Lihat sumber Uji suku

{{Calculus|Deret}}

'''Uji kekonvergenan''', lengkapnya adalah '''uji kekonvergenan ke-''n'' untuk kedivergenan''' ([[bahasa Inggris]]: "''n''th-term test for divergence") dalam [[matematika]] adalah uji sederhana untuk menguji apakah suatu [[deret (matematika)|deret tak terhingga]] bersifat divergen atau tidak, pada [[elemen (matematika)|elemen]] ke-''n''.<ref name="Kaczor">Kaczor p.336</ref>
* Jika <math>\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0</math> atau jika limit tidak ada, maka <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> bersifat divergen (tidak bertemu di satu titik tertentu).

Banyak penulis tidak menamai uji ini atau memberi nama yang lebih pendek.<ref name="Rudin">Misalnya, Rudin (hal. 60) hanya menyatakan bentuk kontrapositif dan tidak menamainya. Brabenec (hal. 156) menyebutnya hanya '''''nth'' term test''' ("uji suku ke-''n''). Stewart (hal.709) menyebutnya '''Test for Divergence''' ("Uji untuk Divergensi").</ref>

== Penggunaan ==

Tidak seperti [[uji kekonvergenan]], uji suku tidak dapat membuktikan sendiri bahwa suatu deret itu konvergen. Khususnya, kebalikan uji ini tidak benar. Sebaliknya, yang dapat dikatakan hanya:
* Jika <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0,</math> maka <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> dapat bersifat atau tidak bersifat konvergen. Dengan kata lain, jika <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0,</math> uji tersebut tidak mempunyai kesimpulan.

[[:en:Harmonic series (mathematics)|Deret harmonik]] merupakan contoh klasik deret divergen di mana elemen-elemennya mempunyai limit nol..<ref>Rudin p.60</ref> Kelas yang lebih umum dari [[:en:Harmonic series (mathematics)|deret-''p'']],
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},</math>

memberi contoh hasil yang mungkin didapat dari uji ini:
* Jika ''p'' ≤ 0, maka uji suku mengidentifikasi bahwa deret itu divergen.
* Jika 0 < ''p'' ≤ 1, maka uji suku itu tidak mempunyai kesimpulan, tetapi deret itu divergen berdasarkan [[uji integral untuk kekonvergenan]]
* Jika 1 < ''p'', maka uji suku itu tidak mempunyai kesimpulan, tetapi deret itu konvergen berdasarkan.

== Bukti ==
Uji ini biasanya dibuktikan dalam bentuk [[:en:contrapositive|kontrapositif]]:
* Jika <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergen, maka <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0.</math>

=== Manipulasi limit ===
Jika ''s''<sub>''n''</sub> merupakan jumlah parsial deret itu, maka asumsi bahwa deret itu konvergen berarti bahwa
:<math>\lim_{n\to\infty} s_n = s</math>
untuk sejumlah bilangan ''s''. Maka<ref>Brabenec p.156; Stewart p.709</ref>
:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1}) = \lim_{n\to\infty} s_n - \lim_{n\to\infty} s_{n-1} = s-s = 0.</math>

=== Kriteria Cauchy ===
Asumsi bahwa suatu deret adalah konvergen berarti sudah lolos [[uji kekonvergenan Cauchy]] untuk setiap <math>\varepsilon>0</math> terdapat bilangan ''N'' sedemikian rupa sehingga

:<math>|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}|<\varepsilon</math>
berlaku untuk semua ''n'' > ''N'' dan ''p'' ≥ 1. Menetapkan nilai ''p'' = 1 memulihkan definisi pernyataan itu<ref>Rudin (pp.59-60) menggunakan ide bukti ini, dimulai dengan suatu pernyataan berbeda dari kriteria Cauchy.</ref>
:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = 0.</math>

== Ruang lingkup ==
Versi paling sederhana dari uji suku berlaku untuk deret tak terhingga [[bilangan real]]. Kedua bukti di atas, berdasarkan kriteria Cauchy atau kelinearan limit, juga berlaku untuk [[ruang vektor bernorma]] yang lain.<ref>Hansen p.55; Șuhubi p.375</ref>

== Lihat pula ==
* [[Deret (matematika)]]
* [[Elemen (matematika)]]

== Referensi ==
{{reflist}}

== Pustaka ==
* {{cite book|last=Brabenec|first=Robert|title=Resources for the study of real analysis|year=2005|publisher=MAA|id=ISBN 0-88385-737-5}}
* {{cite book|last=Hansen|first=Vagn Lundsgaard|title=Functional Analysis: Entering Hilbert Space|url=https://archive.org/details/functionalanalys0000hans|year=2006|publisher=World Scientific|id=ISBN 981-256-563-9}}
* {{cite book|author=Kaczor, Wiesława and Maria Nowak|title=Problems in Mathematical Analysis|year=2003|publisher=American Mathematical Society|id=ISBN 0-8218-2050-8}}
* {{cite book|last=Rudin|first=Walter|authorlink=Walter Rudin|title=Principles of mathematical analysis|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|edition=3e|year=1976|origyear=1953|publisher=McGraw-Hill|id=ISBN 0-07-054235-X}}
* {{cite book|last=Stewart|first=James|title=Calculus: Early transcendentals|edition=4e|year=1999|publisher=Brooks/Cole|id=ISBN 0-534-36298-2}}
* {{cite book|last=Șuhubi|first=Erdoğan S.|title=Functional Analysis|year=2003|publisher=Springer|id=ISBN 1-4020-1616-6}}
<!--[[Category:Articles containing proofs]]-->
{{Authority control}}

[[Kategori:Matematika]]