Bilangan khayal

Templat:Math (ulangi pola ini dari area biru)

Templat:Math

Templat:Math

Templat:Math

Templat:Math

Templat:Math

Templat:Math

Templat:Math

Templat:Math

Templat:Math

Templat:Math

Templat:Math (lihat modulus)

Bilangan khayal atau bilangan imajiner (Templat:Lang-en), biasa dilambangkan dengan i, dan didefinisikan sebagai

$i=\sqrt{-1}$ atau secara ekuivalen $i^2=-1$

Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, (bagian) bilangan khayal $i$ diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:

$x^2+1=0$

atau secara setara

$x^2=-1⟹x=\sqrt{-1}$ .

Bilangan khayal dan/atau bilangan kompleks ini sering dipakai di berbagai bidang, seperti teknik elektro dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus AC (listrik arus bolak-balik) atau untuk menganalisis gelombang fisika yang menjalar ke arah sumbu x mengikuti:

$e^{i(kx-\omega t)}=e^{j(\omega t-kx)}$), dengan j = −i.

Selain itu, bilangan khayal juga muncul di mekanika kuantum, seperti pada Persamaan Schrödinger, pengolahan sinyal, dan masih banyak lagi. Salah satu yang menyebabkan bilangan khayal muncul dan digunakan di mana-mana adalah sifatnya yang mempunyai tahap atau periode, sehingga dapat digunakan untuk memodelkan objek yang memiliki periode.

Penafsiran geometri

Rotasi 90 derajat dalam bidang kompleks

Dalam geometri, bilangan khayal dilambangkan sebagai titik-titik pada sumbu vertikal pada bidang bilangan kompleks, digambarkan secara tegak lurus terhadap sumbu bilangan real. Satu cara untuk melihat bilangan-bilangan khayal adalah dengan membayangkan suatu garis bilangan, bertambah secara positif ke sebelah kanan dan bertambah negatif ke sebelah kiri, kemudian pada titik nol "O" garis yang dapat dipandang sebagai sumbu-Templat:Mvar, suatu sumbu-Templat:Mvar dapat digambarkan sebagai suatu garis tegak lurus yang bertambah "positif" (bilangan khayal bertambah positif) ke arah atas, dan bertambah negatif (demikian pula dengan bilangan khayal) ke arah bawah. Sumbu vertikal ini sering disebut "sumbu bilangan khayal" dan dilambangkan dengan Templat:Math, $𝕀$, atau Templat:Math.

Dalam perwakilan ini, perkalian dengan Templat:Math berhubungan dengan suatu rotasi 180 derajat mengelilingi titik nol. Perkalian dengan Templat:Mvar berhubungan dengan rotasi 90 derajat pada arah "positif" (yaitu, berlawanan dengan jarum jam), dan persamaan Templat:Math ditafsirkan sebagai pernyataan bahwa jika diterapkan dua rotasi 90 derajat mengelilingi titik nol, maka hasil akhirnya adalah suatu rotasi tunggal 180 derajat. Perhatian bahwa rotasi 90 derajat pada arah "negatif" (yaitu searah jarum jam) juga memenuhi penafsiran ini. Hal ini mencerminkan fakta bahwa Templat:Math juga memecahkan persamaan Templat:Math. Pada umumnya, perkalian dengan suatu bilangan kompleks sama dengan rotasi mengelilingi titik nol oleh argument bilangan kompleks itu, diikuti dengan perubahan skala besarannya.

Perkalian akar kuadrat

Perkalian akar kuadrat bilangan negatif perlu perhatian khusus. Misalnya, pemikiran berikut ini salah:

$-1=i^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=1$

Kekeliruan (fallacy) yang diperbuat adalah penggunaan aturan Templat:Math, di mana nilai prinsip akar kuadrat dihitung setiap kali, sebenarnya hanya sah jika Templat:Mvar dan Templat:Mvar dibatasi dengan sepatutnya. Tidak mungkin untuk mengembangkan definisi nilai prinsip akar kuadrat pada semua bilangan kompleks dengan cara aturan perkalian biasa. Jadi Templat:Math dalam konteks ini harus dianggap "tidak berarti", atau sebagai ekspresi bernilai ganda dengan kemungkinan nilai Templat:Math dan Templat:Math.

Lihat pula

• Bilangan asli
• Bilangan bulat
• Bilangan cacah
• Bilangan kompleks
• Bilangan riil
• Bilangan rasional
• Bilangan irasional
• Bilangan prima
• Bilangan komposit
• Pecahan