Bikuaternion

Bikuaternion (atau kuaternion ganda) adalah bilangan hiperkompleks dan merupakan suatu kuaternion $w+xi+yj+zk$ di mana variabelnya w, x, y, dan z adalah bilangan kompleks. Perkalian elemen dasar bikuaternion {i, i, j, k} sama dengan perkalian elemen dasar kuaternion berbilangan cacah (bilangan riil). Karena ada terdapat 3 jenis bilangan kompleks, maka begitu pula dengan bikuaternion, yaitu:

• Bikuaternion dengan bilangan kompleks biasa
• Bikuaternion hiperbolik dengan bilangan kompleks hiperbolik (split-complex biquaternion)
• Bikuaternion rangkap dengan bilangan rangkap (dual quaternion).

Sesuai dengan aturan aljabar abstrak, ketiga-tiga jenis bikuaternion ini memiliki definisi aritmetis yang sama, dan hanya definisi aritmetis variabelnya yang berbeda.

Definisi

Definisi bikuaternion $q=u(1)+vi+wj+xk$ adalah

di mana: $1,i,j,k$ adalah elemen-elemen kuaternion $u,v,w,x$ adalah variabel kompleks.

Dan juga, unit imaginer di bilangan-bilangan kompleks ini tidak dituliskan dengan huruf i, melainkan dengan huruf h, karena huruf i digunakan untuk melambangkan elemen kedua himpunan kuaternion.

Contoh:

$\begin{array}{c}u=5.0+3.2h\\ v=7.1+0.6h\\ w=4.8+1.9h\\ x=6.7+2.2h\\ \end{array}$

Jika

$q=u(1)+vi+wj+xk$,

maka

$q=(5.0+3.2h)+(7.1+0.6h)i+(4.8+1.9h)j+(6.7+2.2h)k$.

Bentuk matriks

Bikuaternion $q=u(1)+vi+wj+xk$ bisa dituliskan dalam bentuk matriks kompleks 2x2:

$\left[\begin{array}{cc}u+hv& w+hx\\ -w+hx& u-hv\end{array}\right]$.

Contoh: Jika

$\begin{array}{c}u=5.0+3.2h\\ v=7.1+0.6h\\ w=4.8+1.9h\\ x=6.7+2.2h\\ \end{array}$

maka

$=\left[\begin{array}{cc}(5.0+3.2h)+h(7.1+0.6h)& (4.8+1.9h)+h(6.7+2.2h)\\ -(4.8+1.9h)+h(6.7+2.2h)& (5.0+3.2h)-h(7.1+0.6h)\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}5.0+3.2h-0.6+7.1h& 4.8+1.9h-2.2+6.7h\\ -4.8-1.9h-2.2+6.7h& 5.0+3.2h+0.6-7.1h\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}4.4+10.3h& 2.6+8.6h\\ -7.0+4.8h& 5.6-3.9h\end{array}\right]$.

Konjugat

Bikuaternion memiliki 2 jenis konjugat, yaitu:

• bikonjugat (ataupun biskalar minus bivektor): $q^{*}=w-xi-yj-zk$
• konjugat kompleks dari koefisien bikuaternion: $q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }i+y^{\star }j+z^{\star }k$.

di mana:

$x^{\star }=a-bh$ dan $x=a+bh,a,b\in R,h^2=-1$

$y^{\star }=a-bh$ dan $y=a+bh,a,b\in R,h^2=-1$

$z^{\star }=a-bh$ dan $z=a+bh,a,b\in R,h^2=-1$.

Selanjutnya:

$\begin{array}{c}(pq{)}^{*}=q^{*}{p}^{*},\\ (pq{)}^{\star }=p^{\star }{q}^{\star }\\ (q^{*}{)}^{\star }=(q^{\star }{)}^{*}\end{array}$

Lihat juga

• Kuaternion
• Bilangan kompleks

Templat:Matematika-stub