Mahavira (matematikawan)

Mahāvīra (atau Mahaviracharya , "Mahavira sang Guru") adalah seorang matematikawan Jain abad ke-9 yang saat ini mungkin lahir di atau dekat dengan kota Mysore , di India selatan. Ia menulis Gaṇitasārasan̄graha ( Ganita Sara Sangraha ) atau Kompendium tentang inti Matematika pada tahun 850 M.

Ia dilindungi oleh raja Amoghavarsha dari dinasti Rashtrakuta. Dia memisahkan astrologi dari matematika. Ini adalah teks India paling awal yang seluruhnya ditujukan untuk matematika. Dia menjelaskan topik yang sama yang diperdebatkan oleh Aryabhata dan Brahmagupta , tetapi dia mengungkapkannya dengan lebih jelas. Karyanya adalah pendekatan yang sangat sinkron terhadap aljabar dan penekanan dalam banyak teksnya adalah pada pengembangan teknik yang diperlukan untuk memecahkan masalah aljabar.  Ia sangat dihormati di kalangan matematikawan India, karena pembentukan terminologi untuk konsep seperti segitiga sama sisi, dan segitiga sama kaki; belah ketupat; lingkaran dan setengah lingkaran.   Keunggulan Mahāvīra menyebar ke seluruh India Selatan dan buku-bukunya terbukti inspiratif bagi ahli matematika lain di India Selatan . Teks itu diterjemahkan ke dalam bahasa Telugu oleh Pavuluri Mallana sebagai Saar Sangraha Ganitam.

Dia menemukan identitas aljabar seperti a ³ = a ( a + b ) ( a - b ) + b ² ( a - b ) + b ³ . Dia juga menemukan rumus untuk ⁿ C _r sebagai

[ n ( n - 1) ( n - 2) ... ( n - r + 1)] / [ r ( r - 1) ( r - 2) ... 2 * 1]. Dia menyusun rumus yang memperkirakan luas dan keliling elips dan menemukan metode untuk menghitung kuadrat dari bilangan dan akar pangkat tiga dari sebuah bilangan. Dia menegaskan bahwa akar kuadrat dari bilangan negatif tidak ada.

Aturan untuk menguraikan pecahan

Mahawira Ganita-sara-Sangraha memberikan aturan yang sistematis untuk mengungkapkan sebagian kecil sebagai jumlah unit pecahan . Ini mengikuti penggunaan pecahan satuan dalam matematika India pada periode Weda, dan Śulba Sūtras 'memberikan perkiraan √ 2 yang setara dengan. $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{3.4.34}$ .

Dalam Gaṇita-sāra-saṅgraha (GSS), bagian kedua dari bab aritmatika dinamai kalā-savarṇa-vyavahāra (lit. "operasi pengurangan pecahan"). Dalam hal ini, bagian bhāgajāti (ayat 55–98) memberikan aturan sebagai berikut:

• Untuk menyatakan 1 sebagai jumlah dari n pecahan satuan (GSS kalāsavarṇa 75, contoh dalam 76):

rūpāṃśakarāśīnāṃ rūpādyās triguṇitā harāḥ kramaśaḥ / dvidvitryaṃśābhyastāv ādimacaramau phale rūpe //

Jika hasilnya satu, penyebut besaran yang memiliki pembilang adalah [bilangan] yang diawali dengan satu dan dikalikan tiga, secara berurutan. Yang pertama dan terakhir dikalikan dengan dua dan dua pertiga [masing-masing].

$1=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-2}}+\frac{1}{\frac{2}{3}.3^{n-1}}$

• Untuk menyatakan 1 sebagai jumlah ganjil pecahan satuan (GSS kalāsavarṇa 77):

$1=\frac{1}{2.3.1/2}+\frac{1}{4.3.1/2}+...+\frac{1}{(2n-1).2n.1/2}+\frac{1}{2n.1/2}$

• Untuk mengekspresikan pecahan satuan $1/q$ sebagai jumlah dari n pecahan lain dengan pembilang tertentu $\mathit{\alpha }1,\mathit{\alpha }2,...,\mathit{\alpha }n$(GSS kalāsavarṇa 78, contoh di 79):

$\frac{1}{q}=\frac{\alpha 1}{q(q+\alpha 1)}+\frac{\alpha 2}{(q+\alpha 1)+(q+\alpha 1+\alpha 2)}+...+\frac{a_{n-1}}{(q+\alpha 1+...+a_{n-2})(q+a1+...+an-1)}+\frac{a_n}{a_n\frac{(}{q}+a1+...+a_{n-1})}$

• Untuk mengekspresikan pecahan apa pun $p/q$sebagai jumlah pecahan satuan (GSS kalāsavarṇa 80, contoh dalam 81):

Pilih bilangan bulat i sedemikian rupa $\frac{q+i}{p}$adalah integer r , lalu tulis$\frac{p}{q}=\frac{1}{r}+\frac{i}{r.q}$

dan ulangi proses untuk suku kedua, secara rekursif. (Perhatikan bahwa jika i selalu dipilih sebagai bilangan bulat terkecil , ini identik dengan logaritma rakus untuk pecahan Mesir .)

dan ulangi proses untuk suku kedua, secara rekursif. (Perhatikan bahwa jika i selalu dipilih sebagai bilangan bulat terkecil , ini identik dengan algoritme rakus untuk pecahan Mesir .)

• Untuk menyatakan pecahan satuan sebagai jumlah dari dua pecahan satuan lainnya (GSS kalāsavarṇa 85, contoh di 86):

$\frac{1}{n}=\frac{1}{p.n}+\frac{1}{\frac{p.n}{n-1}}$ dimana $p$ harus dipilih sedemikian rupa $\frac{p.n}{n-1}$adalah bilangan bulat (yang $p$ harus kelipatan $n-1$).

• Untuk mengekspresikan pecahan $p/q$sebagai jumlah dari dua pecahan lainnya dengan pembilang yang diberikan $a$ dan $b$ (GSS kalāsavarṇa 87, contoh di 88):

$\frac{p}{q}=\frac{a}{\frac{ai+b}{p}.\frac{q}{i}}+\frac{b}{\frac{ai+b}{p}.\frac{q}{i}}$ dimana $i$harus dipilih sedemikian rupa $p$ membagi $ai+b$

Beberapa aturan lebih lanjut yang diberikan dalam Ganita-kaumudi dari Narayana di abad ke-14.

Lihat juga

•Daftar Matematikawan India