Konstanta Lévy

Dalam matematika, Konstanta Lévy (kadang-kadang dikenal sebagai Konstanta Khinchin-Lévy) muncul dalam ekspresi untuk perilaku asimptot dari penyebut konvergensi pecahan berlanjut. Pada tahun 1935, matematikawan Soviet Aleksandr Khinchin menunjukkan bahwa penyebut qn dari konvergensi ekspansi pecahan berlanjut dari hampir semua bilangan asli memenuhi

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{q_n}^{1/n}=\gamma$

untuk beberapa konstanta γ. Segera setelah itu, pada tahun 1936, ahli matematika Prancis Paul Lévy menemukan ekspresi eksplisit untuk konstanta, yaitu

$\gamma =e^{{\pi }^2/(12\ln 2)}=3.275822918721811159787681882\dots$ Templat:OEIS

Istilah "konstanta Lévy" kadang-kadang digunakan untuk merujuk ${\pi }^2/(12\ln 2)$ (logaritma dari ungkapan di atas), yang kira-kira sama dengan 1,1865691104 ... Nilainya berasal dari ekspektasi asimtotik dari logaritma rasio penyebut berturut-turut, menggunakan distribusi Gauss-Kuzmin. Secara khusus, rasionya memiliki fungsi kerapatan asimptot

$f(z)=\frac{1}{z(z+1)\ln (2)}$

untuk $z\ge 1$ dan nol sebaliknya. Ini memberikan konstanta Lévy sebagai

$\ln (\gamma )=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln (z)}{z(z+1)\ln (2)}dz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (z^{-1})}{(z+1)\ln (2)}dz=\frac{{\pi }^2}{12\ln (2)}$.

Logaritma basis-10 dari konstanta Lévy, yaitu sekitar 0,51532041 ..., adalah setengah dari kebalikan dari batas dalam teorema Lochs.