Nol pangkat nol

Nol pangkat nol, dilambangkan dengan Templat:Math, adalah ekspresi matematika berbasis eksponensiasi tanpa nilai yang disepakati. Kemungkinan yang paling umum adalah 1 atau membiarkan ekspresi tidak terdefinisi, dengan pembenaran yang ada untuk masing-masing, tergantung pada konteksnya. Dalam aljabar dan kombinatorika, nilai yang disepakati secara umum adalah Templat:Math, sedangkan dalam analisis matematis, ekspresi tersebut dibiarkan tidak terdefinisi. Hal ini karena nilai Templat:Math memiliki hasil yang berbeda saat Templat:Math dan Templat:Math mendekati nol, tergantung pada proses limitnya. Ekspresi ini muncul pada masalah limit dan dapat menghasilkan berbagai nilai atau menuju tak terhingga, yang membuatnya susah untuk diberikan nilai yang konsisten pada kasus ini.

Pemberlakuan Templat:Math juga berbeda di beberapa bahasa pemrograman dan perangkat lunak. Walaupun banyak yang mengikuti konvensi Templat:Math untuk alasan praktis, bahasa lain membiarkannya tak terdefinisi atau memberikan galat, tergantung penggunaan. Hal ini merefleksikan ambigualitas dari ekspresi ini pada analisis matematika.

Pangkat diskrit

Banyak yang menggunakan formula yang melibatkan eksponen bilangan asli yang membutuhkan Templat:Math agar didefinisikan sebagai Templat:Math. Misalnya, tiga interpretasi dari Templat:Math berikut masuk akal untuk Templat:Math seperti saat Templat:Mvar adalah bilangan bulat positif:

• Interpretasi bahwa Templat:Math sebagai Templat:Ill yang menghasilkan nilai Templat:Math.
• Interpretasi kombinatorial dari Templat:Math adalah jumlah dari rangkap nol elemen dari himpunan elemen Templat:Math; terdapat hanya satu rangkap nol.
• Interpretasi teori himpunan dari Templat:Math adalah jumlah fungsi dari himpunan kosong terhadap himpunan elemen Templat:Math; hanya terdapat satu fungsi, yaitu fungsi kosong.

Semua spesialisasi tersebut memberikan nilai Templat:Math.

Continuous exponents

Grafik Templat:Math. Garis merah (dengan Templat:Math bernilai konstan) menghasilkan limit yang berbeda saat Templat:Math mendekati Templat:Math. Garis hijau (dari kemiringan konstan, Templat:Math) semuanya menghasilkan limit bernilai Templat:Math.

Limit yang melibatkan operasi aljabar sering dievaluasi dengan mengganti subekspresi dengan limit mereka. Jika hasil ekspesi tersebut menentukan limit awalnya, maka ekspresi tersebut dikenal sebagai bentuk tak tentu. Ekspresi Templat:Math adalah bentuk tak tentu. Misalnya ada fungsi bernilai bilangan asli Templat:Math dan Templat:Math mendekati Templat:Math (ketika nilai Templat:Math mendekati bilangan asli atau Templat:Math) dengan Templat:Math, limit dari Templat:Math dapat menjadi bilangan asli positif atau Templat:Math, atau menjadi divergen, tergantung pada Templat:Mvar dan Templat:Mvar. Misalnya, setiap limit di bawah melibatkan fungsi Templat:Math dengan Templat:Math saat Templat:Math (sebuah limit sepihak), tapi nilai mereka berbeda:

$$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{t}^t=1,$$ $$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{\left(e^{-1/t^2}\right)}^t=0,$$ $$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{\left(e^{-1/t^2}\right)}^{-t}=+\mathrm{\infty },$$ $$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{\left(e^{-1/t}\right)}^{at}=e^{-a}.$$

Maka, fungsi dengan dua variable Templat:Math, meskipun kontinu pada set Templat:Math, tidak dapat diperluas ke fungsi kontinu pada Templat:Math, tidak peduli bagaimana seseorang mendefinisikan Templat:Math.

Sebaliknya, jika Templat:Math dan Templat:Math adalah fungsi analitik pada set angkat terbuka Templat:Mvar, maka Templat:Math ketika Templat:Mvar mendekati Templat:Mvar dari arah mana pun saat Templat:Mvar bernilai positif. Hal ini dan hasil yang lebih umum bisa didapatkan dengan mempelajari sifat pembatas dari fungsi Templat:Nowrap.