Lihat sumber Titik tetap (matematika)

{{Terjemah|Inggris|date=20 Desember 2022|topik=Matematika}}
{{Short description|Elemen yang dipetakan ke dirinya sendiri oleh sebuah fungsi matematika}}
{{hatnote|1=Jangan dikelirukan dengan [[titik stasioner]] yaitu titik sehingga <math>f'(x)=0</math>, atau dengan [[aritmatika titik tetap]], sebentuk aritmatika dengan presisi terbatas dalam [[komputasi (teknologi informasi)|komputasi]].}}
[[Berkas:Fixed_point_example.svg|ka|jmpl|Suatu fungsi dengan tiga titik tetap (setidaknya yang tampak dalam grafik).]]
Dalam matematika, '''titik tetap''' (juga dikenal sebagai '''titik invarian'''<ref>{{Cite web|last=Fitri Merry Yuliana, S.Pd, M.Si dkk|date=2014|title=Refleksi|url=https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/REFLEKSI-2014/konten4.html|website=Sumber Belajar Kemdikbud|access-date=2022-12-28}}</ref>) adalah nilai yang tetap sama setelah suatu transformasi diperlakukan atas titik itu. Lebih tepatnya, titik tetap dari [[Fungsi (matematika)|fungsi]] yang didefinisikan dari suatu [[Himpunan (matematika)|himpunan]] ke dirinya sendiri adalah [[Elemen (matematika)|titik]] (anggota) pada himpunan tersebut yang [[Peta (matematika)|dipetakan]] ke dirinya sendiri,<ref>{{Cite book|last=Vanberg|first=Dale|last2=Purcell|first2=Edwin J.|last3=Rigdon|first3=Steven E.|date=2017|title=Kalkulus|location=Jakarta|publisher=Erlangga|translator-last=I Nyoman Susila, PhD|url-status=live}}</ref>.

Sebagai contoh, pada bidang, transformasi [[Pantulan|pencerminan]] memiliki titik tetap yaitu titik-titik sepanjang sumbu pencerminannya; perputaran memiliki titik tetap pada sumbu perputarannnya, pergeseran tidak memiliki titik tetap.<ref>{{Cite book|last=Ryan|first=Patrick J.|date=1986|url=https://www.cambridge.org/core/books/euclidean-and-noneuclidean-geometry/21865E6D4AFFCCDE36118633A7114D24|title=Euclidean and Non-Euclidean Geometry: An Analytic Approach|location=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-27635-1|doi=10.1017/cbo9780511806209}}</ref> Lagi, fungsi ''kebalikan <math display="inline">\frac{1}{x}</math>'' punya dua titik tetap, yakni <math>x=-1</math> dan <math>x=1</math>.

== Titik tetap suatu fungsi ==

Secara formal, misalkan <math>f(x)</math> suatu fungsi yang [[Ranah fungsi|daerah asalnya]] adalah suatu [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>X</math>, atau [[himpunan bagian]] dari <math>X</math>, dan daerah sekawannya adalah <math>X</math> juga. ''Titik tetap'' fungsi <math>f(x)</math> adalah suatu [[Elemen (matematika)|titik]] (anggota) pada himpunan <math>X</math> yang [[Peta (matematika)|dipetakan]] ke dirinya sendiri, yakni <math>a\in X</math> sedemikian sehingga <math>f(a)=a</math>.<ref>{{Cite book|last=Granas|first=Andrzej|last2=Dugundji|first2=James|date=2003|url=http://link.springer.com/10.1007/978-0-387-21593-8|title=Fixed Point Theory|location=New York, NY|publisher=Springer New York|isbn=978-1-4419-1805-5|series=Springer Monographs in Mathematics|doi=10.1007/978-0-387-21593-8}}</ref>

Sebagai contoh, jika <math>f(x)</math> terdefinisi pada [[bilangan riil]] dengan<math display="block"> f(x) = x^2 - 3 x + 4,</math>
maka 2 adalah titik tetap dari <math>f(x)</math>, karena <math>f(2)=2</math>.

Perlu diperhatikan bahwa tidak semua fungsi punya titik tetap: misalnya, {{math|1=''f''(''x'') = ''x'' + 1}}, tidak memiliki titik tetap, sebab <math>x</math> tidak akan pernah sama dengan {{math|''x'' + 1}} untuk setiap bilangan riil. 

Secara grafik, jika <math>x</math> suatu titik tetap fungsi <math>f(x)</math> maka titik <math>(x,f(x))</math> berada pada garis <math>y=x</math>, atau dengan kata lain, [[grafik fungsi]] <math>f(x)</math> berpotongan dengan garis <math>y=x</math> di titik <math>(x,f(x))</math>.

=== Iterasi titik tetap ===
{{Main|Iterasi titik tetap}}
''Iterasi (lelaran<ref>{{Cite book|last=Rinaldi Munir|date=2015|title=Metode Numerik|location=Bandung|publisher=Informatika|url-status=live}}</ref>) titik tetap'' adalah salah satu [[analisis numerik|metode numerik]] untuk mencari akar-akar suatu fungsi, dengan jalan mencari titik tetap fungsi tersebut. Metode ini disandarkan pada prinsip [[pemetaan kontraksi]]. Gagasannya, diberikan suatu fungsi <math>f</math> dengan domain dan kodomain yang sama, beserta titik <math>x_0</math> pada domain <math>f</math>, maka iterasi titik tetapnya ialah

<math display="block">x_{n+1} = f(x_n), \, n = 0, 1, 2, \dots</math>

yang menghasilkan [[barisan]] <math>x_0, x_1, x_2, \dots</math> dari penerapan fungsi teriterasi <math>x_0, f(x_0), f(f(x_0)), \dots</math> yang diharapkan akan [[limit (matematika)|konvergen]] ke suatu titik <math>x</math>. Apabila <math>f</math> kontinu, maka dapat dibuktikan kalau nilai <math>x</math> yang telah diperoleh adalah titik tetap dari <math>f</math>.

Titik-titik yang kembali ke nilai yang sama setelah suatu iterasi berhingga dari suatu fungsi disebut ''titik periodik''. ''Titik tetap'' adalah titik periodik dengan periode sama dengan satu.

== Titik tetap dari suatu tindakan grup ==
{{Refimprove section|date=Desember 2022}}
* diberikan grup ''G'' yang bertindak himpunan ''X'' dengan [[tindakan grup (matematika)|tindakan grup]] <math>\cdot</math> dari kiri. Elemen ''x'' di ''X'' disebut sebagai titik tetap dari ''g'' jika <math>g \cdot x = x</math>.

* Misalkan ''f'' adalah suatu [[automorfisme]] dari [[grup (matematika)|grup]] ''G''. Maka, himpunan <math>G^f</math> yang didefinisikan sebagai
<math display=block>G^f = \{ g \in G \mid f(g) = g \}.</math>
: merupakan [[subgrup]] dari ''G'', yang biasa dikenal sebagai [[Subgrup titik tetap]]

* Misalkan ''f'' adalah suatu [[automorfisme]] dari [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] ''R''. Maka, himpunan <math>R^f</math> yang didefinisikan sebagai
<math display=block>R^f = \{ r \in R \mid f(r) = r \}.</math>
: merupakan [[subgelanggang]] dari ''R'', yang biasa dikenal sebagai [[Subgelanggang titik tetap]]

* Dalam [[teori Galois]], himpunan titik-titik tetap dari himpunan [[automorfisme|automorfisme lapangan]] adalah [[lapangan (matematika)|lapangan]] yang disebut [[medan tetap]] dari himpunan automorfisme.

== Teorema titik tetap ==
{{Main|Teorema titik tetap}}
Teorema titik tetap adalah hasil yang menyatakan bahwa setidaknya terdapat satu titik tetap, dalam suatu kondisi tertentu.<ref>{{cite book
 | editor     = Brown, R. F.
 | title      = Fixed Point Theory and Its Applications
 | trans-title= Teori Titik Tetap beserta Penerapannya
 | lang       = en
 | year       = 1988
 | publisher  = American Mathematical Society
 | isbn       = 0-8218-5080-6
}}</ref> Beberapa penulis mengklaim bahwa hasil semacam ini adalah salah satu yang secara umum paling berguna dalam matematika.<ref>{{cite book
 | author1      = Dugundji, James
 | author2      = Granas, Andrzej
 | title        = Fixed Point Theory
 | trans-title  = Teori Titik Tetap
 | lang         = en
 | year         = 2003
 | publisher    = Springer-Verlag
 | isbn         = 0-387-00173-5
}}</ref>

== Penerapan ==
{{more citations needed section|date=Desember 2022}}
Dalam banyak bidang, konsep [[titik kesetimbangan|Ekuilibrium]] atau [[teori stabilitas|stabilitas]] adalah konsep dasar yang bisa dijelaskan dengan konsep titik tetap. Beberapa contohnya adalah sebagai berikut.

* dalam [[geometri proyektif]], titik tetap suatu [[homografi]] disebut sebagai '''titik ganda''' ({{Lang-en|'''double point'''}}).<ref>{{cite book
|author-link=H. S. M. Coxeter
|first      =H. S. M.
|last       =Coxeter
|year       =1942
|title      =Non-Euclidean Geometry
|trans-title=Geometri Non-Euclides
|lang       =en
|page       =36
|publisher  =[[University of Toronto Press]]
}}</ref><ref>{{cite book
|author-link=G. B. Halsted
|first      =George Bruce
|last       =Halsted
|year       =1906
|title      =Synthetic Projective Geometry
|url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.204227
|trans-title=Geometri Proyektif Sintetis
|lang       =en
|page       =[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.204227/page/n32 27]}}</ref>
* Dalam [[ilmu ekonomi]], [[kesetimbangan Nash]] dari [[teori permainan]] adalah titik tetap dari [[tanggapan terbaik|korespondensi tanggapan terbaik]] permainan tersebut. [[John Forbes Nash Jr.|John Nash]] mengeksploitasi [[teorema titik tetap Kakutani]] dalam seminal paper miliknya, yang membuatnya memenangkan hadiah nobel di bidang ekonomi.
* [[Kompilator]] [[bahasa pemrograman]] menggunakan perhitungan titik tetap untuk analisis program, misalnya dalam [[analisis aliran data]], yang terkadang diperlukan untuk [[Optimisasi program|optimalisasi kode]]. Titik tetap juga merupakan konsep inti yang digunakan oleh program umum dalam metode analisis [[penafsiran abstrak]].<ref>{{Cite web
|url=https://www.di.ens.fr/~cousot/COUSOTpapers/POPL77.shtml
|title = P. Cousot & R. Cousot, Abstract interpretation: A unified lattice model for static analysis of programs by construction or approximation of fixpoints}}</ref>
* Vektor dari nilai-nilai [[PageRank]] dari semua [[laman web]] adalah titik tetap dari [[peta linier|transformasi linier]] yang diperoleh dari struktur pranala [[Waring Wera Wanua]].
* Distribusi Stasioner suatu [[rantai Markov]] adalah titik tetap dari fungsi peluang transisi satu langkah.
* Logikawan [[Saul Kripke]] menggunakan titik tetap dalam teori tentang kebenaran miliknya. Dia menunjukkan bagaimana seseorang dapat membuat predikat yang hanya benar sebagian (predikat yang tidak terdefinisi nilai kebenarannya, untuk tipe kalimat yang bermasalah, seperti "''Kalimat ini tidaklah benar''"), dengan mendefinisikan "kebenaran" secara rekursif, starting from the segment of a language that contains no occurrences of the word, and continuing until the process ceases to yield any newly well-defined sentences (proses ini memakan [[himpunan terhitung|terhitung tak-berhingga]] langkah). That is, for a language B, misalkan B′ (dibaca "B-aksen") adalah language generated by adding to L, for each sentence S in B, the sentence "''S is true.''" Titik tetap akan tercapai apabila B′ itu B; pada titik ini, kalimat seperti "''Kalimat ini tidaklah benar''" tetap tidak terdefinisi, sehingga, menurut Kripke, the theory is suitable for a natural language that contains its ''own'' truth predicate.

== Lihat pula ==
{{Div col|colwidth=25em}}
*[[Siklus dan titik tetap]] suatu permutasi
*[[Nilai_dan_vektor_eigen#Definisi_formal|Vektor eigen]]
*[[Titik kesetimbangan|Ekuilibrium]]
*[[Transformasi_Möbius#Titik_tetap|Titik tetap pada transformasi Möbius]]
*[[Idempoten]]
*[[komposisi tak hingga dari fungsi analitik]]
*[[Invarian (matematika)]]
{{div col end}}

== Catatan ==
{{reflist}}

== Pranala luar ==
* [http://ijpam.eu/contents/2012-78-3/7/7.pdf Solusi Elegan untuk Menggambar Titik Tetap] (dalam [[Bahasa Inggris|bahasa inggris]])
{{Math-stub}}
[[Category:Fixed points (mathematics)| ]]
[[Category:Game theory]]