi ini digunakan oleh penulis yang berbeda.^[23]^[24]^[25]

Dalam konteks ini, eksponen $- 1$ selalu menunjukkan fungsi invers, jika ada. Jadi $\sin^{- 1} x = \sin^{- 1} (x) = \arcsin x .$ Untuk pecahan perkalian invers umumnya digunakan seperti pada $1 / \sin (x) = \frac{1}{\sin x} .$

Dalam bahasa pemrograman

Bahasa pemrograman umumnya menyatakan eksponensial baik sebagai operator infiks atau sebagai fungsi (awalan), karena mereka adalah notasi linear yang tidak mendukung superskrip:

x ↑ y: Algol, Komodor BASIC, TRS-80 Level II/III BASIC.^[26]^[27]
x ^ y: AWK, BASIC, J, MATLAB, Wolfram Language (Mathematica), R, Microsoft Excel, Analytica, TeX (dan turunannya), TI-BASIC, bc (untuk eksponen bilangan bulat), Haskell (untuk eksponen bilangan bulat nonnegatif), Lua dan sebagian besar sistem aljabar komputer. Penggunaan simbol ^ yang bertentangan meliputi: XOR (dalam ekspansi aritmetika POSIX Shell, AWK, C, C++, C#, D, Go, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Ruby dan Tcl), Indirection (Pascal), dan rangkaian string (OCaml dan Standard ML).
x ^^ y: Haskell (untuk basis pecahan, eksponen bilangan bulat), D.
x ** y: Ada, Z shell, KornShell, Bash, COBOL, CoffeeScript, Fortran, FoxPro, Gnuplot, Groovy, JavaScript, OCaml, F#, Perl, PHP, PL/I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Mercury, Haskell (untuk eksponen floating-point), Turing, VHDL.
pown x y: F# (for integer base, integer exponent).
x⋆y: APL.

Many other programming languages lack syntactic support for exponentiation, but provide library functions:

pow(x, y): C, C++.
Math.Pow(x, y): C#.
math:pow(X, Y): Erlang.
Math.pow(x, y): Java.
[Math]::Pow(x, y): PowerShell.
(expt x y): Common Lisp.

Untuk eksponen tertentu ada cara khusus untuk menghitung x^y jauh lebih cepat daripada melalui eksponen umum. Kasus ini mencakup bilangan bulat positif dan negatif kecil (memilih x · x daripada x²; memilih 1/x daripada x⁻¹) dan root (memilih sqrt(x) daripada x^0.5, memilih cbrt(x) daripada x^{1/3</ sup>).}

Tidak semua bahasa pemrograman menggunakan konvensi asosiasi yang sama untuk eksponensial: sedangkan Wolfram Language, Google Penelusuran dan lainnya menggunakan pengaitan kanan (yaitu a^b^c dievaluasi sebagai a^(b^c)), banyak program komputer seperti Microsoft Office Excel dan Matlab mengasosiasikan ke kiri (yaitu a^b^c dievaluasi sebagai (a^b)^c).

Lihat pula

Templat:Portal Templat:Div col

Templat:Div col end

Catatan

Templat:Reflist

Referensi

Templat:Reflist Templat:Hiperoperasi Templat:Authority control

↑ Templat:Cite web
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 Templat:Cite web
↑ Templat:Cite book
↑ Templat:Cite book
↑ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Robinson_1958
↑ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Bronstein_1987
↑ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama NIST_2010
↑ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Zeidler_2013
↑ ^9,0 ^9,1 Templat:Cite book
↑ Templat:Cite book
↑ Templat:Cite book Online resource Templat:Webarchive
↑ Templat:Cite book Didefinisikan pada hal. 351
↑ "Principal root of unity", MathWorld.
↑ Templat:Cite book, I.2
↑ Templat:Cite book
↑ Bab 1, Aljabar Linear Dasar, 8E, Howard Anton
↑ Templat:Citation, Bab 5.
↑ E. Hille, R. S. Phillips: Analisis Fungsional dan Semi-Grup. Masyarakat Matematika Amerika, 1975.
↑ Nicolas Bourbaki, Elemen Matematika, Teori Himpunan, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.
↑ Nicolas Bourbaki, Topologie générale, V.4.2.
↑ Templat:Cite journal
↑ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Peano_1903
↑ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Herschel_1813
↑ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Herschel_1820
↑ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Cajori_1929
↑ Templat:Cite news
↑ Templat:Cite journal (catatan Pada titik kode 5Bh TRS-80 character set memiliki simbol panah atas "↑" menggantikan ASCII braket siku kiri "[".)

Kesalahan pengutipan: Ditemukan tag <ref> untuk kelompok bernama "nb", tapi tidak ditemukan tag <references group="nb"/> yang berkaitan

[:0-1] Templat:Cite web

[:1-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 Templat:Cite web

[3] Templat:Cite book

[4] Templat:Cite book

[Robinson_1958-5] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Robinson_1958

[Bronstein_1987-6] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Bronstein_1987

[NIST_2010-7] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama NIST_2010

[Zeidler_2013-8] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Zeidler_2013

[Calculus:_Early_Transcendentals-9] 9,0 ^9,1 Templat:Cite book

[Denlinger-10] Templat:Cite book

[11] Templat:Cite book Online resource Templat:Webarchive

[12] Templat:Cite book Didefinisikan pada hal. 351

[13] "Principal root of unity", MathWorld.

[15] Templat:Cite book, I.2

[16] Templat:Cite book

[17] Bab 1, Aljabar Linear Dasar, 8E, Howard Anton

[18] Templat:Citation, Bab 5.

[19] E. Hille, R. S. Phillips: Analisis Fungsional dan Semi-Grup. Masyarakat Matematika Amerika, 1975.

[Bourbaki-20] Nicolas Bourbaki, Elemen Matematika, Teori Himpunan, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.

[21] Nicolas Bourbaki, Topologie générale, V.4.2.

[22] Templat:Cite journal

[Peano_1903-23] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Peano_1903

[Herschel_1813-24] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Herschel_1813

[Herschel_1820-25] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Herschel_1820

[Cajori_1929-26] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Cajori_1929

[InfoWorld_1982-27] Templat:Cite news

[80Micro_1983-28] Templat:Cite journal (catatan Pada titik kode 5Bh TRS-80 character set memiliki simbol panah atas "↑" menggantikan ASCII braket siku kiri "[".)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[nb 1]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

Eksponensiasi

Terminologi

Eksponen bilangan bulat

Eksponen positif

Eksponen nol

Eksponen negatif

Identitas dan sifat

Pangkat jumlah

Interpretasi kombinatorial

Basis khusus

Templat:AnchorPangkat sepuluh

Templat:AnchorPangkat dua

Pangkat satu

[Pangkat negatif satu

Eksponen besar

Fungsi pangkat

Daftar pangkat bilangan bulat

Eksponen rasional

Eksponen real

Limit eksponen rasional

Fungsi eksponensial

Pangkat melalui logaritma

Eksponen kompleks dengan basis real positif

Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat

Akar ke-Templat:Mvar pada bilangan kompleks

Akar satuan

Eksponensial kompleks

Nilai utama

Fungsi multinilai

Komputasi

Contoh

Kegagalan pangkat dan identitas logaritma

Eksponen irasional

Pangkat bilangan bulat dalam aljabar

Dalam sebuah grup

Dalam sebuah gelanggang

Matriks dan operator linear

Medan hingga

Templat:AnchorAtas himpunan

Dalam teori kategori

Dari bilangan kardinal dan ordinal

Eksponensial berulang

Limit pangkat

Komputasi yang efisien dengan eksponen bilangan bulat

Fungsi teriterasi

Dalam bahasa pemrograman

Lihat pula

Catatan

Referensi

Menu navigasi

Pencarian