Kompleks Amitsur

Dalam aljabar, kompleks Amitsur adalah kompleks alami yang terkait dengan homomorfisme gelanggang. Kompleks ini diperkenalkan oleh Shimshon Amitsur. Ketika homomorfisme dikatakan datar dan setia (Templat:Lang-en), maka kompleks Amitsur adalah eksak (yang menentukan resolusi) dasar dari teori penurunan rata tepat.

Gagasan tersebut seharusnya dipandang sebagai mekanisme untuk melampaui konvensional lokalisasi gelanggang dan modul.

Definisi

Misal $\theta :R\to S$ adalah homomorfisme dari gelanggang yang tidak memerlukan sifat komutatif. Untuk memulainya, yang harus dilakukan pertama adalah mendefinisikan himpunan kosimplisial $C^{\bullet }=S^{\otimes \bullet +1}$ (dengan $\otimes$ merujuk pada ${\otimes }_R$, bukan ${\otimes }_{\mathbb{Z}}$). Kemudian, definisikan wajah peta $d^i:S^{\otimes n+1}\to S^{\otimes n+2}$ dengan menyisipkan 1 pada titik ke-i :Templat:Efn

$d^i(x_0\otimes \cdots \otimes x_n)=x_0\otimes \cdots \otimes x_{i-1}\otimes 1\otimes x_i\otimes \cdots \otimes x_n.$

Kemudian, definisikan degenerasi $s^i:S^{\otimes n+1}\to S^{\otimes n}$ dengan mengalikan ke-i dan titik-(i' ' + 1):

$s^i(x_0\otimes \cdots \otimes x_n)=x_0\otimes \cdots \otimes x_i{x}_{i+1}\otimes \cdots \otimes x_n.$

Definisi-definisi di atas memenuhi identitas sederhana "jelas", dan dengan demikian, $S^{\otimes \bullet +1}$ adalah himpunan kosimplisial. Hal tersebut menentukan kompleks dengan augumentasi $\theta$ pada kompleks Amitsur:

$0\to R\stackrel{\theta }{\to }S\stackrel{{\delta }^0}{\to }{S}^{\otimes 2}\stackrel{{\delta }^1}{\to }{S}^{\otimes 3}\to \cdots$

dengan ${\delta }^n=\sum _{i=0}^{n+1}(-1{)}^i{d}^i.$

Ketepatan kompleks Amitsur

Kasus faithfully flat

Dalam notasi di atas, jika $\theta$ adalah rata tepat kanan, maka teorema Alexander Grothendieck menyatakan bahwa kompleks (imbuhan) $0\to R\stackrel{\theta }{\to }{S}^{\otimes \bullet +1}$ adalah eksak dan karenanya adalah resolusi. Lebih umum, jika $\theta$ adalah rata tepat kanan, maka M untuk setiap modul kiri-R,

$0\to M\to S{\otimes }_{R}M\to S^{\otimes 2}{\otimes }_{R}M\to S^{\otimes 3}{\otimes }_{R}M\to \cdots$

adalah eksak.

Bukti:

Langkah 1: Pernyataan benar jika $\theta :R\to S$ terbagi sebagai homomorfisme gelanggang.

Bahwa "terbagi $\theta$" adalah menyatakan $\rho \circ \theta ={\mathrm{id}}_R$ untuk beberapa homomorfisme $\rho :S\to R$ ($\rho$ merupakan retraksi dan terbagi $\theta$). Diberikan $\rho$ sebagai

$h:S^{\otimes n+1}\otimes M\to S^{\otimes n}\otimes M$

oleh

$\begin{array}{cc}& h(x_0\otimes m)=\rho (x_0)\otimes m,\\ & h(x_0\otimes \cdots \otimes x_n\otimes m)=\theta (\rho (x_0))x_1\otimes \cdots \otimes x_n\otimes m.\end{array}$

Perhitungan yang mudah menunjukkan identitas berikut: dengan ${\delta }^{-1}=\theta \otimes {\mathrm{id}}_M:M\to S{\otimes }_{R}M$,

$h\circ {\delta }^n+{\delta }^{n-1}\circ h={\mathrm{id}}_{S^{\otimes n+1}\otimes M}$.

Hal ini untuk menyebutkan bahwa h adalah operator homotopi dan dengan demikian ${\mathrm{id}}_{S^{\otimes n+1}\otimes M}$ sebagai menentukan nol peta pada kohomologi: yaitu, kompleksnya adalah eksak.

Langkah 2: Pernyataan tersebut benar secara umum.

Kami berkomentar bahwa $S\to T:=S{\otimes }_{R}S,x\mapsto 1\otimes x$ adalah bagian dari $T\to S,x\otimes y\mapsto xy$. Jadi, Langkah 1 yang diterapkan pada homomorfisme gelanggang terbagi $S\to T$ menyatakan:

$0\to M_S\to T{\otimes }_S{M}_S\to T^{\otimes 2}{\otimes }_S{M}_S\to \cdots ,$

dimana $M_S=S{\otimes }_{R}M$ adalah eksak. Karena $T{\otimes }_S{M}_S\simeq S^{\otimes 2}{\otimes }_{R}M$, dsg., dengan "rata tepat" maka urutan aslinya adalah eksak. $◻$

Kasus topologi busur

Templat:Harvs tunjukkan bahwa kompleks Amitsur eksak jika R dan S adalah gelanggang sempurna (komutatif), dan peta harus menjadi peliputan pada topologi busur (yang merupakan kondisi yang lebih lemah daripada peliputan pada topologi datar).

Bibliografi

• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Nlab