Lihat sumber Transformasi Fourier

{{Transformasi Fourier}}

'''Transformasi Fourier''', dinamakan atas [[Joseph Fourier]], adalah sebuah [[transformasi integral]] yang menyatakan-kembali sebuah fungsi dalam [[fungsi basis]] [[fungsi trigonometri|sinusoidal]], yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien ("amplitudo"). Ada banyak variasi yang berhubungan-dekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan.
:''Lihat juga: [[Daftar transformasi yang berhubungan dengan Fourier]].''

== Definisi ==
Transformasi Fourier dari suatu fungsi {{mvar|f}} secara tradisional dilambangkan <math> \hat{f}</math>, dengan menambahkan [[sirkumfleks]] ke simbol fungsi. Ada beberapa [[konvensi#Lainnya|konvensi umum]] untuk mendefinisikan transformasi Fourier dari sebuah fungsi [[Integral Lebesgue|integrable]] <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}</math>.<ref>{{harvnb|Kaiser|1994|p=29}}.</ref><ref>{{harvnb|Rahman|2011|p=11}}.</ref> One of them is

{{Equation box 1
|indent =
|title=
|equation = {{NumBlk||<math>\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{-2\pi i x \xi}\,dx,</math>|{{EquationRef|Persamaan.1}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

untuk semua [[bilangan riil]] {{mvar|[[Xi (letter)|ξ]]}}.

Alasan tanda negatif dalam [[Eksponensiasi|eksponen]] adalah persamaan dalam [[teknik elektro]] menjadi [[fasor|, yaitu]]
by <math>f(x) = e^{2 \pi i \xi_0 x}</math>  sinyal dengan fase dan frekuensi awal nol <math>\xi_0.</math><ref>{{cite web | title = Tandatangani Konvensi dalam Gelombang Elektromagnetik (EM) | url = https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-007-electromagnetic-energy-from-motors-to-lasers-spring-2011/readings/MIT6_007S11_sign.pdf}}</ref><ref group="remark">Fungsi dari <math>f(x) = \cos(2 \pi \xi_0 x) \equiv \cos(-2 \pi \xi_0 x)</math> juga merupakan sinyal dengan frekuensi <math>\xi_0</math>, tetapi integral jelas menghasilkan tanggapan yang identik pada keduanya <math>\xi_0</math> dan <math>-\xi_0</math>, yang juga konsisten dengan [[rumus Euler]]:  <math>\cos(2 \pi \xi_0 x) \equiv \tfrac{1}{2} e^{i 2 \pi \xi_0 x} + \tfrac{1}{2} e^{-i 2 \pi \xi_0 x}.</math></ref>  Konvensi tanda negatif menyebabkan produk <math>e^{2 \pi i \xi_0 x} e^{-2\pi i \xi x}</math> to be 1 (frekuensi nol) kapan <math>\xi = \xi_0,</math> menyebabkan integral menyimpang. Hasilnya adalah [[Fungsi delta Dirac]] di <math>\xi = \xi_0</math>, yang merupakan satu-satunya komponen frekuensi dari sinyal [[sinusoidal]] <math>e^{2 \pi i \xi_0 x}.</math>

Ketika variabel independen {{mvar|x}} mewakili ''waktu'', variabel transformasi {{mvar|ξ}} mewakili [[frekuensi]] (contohnya, jika waktu diukur dalam detik, maka frekuensi dalam [[hertz]]). Dalam kondisi yang sesuai, {{mvar|f}} ditentukan oleh <math>\hat{f}</math> melalui transformasi terbalik:

{{Equation box 1
|indent =
|title=
|equation = {{NumBlk||<math>f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat f(\xi)\ e^{2 \pi i x \xi}\,d\xi,</math>|{{EquationRef|Persamaan.2}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

untuk bilangan riil untuk fungsi {{mvar|x}}.

Pernyataan dari mana {{mvar|f}} dapat menentukan <math>\hat{f}</math> dikenal sebagai [[Teorema inversi Fourier]], dan pertama kali diperkenalkan di [[Joseph Fourier|Fourier]] ''Analytical Theory of Heat'',<ref>{{harvnb|Fourier|1822|p=525}}.</ref><ref>{{harvnb|Fourier|1878|p=408}}.</ref> meskipun apa yang akan dianggap sebagai bukti menurut standar modern tidak diberikan sampai lama kemudian.<ref>{{harv|Jordan|1883}} membuktikan pada hal. 216–226 [[Teorema inversi Fourier#Teorema integral Fourier|Teorema integral Fourier]] sebelum mempelajari deret Fourier.</ref><ref>{{harvnb|Titchmarsh|1986|p=1}}.</ref> Fungsi {{mvar|f}} dan <math>\hat{f}</math> sering disebut sebagai ''pasangan integral Fourier'' atau ''pasangan transformasi Fourier''.<ref>{{harvnb|Rahman|2011|p=10}}.</ref>

Untuk konvensi dan notasi umum lainnya, termasuk menggunakan [[frekuensi sudut]] {{mvar|[[Omega|ω]]}} alih-alih [[frekuensi]] {{mvar|[[Xi (letter)|ξ]]}}, lihat [[#Konvensi lainnya|Konvensi lain]] dan [[#Notasi lainnya|Notasi lainnya]] di bawah. The [[#Transformasi Fourier pada ruang Euklides|Transformasi Fourier pada ruang Euklides]] diperlakukan secara terpisah, di mana variabel {{mvar|x}} sering mewakili posisi dan momentum {{mvar|ξ}}. Konvensi yang dipilih dalam artikel ini adalah yang [[analisis harmonik]], dan dicirikan sebagai konvensi unik sehingga transformasi Fourier [[Operator satuan|keduanya]] pada {{math|''L''<sup>2</sup>}} dan homomorfisme aljabar dari {{math|''L''<sup>1</sup>}} untuk {{math|''L''<sup>∞</sup>}}, tanpa menormalkan kembali ukuran Lebesgue.<ref>{{harvnb|Folland|1989}}.</ref>

Banyak karakterisasi lain dari transformasi Fourier ada. Misalnya, seseorang menggunakan [[Teorema Stone–von Neumann]]: Transformasi Fourier adalah kesatuan unik [[intertwiner]] untuk representasi simplektis dan Euklides Schrödinger dari [[kelompok Heisenberg]].

== Pengertian ==
Ada beberapa pengertian mengenai definisi transformasi Fourier ƒ̂ dari sebuah fungsi integrasi {{nowrap|ƒ: '''R''' → '''C'''}}.<ref>
{{citation
 |first=Gerald
 |last=Kaiser
 |title=A Friendly Guide to Wavelets
 |year=1994
 |publisher=Birkhäuser
 |isbn=0-8176-3711-7
 |url=http://books.google.com/books?id=rfRnrhJwoloC&pg=PA29&dq=%22becomes+the+Fourier+%28integral%29+transform%22&hl=en&sa=X&ei=osO7T7eFOqqliQK3goXoDQ&ved=0CDQQ6AEwAA#v=onepage&q=%22becomes%20the%20Fourier%20%28integral%29%20transform%22&f=false}}
</ref> Secara umum, definisi transformasi Fourier adalah:

:<math>\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx</math>, &nbsp; untuk setiap [[bilangan riil]] ξ.

== Sejarah ==
{{main|Analisis Fourier#Sejarah|Deret Fourier#Sejarah}}
Pada tahun 1822, [[Joseph Fourier]] menunjukkan bahwa beberapa fungsi dapat ditulis sebagai jumlah harmonisa yang tak terbatas.<ref>{{harvnb|Fourier|1822}}.</ref>

== Catatan kaki ==
{{reflist}}

== Referensi ==
* Smith, Steven W. ''The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing'', 2nd edition. San Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 0-9660176-3-3. ''(also available online: [http://www.dspguide.com/pdfbook.htm])''
* A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, ''Handbook of Integral Equations'', CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4

== Lihat pula ==

* [[Transformasi Nomor Teoritik]]
* [[Transformasi Laplace]]
* [[Transformasi Laplace dua sisi]]
* [[Transformasi Mellin]]
* [[Fungsi Orthogonal]]
* [[Wavelet]]
* [[Chirplet]]
* [[Fungsi karakteristik]] (teori kemungkinan)
* [[Bispectrum]]
* [[Spektrofotometer FTIR|Spektrofotometer Fourier Transform Infra Red]]

== Pranala luar ==
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=6WA23CFB0C.3&+lang=en&+module=tool%2Fanalysis%2Ffourierlaplace.en Online Computation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20051110234448/http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=6WA23CFB0C.3&+lang=en&+module=tool%2Fanalysis%2Ffourierlaplace.en |date=2005-11-10 }} of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm Tables of Integral Transforms] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

[[Kategori:Analisis Fourier]]
[[Kategori:Konsep dalam fisika]]
[[Kategori:Transformasi integral]]
[[Kategori:Pengolahan sinyal digital]]
[[Kategori:Analisis angka]]