Lihat sumber Tindakan grup (matematika)

{{about|konsep matematika | istilah sosiologi | grup aksi (sosiologi)}}
{{short description|Operasi elemen grup sebagai transformasi atau automorfisme (matematika)}}
{{-}}

[[Berkas:Group action on equilateral triangle.svg|right|thumb|Diketahui sebuah [[segitiga sama sisi]], [[rotasi]] berlawanan arah jarum jam sebesar 120° di sekitar pusat segitiga memetakan setiap simpul dari segitiga ke simpul lainnya. [[Grup siklik]] ''C''<sub>3</sub> terdiri dari rotasi sebesar 0°, 120° dan 240° bekerja pada himpunan tiga simpul.]]

Dalam [[matematika]], '''tindakan grup''' pada[[ruang (matematika)|ruang]] adalah [[homomorfisme grup]] dari [[grup (matematika)|grup]] tertentu ke dalam grup [[transformasi (geometri)|transformasi]] ruang. Demikian pula, tindakan kelompok pada [[struktur matematika]] adalah kelompok homomorfisme dari suatu kelompok ke dalam [[grup automorfisme]] dari struktur. Dikatakan bahwa grup '' bertindak '' pada ruang atau struktur. Jika suatu grup bertindak pada suatu struktur, biasanya juga akan bertindak atas objek yang dibangun dari struktur. Misalnya, kelompok [[Isometri Euklides|Isometri Euklid]] bekerja pada [[Ruang Euklidean]] dan juga pada gambar yang digambar di dalamnya. Secara khusus, ia bekerja pada himpunan dari semua [[segitiga]]. Demikian pula, kelompok [[simetri]] dari sebuah [[polihedron]] bekerja pada [[simpul (geometri)|simpul]], [[sisi (geometri)|tepi]], dan [[wajah (geometri)|wajah]] dari polyhedron.

Tindakan grup pada [[ruang vektor]] (berdimensi-hingga)] disebut [[Wakilan grup|wakilan]] dari grup. Ini memungkinkan salah satunya untuk mengidentifikasi banyak grup dengan subkelompok [[Grup linear umum|{{math|GL(''n'', ''K'')}}]], kelompok [[matriks yang dapat dibalik]] dengan dimensi{{mvar | n}} atas [[Bidang (matematika)|bidang]] {{mvar | K}}.

[[Grup simetris]] {{mvar|S{{sub|n}}}} bertindak pada setiap [[himpunan (matematika)|himpunan]] dengan elemen {{mvar | n}} dengan menggunakan elemen himpunan. Meskipun grup dari semua [[permutasi]] dari suatu himpunan secara formal bergantung pada himpunan tersebut, konsep tindakan kelompok memungkinkan salah satunya untuk mempertimbangkan satu grup untuk mempelajari permutasi dari semua himpunan dengan [[kardinal]] yang sama.

== Definisi ==

=== Tindakan grup kiri ===
Jika{{mvar | G}} adalah [[grup (matematika)|grup]] dengan elemen identitas {{mvar | e}}, dan {{mvar | X}} adalah himpunan, maka ('' kiri '') '' tindakan grup '' {{mvar | α}} dari {{mvar | G}} pada {{mvar | X}} adalah sebuah fungsi

:<math>\alpha\colon G \times X \to X,</math>

(dengan {{math|''&alpha;''(''g'', ''x'')}} sering disingkat menjadi {{math | '' gx ''}} atau {{math | '' g '' ⋅ '' x ''}} jika tindakan yang dipertimbangkan sudah jelas dari konteksnya)

yang memenuhi dua tindakanoma berikut:<ref>{{cite book|author=Eie & Chang |title=A Course on Abstract Algebra|year=2010|url={{Google books|plainurl=y|id=jozIZ0qrkk8C|page=144|text=group action}}|page=144}}</ref>

:{|
|Identitas:
|<math>e\cdot x = x</math>
|-
|Kesesuaian:
|<math>g\cdot(h\cdot x) = (gh) \cdot x</math>
|}

untuk {{mvar | g}} dan {{mvar | h}} pada {{mvar | G}} dan {{mvar | x}} pada {{mvar | X}}.

Grup {{mvar | G}} dikatakan bertindak atas {{mvar | X}} (dari kiri). Himpunan {{mvar | X}} bersama dengan tindakan{{mvar | G}} disebut ''himpunan''-{{mvar | G}} (''kiri'').

Dari dua tindakanoma ini, dapat disimpulkan bahwa untuk {{mvar | g}} tetap di {{mvar | G}}, fungsi dari {{mvar | X}} ke yang memetakan {{mvar | x}} ke {{math | '' g '' ⋅ '' x ''}} adalah [[bijeksi]], dengan bijeksi terbalik untuk peta yang sesuai {{math|''g''<sup>&minus;1</sup>}}. Oleh karena itu, salah satunya dapat secara setara mendefinisikan tindakan grup {{mvar | G}} pada {{mvar | X}} sebagai homomorfisme grup dari {{mvar | G}} ke grup simetris {{math|Sym(''X'')}} dari semua bias dari {{mvar | X}} ke dirinya sendiri.<ref>This is done, for example, by {{cite book|author=Smith |title=Introduction to abstract algebra|year=2008|url={{Google books|plainurl=y|id=PQUAQh04lrUC|page=253|text=group action}}|page=253}}</ref>

=== Tindakan grup kanan ===
Demikian juga, '' tindakan kelompok kanan '' dari {{mvar | G}} pada {{mvar | X}} adalah fungsi

:<math>\alpha\colon X \times G \to X,</math>

(dengan {{math|''&alpha;''(''x'', ''g'')}} sering disingkat menjadi {{math | '' xg ''}} atau {{math | '' x '' ⋅ '' g ''}} jika tindakan yang dipertimbangkan jelas dari konteksnya)

yang memenuhi tindakanoma analogi:

:{|
|Identitas:
|<math>x \cdot e = x</math>
|-
|Kesesuaian:
|<math>(x \cdot g) \cdot h = x \cdot (gh)</math>
|}

untuk {{mvar | g}} dan {{mvar | h}} pada {{mvar | G}} dan {{mvar | x}} pada {{mvar | X}}.

Perbedaan antara tindakan kiri dan kanan terletak pada urutan perkalian {{math | '' gh ''}} yang bekerja pada {{mvar | x}}. Untuk tindakan kiri, {{mvar | h}} tindakan pertama, diikuti oleh {{mvar | g}} detik. Untuk tindakan yang benar, {{mvar | g}} tindakan pertama, diikuti oleh {{mvar | h}} detik. Karena rumusnya {{math|1=(''gh'')<sup>−1</sup> = ''h''<sup>−1</sup>''g''<sup>−1</sup>}}, tindakan kiri dapat dibangun dari tindakan kanan dengan menyusun dengan operasi kebalikan dari grup. Juga, tindakan kanan grup {{mvar | G}} pada {{mvar | X}} bisa dianggap sebagai tindakan kiri dari [[grup berlawanan]] {{math|''G''<sup>op</sup>}} pada {{mvar | X}}. Jadi cukup untuk hanya mempertimbangkan tindakan kiri tanpa kehilangan keumuman.

== Tipe tindakan ==
<!-- Bagian ini ditautkan dari [[Difeomorfisme]], dan dialihkan dari "Aksi transitif" -->
Tindakan'' G ''pada'' X'' disebut:
* ''{{visible anchor|Transitif}}'' jika ''X'' adalah [[himpunan kosong]] dan jika untuk setiap pasangan '' x '', '' y '' pada '' X '' maka '' g '' pada '' G '' dirumuskan {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''y''}}. Misalnya, tindakan grup simetris '' X '' bersifat transitif, tindakan [[grup linear umum]] atau [[grup linear khusus]] ruang vektor '' V '' pada {{nowrap|''V''∖{0}{{null}}}} bersifat transitif, tetapi tindakan [[grup ortogonal]] dari [[ruang Euklides]] '' E '' tidak transitif pada {{nowrap|''E''∖{0}{{null}}}} (ini transitif pada [[unit bola]] dari '' E '', meskipun).
* ''{{visible anchor|Tepat}}'' (atau ''{{visible anchor|efektif}}'') jika untuk setiap dua '' g '' yang berbeda, '' h '' pada '' G '' dengan '' x '' pada '' X '' sehingga {{nowrap|1=''g''⋅''x'' ≠ ''h''⋅''x''}}; atau setara, jika untuk {{nowrap|''g'' ≠ ''e''}} pada '' G '' ada '' x '' di '' X '' seperti itu {{nowrap|''g''⋅''x'' ≠ ''x''}}.  Dengan kata lain, dalam tindakan kelompok yang setia, elemen '' G '' yang berbeda menyebabkan permutasi yang berbeda dari '' X ''.{{efn|Artinya, representasi permutasi terkait adalah injektif.}} Dalam istilah aljabar, grup '' G '' bertindak tepat pada '' X '' jika dan hanya jika homomorfisme yang sesuai dengan grup simetris, {{nowrap|''G'' → Sym(''X'')}}, memiliki trivial [[kernel (aljabar)|kernel]]. Jadi, untuk tindakan yang setia, '' G '' [[Embedding|embed]] ke [[grup permutasi]] pafa '' X ''; khusus, '' G '' isomorfik untuk citra Sym(''X''). Jika'' G'' tidak bertindakan tepat pada '' X '', kita dapat dengan mudah memodifikasi grup untuk mendapatkan tindakan yang tepat. Jika kita mendefinisikan {{nowrap|1=''N'' = {''g'' pada ''G'' : ''g''⋅''x'' = ''x'' untuk ''x'' in ''X''}{{null}}}}, maka '' N '' adalah [[subgrup normal]] dari '' G ''; memang, itu adalah inti dari homomorfisme {{nowrap|''G'' → Sym(''X'')}}. [[Grup faktor]] ''G''/''N'' bertindakan tepat pada '' X '' dengan menetapkan {{nowrap|1=(''gN'')⋅''x'' = ''g''⋅''x''}}. tindakan asli ''G'' pada'' X'' sesuai jika dan hanya jika {{nowrap|1=''N'' = {''e''}{{null}}}}. Kumpulan terkecil di mana tindakan yang sesuai dapat didefinisikan dapat sangat bervariasi untuk grup dengan ukuran yang sama. Sebagai contoh:
** Tiga grup ukuran 120 adalah grup simetris ''S''<sub>5</sub>, [[grup ikosahedral]], dan [[grup siklik]] <math>\mathbb{Z}/120\mathbb{Z}</math>.himpunan terkecil di mana tindakan yang sesuai dapat didefinisikan masing-masing berukuran 5, 12, dan 16.
** [[Grup abelian]] ukuran 2<sup>'' n ''</sup> menyertakan grup siklik <math>\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}</math> serta <math>(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n</math> ([[produk langsung]] dari '' n '' salinan <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>), tetapi yang terakhir bertindak dengan sesuai pada himpunan ukuran 2''n '', sedangkan yang pertama tidak dapat bertindak dengan sesuai pada himpunan yang lebih kecil dari dirinya sendiri.
* ''{{visible anchor|Bebas}}'' (atau ''semiberaturan'' atau ''titik tetap bebas'') jika, diberikan '' g '', ''h'' dengan'' G'', adanya ''x ''di'' X '' dengan {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''h''⋅''x''}} menyiratkan {{nowrap|1=''g'' = ''h''}}. Setara: jika '' g '' adalah elemen grup dan terdapat '' x '' di '' X '' dengan {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''x''}} (yaitu, jika '' g '' memiliki setidaknya satu titik tetap), maka '' g '' adalah identitasnya. Perhatikan bahwa tindakan bebas pada himpunan yang tidak kosong adalah tepat.
* ''{{visible anchor|Biasa}}'' (atau ''{{visible anchor|hanya transitif}}'' atau '' transitif tajam '') jika transitif dan bebas; Ini sama dengan mengatakan bahwa untuk setiap dua '' x '', '' y '' dalam '' X '' tepat ada satu '' g '' dalam '' G '' sehingga {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''y''}}.  Dalam hal ini, '' X '' disebut sebagai [[ruang homogen utama]] untuk'' G'' atau torsi'' G''. tindakan grup ''G '' pada dirinya sendiri dengan perkalian kiri adalah teratur, dan dengan demikian sesuai juga. Setiap grup, oleh karena itu, dapat disematkan dalam grup simetris pada elemennya sendiri, Sym('' G ''). Hasil ini dikenal sebagai [[Teorema Cayley]].
* ''{{visible anchor|n-transitif}}'' jika '' X '' memiliki setidaknya '' n '' elemen, dan untuk semua yang berbeda ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'' dan berbeda ''y''<sub>1</sub>, ..., ''y<sub>n</sub>'', jika '' g '' pada '' G '' dirumuskan {{nowrap|1=''g''⋅''x<sub>k</sub>'' = ''y<sub>k</sub>''}} untuk {{nowrap|1 ≤ ''k'' ≤ ''n''}}.  tindakan 2-transitif juga disebut ''{{visible anchor|transitif ganda}}'', tindakan 3-transitif disebut juga '' transitif tiga kali'', dan seterusnya. tindakan tersebut menentukan kelas menarik dari subkelompok dalam grup simetris: [[Grup 2-transitif]] dan lebih umum [[perkalian grup transitif]]. Tindakan grup simetris pada himpunan dengan elemen'' n '' selalu'' n ''-transitif; tindakan dari [[grup selang-seling]] adalah (''n'' - 2)-transitif.
* ''{{visible anchor|Tajam n-transitif}}'' jika memang ada satu seperti '' g ''.
* ''{{visible anchor|Primitif}}'' jika transitif dan tidak mempertahankan partisi non-sepele dari '' X ''. Lihat [[grup permutasi primitif]] untuk detailnya.
* ''Bebas secara lokal '' jika'' G'' adalah [[grup topologi]], dan ada [[Persekitaran (matematika)|lingkungan]] ''U ''dari ''e'' dalam ''G'' sedemikian rupa sehingga pembatasan tindakan menjadi'' U'' bebas; yaitu jika  {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''x''}} untuk beberapa '' x '' dan beberapa '' g '' di '' U '' lalu {{nowrap|1=''g'' = ''e''}}.

Selanjutnya, jika ''G ''bekerja pada [[ruang topologi]] '' X '', maka tindakannya adalah:

*''[[Himpunan pengembaraan|Pengembaraan]]'' jika setiap titik ''x'' pada ''X ''memiliki lingkungan ''U '' sehingga <math>\{g \in G : g \cdot U \cap U \neq \emptyset\}</math> is terhingga.<ref name="Thurston 1980 p175">{{Citation | last1=Thurston | first1=William | title=The geometry and topology of three-manifolds | url=http://library.msri.org/books/gt3m/ | series=Princeton lecture notes | year=1980 | page=175 | accessdate=2020-12-25 | archive-date=2020-07-27 | archive-url=https://web.archive.org/web/20200727020107/http://library.msri.org/books/gt3m/ | dead-url=yes }}</ref> Misalnya, tindakan <math>\mathbb Z^n</math> pada <math>\mathbb R^n</math> oleh translasi mengembara. tindakan [[grup pengembaraan]] pada setengah bidang Poincaré juga mengembara.
*Jika '' X '' adalah [[ruang kompak lokal]] dan untuk setiap himpunan bagian kompak ''K''&thinsp;⊂&thinsp;''X'' thehimpunan <math>\{g \in G: gK \cap K \neq \emptyset \}</math> terbatas. Tindakan mengembara yang diberikan di atas juga terputus-putus. Di sisi lain, tindakan <math>\mathbb Z</math> pada <math>\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}</math> given by <math>n\cdot (x, y) = (2^n x, 2^{-n} y)</math> wendering dan bebas tetapi tidak terputus-putus dengan benar.{{sfn|Thurston|1980|p=176}}
*''{{visible anchor|Layak}}'' jika '' G '' adalah grup topologi dan peta dari <math>G \times X \rightarrow X \times X : (g,x) \mapsto (g \cdot x,x)</math> adalah [[Peta layak|layak]].<ref name="tom Dieck 1987 p29">{{Citation | last1=tom Dieck | first1=Tammo | title=Transformation groups | url=https://books.google.com/books?id=azcQhi6XeioC | publisher=Walter de Gruyter & Co. | location=Berlin | series=de Gruyter Studies in Mathematics | isbn=978-3-11-009745-0 | mr=889050 | year=1987 | volume=8 | page=29 | doi=10.1515/9783110858372.312}}</ref> Jika '' G '' adalah [[Grup diskrit|diskrit]] maka kesesuaian setara dengan diskontinuitas yang tepat untuk tindakan '' G ''.
* Dikatakan memiliki '' orbit diskrit '' jika orbit setiap '' x '' dalam '' X '' di bawah tindakan '' G '' diskrit dalam '' X ''.<ref name="Thurston 1980 p175" />
*'' tindakan ruang '' jika setiap titik '' x '' di '' X '' memiliki lingkungan '' U '' sedemikian rupa sehingga <math>\{g \in G : g \cdot U \cap U \neq \emptyset\} = \{ e \} </math>.<ref name="Hatcher 2001">{{cite book |last1=Hatcher |first1=Allen |title=Algebraic Topology |date=2002 |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-79540-0| page=72 |url=http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html}}</ref>

Jika ''X ''adalah[[Nol elemen#modul Nol|bukan nol]] [[modul (matematika)|modul]] atas [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] ''R'' dan tindakan'' G'' adalahlinear-''R'' maka dikatakan
* ''Taktereduksikan'' jika tidak ada submodul invarian wajar taknol.

==Orbit dan penstabil ==<!-- Bagian ini ditautkan dari [[Simetri]] -->
[[Berkas:Compound of five tetrahedra.png|thumb|[[Gabungan dari lima tetrahedra]], grup simetri adalah (rotasi) [[grup ikosahedral]] '' I '' urutan 60, sedangkan penstabil tetrahedron terpilih adalah (rotasi) [[grup tetrahedral]] '' T '' urutan 12, dan ruang orbit ''I''/''T'' (dari urutan 60/12&nbsp;=&nbsp;5) secara alami diidentifikasi dengan 5 tetrahedra, kohimpunan '' gT '' sesuai dengan tetrahedron tempat '' g '' mengirimkan tetrahedron yang dipilih.]]

Pertimbangkan grup '' G '' yang bertindak pada himpunan '' X ''.'' Orbit ''dari suatu elemen'' x ''dalam'' X '' adalah himpunan elemen dalam'' X ''di mana ''x '' dapat dipindahkan oleh elemen ''G'' . Orbit'' x'' adalah dengan:

:<math> G\cdot x = \left\{ g\cdot x \mid g \in G \right\}.</math>

Sifat yang menentukan dari grup menjamin bahwa himpunan orbit (titik '' x '') '' X '' di bawah tindakan '' G '' membentuk [[partisi himpunan|partisi]] dari ''X''. [[Relasi ekivalen|Relasi setara]] terkait ditentukan dengan mengatakan {{nowrap|''x'' ∼ ''y''}} [[jika dan hanya jika]] terdapat '' g '' di '' G '' dengan {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''y''}}. Orbitnya kemudian [[kelas ekivalen|kelas setara]] es di bawah hubungan ini; dua elemen '' x '' dan '' y '' setara jika dan hanya jika orbitnya sama, yaitu, {{nowrap|1=''G''⋅''x'' = ''G''⋅''y''}}.

Tindakan kelompok adalah [[Tindakan grup (matematika)#Jenis aksi|transitif]] jika dan hanya jika ia memiliki tepat satu orbit, yaitu, jika ada '' x '' dalam '' X '' dengan {{nowrap|1=''G''⋅''x'' = ''X''}}. This is the case if and only if {{nowrap|1=''G''⋅''x'' = ''X''}} untuk '' semua '' '' x '' dalam '' X '' (mengingat bahwa '' X '' tidak kosong).

Himpunan semua orbit '' X '' di bawah tindakan '' G '' ditulis sebagai ''X''/''G'' (atau, lebih jarang: ''G''\''X''), dan disebut '' hasil bagi '' dari tindakan tersebut. Dalam situasi geometris ini bisa disebut ''{{visible anchor|ruang orbit}}'', sedangkan dalam situasi aljabar itu bisa disebut ruang ''{{visible anchor|konvariat}}'', dan ditulis '' X<sub> G </sub> '', berbeda dengan invarian (titik tetap), dilambangkan ''X<sup>G</sup>'': varian koin adalah '' hasil bagi '' sedangkan invariannya adalah '' himpunan bagian. '' Terminologi dan notasi koinvarian digunakan terutama dalam [[kelompok kohomologi]] dan [[grup homologi]], yang menggunakan konvensi superskrip/subskrip yang sama.

=== Himpunan bagian varian ===
Jika '' Y '' adalah [[himpunan bagian]] dari '' X '', salah satunya akan menulis '' GY '' untukhimpunan tersebut {{nowrap|{''g''⋅''y'' : ''y'' ∈ ''Y'' dan ''g'' ∈ ''G''}<nowiki/>}}. Himpunan bagian '' Y '' dikatakan '' invarian di bawah G '' jika {{nowrap|1=''G''⋅''Y'' = ''Y''}} (yang setara dengan {{nowrap|''G''⋅''Y'' ⊆ ''Y''}}). Dalam hal ini, '' G '' juga beroperasi pada '' Y '' dengan membatasi tindakannya menjadi '' Y ''. Himpunan bagian '' Y '' disebut '' tetap di bawah G '' jika {{nowrap|1=''g''⋅''y'' = ''y''}} untuk '' g '' di '' G '' dan semua '' y '' di '' Y ''. Setiap himpunan bagian yang ditetapkan di bawah '' G '' juga invarian di bawah '' G '', tetapi tidak sebaliknya.

Setiap orbit adalah himpunan bagian invarian dari '' X '' di mana ''G'' bertindak [[#Jenis tindakan|secara transitif]]. Sebaliknya, setiap himpunan bagian invarian dari '' X '' adalah gabungan orbit. Tindakan '' G '' pada '' X '' adalah '' transitif '' jika dan hanya jika semua elemen setara, artinya hanya ada satu orbit.

Elemen '' G-invarian '' dari '' X '' adalah {{nowrap|''x'' ∈ ''X''}} dirumuskan {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''x''}} untuk {{nowrap|''g'' ∈ ''G''}}. Himpunan dari semua '' x '' dilambangkan ''X<sup>G</sup>'' dan disebut '' G-invarians '' dari '' X ''. Ketika '' X '' adalah [[Modul-G]], ''X<sup>G</sup>'' adalah grup zeroth [[grup kohomologu|kohomologi]] dari '' G '' dengan koefisien dalam '' X '', dan kelompok kohomologi yang lebih tinggi adalah [[functor turunan]] dari [[functor]] dari '' G ''-invarian.

=== Titik tetap dan subgrup penstabil ===
Diberikan '' g '' dalam '' G '' dan '' x '' dalam '' X '' dengan {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''x''}}, dikatakan bahwa "'' x '' adalah titik tetap dari '' g ''" atau "'' g '' memperbaiki '' x ''". Untuk setiap '' x '' dalam '' X '', '''subkelompok penstabil''' dari '' G '' sehubungan dengan '' x '' (juga disebut '' grup isotropi '' atau '' kelompok kecil ''<ref name="Procesi">{{cite book|last1=Procesi|first1=Claudio|title=Lie Groups: An Approach through Invariants and Representations|date=2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780387289298|page=5|url=https://books.google.com/books?id=Sl8OAGYRz_AC&q=%22little+group%22+action&pg=PA5|accessdate=23 February 2017|language=en}}</ref>) adalah himpunan semua elemen di '' G '' yang memperbaiki '' x '':
:<math>G_x = \{g \in G \mid g \cdot x = x\}.</math>
Ini adalah [[subgrup]] dari '' G '', meskipun biasanya bukan yang normal. Tindakan '' G '' pada '' X '' adalah [[#Jenis aksi|bebas]] jika dan hanya jika semua penstabil trivial. Kernel '' N '' dari homomorfisme dengan grup simetris, {{nowrap|''G'' → Sym(''X'')}}, diberikan oleh [[persimpangan (teori himpunan)|persimpangan]] dari penstabil ''G<sub>x</sub>'' untuk '' x '' dalam '' X ''. Jika '' N '' sepele, tindakan tersebut dikatakan sesuai (atau efektif).

Misalkan '' x '' dan '' y '' menjadi dua elemen dalam '' X '', dan biarkan '' g '' menjadi elemen grup sedemikian rupa sehingga {{nowrap|1=''y'' = ''g''⋅''x''}}. Kemudian dua grup penstabil ''G<sub>x</sub>'' dan ''G<sub>y</sub>'' dihubungkan oleh {{nowrap|1=''G<sub>y</sub>'' = ''g'' ''G<sub>x</sub>'' ''g''<sup>−1</sup>}}. Bukti: menurut definisi, {{nowrap|''h'' &isin; ''G<sub>y</sub>''}} jika dan hanya jika {{nowrap|1=''h''⋅(''g''⋅''x'') = ''g''⋅''x''}}. Menerapkan '' g ''<sup> −1 </sup> ke kedua sisi persamaan ini akan menghasilkan {{nowrap|1=(''g''<sup>−1</sup>''hg'')⋅''x'' = ''x''}}; itu adalah, {{nowrap|''g''<sup>−1</sup>''hg'' &isin; ''G<sub>x</sub>''}}. Inklusi yang berlawanan mengikuti dengan cara yang sama dengan mengambil {{nowrap|''h'' &isin; ''G<sub>x</sub>''}} dan seandainya {{nowrap|1=''x'' = ''g''<sup>−1</sup>⋅''y''}}.

Hal di atas mengatakan bahwa penstabil unsur-unsur dalam orbit yang sama adalah [[kelas konjugasi|konjugasi]] satu sama lain. Jadi, untuk setiap orbit, kita dapat mengasosiasikan [[kelas konjugasi]] dari subkelompok '' G '' (yaitu, himpunan semua konjugasi dari subgrup). Misalkan <math> (H) </math> menunjukkan kelas konjugasi '' H ''. Kemudian orbit '' O '' bertipe <math>(H)</math> jika penstabil <math> G_x </math> dari beberapa/sesuatu '' x '' pada '' O '' milik <math> (H) </math>. Jenis orbit mtindakanmal sering disebut [[jenis orbit utama]].

=== {{visible anchor|Teorema penstabil Orbit}} dan lema Burnside ===
Orbit dan penstabil terkait erat. Untuk tetap '' x '' dalam '' X '', pertimbangkan peta ''f'':''G'' → ''X'' diberikan oleh ''g'' ↦ ''g''·''x''. Menurut definisi gambar ''f''(''G'') dari peta ini adalah orbit '' G ''·'' x ''. Syarat dua elemen untuk memiliki citra yang sama adalah
:<math>f(g)=f(h)\iff g\cdot x=h \cdot x \iff g^{-1}h \cdot x=x \iff g^{-1}h \in G_x \iff h \in gG_x</math>.
Dengan kata lain, <math> f(g) = f (h) </math> '' jika dan hanya jika '' <math> g </math> dan <math> h </math> berada di tempat yang sama [[kohimpunan]] untuk subgrup penstabil <math>G_x</math>. Jadi, [[Serat (matematika)|serat]] <math>f^{-1}(\{y\})</math> dari '' f '' di atas setiap '' y '' di '' G '' · '' x '' terkandung dalam koset tersebut, dan setiap koset tersebut juga muncul sebagai serat. Oleh karena itu '' f '' mendefinisikan ''bijeksi'' antara himpunan <math> G/G_x </math> kohimpunan untuk subgrup penstabil dan orbit '' G '' · '' x '', yang mengirimkan <math>gG_x \mapsto g \cdot x</math>.<ref>M. Artin, <em>Algebra</em>, Proposition 6.4 on p. 179</ref> Hasil ini dikenal sebagai '' teorema penstabil orbit ''.

Jika '' G '' berhingga maka teorema penstabil orbit, bersama dengan [[Teorema Lagrange (teori grup)|Teorema Lagrange]], memberikan
:<math>|G\cdot x| = [G\,:\,G_x] = |G| / |G_x|,</math>
dengan kata lain panjang orbit '' x '' kali urutan penstabilnya adalah urutan grup. Secara khusus yang menyiratkan bahwa panjang orbit adalah [[pembagi]] dari ordo grup.

: '''Contoh:''' Misalkan '' G '' menjadi sekelompok orde utama '' p '' yang bekerja pada himpunan '' X '' dengan elemen '' k ''. Karena setiap orbit memiliki elemen 1 atau '' p '', setidaknya ada <math>k \bmod p</math> orbit dengan panjang 1 yang merupakan '' G '' elemen invarian.

Hasil ini sangat berguna karena dapat digunakan untuk menghitung argumen (biasanya dalam situasi di mana '' X '' juga terbatas).

[[Berkas:Labeled cube graph.png|thumb|Grafik kubik dengan simpul berlabel]]
: '''Contoh:'''  Kita dapat menggunakan teorema penstabil orbit untuk menghitung automorfisme dari sebuah [[Graf (matematika diskret)|graf]]. Pertimbangkan [[grafik kubik]] seperti yang digambarkan, dan biarkan '' G '' menunjukkan grup [[Graf keautomorfan|keautomorfan]]. Kemudian ''G ''bertindak pada himpunan verteks {1, 2, ..., 8}, dan tindakan ini bersifat transitif seperti yang dapat dilihat dengan menyusun rotasi di sekitar pusat [[kubus]]. Jadi, dengan teorema penstabil orbit, <math>|G| = |G\cdot1||G_1| = 8|G_1|</math>. Menerapkan teorema sekarang ke penstabil '' G ''<sub> 1 </sub>, kita bisa mendapatkan <math>|G_1| = |(G_1)\cdot2||(G_1)_2|</math>. Setiap elemen '' G '' yang menetapkan 1 harus mengirim 2 ke 2, 4, atau 5. Sebagai contoh automorfisme tersebut pertimbangkan rotasi di sekitar sumbu diagonal melalui 1 dan 7 oleh <math>2\pi/3</math> yang membolehkan 2,4,5 dan 3,6,8, dan fix 1 dan 7. Jadi, <math>\left|(G_1)\cdot2\right| = 3</math>. Menerapkan teorema untuk ketiga kalinya memberikan <math>|(G_1)_2| = |((G_1)_2)\cdot3||((G_1)_2)_3|</math>. Setiap elemen '' G '' yang menetapkan 1 dan 2 harus mengirim 3 ke 3 atau 6. Mencerminkan kubus di bidang melalui 1,2,7 dan 8 adalah automorfisme yang mengirim 3 hingga 6, jadi <math>\left|((G_1)_2)\cdot3\right| = 2</math>. Salah satunya juga melihat bahwa <math>((G_1)_2)_3</math> hanya terdiri dari automorfisme identitas, karena setiap elemen dari '' G '' yang memperbaiki 1, 2 dan 3 juga harus memperbaiki semua simpul lainnya, karena mereka ditentukan oleh kedekatannya dengan 1, 2 dan 3. Menggabungkan perhitungan sebelumnya, sekarang kita bisa mendapatkan <math>|G| = 8\cdot3\cdot2\cdot1 = 48</math>.

Hasil yang terkait erat dengan teorema penstabil orbit adalah [[lema Burnside]]:
:<math>|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} |X^g|,</math>

dimana ''X''<sup>g</sup> himpunan titik tetap oleh ''g ''. Hasil ini terutama digunakan ketika'' G ''dan ''X ''terbatas, bila dapat diartikan sebagai berikut: jumlah orbit sama dengan jumlah rata-rata titik yang ditetapkan per elemen grup.

Menetapkan grup ''G '', himpunan perbedaan formal dari'' G'' hingga, himpunan membentuk [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] yang disebut [[gelanggang Burnside]] dari ''G '', di mana penjumlahan sesuai dengan [[disjoint union]], dan perkalian dengan [[produk Kartesius]].

== Tindakan grup dan grupoid ==
Gagasan tindakan kelompok dapat diletakkan dalam konteks yang lebih luas dengan menggunakan '' tindakan [[groupoid]] '' <math>G'=G \ltimes X</math> terkait dengan tindakan kelompok, sehingga memungkinkan teknik dari teori grupoid seperti presentasi dan [[fibrasi]]. Selanjutnya, penstabil tindakan adalah kelompok puncak, dan orbit tindakan adalah komponen, dari tindakan grupoid. Untuk lebih jelasnya, lihat buku ''Topologi dan groupoids '' yang direferensikan di bawah ini

tindakan groupoid ini hadir dengan morfisme '' p '': '' G ′ '' → '' G '' yang merupakan'' morfisme yang menutupi grupoid''. Hal ini memungkinkan adanya hubungan antara morfisme tersebut dan [[peta peliputan]] dalam topologi.

== Galeri ==
<gallery widths="200px" heights="180">
Berkas:Octahedral-group-action.png|Orbit segitiga bola fundamental (ditandai merah) di bawah aksi grup oktahedral penuh.
Berkas:Icosahedral-group-action.png|Orbit segitiga bola fundamental (ditandai dengan warna merah) di bawah aksi grup ikosahedral penuh.
</gallery>

== Lihat pula ==
* [[Tindakan grup terukurkan]]
* [[Graf gain|Graf ''gain'']]
* [[Grup dengan operator]]
* [[Tindakan monoid]]

== Referensi ==
=== Catatan ===
{{notelist}}

=== Kutipan ===
{{reflist}}

=== Lain ===
* {{Cite book|last1=Aschbacher|first1=Michael|author1-link=Michael Aschbacher|title=Finite Group Theory|url=https://archive.org/details/finitegrouptheor0000asch|publisher=Cambridge University Press|year=2000|mr=1777008 |isbn=978-0-521-78675-1}}
* Brown, Ronald (2006). [http://arquivo.pt/wayback/20160514115224/http://www.bangor.ac.uk/r.brown/topgpds.html ''Topology and groupoids''], Booksurge PLC, {{ISBN|1-4196-2722-8}}.
*[http://138.73.27.39/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html Categories and groupoids, P.J. Higgins] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071007143558/http://138.73.27.39/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html |date=2007-10-07 }}, downloadable reprint of van Nostrand Notes in Mathematics, 1971, which deal with applications of groupoids in group theory and topology.
*{{cite book
| first     = David
| last      = Dummit
| author2   = Richard Foote
| year      = 2004
| title     = Abstract Algebra
| edition   = 3rd
| publisher = Wiley
| isbn      = 0-471-43334-9
}}
* {{cite book |last1=Eie |first1=Minking |last2=Chang |first2=Shou-Te |title=A Course on Abstract Algebra |url=https://archive.org/details/courseonabstract0000eiem |year=2010 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-4271-88-2}}
*{{cite book
| first     = Joseph
| last      = Rotman
| year      = 1995
| title     = An Introduction to the Theory of Groups
| others    = Graduate Texts in Mathematics '''148'''
| edition   = 4th
| publisher = Springer-Verlag
| isbn      = 0-387-94285-8
}}
* {{cite book |last1=Smith |first1=Jonathan D.H. |title=Introduction to abstract algebra |series=Textbooks in mathematics |year=2008 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4200-6371-4}}

== Pranala luar ==
* {{springer|title=Action of a group on a manifold|id=p/a010550}}
* {{mathworld|urlname=GroupAction|title=Group Action}}

[[Kategori:Teori grup]]
[[Kategori:Tindakan grup (matematika)| ]]
[[Kategori:Teori representasi grup]]
[[Kategori:Simetri]]