Lihat sumber Titik (geometri)

{{disambiginfo|Titik (disambiguasi)}}Dalam [[geometri Euklides]], '''titik''' adalah suatu gagasan primitif yang memodelkan lokasi yang tepat di dalam [[Ruang Euklides|ruang]], serta tidak memiliki panjang, lebar, atau kedalaman.{{sfnp|Ohmer|1969|p=34&ndash;37}} Gagasan primitif pada konteks ini berarti bahwa suatu titik tidak dapat didefinisikan dalam objek yang didefinisikan sebelumnya, dalam artian bahwa titik hanya didefinisikan dengan beberapa [[aksioma]] yang harus terpenuhi. Titik dalam matematika yang modern lebih mengacu pada suatu [[Anggota (matematika)|anggota]] dari suatu [[Himpunan (matematika)|himpunan]] yang dikenal dengan sebutan [[Ruang (matematika)|ruang]].

== Titik dalam geometri Euklides ==
[[Berkas:ACP_3.svg|jmpl|Suatu himpunan berhingga dari titik-titk (biru) di dalam [[ruang Euklides]] dua dimensi.]]

Titik, yang sering dipandang di dalam kerangka kerja [[geometri Euklides]], merupakan salah satu objek yang paling mendasar. [[Euclid|Euklides]] mulanya mendefinisikan titik sebagai "objek yang tidak memiliki bagian".{{sfnp|Heath|1956|p=153}} Dalam [[ruang Euklides]] dua dimensi, titik dinyatakan sebagai [[pasangan terurut]] <math>\, (x,y)</math>; bilangan pertama pada pasangan tersebut, menurut konvensi, menyatakan horizontal dan sering dituliskan sebagai <math>\, x</math>, sementara bilangan kedua menyatakan vertikal dan sering dituliskan sebagai <math>\, y</math>. Gagasan ini mudah diperumum ke dalam ruang Euklides tiga dimensi, dengan titik dinyatakan oleh pasangan terurut rangkap tiga<math>\, (x,y,z)</math>, dengan bilangan tambahan ketiga menyatakan kedalaman dan dinyatakan dengan <math>z</math>. Perumuman lebih lanjut dinyatakan dengan pasangan terurut rangkap <math>n</math>,<math>\, (a_1,a_2,...,a_n)</math>, dengan <math>n</math> adalah dimensi ruang tempat titik berada.{{sfnp|Silverman|1969|p=7}}

Banyak objek yang dibangun di dalam geometri Euklides terdiri dari [[tak hingga|tak berhingga]] banyaknya kumpulan titik-titik yang sesuai dengan aksioma-aksioma tertentu. Hal ini biasanya dinyatakan oleh [[himpunan (matematika)|himpunan]] titik-titik; misalnya, [[garis (geometri)|garis]] adalah himpunan tak hingga banyaknya titik-titik yang berbentuk<math display="block">\, L = \lbrace (a_1,a_2,...a_n)|a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \rbrace, </math>dengan <math>\, c_1</math> melalui <math>\, c_n</math> dan <math>\, d</math> adalah konstanta, serta <math>n</math> adalah dimensi ruang. Juga terdapat konstruksi-konstruksi serupa yang mendefinisikan [[bidang (geometri)|bidang]], [[ruas garis]], dan konsep-konsep lainnya yang saling berkaitan.{{sfnp|de Laguna|1922}}

== Geometri tanpa titik ==
Titik sudah dianggap merupakan gagasan yang fundamental dalam [[geometri]] dan [[topologi]]. Meskipun demikian, terdapat beberapa cabang yang tidak menggunakan gagasan titik, seperti [[geometri nonkomutatif]] (''noncommutative geometry'') dan [[topologi bebas titik]] (''pointless topology''). “Ruang bebas titik” (''pointfree space'') atau "ruang tanpa titik" (''pointless space'') tidak didefinisikan sebagai [[himpunan (matematika)|himpunan]], melainkan didefinisikan melalui beberapa struktur ([[C*-aljabar|aljabar]] atau [[aljabar Heyting lengkap|logika]]) yang terlihat seperti ruang fungsi yang terkenal pada himpunan tersebut, yaitu aljabar dari [[fungsi kontinu]] atau [[aljabar himpunan]]. Lebih tepatnya, struktur tersebut memperumum ruang yang terkenal dari [[fungsi]] menurut suatu cara di mana operasi “mengambil nilai pada titik tersebut” dapat didefinisikan.{{sfnp|Gerla|1985}}

== Lihat pula ==
* [[Titik limit]]
* [[Ruang afin]]
* [[Batas (topologi)|Titik batas]]
* [[Titik kritis (matematika)|Titik kritis]]
* [[Titik puncak (singularitas)|Titik puncak]]
* [[Singularitas|Titik singular]]

== Catatan ==
{{Reflist|colwidth=30em}}

== Referensi ==
{{refbegin}}
{{div col|colwidth=30em}}
*{{cite journal
 |last       = de Laguna |first = T. |author-link = Theodore de Laguna
 |year       = 1922
 |title      = Point, line and surface as sets of solids,
 |journal    = The Journal of Philosophy
 |volume     = 19
 |issue      = 17
 |pages      = 449–461.
 |jstor      = 2939504
 |doi        = 10.2307/2939504}}
*{{cite book
 |last             = Gerla
 |first            = G
 |year             = 1995
 |contribution-url = http://www.dmi.unisa.it/people/gerla/www/Down/point-free.pdf
 |contribution     = Pointless Geometries
 |editor1-last     = Buekenhout
 |editor1-first    = F.
 |editor2-last     = Kantor
 |editor2-first    = W
 |title            = Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations
 |publisher        = North-Holland
 |page             = 1015–1031.
 |access-date      = 2023-02-26
 |archive-date     = 2011-07-17
 |archive-url      = https://web.archive.org/web/20110717210751/http://www.dmi.unisa.it/people/gerla/www/Down/point-free.pdf
 |dead-url         = yes
}}
*{{cite book
 |last        = Heath |first = Thomas L.
 |author-link = Thomas Little Heath
 |title       = The Thirteen Books of Euclid's Elements
 |volume      = 1
 |edition     = 2nd
 |year        = 1956
 |publisher   = Dover Publications
 |location    = New York
 |isbn        = 0-486-60088-2
 |url         = https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl
}}
*{{cite book
 |last = Silverman |first = Richard A.
 |title = Modern Calculus and Analytic Geometry
 |url = https://books.google.com/books?id=DcWHAwAAQBAJ&pg=PA7
 |year = 1969
 |publisher = Macmillan}}
{{div col end}}
{{refend}}

== Pranala luar ==
* [http://www.mathopenref.com/point.html Definisi Titik] dengan applet interaktif
* [http://www.mathopenref.com/tocs/pointstoc.html Halaman definisi titik], dengan animasi interaktif yang juga berguna di dalam suasana ruang kelas. Math Open Reference
{{bangun}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Geometri]]
[[Kategori:Matematika]]