Lihat sumber Titik akumulasi

{{Short description|Titik gugus pada ruang topologis}}
{{redirect|Titik limit|penggunaan dimana kata "titik" bersifat opsional|Limit (matematika)|dan|Limit#Matematika}}
Dalam [[matematika]], '''titik limit''',<ref>{{cite web
| url              = https://pasti.kemdikbud.go.id/istilah_listdet.php?id=48475&char=L&page=60
| website          = Pasti (Padanan Istilah)
| title            = limit point
| publisher        = Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa
| access-date      = 9 Desember 2024
}}</ref> '''titik akumulasi''',<ref>{{cite web
| url              = https://pasti.kemdikbud.go.id/istilah_listdet.php?id=44070&char=A&page=24
| website          = Pasti (Padanan Istilah)
| title            = accumulation point
| publisher        = Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa
| access-date      = 9 Desember 2024
}}</ref> atau '''titik gugus'''<ref>{{cite web
| url              = https://pasti.kemdikbud.go.id/istilah_listdet.php?id=45349&char=C&page=136
| website          = Pasti (Padanan Istilah)
| title            = cluster point
| publisher        = Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa
| access-date      = 9 Desember 2024
}}</ref> dari suatu [[himpunan (matematika)|himpunan]] <math>H</math> pada [[ruang topologis]] <math>X</math> adalah suatu titik <math>x</math> yang dapat "didekati" dengan titik-titik pada <math>H</math>, dalam artian bahwa setiap [[Persekitaran (matematika)|persekitaran]] dari <math>x</math> memuat titik dari <math>H</math> selain <math>x</math> itu sendiri. Titik limit dari himpunan <math>H</math> tidak harus termuat pada himpunan <math>H</math>.

Terdapat konsep yang berkaitan erat untuk [[barisan]]. '''Titik gugus''' atau '''titik akumulasi''' dari suatu [[barisan]] <math>\langle x_n \rangle</math> pada [[ruang topologis]] <math>X</math> adalah suatu titik <math>x</math> sedemikian sehingga, untuk setiap persekitaran <math>S</math> dari <math>x</math>, terdapat [[takhingga]] banyaknya [[bilangan asli]] <math>n</math> yang memenuhi <math>x_n \in S</math>. Definisi titik gugus atau titik akumulasi dari suatu barisan ini dapat diperumum untuk [[Jaring (matematika)|jaring]] dan [[Filter (teori himpunan)|filter]].

Konsep bernama serupa mengenai [[Limit barisan|<em>titik limit dari suatu barisan</em>]]{{sfn|Dugundji|1966|pp=209-210}} (berturut-turut, [[Filter (topologi)|titik limit dari suatu filter]],{{sfn|Bourbaki|1989|pp=68-83}} [[Jaring (matematika)|titik limit dari suatu jaring]]) berdasarkan definisi, mengacu kepada suatu titik sedemikian sehingga [[limit barisan|barisannya konvergen]] (berturut-turut, [[Filter (topologi)|filternya konvergen]], [[Jaring (matematika)|jaringnya konvergen]]) ke titik tersebut. Walaupun "titik limit dari suatu himpunan" bersinonim dengan "titik gugus/akumulasi dari suatu himpunan", hal ini tidaklah berlaku untuk barisan (maupun jaring ataupun filter). Dengan kata lain, "titik limit dari suatu barisan" <em>bukanlah</em> sinonim dari "titik gugus/akumulasi dari suatu barisan".

Titik limit jangan dikelirukan dengan [[titik adheren]] (yang dikenal juga sebagai titik [[Ketertutupan (topologi)|penutup]]), yaitu suatu titik <math>x</math> yang setiap persekitarannya memuat ''suatu'' titik dari himpunan <math>H</math>. Berbeda dengan titik limit, titik adheren <math>x</math> pada <math>H</math> mungkin saja memiliki suatu persekitaran yang tidak memuat titik selain <math>x</math> itu sendiri. Titik limit dapat [[karakterisasi (matematika)|dikarakterkan]] sebagai titik adheren yang bukan merupakan [[titik terisolasi]].

Titik limit juga jangan dikelirukan dengan [[batas (topologi)|titik batas]]. Sebagai contoh, <math>0</math> merupakan titik batas (namun bukan merupakan titik limit) dari [[singleton (matematika)|singleton]] <math>\left\{ 0 \right\}</math> pada [[garis bilangan|<math>\mathbb{R}</math>]] dengan [[ruang koordinat riil#Sifat topologis|topologi baku]]. Di sisi lain, <math>\tfrac{1}{2}</math> merupakan titik limit (namun bukan merupakan titik batas) dari [[Selang (matematika)|selang]] <math>\left[ 0, \, 1 \right]</math> pada <math>\mathbb{R}</math> dengan topologi baku.<ref>{{Cite web
| date             = 2021-01-13
| language         = en
| title            = Difference between boundary point & limit point.
| trans-title      = Perbedaan antara titik batas & titik limit.
| url              = https://math.stackexchange.com/a/1290541}}</ref><ref>{{Cite web
| date             = 2021-01-13
| title            = What is a limit point
| trans-title      = Apa itu titik limit
| language         = en
| url              = https://math.stackexchange.com/a/663768}}</ref><ref>{{Cite web
| date             = 2021-01-13
| title            = Examples of Accumulation Points
| trans-title      = Contoh dari titik akumulasi
| language         = en
| url              = https://www.bookofproofs.org/branches/examples-of-accumulation-points/
| access-date      = 2021-01-14
| archive-date     = 2021-04-21
| archive-url      = https://web.archive.org/web/20210421215655/https://www.bookofproofs.org/branches/examples-of-accumulation-points/
| url-status       = dead}}</ref> Untuk contoh titik limit yang tidak terlalu trivial, lihat takarir pertama.

Konsep ini memperumum gagasan [[limit (matematika)|limit]], dan menunjang pengertian konsep-konsep seperti [[himpunan tertutup]] dan [[Ketertutupan (topologi)|penutup himpunan]]. Suatu himpunan dikatakan tertutup [[jika dan hanya jika]] himpunan tersebut memuat semua titik limitnya, dan operasi penutup topologis dapat diartikan sebagai operasi yang memperkaya suatu himpunan dengan menggabungkan himpunan tersebut dengan titik-titik limitnya.

== Definisi ==
=== Titik akumulasi dari himpunan ===
[[File:Rational sequence with 2 accumulation points.svg|thumb|400px|Terhadap [[Ruang topologis#Contoh-contoh ruang topologis|topologi Euklides]], barisan [[bilangan rasional]] <math>x_n = \left( -1 \right)^n \dfrac{n}{n + 1}</math> tidak memiliki [[Limit barisan#Ruang topologis|limit]] (dengan kata lain, barisannya tidak konvergen), namun memiliki dua titik akumulasi (yang dianggap sebagai ''titik limit'' disini), yaitu <math>-1</math> dan <math>1</math>. Akibatnya, dengan memandang suku barisannya sebagai suatu himpunan, kedua titik ini merupakan titik limit dari himpunan <math>H = \left\{ \left. \left( -1 \right)^n \dfrac{n}{n + 1} \; \right| \, n \in \mathbb{N} \right\}</math>.]]
Misalkan <math>H</math> adalah himpunan bagian dari [[ruang topologis]] <math>X</math>. Suatu titik <math>x \in X</math> disebut sebagai '''titik limit''' atau '''titik gugus''' atau {{Visible anchor|'''titik akumulasi dari himpunan'''}} <math>H</math> jika setiap [[Persekitaran (matematika)|persekitaran]] dari <math>x</math> memuat setidaknya satu titik pada <math>H</math> selain <math>x</math> itu sendiri.

Perhatikan bahwa tidak ada perbedaan jika persyaratan ini dibatasi hanya untuk persekitaran terbuka. Seringkali lebih mudah untuk menggunakan definisi versi "persekitaran terbuka" untuk menunjukkan bahwa suatu titik merupakan titik limit, dan kemudian menggunakan definisi versi "persekitaran secara umum" untuk mencari fakta/sifat dari titik limit tersebut.

[[File:Diagonal argument.svg|thumb|Sebuah barisan yang [[enumerasi|mencacah]] semua [[bilangan rasional]] positif. Setiap [[bilangan riil]] merupakan titik gugus.]]
Jika <math>X</math> merupakan [[ruang T1|ruang <math>T_1</math>]] (seperti [[ruang metrik]]), maka <math>x \in X</math> merupakan titik limit dari <math>H</math> [[jika dan hanya jika]] setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat takhingga banyaknya titik pada <math>H</math>.{{sfn|Munkres|2000|pp=97-102}} Faktanya, ruang <math>T_1</math> [[karakterisasi (matematika)|dikarakterkan]] oleh sifat ini.

Jika <math>X</math> merupakan [[ruang metrik]] atau [[ruang pertama-terhitung]] (atau secara umum, [[ruang Fréchet–Urysohn]]), maka <math>x \in X</math> merupakan titik limit dari <math>H</math> [[jika dan hanya jika]] terdapat suatu [[barisan]] titik-titik pada <math>H \setminus \left\{ x \right\}</math> yang [[limit barisan|limitnya]] ialah <math>x</math>. Faktanya, ruang Fréchet–Urysohn [[karakterisasi (matematika)|dikarakterkan]] oleh sifat ini.

Himpunan seluruh titik limit dari <math>H</math> disebut [[Himpunan turunan (matematika)|himpunan turunan]] dari <math>H</math>.

Titik akumulasi dapat dibedakan menjadi beberapa jenis, diantaranya:
# Jika setiap persekitaran dari titik <math>x</math> memuat [[takhingga]] banyaknya titik pada <math>H</math>, maka <math>x</math> merupakan titik limit berjenis khusus yang disebut '''{{visible anchor|titik akumulasi ω}}''' dari <math>H</math>.
# Jika setiap persekitaran dari titik <math>x</math> memuat [[himpunan taktercacah|takterhitung banyaknya]] titik pada <math>H</math>, maka <math>x</math> merupakan titik limit berjenis khusus yang disebut '''[[titik kondensasi]]''' dari <math>H</math>.
# Jika [[irisan (teori himpunan)|irisan]] dari himpunan <math>H</math> dengan setiap persekitaran dari titik <math>x</math> memiliki [[kardinalitas]] yang sama dengan kardinalitas <math>H</math>, maka <math>x</math> merupakan titik limit berjenis khusus yang disebut '''{{visible anchor|titik akumulasi lengkap}}''' dari <math>H</math>.

=== Titik akumulasi dari barisan dan jaring ===
{{anchor|Titik akumulasi barisan|Titik gugus dari barisan dan jaring}}
{{See also|Jaring (matematika)#Titik gugus dari jaring|Filter (topologi)#Kekonvergenan, limit, dan titik gugus}}

Dalam ruang topologis <math>X</math>, titik <math>x \in X</math> disebut sebagai '''{{visible anchor|titik gugus dari suatu barisan|text=titik gugus}}''' atau '''{{visible anchor|titik akumulasi dari suatu barisan}}''' <math>\langle x_n \rangle</math> jika untuk setiap [[Persekitaran (matematika)|persekitaran]] <math>S</math> dari <math>x</math>, terdapat takhingga banyaknya <math>n \in \mathbb{N}</math> sedemikian sehingga <math>x_n \in S</math>. Hal ini setara dengan mengatakan bahwa untuk setiap persekitaran <math>S</math> dari <math>x</math> dan untuk setiap <math>k \in \mathbb{N}</math>, terdapat suatu <math>n \geq k</math> sedemikian sehingga <math>x_n \in S</math>. Jika <math>X</math> merupakan [[ruang metrik]] atau [[ruang pertama-terhitung]] (atau secara umum, [[ruang Fréchet–Urysohn]]), maka <math>x</math> merupakan titik gugus dari <math>\langle x_n \rangle</math> jika dan hanya jika <math>x</math> merupakan limit dari suatu [[subbarisan]] dari <math>\langle x_n \rangle</math>. Himpunan semuaa titik-titik gugus dari suatu barisan dikenal sebagai [[himpunan limit]].

Perhatikan bahwa sudah terdapat gagasan mengenai [[Limit barisan#Ruang topologis|limit barisan]], yaitu suatu titik <math>x</math> dimana barisan tersebut konvergen (yaitu, setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat seluruh kecuali berhingga banyaknya elemen barisannya). Itulah mengapa istilah <em>titik limit</em> dari suatu barisan bukanlah sinonim dari titik akumulasi dari barisan.

Konsep [[Jaring (matematika)|jaring]] memperumum konsep [[barisan]]. Jaring merupakan suatu fungsi <math>j : \left( P, \, \leq \right) \to \left( X, \, T \right)</math> dengan <math>\left( P, \, \leq \right)</math> merupakan [[himpunan berarah]] dan <math>\left( X, \, T \right)</math> merupakan ruang topologis. Suatu titik <math>x \in X</math> disebut sebagai [[Jaring (matematika)|'''{{visible anchor|titik gugus dari suatu jaring|text=titik gugus}}''']] atau [[Jaring (matematika)|'''{{visible anchor|titik akumulasi dari suatu jaring}}''']] <math>j</math> jika, untuk setiap [[Persekitaran (matematika)|persekitaran]] <math>S</math> dari titik <math>x</math> dan untuk setiap <math>p \in P</math>, terdapat suatu <math>q \geq p</math> sedemikian sehingga <math>j \! \left( q \right) \in S</math>, atau secara ekuivalen, jika <math>j</math> memiliki [[subjaringan (matematika)|subjaringan]] yang konvergen ke <math>x</math>. Titik gugus pada jaring mencakup gagasan mengenai titik kondensasi dan titik akumulasi ω. [[Filter (topologi)|Penggugusan]] dan [[Filter (topologi)|titik limit]] juga dapat didefinisikan untuk [[Filter (teori himpunan)|filter]].

== Sifat-sifat ==

Setiap [[Limit barisan#Ruang topologis|limit]] dari barisan tak konstan merupakan titik akumulasi dari barisan tersebut, dan berdasarkan definisi, setiap titik limit merupakan [[titik adheren]].

Penutup dari himpunan <math>H</math> (yang ditulis sebagai <math>\overline{H}</math>) merupakan [[gabungan lepas]] dari himpunan titik-titik limitnya beserta himpunan [[titik terisolasi|titik-titik terisolasinya]]. Secara matematis, maka
<math display="block">\overline{H} = L \! \left( H \right) \cup I \! \left( H \right) \qquad \text{dan} \qquad L \! \left( H \right) \cap I \! \left( H \right) = \varnothing</math>

{{math theorem
| name             = Sifat 1
| math_statement   = Suatu titik <math>x \in X</math> merupakan titik limit dari <math>H \subseteq X</math> jika dan hanya jika <math>x</math> termuat pada [[Ketertutupan (topologi)|penutup]] dari <math>H \setminus \left\{ x \right\}</math>.}}
{{math proof | proof =
Diambil sembarang <math>H \subseteq X</math> dan sembarang titik <math>x \in X</math>. Akan digunakan definisi penutup suatu himpunan berdasarkan persekitaran: suatu titik <math>x \in X</math> adalah anggota dari <math>\overline{H}</math> jika dan hanya jika setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat titik pada <math>H</math>, yang secara matematis dapat ditulis sebagai
<math display="block">\overline{H} = H \cup \partial H</math>
dengan <math>\partial H</math> menyatakan [[batas (topologi)|batas]] dari himpunan <math>H</math>.

'''Bagian 1.''' Jika <math>x</math> merupakan titik limit dari <math>H</math>, maka berdasarkan definisi dari titik limit, setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat titik pada <math>H</math> selain <math>x</math> itu sendiri. Dengan kata lain, setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat titik pada <math>H \setminus \left\{ x \right\}</math>. Berdasarkan definisi dari penutup himpunan, maka terbukti bahwa <math>x</math> termuat pada penutup dari <math>H \setminus \left\{ x \right\}</math>.

'''Bagian 2.''' Jika <math>x</math> termuat pada penutup dari <math>H \setminus \left\{ x \right\}</math>, maka berdasarkan definisi penutup himpunan, setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat titik pada <math>H \setminus \left\{ x \right\}</math>. Dengan kata lain, setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat titik pada <math>H</math> selain <math>x</math> itu sendiri. Berdasarkan definisi dari titik limit, maka terbukti bahwa <math>x</math> merupakan titik limit dari <math>H</math>.}}

Jika <math>L \! \left( H \right)</math> menyatakan himpunan titik-titik limit dari <math>H</math>, maka diperoleh [[karakterisasi (matematika)|karakterisasi]] lain dari penutup <math>H</math>. Karakterisasi ini terkadang digunakan sebagai ''definisi'' dari operator penutup himpunan.
{{math theorem
| name             = Sifat 2
| math_statement   = Penutup dari <math>H</math> merupakan [[gabungan (teori himpunan)|gabungan]] dari <math>H</math> dan <math>L \! \left( H \right)</math>. Secara simbolis, maka
<math display="block">\overline{H} = H \cup L \! \left( H \right)</math>}}
{{math proof | proof =
'''Bagian 1.''' Diambil sembarang <math>H \subseteq X</math> dan <math>x \in \overline{H}</math>. Akan dibuktikan bahwa <math>\overline{H} \subseteq H \cup L \! \left( H \right)</math>.
# Jika <math>x \in H</math>, maka pembuktiannya selesai.
# Jika <math>x \not \in H</math>, maka setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat suatu titik pada <math>H</math>, dan titik ini bukanlah <math>x</math>. Dengan kata lain, <math>x</math> merupakan titik limit <math>H</math>, sehingga <math>x \in L \! \left( H \right)</math>.
Akibatnya, terbukti bahwa <math>\overline{H} \subseteq H \cup L \! \left( H \right)</math>.

'''Bagian 2.''' Diambil sembarang <math>H \subseteq X</math> dan <math>x \in H \cup L \! \left( H \right)</math>. Akan dibuktikan bahwa <math>H \cup L \! \left( H \right) \subseteq \overline{H}</math>.
# Jika <math>x \in H</math>, maka jelas bahwa setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat suatu titik dari <math>H</math>. Berdasarkan definisi dari penutup himpunan, maka <math>x \in \overline{H}</math>.
# Jika <math>x \in L \! \left( H \right)</math>, maka berdasarkan definisi dari titik limit, setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat suatu titik dari <math>H</math> selain dari <math>x</math> itu sendiri. Berdasarkan definisi dari penutup himpunan, maka <math>x \in \overline{H}</math>.
Pada kedua kasus di atas, maka terbukti bahwa <math>H \cup L \! \left( H \right) \subseteq \overline{H}</math>.}}

Akibat dari hasil di atas ialah [[karakterisasi (matematika)|karakterisasi]] lain dari himpunan tertutup, yang dinyatakan sebagai berikut
{{math theorem
| name             = Sifat 3
| math_statement   = Suatu himpunan <math>H \subseteq X</math> merupakan himpunan tertutup jika dan hanya jika <math>H</math> memuat seluruh titik-titik limitnya.}}
{{math proof | proof =
Diambil sembarang himpunan <math>H \subseteq X</math>. Akan digunakan definisi himpunan tertutup menggunakan penutup himpunan: suatu himpunan <math>H</math> merupakan himpunan tertutup jika dan hanya jika <math>H = \overline{H}</math>

'''Bagian 1.''' Jika himpunan <math>H</math> merupakan himpunan tertutup, maka
<math display="block">\begin{align}
H &= \overline{H} \\
&= H \cup L \! \left( H \right)
\end{align}</math>
Akibatnya, <math>L \! \left( H \right) \subseteq H</math>, yang berarti himpunan <math>H</math> memuat seluruh titik-titik limitnya.

'''Bagian 2.''' Jika himpunan <math>H</math> memuat seluruh titik-titik limitnya, maka <math>L \! \left( H \right) \subseteq H</math>. Akibatnya,
<math display="block">\begin{align}
H \cup L \! \left( H \right) &= H \\
\overline{H} &= H
\end{align}</math>
sehingga himpunan <math>H</math> merupakan himpunan tertutup.}}

{{math theorem
| name             = Sifat 4
| math_statement   = [[titik terisolasi]] bukanlah titik limit dari himpunan manapun.}}
{{math proof | Definisi dari titik terisolasi merupakan [[negasi]] dari definisi titik limit.

Untuk setiap himpunan <math>H \subseteq X</math> dan sembarang titik <math>x \in H</math>, pernyataan "terdapat suatu persekitaran dari titik <math>x</math> yang tidak memuat titik lain pada <math>H</math>" merupakan negasi dari "setiap persekitaran dari titik <math>x</math> memuat titik lain pada <math>H</math>". Secara simbolis, maka
<math display="block">\underbrace{\left( \exists S_x \right) \left( S_x \cap H = \left\{ x \right\} \right)}_{\text{definisi titik terisolasi}} = \neg \; \underbrace{\left( \left( \forall S_x \right) \left( S_x \cap H \neq \left\{ x \right\} \right) \right)}_{\text{definisi titik limit}}</math>}}

{{math theorem
| name             = Sifat 5
| math_statement   = Suatu ruang <math>X</math> merupakan [[ruang diskret]] jika dan hanya jika tidak ada himpunan bagian dari <math>X</math> yang memiliki titik limit.}}
{{math proof | proof =
'''Bagian 1.''' Jika <math>X</math> merupakan ruang diskret, maka berdasarkan definisi, setiap [[singleton (matematika)|singleton]] merupakan himpunan terbuka. Berdasarkan definisi dari titik terisolasi, suatu titik <math>x</math> dikatakan sebagai titik terisolasi pada himpunan <math>H \subseteq X</math> jika terdapat suatu himpunan terbuka <math>B</math> sedemikian sehingga <math>B \cap H = \left\{ x \right\}</math>. Dengan memilih <math>B = \left\{ x \right\}</math> dan <math>H = X</math>, maka setiap titik <math>x \in X</math> merupakan titik terisolasi. Akibatnya, <math>x</math> bukanlah titik limit dari himpunan manapun.

'''Bagian 2.''' Jika <math>X</math> bukan merupakan ruang diskret, maka maka berdasarkan definisi, terdapat suatu singleton <math>\left\{ x \right\}</math> yang tidak terbuka. Misalkan <math>S</math> adalah persekitaran terbuka dari <math>\left\{ x \right\}</math>. Andaikan <math>S</math> tidak memuat titik lain selain <math>x</math>, maka <math display="block">S = \left\{ x \right\}</math> Akan tetapi, himpunan <math>S</math> merupakan himpunan terbuka, sedangkan diketahui bahwa singleton <math>\left\{ x \right\}</math> tidak terbuka. Akibatnya, setiap persekitaran terbuka dari <math>\left\{ x \right\}</math> memuat suatu titik <math>p \neq x</math>. Berdasarkan definisi dari titik limit, maka <math>x</math> merupakan titik limit pada <math>X</math>.}}

== Lihat juga ==
{{Div col|colwidth=25em}}
* [[Titik adheren]]
* [[Titik kondensasi]]
* [[Filter (topologi)]]
* [[Himpunan turunan (matematika)]]
* [[Titik terisolasi]]
* [[Limit fungsi]]
* [[Limit barisan]]
* [[Limit subbarisan]]
{{div col end}}

== Rujukan ==
{{reflist|group=note}}
{{reflist}}

== Referensi ==
* {{springer|title=Limit point of a set|id=p/l058880}}

== Pranala luar ==
* {{planetmath reference|id=1240|title=limit point}}

{{Topologi}}

[[Kategori:Himpunan limit]]
[[Kategori:Topologi]]
[[Kategori:Topologi umum]]