Garis Singgung ke Kurva

Templat:Dalam perbaikan Templat:ReferensiTemplat:Terjemahan kaku Garis singgung kurva pada suatu titik adalah garis yang memotong kurva pada suatu titik dan memiliki kemiringan saat yang sama dengan kurva pada titik tersebut.

Pendahuluan

Jika menemukan kemiringan garis yang dilewati $(c,f(c))$ maka hal itu bersinggungan dengan $f(x)$ Secara umum, jika anda dapat menemukan lereng $m$ melalui dua poin dengan menghitung perubahan $y(\mathrm{\Delta }y)$ divided by the change in $x(\mathrm{\Delta }x)$, yang dijelaskan oleh rumus

$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$

Namun, dalam kasus ini, hal ini mencoba mencari kemiringan pada satu titik $(c,f(c))$ yang artinya, jika kita menggunakan rumus di atas, kita akan menemukan $m=\frac{0}{0}$, yang tidak ditentukan. Untuk mencari kemiringan garis singgung, hanya perlu menggunakan hasil bagi selisih.

Hasil Bagi Selisih

Hasil bagi perbedaan adalah ekspresi yang menggambarkan kemiringan garis pada satu titik. Cara pertimbangkan rumus kemiringan, yaitu:

$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$

Jika ingin menemukan perubahan Templat:Math dibagi dengan perubahan Templat:Math. Cara pertimbangkan apa yang terjadi jika kita menggunakan poin kita $(c,f(c))$.

Bahwa garis potong tersebut tidak memiliki kemiringan yang sama dengan garis singgung, tetapi memiliki kemiringan yang mendekati kemiringan garis singgung. Kita bisa menghitung kemiringan garis potong dengan mudah:

$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{f(c+\mathrm{\Delta }x)-f(c)}{c+\mathrm{\Delta }x-c}=\frac{f(c+\mathrm{\Delta }x)-f(c)}{\mathrm{\Delta }x}.$

Wawasan besar di sini dari hasil bagi perbedaan adalah sebagai $\mathrm{\Delta }x$ semakin kecil, kemiringan garis potong potong semakin dekat dan semakin dekat dengan kemiringan garis singgung. Dengan menggunakan nilai limit, kita dapat menemukan kemiringan yang tepat dari garis singgung ke $f(x)$ di $x=c$ menggunakan hasil bagi perbedaan.

Definisi

The slope $m$ of the curve $f(x)$ di $x=c$ adalah.

$m=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(c+\mathrm{\Delta }x)-f(c)}{\mathrm{\Delta }x}.$

Catatan:Di atas mengasumsikan bahwa fungsinya $f(x)$ adalah kontinu yang dapat dibedakan di $c$.

Menemukan Garis Singgung

Setelah menemukan kemiringan (menggunakan turunan yang ditunjukkan di atas), dapat menemukan persamaan garis dengan kemiringan tersebut melalui titik dengan cukup mudah, menggunakan persamaan linier dan bentuk kemiringan titik.

Contoh

• Apa kemiringannya $f(x)=x^2$ at the point $(3,9)?$

---

Menggunakan (lihat:Definisi) di atas, kita dapat melihat bahwa gradiennya adalah

$\begin{array}{cc}m& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(3+\mathrm{\Delta }x)-f(3)}{\mathrm{\Delta }x}\\ \\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{(3+\mathrm{\Delta }x{)}^2-3^2}{\mathrm{\Delta }x}\\ \\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{6\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{\mathrm{\Delta }x}\\ \\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }6+\mathrm{\Delta }x\\ \\ & =6.\end{array}$

Jadi, kemiringan garis singgung to $f(x)=x^2$ pada inti $(3,9)$ akan memiliki kemiringan $m=6$.

Lihat pula

• Integral tak tentu