Persamaan beda rasional

Sebuah persamaan beda rasional adalah persamaan beda nonlinear dalam bentuk

$x_{n+1}=\frac{\alpha +\sum _{i=0}^k{\beta }_i{x}_{n-i}}{A+\sum _{i=0}^k{B}_i{x}_{n-i}},$

dimana kondisi awal $x_0,x_{-1},\dots ,x_{-k}$ sedemikian rupa sehingga penyebut tidak pernah hilang untuk $n$ apa-pun.

Persamaan beda rasional urutan pertama

Sebuah persamaan beda rasional urutan pertama adalah persamaan beda nonlinear dari bentuk

$w_{t+1}=\frac{a{w}_t+b}{c{w}_t+d}.$

Bila $a,b,c,d$ dan kondisi awal $w_0$ adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai persamaan beda Riccati.

Persamaan tersebut diselesaikan dengan menulis $w_t$ sebagai transformasi nonlinear dari variabel lain $x_t$ yang berkembang secara linear. Kemudian metode standar dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan beda linear pada $x_t$.

Persamaan bentuk ini muncul dari masalah tangga resistor tak-hingga.

Memecahkan persamaan urutan pertama

Pendekatan pertama

Pendekatan pertama untuk mengembangkan variabel yang diubah $x_t$, ketika $ad-bc\ne 0$ ditulis sebagai

$y_{t+1}=\alpha -\frac{\beta }{y_t}$

dimana $\alpha =(a+d)/c$ dan $\beta =(ad-bc)/c^2$ dan dimana $w_t=y_t-d/c$.

Penulisan lebih lanjut $y_t=x_{t+1}/x_t$ ditampilkan sebagai hasil

$x_{t+2}-\alpha x_{t+1}+\beta x_t=0.$

Pendekatan kedua

Pendekatan ini diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk $x_t$ alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus dimana $(d-a{)}^2+4bc$ bukanlah negatif. Tulis sebagai $x_t=1/(\eta +w_t)$ diimplikasikan $w_t=(1-\eta x_t)/x_t$, dimana $\eta$ yang diberikan oleh $\eta =(d-a+r)/2c$ dan dimana $r=\sqrt{(d-a{)}^2+4bc}$. Maka dapat ditunjukkan bahwa $x_t$ dievolusikan sebagai

$x_{t+1}=\left(\frac{d-\eta c}{\eta c+a}\right)x_t+\frac{c}{\eta c+a}.$

Pendekatan ketiga

Persamaan

$w_{t+1}=\frac{a{w}_t+b}{c{w}_t+d}$

juga dapat diselesaikan dengan melakukan sebagai kasus khusus dari persamaan matriks lebih umum

$X_{t+1}=-(E+B{X}_t)(C+A{X}_t{)}^{-1},$

dimana semua A, B, C, E, dan X adalah matriks n×n (dalam hal ini n=1); solusinya adalah

$X_t=N_t{D}_t^{-1}$

dimana

$\left(\begin{array}{c}{N}_t\\ D_t\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}-B& -E\\ A& C\end{array}\right)}^t\left(\begin{array}{c}{X}_0\\ I\end{array}\right).$

Aplikasi

Hal ini ditunjukkan bahwa matriks persamaan Riccati dinamis dari bentuk

$H_{t-1}=K+A^{\prime }{H}_{t}A-A^{\prime }{H}_{t}C(C^{\prime }{H}_{t}C{)}^{-1}{C}^{\prime }{H}_{t}A,$

yang dapat muncul pada beberapa masalah kontrol optimal waktu-diskrit, bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan kedua diatas jika matriks C hanya memiliki satu baris lebih banyak daripada kolom.

Bacaan lebih lanjut

• Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," Mathematical Gazette 93, November 2009, 500-504.