Fungsi invers

Fungsi Invers

Fungsi Invers (atau fungsi kebalikan) adalah (dalam matematika) fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari suatu fungsi. Misalnya anggap saja $f$ sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B. Bila dapat ditentukan sebuah fungsi $g$ dari himpunan B ke himpunan A sedemikian, sehingga $g(f(a))=a$ dan $f(f(b))=b$ untuk setiap a dalam A dan b dalam B, maka $g$ disebut fungsi invers dari $f$ dan bisa ditulis sebagai $f^{-1}$. Sebelum mengetahui fungsi invers maka harus mengenali dahulu fungsi yang memiliki invers. Fungsi $f(x)$ akan memiliki invers dengan syarat $f(x)$ merupakan fungsi bijektif. Jika fungsi $f$ memetakan anggota himpunan A ke himpunan B maka invers dari fungsi $f$ atau ditulis $f^{-1}$ memetakan himpunan B ke himpunan A. Kemudian ketika suatu bilangan itu dioperasikan dengan inversnya, maka akan menghasilkan identitas. Identitas adalah suatu bilangan yang jika dioperasikan dengan suatu bilangan, maka akan menghasilkan suatu bilangan tersebut dan pada operasi perkalian, identitasnya adalah 1 karena apabila dikalikan dengan suatu bilangan hasilnya suatu bilangan. Sedangkan, pada penjumlahan identitasnya adalah 0 karena bila dijumlahkan dengan bilangan tertentu hasilnya bilangan tertentu. Pada fungsi juga berlaku demikian, sebuah fungsi bila dikomposisikan dengan invers maka menghasilkan fungsi identitas, yaitu $f(x)=x$.

Simetri

Ada kesimetrian antara suatu fungsi dan kebalikannya. Secara khusus, jika Templat:Mvar adalah fungsi yang dapat dibalik dengan domain Templat:Mvar dan rentang Templat:Mvar, maka kebalikannya Templat:Math memiliki domain Templat:Mvar dan rentang Templat:Mvar, serta kebalikan dari Templat:Math adalah fungsi asli Templat:Mvar. Dalam simbol, untuk fungsi Templat:Math dan Templat:Math,

$f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_X$ dan $f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_Y.$

Pernyataan ini adalah konsekuensi dari implikasi bahwa agar Templat:Mvar dapat dibalik, pernyataan itu harus bersifat bijektiv. Sifat involutori dari invers dapat diekspresikan secara ringkas

${\left(f^{-1}\right)}^{-1}=f.$

Kebalikan dari Templat:Math adalah Templat:Math.

Kebalikan dari komposisi fungsi diberikan oleh

$(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.$

Perhatikan bahwa urutan Templat:Mvar dan Templat:Mvar telah dibalik; untuk mengurungkan Templat:Mvar diikuti oleh Templat:Mvar, pertama-tama kita harus membatalkan Templat:Mvar, lalu mengurungkan Templat:Mvar.

Misalnya, maka Templat:Math dan jika Templat:Math. Kemudian komposisinya Templat:Math adalah fungsi yang pertama kali dikalikan tiga lalu ditambahkan lima,

$(g\circ f)(x)=3x+5.$

Untuk membalik proses ini, pertama-tama kita harus mengurangi lima, lalu membaginya dengan tiga,

$(g\circ f{)}^{-1}(x)=\frac{1}{3}(x-5).$

kemudian sisi kanan invers masing-masing yaitu $f^{-1}=\frac{x}{3}$ dan $g^{-1}=x-5$ maka $f^{-1}\circ g^{-1}$ adalah $\frac{1}{3}(x-5).$

Fungsi invers dalam kalkulus

Variabel tunggal kalkulus terutama berkaitan dengan fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real. Fungsi seperti itu sering kali didefinisikan melalui rumus, seperti:

$f(x)=(2x+8{)}^3.$

Fungsi dugaan Templat:Mvar dari bilangan real ke bilangan real memiliki invers, asalkan satu-ke-satu. Artinya, grafik Templat:Math memiliki, untuk setiap kemungkinan nilai Templat:Mvar, hanya satu nilai Templat:Mvar yang sesuai, dan dengan demikian lolos uji garis horizontal.

Tabel berikut menunjukkan beberapa fungsi standar dan invers:

Fungsi Templat:Math	Invers Templat:Math	Catatan
Templat:Math	Templat:Math
Templat:Math	Templat:Math
[[Perkalian|Templat:Math]]	[[divisi (matematika)|Templat:Sfrac]]	Templat:Math
Templat:Sfrac (yaitu Templat:Math)	Templat:Sfrac (yaitu Templat:Math)	Templat:Math
Templat:Math	[[Akar pangkat dua|Templat:Sqrt]] (yaitu Templat:Math)	Templat:Math
[[Pangkat (aljabar)|Templat:Math]]	[[Akar pangkat tiga|Templat:Radic]] (yaitu Templat:Math)	tidak ada batasan Templat:Mvar dan Templat:Mvar
Templat:Math	Templat:Radic (yaitu Templat:Math)	Templat:Math jika Templat:Math genap; bilangan bulat Templat:Math
Templat:Math	Templat:Math	Templat:Math
Templat:Math	Templat:Math	Templat:Math
Templat:Math	Templat:Math	Templat:Math
Templat:Sfrac	Templat:Sfrac	Templat:Math
Templat:Math	Templat:Math	Templat:Math dan Templat:Math
Fungsi trigonometrik	Fungsi trigonometri invers	berbagai batasan (lihat tabel di bawah)
Fungsi hiperbolik	Fungsi hiperbolik invers	berbagai batasan

Fungsi Invers (sel)

Jika Templat:Mvar adalah himpunan, maka fungsi identitas di Templat:Mvar adalah kebalikannya:

${{\mathrm{id}}_X}^{-1}={\mathrm{id}}_X.$

Secara lebih umum, sebuah fungsi Templat:Math sama dengan kebalikannya sendiri, hanya komposisi Templat:Math adalah Templat:Math. Fungsi seperti itu disebut involusi.

Rumus utama untuk Fungsi invers

Salah satu pendekatan untuk menemukan rumus Templat:Math, adalah untuk menyelesaikan persamaan Templat:Math untuk Templat:Mvar. Misalnya, jika Templat:Mvar adalah fungsinya

$f(x)=(2x+8{)}^3$

maka kita harus menyelesaikan persamaan tersebut Templat:Math dari Templat:Mvar:

$\begin{array}{cc}y& =(2x+8{)}^3\\ \sqrt[3]{y}& =2x+8\\ \sqrt[3]{y}-8& =2x\\ \frac{\sqrt[3]{y}-8}{2}& =x.\end{array}$

Demikianlah fungsi invers Templat:Math diberikan oleh rumus

$f^{-1}(y)=\frac{\sqrt[3]{y}-8}{2}.$

Terkadang, kebalikan dari suatu fungsi tidak dapat diekspresikan dengan rumus dengan jumlah suku terbatas. Misalnya, jika Templat:Mvar adalah fungsinya

$f(x)=x-\sin x,$

maka Templat:Mvar adalah bijection, dan karena itu memiliki fungsi invers Templat:Math. rumus untuk invers ini memiliki jumlah suku yang tak terhingga:

$f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{y^{n/3}}{n!}\underset{\theta \to 0}{\lim }\left(\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{\theta }^{n-1}}{\left(\frac{\theta }{\sqrt[3]{\theta -\sin (\theta )}}\right)}^n\right).$

Grafik invers

Grafik dari Templat:Math dan Templat:Math. Garis putus adalah Templat:Math.

Jika Templat:Mvar dapat dibalik, maka grafik fungsinya

$y=f^{-1}(x)$

sama dengan grafik persamaan

$x=f(y).$

Ini identik dengan persamaan Templat:Math yang mendefinisikan grafik Templat:Mvar, kecuali peran Templat:Mvar dan Templat:Mvar telah dibalik. Demikian grafik Templat:Math dapat diperoleh dari grafik Templat:Mvar dengan mengganti posisi sumbu Templat:Mvar dan Templat:Mvar. Ini setara dengan mencerminkan grafik melintasi garis Templat:Math.

Dalam fungsi trigonometri

Templat:Artikel Fungsi trigonometri bersifat periodik, dan karenanya bukan injeksi, jadi tegaskan pada nilai yang tidak memiliki fungsi invers. Namun, pada setiap interval di mana fungsi trigonometri monotonik, seseorang dapat mendefinisikan fungsi invers, dan ini mendefinisikan fungsi trigonometri terbalik sebagai fungsi multinilai. Untuk mendefinisikan fungsi invers yang benar, seseorang harus membatasi domain ke interval di mana fungsinya monotonik, dan dengan demikian bijektiv dari interval ini ke citranya dengan fungsi. Pilihan umum untuk interval ini, yang disebut himpunan nilai pokok s, diberikan dalam tabel berikut. Seperti biasa, fungsi trigonometri terbalik dilambangkan dengan awalan "arc" sebelum nama atau singkatan dari fungsi tersebut.

$\begin{array}{cccc}\text{Fungsi}& \text{Definisi}& \text{Domain}& \text{Kumpulan nilai pokok}\\ y=\arcsin x& \sin y=x& -1\le x\le 1& -\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}\\ y=\arccos x& \cos y=x& -1\le x\le 1& 0\le y\le \pi \\ y=\arctan x& \tan y=x& -\mathrm{\infty }\le x\le \mathrm{\infty }& -\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}\\ y=\mathrm{arccot}x& \cot y=x& -\mathrm{\infty }\le x\le \mathrm{\infty }& 0<y<\pi \\ y=\mathrm{arcsec}x& \sec y=x& x<-1\text{ atau }x>1& 0\le y\le \pi ,y\ne \frac{\pi }{2}\\ y=\mathrm{arccsc}x& \csc y=x& x<-1\text{ atau }x>1& -\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2},y\ne 0\end{array}$

Fungsi invers dan turunan

Sebuah fungsi kontinu Templat:Mvar dapat dibalik pada rentangnya (gambar) jika dan hanya jika meningkat atau menurun (tanpa lokal maksimal dan minimum, contoh dari:

$f(x)=x^3+x$

dapat dibalik, karena turunan Templat:Math selalu positif.

Jika fungsi Templat:Mvar adalah dapat dibedakan pada interval Templat:Mvar dan Templat:Math untuk setiap Templat:Math, lalu kebalikannya Templat:Math dapat dibedakan Templat:Math. Bila Templat:Math, turunan dari invers diberikan oleh teorema fungsi invers,

${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }\left(x\right)}.$

Menggunakan notasi Leibniz rumus di atas dapat ditulis sebagai

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}.$

Hasil ini mengikuti aturan rantai (lihat artikel tentang Fungsi dan diferensiasi invers).

Teorema fungsi invers dapat digeneralisasikan menjadi fungsi dari beberapa variabel. Secara khusus, fungsi multivariabel Templat:Math dapat dibalik di lingkungan titik Templat:Mvar selama matriks Jacobian dari Templat:Mvar pada Templat:Mvar adalah dapat dibalik. Dalam hal ini, Jacobian dari Templat:Math pada Templat:Math adalah invers matriks dari Jacobian dari Templat:Mvar pada Templat:Mvar.

Contoh

• Tentukan $f^{-1}(x)$ dari $f(x)=2x+3$!

$f(x)=2x+3$

$f(x)-3=2x$

$x=\frac{f(x)-3}{2}$

$f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$

• Tentukan $f^{-1}(x)$ dari $f(x)=x^2-6x+15$!

$f(x)=x^2-6x+15$

$f(x)=x^2-6x+9-9+15$

$f(x)=(x-3{)}^2+6$

$f(x)-6=(x-3{)}^2$

$x-3=\pm \sqrt{f(x)-6}$

$x=3\pm \sqrt{f(x)-6}$

$f^{-1}(x)=3\pm \sqrt{x-6}$

• Tentukan $f^{-1}(x)$ dari $f(x)=\frac{2x-7}{5x+3}$!

$f(x)=\frac{2x-7}{5x+3}$

$(5x+3)f(x)=2x-7$

$5xf(x)+3f(x)=2x-7$

$5xf(x)-2x=-3f(x)-7$

$(5f(x)-2)x=-3f(x)-7$

$x=\frac{-3f(x)-7}{5f(x)-2}$

$f^{-1}(x)=\frac{-3x-7}{5x-2}$

• Tentukan $f^{-1}(x)$ dari $f(x)=e^{x+3}$!

$f(x)=e^{x+3}$

$e^{}\log f(x)=x+3$

$x{=}^e\log f(x)-3$ (karena $e^{}\log x=\ln x$)

$f^{-1}(x)=\ln x-3$

• Tentukan $f^{-1}(x)$ dari $f(x){=}^2\log (x^2+8x-25)$!

$f(x){=}^2\log (x^2+8x-25)$

$x^2+8x-25=2^{f(x)}$

$x^2+8x+16-16-25=2^{f(x)}$

$x^2+8x+16-41=2^{f(x)}$

$(x+4{)}^2-41=2^{f(x)}$

$(x+4{)}^2=41+2^{f(x)}$

$x+4=\pm \sqrt{41+2^{f(x)}}$

$x=-4\pm \sqrt{41+2^{f(x)}}$

$f^{-1}(x)=-4\pm \sqrt{41+2^x}$

• Tentukan $f^{-1}(x)$ dari $f(x)=sin(4x+3)-7$!

$f(x)=sin(4x+3)-7$

$f(x)+7=sin(4x+3)$

$4x+3=arcsin(f(x)+7)$

$4x=arcsin(f(x)+7)-3$

$x=\frac{arcsin(f(x)+7)-3}{4}$

$f^{-1}(x)=\frac{arcsin(x+7)-3}{4}$

Lihat pula

• Fungsi (matematika)
• Komposisi fungsi

Bacaan lebih lanjut

• Templat:Cite book Templat:Id icon
• Templat:Cite book Templat:Id icon